Как найди площадь треугольника авс с вершинами - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?

1способ:

Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.

2 способ:

вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.

Утверждение

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃) можно вычислить с помощью формулы

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2}left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} right|.]$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC,

A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃)

Опустим перпендикуляры из вершин треугольника на координатные оси.

$[S_{Delta ABC} = S_{MACN} + S_{NCBK} - S_{MABK} ]$

$[S_{MACN} = frac{{MA + CN}}{2} cdot MN = frac{{y_1 + y_3 }}{2} cdot (x_3 - x_1 ),]$

$[S_{NCBK} = frac{{NC + BK}}{2} cdot NK = frac{{y_3 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_3 ),]$

$[S_{MABK} = frac{{MA + BK}}{2} cdot MK = frac{{y_1 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_1 ).]$

$[S_{Delta ABC} = ]$

$[= frac{{y_1 + y_3 }}{2} cdot (x_3 - x_1 ) + frac{{y_3 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_3 ) - frac{{y_1 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_1 ) = ]$

$[= frac{1}{2}[(y_1 + y_3 )(x_3 - x_1 ) + (y_3 + y_2 )(x_2 - x_3 ) - (y_1 + y_2 )(x_2 - x_1 )] = ]$

$[= frac{1}{2}[x_3 y_1 - x_1 y_1 underline { + x_3 y_3 } - x_1 y_3 + x_2 y_3 underline { - x_3 y_3 } + x_2 y_2 - x_3 y_2 - ]$

$[= frac{1}{2}[(x_2 y_3 - x_2 y_1 ) + ( - x_1 y_3 + x_1 y_1 ) + (x_1 y_2 - x_1 y_1 ) + ]$

$[= frac{1}{2}[x_2 (y_3 - y_1 ) - x_1 (y_3 - y_1 ) + x_1 (y_2 - y_1 ) - x_3 (y_2 - y_1 )] = ]$

$[= frac{1}{2}[(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )].]$

С учетом вариантов взаимного расположения точек A, B и C формула для вычисления площади треугольника по координатам его вершин приобретает вид:

$[ S_{Delta ABC} = frac{1}{2}left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} right|. ]$

Что и требовалось доказать.

3 способ:

Найти длины двух сторон и косинус угла между ними и вычислить площадь треугольника через стороны и синус угла между ними.

4 способ:

Найти длину и уравнение одной стороны треугольника и длину высоты, проведённой к этой стороне. Вычислить площадь через сторону и высоту.

Рассмотрим эти способы на конкретном примере.

Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A(-1;-3), B(3;4), C(5;-5).

1 способ:

Находим длины сторон треугольника ABC.

$[AB = sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 } ]$

$[ AB = sqrt {(3 - ( - 1))^2 + (4 - ( - 3))^2 } = sqrt {16 + 49} = sqrt {65} ;]$

$[AC = sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 } ]$

$[AC = sqrt {(5 - ( - 1))^2 + ( - 5 - ( - 3))^2 } = sqrt {36 + 4} = sqrt {40} ;]$

$[BC = sqrt {(x_C - x_B )^2 + (y_C - y_B )^2 } ]$

$[BC = sqrt {(5 - 3)^2 + ( - 5 - 4)^2 } = sqrt {4 + 81} = sqrt {85} .]$

Поскольку длины сторон выражены иррациональными числами, вычислять площадь треугольника по формуле Герона — не самый лучший способ.

2 способ:

Подставляем в формулу x₁=-1, y₁=-3, x₂=3, y₂=4, x₃=5, y₃=-5:

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2}left| {(3 - ( - 1))( - 5 - ( - 3)) - (5 - ( - 1))(4 - ( - 3))} right| = ]$

$[= frac{1}{2}left| {4 cdot ( - 2) - 6 cdot 7} right| = frac{1}{2} cdot 50 = 25.]$

3 способ:

Угол A образован векторами AC и AB. Отсюда

$[ cos angle A = frac{{overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right| cdot left| {overrightarrow {AC} } right|}} ]$

Находим координаты векторов:

$[overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A )]$

$[overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A )]$

Скалярное произведение

Длины AB и AC уже знаем:

$[cos angle A = frac{{10}}{{sqrt {65} cdot sqrt {40} }} = frac{{10}}{{sqrt {5 cdot 13} cdot sqrt {5 cdot 4 cdot 2} }} = ]$

$[= frac{{10}}{{5 cdot 2sqrt {26} }} = frac{1}{{sqrt {26} }}.]$

Синус и косинус одного угла связаны соотношением:

Синус угла от 0° до 180° является положительным числом, поэтому

$[sin angle A = sqrt {1 - cos ^2 angle A} ]$

$[sin angle A = sqrt {1 - frac{1}{{26}}} = sqrt {frac{{25}}{{26}}} = frac{5}{{sqrt {26} }}.]$

Отсюда

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A,]$

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2} cdot sqrt {65} cdot sqrt {40} cdot frac{5}{{sqrt {26} }} = 25.]$

4 способ:

Найдём уравнение прямой AB. Подставляем координаты A и B в уравнение y=kx+b:

$[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot ( - 1) + b \ 4 = k cdot 3 + b \ end{array} right.]$

Отсюда k=7/4, b=-5/4

$[y = frac{7}{4}x - frac{5}{4},4y = 7x - 5,]$

Найдём расстояние от точки C до прямой AB:

$[d = frac{{left| {7 cdot 5 - 4 cdot ( - 5) - 5} right|}}{{sqrt {7^2 + 4^4 } }} = frac{{50}}{{sqrt {65} }}.]$

Это расстояние равно высоте треугольника, проведённой из вершины C к стороне AB. Отсюда

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot d = frac{1}{2} cdot sqrt {65} cdot frac{{50}}{{sqrt {65} }} = 25.]$

Источник

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник

Самый простой многоугольник и вектор

Чтобы найти площадь треугольника через векторы и известные координаты его вершин, необходимо подробнее познакомиться с этими геометрическими объектами. Знание их свойств позволяет легко вычислять разные характеристики изучаемой фигуры, включая периметр, высоту, углы при вершинах и другие. При этом используются универсальные математические операции, которые можно применять с успехом не только для треугольника, но и для других многоугольников.

Фигура на плоскости

Треугольник в геометрии представляет собой самый простой многоугольник, который лежит всегда в одной плоскости, даже если фигура рассматривается в трехмерном пространстве. Состоит он из сторон и вершины.

Сторон и вершин у фигуры по три. Сторона является отрезком, а вершина — это точка пересечения этих отрезков. Для нее характерен определенный угол. Все углы треугольника являются разными в общем случае, их сумма всегда соответствует 180°. Однако, существуют специальные типы фигуры, для которых либо два угла равны друг другу (равнобедренный), либо все три (равносторонний). В задачах называют треугольники по имени их трех вершин, обозначенных латинскими буквами, например, ABC или NPQ.

Для треугольника важное значение имеют следующие отрезки:

делящий противоположную углу сторону пополам — медиана;
разделяющий угол при вершине на два равных — биссектриса;
падающий под прямым углом на противоположную углу сторону — высота.

Высота, например, используется для расчета площади фигуры. Для равностороннего треугольника все эти отрезки совпадают друг с другом для любой вершины, а для равнобедренного они одинаковы лишь для угла, образованного равными сторонами.

Направленный отрезок

Вектором называют линейный элемент, который имеет начало и конец. Для его определения удобнее всего использовать координатную плоскость. Она представляет собой две направленные оси, имеющие шкалу и пересекающиеся под углом 90°. Точка пересечения является началом координат и обозначается буквой O (0; 0). Здесь каждая из цифр указывает точку пересечение перпендикуляра, опущенного из рассматриваемого объекта к каждой из двух осей.

Если начало A (x0; y0) и конец B (x1; y1) вектора известны, тогда легко можно вычислить его собственные координаты. Делается это так:

AB- = B-A = (x1-x0; y1-y0).

Иными словами, чтобы получить вектор AB-, следует из соответствующих координат его конца вычесть его начало. Эта операция эквивалентна параллельному перемещению AB- в начало координатной плоскости, что говорит о существовании бесконечного количества одинаковых AB-векторов.

Направленные отрезки можно складывать, вычитать и умножать. Для каждой из операций существуют определенные правила. Если для сложения и вычитания речь идет о геометрических особенностях, то в случае умножения применяются исключительно алгебраические выражения. Вектор a- можно умножить на b- двумя принципиально разными способами:

Скалярно: (a-*b-). В этом случае мы получаем число. Правило умножения записывается следующим образом: (a-*b-) = |a-|*|b-|*cos (ab)=x1*x2+y1*y2. Здесь знаком модуля (||) обозначены длины соответствующих отрезков, cos (ab) — это косинус угла между a- и b-, при этом a-(x1; y1), b-(x2; y2). Этот тип произведения можно использовать для вычисления углов между направленными отрезками, а также для определения объема фигур в пространстве.
Векторно: [a-*b-]. Результатом этой операции является вектор, который перпендикулярен исходным, его направление (вверх или вниз) принято определять по правилу правой руки: четыре пальца должны быть направлены от конца a- к концу b-, тогда оттопыренный большой палец укажет направление их векторного произведения. Длина этого перпендикулярного вектора определяется так: [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (ab) = x1*y2-x2*y1. Векторное произведение используют для вычисления площадей фигур.

Методы вычисления площади по координатам

Задачи на вычисление площадей, периметров или объемов фигур по известным координатам их вершин являются типичными для школьного курса геометрии. В связи с развитием современных технологий школьники часто ищут в интернете, как решить треугольник онлайн по координатам. Тем не менее, существует ряд простых способов, которые позволяют быстро найти площадь фигуры, если известно расположение трех его вершин на координатной плоскости.

Универсальный подход

Этот метод можно применять всегда, независимо от того, какой тип треугольника рассматривается. Известно, что площадь фигуры вычисляется, как произведение половины стороны на опущенную на нее высоту: S = ½*a*h.

Пусть имеются координаты вершин заданного треугольника ABC:

A (x1; y1);
B (x2; y2);
C (x3; y3).

Тогда координаты его векторов AB- и AC- выразятся так:

AB- = (x2-x1; y2-y1);
AC- = (x3-x1; y3-y1).

Если провести высоту h треугольника ABC к любой из этих сторон, например, к AC, то ее длина может быть рассчитана с использованием тригонометрической функции синуса:

h = AB*sin (α).

Здесь α является углом между векторами-сторонами AB- и AC-. Тогда формулу площади можно переписать в следующем виде: S = ½*a*h = ½*AC* AB*sin (α).

Можно заметить, что записанное выражение является не чем иным, как векторным произведением для AB- и AC-, поэтому можно переписать формулу для S так:

S = ½*[ AB-* AC- ] = ½*((x2-x1)*(y3-y1) — (y2-y1)*(x3-x1)).

Можно аналогично показать, что подобные выражения получаются для пар векторов AC-, BC- и AB-, BC-.

Рекомендуется не запоминать конечные выражения для площади треугольника, поскольку они являются несколько громоздкими, и при их использовании ученики могут запутаться. Для решения подобного рода задач достаточно понять свойства векторов и единственную универсальную формулу для S для любого типа треугольников.

Любопытно отметить, что векторное произведение при вычислении площади можно применять не только для треугольников, но и для любых четырехугольников. Так, в случае параллелограмма рассматриваемая характеристика будет точно равна векторному произведению любых смежных (непараллельных) его сторон.

Использование формулы Герона

Этот способ также может считаться универсальным, поскольку он применим к любым типам треугольников. В работе Герона Александрийского, которая называется «Метрика» и относится к I веку нашей эры, впервые было обнаружено выражение, позволяющее по длинам сторон рассматриваемой фигуры определить ее площадь. Формула имеет следующий вид:

S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.

Здесь p — полупериметр, a, b, c — длины сторон.

Последовательность этапов решения задачи можно выразить таким образом:

Необходимо определить координаты векторов, образующих стороны треугольника.
Затем, следует вычислить длины их сторон.
Посчитать полупериметр фигуры.
Применить формулу Герона.

Ключевым этапом является определение длины вектора. Пусть AB- имеет координаты (x1; y1), тогда его длина вычисляется так:

|AB-| = (x1² + y1²)^0,5.

Длина любого вектора как на плоскости, так и в пространстве, вычисляется, как сумма квадратов всех его координат, взятых под корень.

Очевидно, что можно записать общее выражение для площади треугольника через координаты с использованием формулы Герона, но оно будет слишком громоздким, поэтому нет никакого смысла запоминать его.

Другие способы

Существуют эмпирические правила, которые можно запомнить и легко решать задачи на определение площади треугольника. Пусть координаты его вершин задаются так: A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3). Предположим, что порядок вершин A, B, C расположен против часовой стрелки, тогда существуют следующие правила определения площади ABC:

Можно воспользоваться формулой: S = ½*(x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)). То есть выбирается первая координата вершины и умножается на разность вторых координат двух других вершин, возникающих против хода стрелки часов от первой. Затем, все три члена складываются и делятся на 2.
Матричный способ. Необходимо выписать в столбик пары координат каждой вершины против часовой стрелки и завершить координатами исходной. После этого следует сложить три попарных произведения первой и второй координат двух соседних вершин, а затем, вычесть три попарных произведений второй и первой координат тех же вершин. Результат поделить пополам. Например: (x1; y1) (x2; y2) (x3; y3) (x1; y1). S = ½*(x1*y2 + x2*y3 + x3*y1 — y1*x2 — y2*x3 — y3*x1).

Решение задачи

Дана фигура АВС. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A (1; -3), B (2; 5), C (-2; -2).

Для нахождения решения следует обратиться за помощью к универсальному способу. Сначала необходимо выбрать два вектора, образующих стороны треугольника. Пусть это будут AB- и BC-. Теперь нужно знать их координаты. Они равны:

AB- = (2−1; 5-(-3)) = (1; 8);
BC- = (-2−2; -2−5) = (-4; -7).

Чтобы рассчитать площадь, достаточно вычислить полупроизведение векторное для выбранных направленных отрезков: S = ½*[AB-*BC-] = ½*(1*(-7)-8*(-4)) = 12,5 квадратных единиц.

Таким образом, существует несколько методик вычисления площади треугольника, если известны координаты его вершин. Все они сводятся к использованию свойств векторов и известных формул. Существуют также выражения, которые следует запомнить, чтобы решать подобные задачи.

Источник

Поступила просьба написать калькулятор, который бы рассчитывал площадь треугольника по координатам вершин. В принципе, нужно только высчитать длины сторон, а дальше воспользоваться уже существующим калькулятором Расчет площади треугольника по формуле Герона, однако если кому-то это облегчит жизнь, мы и сами рассчитаем длины сторон по координатам вершин, используя известную формулу для расстояния между точками в пространстве
$p=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
— здесь точки задаются координатами {x1, y1, z1} и {x2, y2, z2}

После чего можно применить ту же формулу Герона и рассчитать площадь.
В калькуляторе ниже вводим только координаты вершин A {Ax, Ay, Az}, B {Bx, By, Bz} и C {Cx, Cy, Cz}. Если речь идет о плоскости, координату z оставляем равной 0.

Расчет площади треугольника по координатам вершин

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Источник

Теорема
3.
Пусть точки
,иявляются вершинами треугольника. Тогда
площадь этого треугольника может быть
вычислена по формуле:

.
(1.4)

Доказательство.
Рассмотрим треугольник АВС,
расположенный в плоскости Оху.
Площадь этого треугольника равна
разности площадей трапеции К₁АВК₂
и треугольников К₁АС
и СВК₂..
Найдем площадь трапеции К₁АВК₂
и треугольников К₁АС
и СВК₂:

В
(х₂;
у₂)

А
(х₁;
у₁)

К₂
(х₂;
у₃)

К₁
(х₁;
у₃)

С
(х₃;
у₃)

Таким
образом,
.

Для
любого другого расположения точек
формула доказывается аналогично. Теорема
доказана.

П
р и м е р 5.
Вычислить площадь параллелограмма
,
если известны координаты его смежных
вершин,и точкипересечения
его диагоналей.

Решение.
Параллелограмм делится диагоналями на
четыре равновеликих треугольника,
поэтому
.
Площадь треугольниканайдем по формуле (1.4):.
Таким образом,(кв. ед.).

П
р и м е р 6.
Одна из вершин треугольника
находится в начале координат, а вторая
вершинаимеет координаты.
Найти координаты третьей вершины,
находящейся на оси ординат, если площадь
треугольникаравна 7 кв. ед.

Решение.
Вершина
находится на оси ординат, поэтому ее
абсцисса равна нулю, т. е. точкаимеет координаты.
Воспользуемся формулой (1.4) для нахождения
площади треугольника, получим:.
Так как площадь треугольникаравна 7 кв. ед., относительнополучаем уравнение,
т. е..
Таким образом, вершинаимеет координатыили.

1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть дана некоторая
прямая.

Определение.
Углом 
наклона данной прямой к оси
называется угол, на который надо повернуть
ось,
чтобы ее положительное направление
совпало с одним из направлений прямой.
Обычно в качестве угла
берут наименьший положительный из
данных углов.

Определение.
Угловым коэффициентом прямой называется
тангенс ее угла наклона, т. е.

.

(1.5)

M(x, y)



Если

,
то прямая параллельна оси
.
В случаепрямая параллельна оси.

Выведем
уравнение прямой, если известны ее
угловой коэффициент
и величина,
отсекаемая прямой на оси(т. е. прямая не перпендикулярна оси).

Из
треугольника
:.
Далее,,.
Таким образом,,
или

.
(1.6)

Уравнение
(1.6) называется уравнением прямой с
угловым коэффициентом
,
отсекающей на осивеличину.
Если,
то уравнение (1.6) принимает види прямая, задаваемая этим уравнением,
параллельна оси.

Любая
прямая, не параллельная оси
,
задается уравнением вида (1.6), и любое
уравнение вида (1.6) определяет прямую,
не параллельную оси.

1.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Выведем
уравнение прямой, проходящей через
точку
,
с угловым коэффициентом.

Прямая
с заданным угловым коэффициентом имеет
уравнение
,
в котором величинанеизвестна. Прямая проходит через точку,
поэтому координаты этой точки
удовлетворяют уравнению прямой, т. е.или.
Следовательно, искомое уравнение имеет
видили

.
(1.7)

Замечание.
Если прямая проходит через точку
параллельно оси,
то ее уравнение имеет вид.

Выведем
уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки
и.
Запишем уравнение прямой в виде (1.7):,
где
неизвестный коэффициент. Искомая прямая
проходит через точку
,
поэтому выполняется равенство.

Если
,
то искомая прямая параллельна осии имеет вид.
Если,
тои уравнение (1.7) принимает вид.
В случаепрямая параллельна осии задается уравнением.
Если же,
уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки, имеет вид

.
(1.8)

П
р и м е р 7.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
и составляющей с осью абсцисс угол.

Решение.
По формуле (1.5) угловой коэффициент
прямой
.
Согласно формуле (1.7) искомое уравнение
прямой имеет видили.

П
р и м е р 8. Составить
уравнения сторон треугольника, вершины
которого находятся в точках
,и.

Решение.
Для того чтобы составить уравнения
сторон указанного треугольника,
воспользуемся формулой (1.8) уравнения
прямой, проходящей через две точки с
различными абсциссами и ординатами.
Сторона
задается уравнением,
или.
Для стороныуравнение имеет вид,
или.
Уравнение третьей стороны:,
т. е..

Соседние файлы в папке 20-12-2012_21-26-59

Источник