Как найди величену угла

Как найти величину угла треугольника

Плоский треугольник в евклидовой геометрии составляют три угла, образованные его сторонами. Величины этих углов можно рассчитать несколькими способами. В силу того, что треугольник — одна из простейших фигур, существуют несложные формулы расчета, которые еще более упрощаются, если их применять к правильным и симметричным многоугольникам этого рода.

Инструкция

Если известны величины двух углов произвольного треугольника (β и γ), то величину третьего (α) можно определить исходя из теоремы о сумме углов в треугольнике. Она гласит, что эта сумма в евклидовой геометрии всегда равна 180°. То есть для нахождения единственного неизвестного угла в вершинах треугольника отнимайте от 180° величины двух известных углов: α=180°-β-γ.

Если речь идет о прямоугольном треугольнике, то для нахождения величины неизвестного острого угла (α) достаточно знать величину другого острого угла (β). Так как в таком треугольнике угол, лежащий напротив гипотенузы, всегда равен 90°, то для нахождения величины неизвестного угла отнимайте от 90° величину известного угла: α=90°-β.

В равнобедренном треугольнике тоже достаточно знать величину одного из углов, чтобы вычислить два других. Если известен угол (γ) между сторонами равной длины, то для вычисления обоих остальных углов найдите половину от разницы между 180° и величиной известного угла — эти углы в равнобедренном треугольнике будут равны: α=β=(180°-γ)/2. Из этого вытекает, что если известна величина одного из равных углов, то угол между равными сторонами можно определить как разницу между 180° и удвоенной величиной известного угла: γ=180°-2*α.

Если известны длины трех сторон (A, B, C) в произвольном треугольнике, то величину угла можно найти по теореме косинусов. Например, косинус угла (β), лежащего напротив стороны B, можно выразить как сумму возведенных в квадрат длин сторон A и C, уменьшенную на возведенную в квадрат длину стороны B и поделенную на удвоенное произведение длин сторон A и C: cos(β)=(A²+C²-B²)/(2*A*C). А чтобы найти величину угла, зная чему равен его косинус, надо найти его арк-функцию, то есть арккосинус. Значит β=arccos((A²+C²-B²)/(2*A*C)). Аналогичным способом можно найти величины углов, лежащих напротив остальных сторон в этом треугольнике.

Источники:

• величины углов

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠AOB  или ∠BOA,  но ни в коем случае не ∠OAB, ∠OBA, ∠ABO, ∠BAO.

Величину угла измеряют в градусах: ∠AOB=24°.

Виды углов:

• Прямой (ровно 90 градусов)
• Острый (меньше 90 градусов)
• Тупой (больше 90 градусов и меньше 180 градусов)
• Развёрнутый (ровно 180 градусов)

 

1. Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

OD – биссектриса угла ∠AOB. Она делит этот угол на два равных угла.

∠AOD=∠BOD=∠AOB/2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон OA и OB угла ∠AOB.

2. Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180°.

Пример

Пары углов: (1) и (3), (2) и (4) называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠COD=∠AOB

∠BOD=∠AOC

Пары углов: (1) и (2), (2) и (3), (3) и (4), (4) и (1) называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠COD+∠DOB=180°∠DOB+∠BOA=180°∠BOA+∠AOC=180°∠AOC+∠COD=180°

 3. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов: (1) и (5), (2) и (6), (3) и (7), (4) и (8) называются соответственными.

(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов: (3) и (5), (4) и (6) называются внутренними односторонними.

(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:(1) и (7), (2) и (8) называются внешними односторонними.

(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:(3) и (6), (4) и (5)называются внутренними накрест лежащими.

(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов: (1) и (8), (2) и (7) называются внешними накрест лежащими.

(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
• Сумма внешних односторонних углов равна 180°.

4. Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n-угольника вычисляется по формуле:

Sn=180°⋅(n−2)

где n – это количество углов в n-угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n-угольника.

Сумма углов треугольника: 

S3=180°⋅(3−2)=180°

Сумма углов четырёхугольника: 

S4=180°⋅(4−2)=360°

Сумма углов пятиугольника: 

S5=180°⋅(5−2)=540°

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Некоторые правильные многоугольники: 

Чтобы найти величину угла правильного n-угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

αn=180°⋅(n−2)n

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B  или ∠ B O A ,  но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

Пример:

Пары углов

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

Пары углов

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Скачать домашнее задание к уроку 2.

Каждый
угол имеет величину. Специального
названия для нее в геометрии нет.

Определение.
Величиной
угла называется положительная величина,
определенная для каждого угла так, что:
1) равные углы имеют равные величины; 2)
если угол состоит из двух углов, то его
величина равна сумме величин его частей.

Эти
свойства лежат в основе измерения
величины угла. Оно аналогично измерению
длины отрезка и состоит в сравнении
измеряемой величины угла с величиной
угла, принятой за единицу. Единичный
угол, а если нужно и его доли, откладываются
на угле, величина кото­рого измеряется.
В результате получается численное
значение величины угла или мера величины
угла при данной единице измерения.

Число,
которое получается в результате измерения
величины угла, должно удовлетворять
ряду требований — они аналогичны
требованиям, предъявляемым к числовому
значению длины отрезка.

На
практике за единицу величины угла
принимают градус —часть прямого угла. Один градус записывают
так: 1°. Величина прямого угла равна 90°,
величина развернутого — 180°.

Градус
делится на 60 минут, а минута на 60 секунд.
Одну минуту обозначают 1′, одну секунду
– 1».
Так, если мера величины угла равна 5
градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут
5°3’12». Если нужна большая точность в
измерении величин углов, используют и
доли секунды. Заметим, что часто вместо
«величина угла» говорят «угол». Например,
вместо «величина угла равна 45 градусам»
говорят, что «угол равен 45 градусам».

На
практике величины углов измеряют с
помощью транспортира. Для более точных
измерений пользуются и другими приборами.

3. Понятие площади фигуры и ее измерение

Каждый
человек представляет, что такое площадь
комнаты, площадь участка земли, площадь
поверхности, которую надо покрасить.
Он также понимает, что если земельные
участки одинаковы, то площади их равны;
что площадь квартиры складывается из
площади комнат и площади других ее
помещений.

Это
обыденное представление о площади
используется при ее определении в
геометрии, где говорят о площади фигуры.
Но геометрические фигуры устроены
по-разному, и поэтому, когда говорят о
площади, выделяют определенный класс
фигур. Например, рассматривают площадь
многоугольника, площадь произвольной
плоской фигуры, площадь поверхности
многогранника и др. В нашем курсе речь
будет идти только о площади многоугольника
и произвольной плоской фигуры.

Так
же, как и при рассмотрении длины отрезка
и величины угла, будем использовать
понятие «состоять из», определяя его
следующим образом: фигура F
состоит (составлена) из фигур F₁
и F₂,
если она является их объединением и у
них нет общих внутренних точек.

В
этой же ситуации можно говорить, что
фигура F
разбита на фигуры F₁
и F₂.
Например, о фигуре F,
изображенной на рисунке 2, а, можно
сказать, что она состоит из фигур F₁
и F₂,
поскольку они не имеют общих внутренних
точек. Фигуры F₁
и F₂
на рисунке 2, b
имеют общие внутренние точки, поэтому
нельзя утверждать, что фигура F
состоит из фигур F₁
и F₂.
Если фигура F
состоит из фигур F₁
и F₂,
то пишут: F=F₁

F₂.

Определение.
Площадью
фигуры называется положительная
величина, определенная для каждой фигуры
так, что: 1) равные фигуры имеют равные
площади; 2) если фигура состоит из двух
частей, то ее площадь равна сумме площадей
этих частей.

Чтобы
измерить площадь фигуры, нужно иметь
единицу площади. Как правило, такой
единицей является площадь квадрата со
стороной, равной единичному отрезку.
Условимся площадь единичного квадрата
обозначать буквой Е, а число, которое
получается в результате изме­рения
площади фигуры – S(F).
Это число называют численным значе­нием
площади фигуры F
при выбранной единице площади Е. Оно
должно удовлетворять условиям:

1.
Число S(F)
—
положительное.

2.
Если фигуры равны, то равны численные
значения их площадей.

3.
Если фигура F
состоит из фигур
F₁
и F₂,
то
численное значение площади фигуры равно
сумме численных значений площадей фигур
F₁
и F₂.

4.
При замене единицы площади численное
значение площади данной фигуры F
увеличивается (уменьшается) во столько
же раз, во
сколько
новая единица меньше (больше) старой.

5.
Численное значение площади единичного
квадрата принимается
равным
1, т.е. S(F)

= 1.

6.
Если фигура F₁
является частью фигуры F₂,
то численное значе­ние площади фигуры
F₁
не больше численного значения площади
фи­гуры F₂,
т.е. F₁

F₂


S (F₁)
≤ S (F₂)
.

В
геометрии доказано, что для многоугольников
и произвольных плоских фигур такое
число всегда существует и единственно
для каждой фигуры.

Фигуры,
у которых площади равны, называются
равновеликими.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #