Как найдите алгебраическую сумму многочленов

Алгебра

7 класс

Урок № 20

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Сумма и разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).

Тезаурус.

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

Конечно, да.

123 + 5 и 45 – 89

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

Например,

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Решение:

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

у + (3х + 1) = 9х -4

Найдём отсюда у

у = (9х – 4) – (3х + 1)

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

у = 9х – 4 – 3х + 1

Приведём многочлен к стандартному виду.

у = 6х – 3

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt) = аt² – 5t² – 10хt + 4t² + 5хt +11аt² = 12аt² – t² – 5хt.

Ответ: 12аt² – t² – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x⁴ – 12x³ – 3x² + 5x – 14

Варианты ответов:

1. (3x⁴ – 12x³ – 3x²) + (5x – 14)
2. (3x⁴ – 12x³) – (3x² + 5x – 14)
3. (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14)

Решение:

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x⁴ – 12x³ – 3x² + 5x – 14 = (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14)

Ответ: (3x⁴ – 12x³) – (3x² – 5x + 14).

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Алгебра
5. Сложение и вычитание многочленов

Советуем посмотреть:

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 307,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 308,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 323,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 328,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 337,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 343,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 344,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 745,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1153,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 204,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Сложение многочленов

Ранее мы познакомились с понятием многочлена. Теперь научимся с многочленами работать. Это умение пригодится при решении сложных уравнений и других математических задач.

Вспомним определение: многочлен – это сумма одночленов!
Значит, чтобы сложить многочлены надо записать их как один многочлен, сохраняя знаки исходные членов.

Но, пока не наработан навык, будем складывать по определенному правилу:
1. Записываем многочлены в скобках и ставим между ними знаки «+».
2. Переписываем без скобок. Если в скобках у первого члена многочлена стоит знак минус, мы его пишем вместо плюса, который стоял перед скобкой. Остальные члены многочлена переписываем, сохраняя знаки.
3. Приводим получившийся многочлен к стандартному виду.

Примеры.
1) Сложить многочлены: a³ + 2b + с и а² + 2b — 1.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак плюс:
(а³ + 2b + с) + (а² + 2b — 1).
2. Раскроим скобки: a³ + 2b + с + а² + 2b — 1.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
a³ + 2b + с + а² + 2b — 1 = а³ + 4b + с + а² — 1.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: a³ + а²+ 4b + с — 1.

2) Сложить многочлены: a³ + 2b + с и -а² + 2b — 1.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак плюс:
(а³ + 2b + с) + (-а² + 2b — 1).
2. Раскроим скобки: a³ + 2b + с — а² + 2b — 1.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
a³ + 2b + с — а² + 2b — 1 = а³ + 4b + с — а² — 1.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: a³ — а²+ 4b + с — 1.

Вычитание многочленов

Как при сложении, сначала записываем многочлены в скобках, но между скобками ставим знак «-«. Просто убрать скобки, не получится. Нужно поменять знаки членов многочлена на противоположные. Это очень важно помнить, поскольку поможет избежать многих ошибок.

Попробуем решить пример 2 — (1 + 1). Сначала выполняем действия в скобках, потом – вычитание, получим ответ 0. Если просто убрать скобки, ответ будет 2. Если поменять знаки, ответ будет правильный 0.

Примеры.
1) Из многочлена а³b + 2ac — 5 вычесть многочлен 2a³b + ас + 5.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак минус:
(а³b + 2ac — 5) — (2a³b + ac + 5).
2. Раскроим скобки: а³b + 2ac — 5 — 2а³b — ac — 5.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
а³b + 2ac — 5 — 2а³b — ac — 5 = -а³b + ac — 10.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: -а³b + ac — 10.

2) Из многочлена a³b + 2ac — 5 вычесть многочлен -2a³b + ас + 5.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак минус:
(а³b + 2ac — 5) — (-2a³b + ac + 5).
2. Раскроим скобки: а³b + 2ac — 5 + 2а³b — ac — 5.
Обратите внимание, первый минус в вычитаемом поменялся на плюс! (Всегда внимательно смотрим: где ставить плюс, где – минус? Знак перед скобкой накладывается на знак в скобке: плюс на плюс дает плюс, плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс.)
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
а³b + 2ac — 5 + 2a³b — ac — 5 = 3a³b + ac — 10.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: 3a³b + ac — 10.

Методы сложения и вычитания многочленов очень похожи, только при вычитании меняются знаки. Поэтому эти действия объединили в одно правило.

Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов надо записать их в скобках и расставить знаки. Потом раскрыть скобки следующим образом: если перед скобкой стоит знак плюс, то знаки членов многочлена не меняются, если перед скобкой стоит знак минус, то знаки членов многочлена меняются на противоположные.

Пример.
Найдите алгебраическую сумму многочленов: А + В – С, где:
А = а²b + аb + 4;
В = -5a²b + 6ab — 5;
С = -4a²b + 3ab + 8.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках: (а²b + аb + 4) + (-5a²b + 6ab — 5) — (-4a²b + 3ab + 8).
2. Раскроим скобки: а²b + аb + 4 — 5a²b + 6ab — 5 + 4a²b — 3ab — 8.
3. Приведем подобные:
а²b + аb + 4 — 5a²b + 6ab — 5 + 4a²b — 3ab — 8 = 4ab – 9.
4. И запишем в стандартном виде: 4ab – 9.
Обратите внимание, что исчезли некоторые члены многочленов.
Действительно а²b — 5a²b + 4a²b = 0.
В таких случаях принято говорить, что a²b, 5a²b, 4a²b взаимно уничтожились.

Примеры для самостоятельного решения

Найти алгебраическую сумму многочленов А – В + С, где:
1) А = х²у + 2ху² — 3;
В = — 5х²у + 3ху + 6;
С = 2х²у — 3ху + 6.

2) А = – 4х²у + ху – 8;
В = 6х²у + 8ху + у;
С = – 3ху + х.

3) А = ху² – 7ху – х;
В = 9ху² + ху + 6;
С = 5ху² + 8ху + х.

Ответы на задания

Ответы на задания
1) 8х²у + 2ху²– 6ху – 3.
2) – 10х²у – 10ху – у + х – 8.
3) — 3xy² — 6.

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.

«Сумма и разность многочленов» 👇

Примеры задач на сложение и вычитание многочленов