Формула вычисления середины отрезка A(xa; ya) и B(xb; yb) на плоскости:
Формула вычисления середины отрезка A(xa; ya; za) и B(xb; yb; zb) в пространстве:
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
AC = xb — xa;
BC = yb — ya.
Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
Определение.
Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc — za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Ответ: координаты середины отрезка AB точка C(4, -0.5).
Введите координаты точки A
Введите координаты точки B
Формула расчёта координаты середины отрезка на плоскости
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
xc=(xa+xb)/2
yc=(ya+yb)/2
A(xa, ya), B(xb, yb) — координаты концов отрезка
C(xc, yc) — координаты середины отрезка
Ссылка на результат
https://calc-best.ru/matematicheskie/analiticheskaya-geometriya/koordinaty-serediny-otrezka/na-ploskosti?koordinati=7_-3_1_2
Найти координаты середины отрезка AB если A(6, -1), B(-1, -5).
Найти координаты середины отрезка AB если A(-3, -6), B(6, 7).
Найти координаты середины отрезка AB если A(3, 0), B(-5, 7).
Найти координаты середины отрезка AB если A(-1, -3), B(3, -5).
Найти координаты середины отрезка AB если A(5, 7), B(6, -4).
Похожие калькуляторы
На этой странице можно рассчитать координаты середины отрезка как на плоскости, так и в пространстве. Введите координаты точек и получите ответ, а также подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов.
Задача нахождения координат середины отрезка довольно часто возникает при решении задач, связанных с нахождением средней линии, медианы а также других вычислениях. На нашем сайте также можно рассчитать длину отрезка, заданного координатами.
Середина отрезка — точка, расположенная на отрезке на равном расстоянии от его конечных точек.
Формула для нахождения координат середины отрезка на плоскости
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}}
xa и ya — координаты первой точки A,
xb и yb — координаты второй точки B,
xc и yc — координаты середины отрезка (точка C).
Формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}; ; z_c=dfrac{z_a + z_b}{2}}
xa, ya и za — координаты первой точки A,
xb, yb и zb— координаты второй точки B,
xc, yc и zc — координаты середины отрезка (точка C).
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите координаты середины отрезка АВ,если А(-2,3) и В(6,-3).
Решение
Подставим координаты концов отрезка в формулы.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{-2 + 6}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{3 + (-3)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0).
Ответ: C(2, 0)
Калькулятор середины отрезка поможет проверить результат.
Задача 2
Дано: A(1, -1, 2), B(3, 1, -2). Найдите координаты середины отрезка AB.
Решение
Воспользуемся формулами координат середины отрезка в пространстве, подставив в них значение координат концов отрезка.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{1 + 3}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{-1 + 1}{2} = dfrac{0}{2} = 0
z_c=dfrac{z_a + z_b}{2} = dfrac{2 + (-2)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0, 0).
Ответ: C(2, 0, 0)
Проверка
В данной публикации мы рассмотрим, что такое середина отрезка, по какой формуле считаются ее координаты (в плоскости и пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Расчет координат середины отрезка
- Примеры задач
Расчет координат середины отрезка
Серединой называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.
AC = CB
Если концы отрезка A (xa, ya) и B (xb, yb) расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) считаются по формуле:
Если отрезок с концами A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) находится в трехмерном пространстве, координаты его середины рассчитываются следующим образом:
Примеры задач
Задание 1
Вычислим координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, образованного точками A (5, -2) и B (11, 10).
Решение:
В данном случае нам подойдут формулы для плоскости:
xc = (5 + 11) / 2 = 8
yc = (-2 + 10) / 2 = 4
Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).
Задание 2
Найдем координаты точки B, являющейся одним из концов отрезка AB. При этом известны координаты точки A (7, 13) и середины отрезка – C (4, -3).
Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для расчета координат середины отрезка:
xb = 2xc – xa = 2 · 4 – 7 = 1
yb = 2yc – ya = 2 · (-3) – 13 = -19
Следовательно, координаты B – (1, -19).