Как найдите корень уравнения линейного - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

-4x = 12 | : (-4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной

У очень многих школьников возникает вопрос — как решить уравнение с x. Что значит решить уравнение и как найти корень уравнения. Давайте рассмотрим основную схему решения обычного уравнения, называемого линейным, с одной переменной.

Правила и определения

Основные правила и определения для линейного уравнения с одной переменной.

Равенство с переменной называют уравнением.
Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры. Решить уравнение.

Уравнение 1

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:
чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число: 6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

Уравнение 2

3∙(2х-9) = 4∙(х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 5,5.

Уравнение 3

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: -1,5.

Уравнение 4

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.
3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 13.

Уравнения для самостоятельного решения

Решить самостоятельно уравнения:

а) 3-2,6х = 5х+1,48;

б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);

в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);

5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

Важные выводы

Итак, для того, чтобы решить уравнение — надо определить его переменную, перенести неизвестную переменную в левую часть уравнения, а известные — в праву. При необходимости упростить левую и правую части и затем найти корень уравнения.

Задание №9 ОГЭ по математике

В девятом задании модуля алгебра ОГЭ по математике нам предлагают решить уравнения. Это могут быть как линейные уравнения, которые решаются переносом всех известных членов в одну сторону, а неизвестных (x) в другую, так и квадратные уравнения, которые в свою очередь могут быть полными и неполными. Судя по материалам ОГЭ и практике проведения экзамена, наиболее вероятным заданием может быть решение линейного или квадратного уравнения. Тем не менее мы рассмотрим задания по всей этой тематике. Сложность заданий как всегда возрастает от задания к заданию. Ответом в задании №9 является целое число или конечная десятичная дробь.

Теория к заданию №9

Ниже я привел теорию по решениям линейных и квадратных уравнений:

Схема решения, правила и алгоритм действий при решении линейного уравнения:

Схема решения, правила и порядок действий при решении квадратного уравнения:

В трех типовых вариантах я разобрал данные случаи – в первом варианте вы найдете подробные указания по решению линейных уравнений, во втором разобран пример решения неполного квадратного уравнения, а в третьем – решение полного квадратного уравнения с вычислением дискриминанта.

Найдите корень уравнения:

Данное уравнение представляет собой обыкновенное уравнение первой степени и решается переносом всех известных частей в правую часть, оставив x слева.

Для начала следует раскрыть скобки: 10x – 90 = 7

Затем переносим 90 в правую часть (не забываем поменять знак):

Затем делим обе части на 10:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Это неполное квадратное уравнение, в котором не обязательно вычислять дискриминант, а достаточно вынести x за скобку:

Произведение множителей тогда равно нулю, когда один из множителей равен нолю:

Так как в ответе просят указать наименьший корень, то это -4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Уравнение является полным квадратным уравнением, поэтому классическим вариантом решения является вычисление дискриминанта. Но в данном случае можно заметить, что все множители кратны двум, поэтому можно все уравнение разделить на 2 для удобства вычисления:

Далее вычисляем дискриминант:

x = (- b — √D) / 2a = (5 — 3 )/ 2 •4 = 0,25

x = (- b + √D) / 2a = (5 + 3 )/ 2 •4 = 1

Так как нам нужно выбрать меньший из корней по условию, то выбираем 0,25

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В данной задаче нам предстоит решить линейное уравнение. Подход к решению таких уравнений достаточно простой – всё, что известно переносим в правую часть, всё, что неизвестно – оставляем в левой. Далее выполняем необходимое арифметическое действие.

Переносим 9 в правую часть (не забываем про смену знака):

7х = 40 + 9, что эквивалентно

х в нашем случае – это неизвестный множитель, следовательно, чтобы его найти, делим произведение на известный множитель:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите корень уравнения:

режде всего, исключим

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Далее решаем уравнение. Представляем число 2 в уравнении справа в виде дроби 2/1. Уравнение получает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выполним умножение в левой части уравнения и раскроем скобки справа:

Поменяем местами левую и правую части уравнения, чтобы оно приняло привычный вид:

Переносим 12 из левой части в правую:

ОДЗ это значение не исключает, поэтому оно является искомым результатом.Ответ: -5,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите корень уравнения:

Обе части уравнения приводим к единому знаменателю 12: Т.к. знаменатели в левой и правой частях уравнения одинаковы, не равны нулю и не содержат переменных, то их можно сократить (т.е. ими можно пренебречь). Тогда получаем: 11х=44 х=44:11 х=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Имеем линейное уравнение:

Следовательно, начинаем решение с переноса слагаемых (с переменной влево, без переменной – вправо): 3х + 7х= – 5 – 2, не забывая изменять знак у слагаемых, которые переносим. Теперь приводим подобные в каждой части, получаем 10х= –7.

Находим неизвестный множитель делением произведения –7 на известный множитель 10, получаем –0,7.

Запись решения выглядит так:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

источники:

http://mathematics-repetition.com/reshit-uravnenie-kak-nayti-koren-uravneniya/

Задание №9 ОГЭ по математике

Источник

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х — любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — .

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

Источник

Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде (ax+b=0), где (a) и (b) – какие-либо числа.

Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.

Например:	(2x+7=0)	Здесь (a=2, b=7)
	(5=0)	А тут (a=0, b=5) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде (0cdot x+5=0))
	(-7(5-3y)=91)	Здесь (a) и (b) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.
	(frac{x+2}{3})(+x=1-)(frac{3}{4})(x)	Тоже самое, (a) и (b) пока что неизвестны.

Решение линейных уравнений

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения (x+3=5) будет число (2), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст (5=5) – верное равенство.

Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

(x=[число])

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.

Например: прибавим (5) к обеим частям уравнения (6x-5=1)

(6x-5=1) (|+5)
(6x-5+5=1+5)
(6x=6)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

Например: разделим уравнение (-2x=8) на минус два

(-2x=8) (|:(-2))
(x=-4)

Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду (ax=b), и мы делим на (a), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Например: раскроем скобки в уравнении (2(3+x)=4(3x-2)-5)

(6+2x=12x-8-5)

Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.

Пример. Решить линейное уравнение (6(4-x)+x=3-2x)

Решение:

(6(4-x)+x=3-2x)		Раскрываем скобки
(24-6x+x=3-2x)		Приводим подобные слагаемые
(24-5x=3-2x)		Прибавляем (2x) слева и справа
(24-5x+2x=3)		Вычитаем (24) из обеих частей уравнения
(-5x+2x=3-24)		Опять приводим подобные слагаемые
(-3x=-21)		Теперь делим уравнение на (-3), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части.
(x=7)

Ответ: (7)

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

Проверка:
(6(4-7)+7=3-2cdot7)
(6cdot(-3)+7=3-14)
(-18+7=-11)
(-11=-11)

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ответ прост:

Ваша цель – привести уравнение к виду (x=[число]), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения (x+3=13-4x).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от (x=[число])? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

(x+3=13-4x) (|-3)
(x+3-3=13-4x-3)
(x=10-4x)

Хорошо. Теперь что мешает? (4x) справа, ведь там должны быть только числа. (4x) вычитается — убираем прибавлением.

(x=10-4x) (|+4x)
(x+4x=10-4x+4x)

Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.

(5x=10)

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.

(5x=10) (|:5)
(frac{5x}{5})(=)(frac{10}{5})
(x=2)

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.

Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Пример. Решить уравнение (3x-1=2(x+3)+x)

Решение:

(3x-1=2(x+3)+x)		Раскроем скобки
(3x-1=2x+6+x)		Приведем подобные слагаемые
(3x-1=3x+6)		Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки
(3x-3x=6+1)		Опять приведем подобные слагаемые
(0=7)		Ну и при каком иксе ноль станет равен (7)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней.

Ответ: нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили (3x-1=3x+6). Вдумайтесь: как могут быть равны (3x) из которых вычли (1), и (3x) к которым прибавили (6)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.

Пример. Решить линейное уравнение (8(x+2)-4=12x-4(x-3))

Решение:

(8(x+2)-4=12x-4(x-3))		Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки
(8x+16-4=12x-4x+12)		Приводим подобные слагаемые
(8x+12=8x+12)		Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева
(8x-8x=12-12)		И вновь приводим подобные
(0=0)		Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным.

Ответ: любое число.

Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: (8x+12=8x+12). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.

Более сложные линейные уравнения.

Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.

Пример. Найдите корень уравнения (2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15)

Решение:

(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15)		Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим формулы сокращенного умножения
(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15)		Почему результат раскрытия ((x-4)^{2}) стоит в скобке, а результат ((3+x)^{2}) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем.
(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15)		Приводим подобные слагаемые
(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6)		Далее как обычно: «иксы – влево, числа – вправо», не забывая менять знаки.
(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16)		Опять приводим подобные.
(2x=10)		Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. Дорешиваем, деля уравнение на (2), и получаем ответ.

Ответ: (x=5)

Пример. Решить линейное уравнение (frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})

Решение:

(frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})		Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то… Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку
(6cdot)((frac{x+2}{2}) (-) (frac{1}{3})) (=) (frac{9+7x}{6})(cdot 6)		Раскрываем скобку слева
(6cdot)(frac{x+2}{2}) (-) (6cdot)(frac{1}{3}) (=) (frac{9+7x}{6})(cdot 6)		Теперь сокращаем знаменатели
(3(x+2)-2=9+7x)		Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки
(3x+6-2=9+7x)		Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева
(3x-7x=9-6+2)		Приводим подобные слагаемые
(-4x=5)		Ну и поделив на (-4) правую и левую часть, получаем ответ

Ответ: (x=-1,25)

Смотрите также:
Линейная функция

Скачать статью

Источник

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

Запомните!

При переносе из одной части уравнения в другую
член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число «3» из левой части уравнения в правую.

Так как
в левой части уравнения у числа «3»
был знак «+», значит в правую часть уравнения
«3» перенесется со знаком «−».

Полученное числовое значение «x = 2» называют корнем уравнения.

Важно!

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

5x = 4x + 9

По правилу переноса перенесем «4x» из правой
части уравнения в левую, поменяв знак на противоположный.

Несмотря на то, что перед «4x» не стоит никакого знака,
мы понимаем, что перед «4x» стоит знак «+».

5x = 4x + 9
5x = +4x + 9
5x − 4x = 9

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

5x − 4x = 9
x = 9

Ответ: x = 9

Свойство № 2
или
правило деления

Запомните!

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число «4», которое стоит при «x»,
называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент
«1».

Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «4», чтобы
получить
«1»?».
Ответ очевиден, нужно разделить на «4».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на «4».
Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если «x» отрицательное

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при «x» стоит отрицательный коэффициент.
Как, например, в уравнении ниже.

−2x = 10

Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос:
«На что нужно разделить «−2»,
чтобы получить «1»?». Нужно разделить на «−2».

−2x = 10 |:(−2)

=

x = −5

Ответ: x = −5

Примеры решения линейных уравнений

Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно
применять оба свойства (правило переноса и правило деления).

Также требуется вспомнить правило раскрытия скобок и
правило приведения подобных.

25x − 1 = 9
25x = 9 + 1
25x = 10 |: 25

=

x =

Ответ: x =
11(y − 4) + 10(5 − 3y) − 3(4 − 3y) = −6

11y − 44 +
50 −
30y − 12
+ 9y = −6

11y − 30y +
9y −
44 + 50 − 12 = −6

20y − 30y + 6 − 12 = −6
−10y − 6 = −6
−10y = −6 + 6
−10y = 0 |:(−10)
=

y = 0

Ответ: y = 0

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

4 июня 2021 в 18:53

Одинахон Иномова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Одинахон Иномова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Найдите корень уравнения:√39-2х=5

0
Спасибо thanks
Ответить

2 февраля 2022 в 23:15
Ответ для Одинахон Иномова

Лопух-Бурьянович Травкин
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Лопух-Бурьянович Травкин
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

√39-2x = 5
√39-5 = 2x
x = ((√39)-5):2
x = (6.2449979984 — 5):2
x = 1.2449979984: 2
x = 0.62249899919

или по формуле Герона √(a² + b) = a +

√39-2x = 5
√39-5 = 2x
x = ((√39)-5)/2
x = (√(36+3) — 5)/2
x = (√(6²+3) — 5)/2
x = ((6 +

) — 5)/2
x = (6 — 5)/2
x = 1 / 2
x =
x =

0
Спасибо thanks
Ответить

20 апреля 2020 в 19:08

Егор Семенов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Егор Семенов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Найти наименьшее значение выражения: (4х²+6x+9)/3x, при x>0,

0
Спасибо thanks
Ответить

18 августа 2020 в 1:23
Ответ для Егор Семенов

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

f(x) = + + 2 ≥ f(1,5) = 6.

0
Спасибо thanks
Ответить

26 марта 2020 в 16:35

Антон Манукян
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Антон Манукян
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Найдите сумму коэффициентов линейного уравнения с двумя неизвестными 3x-2y-4=0.

0
Спасибо thanks
Ответить

20 мая 2020 в 9:40
Ответ для Антон Манукян

Сергей Глазов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Сергей Глазов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

3-2-4=-3

0
Спасибо thanks
Ответить

21 декабря 2016 в 14:00

Даня Буйновский
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Даня Буйновский
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0,6x+0.42=0 решите пж уравнение

0
Спасибо thanks
Ответить

11 февраля 2017 в 16:25
Ответ для Даня Буйновский

Алексей Карапов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 9

(^-^)
Алексей Карапов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 9

0.6 · ?0.7 +0.42 =0
Так как 0.6 · ?0.7 = ?0.42, а ?0.42 +0.42 =0

0
Спасибо thanks
Ответить

11 сентября 2016 в 23:15

Антон Ершов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Антон Ершов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

?ЗАДАНИЕ: Найдите корень уравнения?
(P.S) Мне нужно полностью всё решение. Заранее — спасибо.

1) 0,9x ? 0,6 (x ? 3) = 2 (0,2x ? 1,3)
2) ? 0,4 (3x ? 1) + 8 (0,8x ? 0,3) = 5 ? (3,8x + 4)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Спасибо! Решено!

0
Спасибо thanks
Ответить

19 сентября 2016 в 14:52
Ответ для Антон Ершов

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

1)0,9x ? 0,6x + 1,8 = 0,4x ? 2,6
0,1x=4,4
x=44
2) ?1,2 +0,4 +6,4x ?2,4 =5 ?3,8x ?4
9x =3
x=

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2015 в 11:06

Макс Простов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Макс Простов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

?2x ? 3y=1
?3x + y=7
Помогите Пожалуйста!)

0
Спасибо thanks
Ответить

5 сентября 2016 в 15:32
Ответ для Макс Простов

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

2 уравнения, 2 неизвестных. Выразим y через x и подставим в первое выражение. Найдя ответ, подставим в полученное значение x.
3x +y=7
y=7 ? 3x
2x ?3(7 ?3x)=1
2x ?21 +9x=1
11x=22
x=2
y=7 ?3 · 2 = 1

Проверка:
2 · 2 ?3 · 1=1
3 · 2 +1=7
Верно
Ответ: x=2, y=1.

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2015 в 10:32

Макс Простов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Макс Простов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

1. 2x? ?7x +3

2. 3x? +5x ?2

0
Спасибо thanks
Ответить

5 сентября 2016 в 15:28
Ответ для Макс Простов

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

1) D=49 ? 4 · 3 · 2 = 25
x₁= = = 3
x₂===0,5
Проверка:
2 · 0,5² ? 7 · 0,5 + 3 = 0
0=0
2 · 3² ? 7 · 3 + 3 = 0
0=0
2) D=25 ?4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49
x₁=
x₂=-2
проверка аналогично.

0
Спасибо thanks
Ответить

13 сентября 2015 в 12:33

Киара Артуровна
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Киара Артуровна
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

2х-1

2х+1=2х+1

2х-1 + 8

1-4х²

0
Спасибо thanks
Ответить

5 сентября 2016 в 13:39
Ответ для Киара Артуровна

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

4x² + 2x ? 1 ? 2x + 1 ? 2x ? 1 + 2x + 1 ? 8 + 1 = 0
4x²? 7 = 0
4x²=7
x²=
x=±?()

0
Спасибо thanks
Ответить

28 апреля 2015 в 13:19

Дарья Баширова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Дарья Баширова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Как решить?
х+3х=9.7*3х embarassed

0
Спасибо thanks
Ответить

16 апреля 2016 в 8:42
Ответ для Дарья Баширова

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

X+3X=9,7 · 3X
4X=29,1X
33,1Х=0
Х=0
Проверка:
0+3 · 0 = 9,7 · 3 · 0
0=0
Ответ: Х=0

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

Алгебра

7 класс

Урок № 43

Решение линейных уравнений с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Линейные уравнения.

• Корень уравнения.

• Решение линейных уравнений.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте вспомним, что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения называют, такое значение переменной, при которой уравнение преобразуется в верное числовое равенство.

А что же означает решить уравнение?

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Давайте попробуем сформулировать теперь, как решать линейные уравнения и подумаем, а какие у нас могут быть случаи?

Решение линейного уравнения – это приведение его путем тождественных преобразований к стандартному виду.

Давайте решим уравнение:

Следовательно, уравнение не имеет корней.

А теперь давайте решим другое уравнение:

Попробуем решить уравнение:

При любом значении переменной, уравнение принимает вид верного равенства:

0 = 0, следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Отсюда можно сделать вывод, что возможные варианты решения уравнения, зависят от того, какие значения принимает свободный член и коэффициент при переменной.

При решении уравнения вида возможны следующие три случая:

Замечательно, а теперь узнаем, можно ли проверить, является число корнем уравнения не решая его?

Да, конечно можно. Для этого нужно подставить в уравнение вместо переменной это число, если после упрощения, мы получаем верное равенство, то данное число будет являться корнем уравнения.

Давайте проверим, так ли это. Узнаем, является ли число

Замечательно. А теперь давайте попробуем порешать линейные уравнения первой степени.

является корнем уравнения.

уравнение к стандартному виду. Слагаемые, зависящие от икс, перенесём в левую часть уравнения, числа – в правую, изменяя их знаки на противоположные.

Разбор заданий тренировочного модуля.

содержащие переменной в правую часть, меняя знак на противоположный;

слагаемые, содержащие переменную в левую часть, не содержащие переменной, в правую часть, меняя знак на противоположный;

Источник

Решение простых линейных уравнений

Понятие уравнения

Какие бывают виды уравнений

Как решать простые уравнения

Примеры линейных уравнений

6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной

Правила и определения

Примеры. Решить уравнение.

Уравнение 1

Уравнение 2

Уравнение 3

Уравнение 4

Уравнения для самостоятельного решения

Важные выводы

Задание №9 ОГЭ по математике

Теория к заданию №9

Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде (ax+b=0), где (a) и (b) – какие-либо числа.

Решение линейных уравнений

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду (x=[число]) Это число и будет корнем.

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.

Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.

Более сложные линейные уравнения.

Свойство № 1или правило переноса

Свойство № 2 или правило деления

Как решить уравнение, если «x» отрицательное

Примеры решения линейных уравнений

Ваши комментарии

Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

(x=[число])

Это число и будет корнем.

Свойство № 1
или
правило переноса

Свойство № 2
или
правило деления