Как найти 2пи на окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac<π><2>), (-frac<π><2>), (frac<3π><2>)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac<π><2>) . (frac<π><2>) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-) (frac<π><2>) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac<3π><2>) . Для этого дробь (frac<3><2>) переведем в смешанный вид (frac<3><2>) (=1) (frac<1><2>) , т.е. (frac<3π><2>) (=π+) (frac<π><2>) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac<3π><2>) .

Обозначаем числа (frac<π><4>), (frac<π><3>), (frac<π><6>)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac<π><4>) , (frac<π><3>) и (frac<π><6>) .
(frac<π><4>) – это половина от (frac<π><2>) (то есть, (frac<π><4>) (=) (frac<π><2>) (:2)) , поэтому расстояние (frac<π><4>) – это половина четверти окружности.

(frac<π><4>) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac<π><3>) (=π:3)), поэтому расстояние (frac<π><3>) – это треть от полукруга.

(frac<π><6>) – это половина (frac<π><3>) (ведь (frac<π><6>) (=) (frac<π><3>) (:2)) поэтому расстояние (frac<π><6>) – это половина от расстояния (frac<π><3>) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac<π><2>) ,(π), (frac<3π><2>) , (frac<π><4>) , (frac<π><3>) , (frac<π><6>) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа (frac<7π><6>), (-frac<4π><3>), (frac<7π><4>)

Обозначим на окружности точку (frac<7π><6>) , для этого выполним следующие преобразования: (frac<7π><6>) (=) (frac<6π + π><6>) (=) (frac<6π><6>) (+) (frac<π><6>) (=π+) (frac<π><6>) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac<π><6>) .

Отметим на окружности точку (-) (frac<4π><3>) . Преобразовываем: (-) (frac<4π><3>) (=-) (frac<3π><3>) (-) (frac<π><3>) (=-π-) (frac<π><3>) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac<π><3>) .

Нанесем точку (frac<7π><4>) , для этого преобразуем (frac<7π><4>) (=) (frac<8π-π><4>) (=) (frac<8π><4>) (-) (frac<π><4>) (=2π-) (frac<π><4>) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac<7π><4>) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac<π><4>) .

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac<7π><2>) ,(frac<16π><3>), (-frac<21π><2>), (-frac<29π><6>)

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac<7π><2>) . Как обычно, преобразовываем: (frac<7π><2>) (=) (frac<6π><2>) (+) (frac<π><2>) (=3π+) (frac<π><2>) (=2π+π+) (frac<π><2>) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac<7π><2>) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac<π><2>) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac<16π><3>) . Вновь преобразования: (frac<16π><3>) (=) (frac<15π + π><3>) (=) (frac<15π><3>) (+) (frac<π><3>) (=5π+) (frac<π><3>) (=4π+π+) (frac<π><3>) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac<π><3>) – и мы найдем место точки (frac<16π><3>) .

Нанесем на окружность число (-) (frac<21π><2>) .
(-) (frac<21π><2>) (= -) (frac<20π><2>) (-) (frac<π><2>) (=-10π-) (frac<π><2>) . Значит, место (-) (frac<21π><2>) совпадает с местом числа (-) (frac<π><2>) .

Обозначим (-) (frac<29π><6>) .
(-) (frac<29π><6>) (=-) (frac<30π><6>) (+) (frac<π><6>) (=-5π+) (frac<π><6>) (=-4π-π+) (frac<π><6>) . Для обозначение (-) (frac<29π><6>) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac<π><6>) .

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac<4>=frac<2pi r><4>=frac<pi r><2>.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac>=frac<pi r><2cdot r>=frac<pi> <2>$$

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
(frac<pi><6>)	(frac<pi><4>)	(frac<pi><3>)	(frac<pi><2>)	(frac<2pi><3>)	(frac<3pi><4>)	(frac<5pi><6>)	(pi)	(frac<3pi><2>)	(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
⌒ AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<pi><4>, frac<pi><2>, frac<2pi><3>, pi), а также (-frac<pi><6>, -frac<pi><4>, -frac<pi><2>, -frac<2pi><3>, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<13pi><6>, frac<25pi><6>), и (-frac<11pi><6>).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac<pi><6>right)=Mleft(frac<pi><6>+2pi kright)\ frac<pi><6>-2pi=-frac<11pi><6>\ frac<pi><6>+2pi=frac<13pi><6>\ frac<pi><6>+4pi=frac<25pi> <6>end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac<pi> <6>lt t lt frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi klt tltfrac<pi><3>+2pi k $$
Интервал
$$ -frac<pi> <6>leq t leq frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tleqfrac<pi><3>+2pi k $$
Полуинтервал
$$ -frac<pi> <6>leq t ltfrac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tltfrac<pi><3>+2pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^<circ>=frac<pi><6>.\ EC=60^<circ>=frac<pi><3>.\ AE=EC+CD=90^<circ>+30^<circ>=120^<circ>=frac<2pi><3>.\ ED=EC+CD=60^<circ>+90^<circ>=150^<circ>=frac<5pi><6>. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<pi><2>; frac<3pi><4>; frac<7pi><6>; frac<7pi><4>).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac<pi><2>=-90^<circ>, frac<3pi><4>=135^<circ>\ frac<7pi><6>=210^<circ>, frac<7pi><4>=315^ <circ>end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<11pi><2>; 5pi; frac<17pi><6>; frac<27pi><4>).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac<11pi><2>=frac<-12+1><2>cdotpi=-6pi+frac<pi><2>rightarrow frac<pi><2>=90^<circ>\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^<circ>\ frac<17pi><6>=frac<18-1><6>pi=3pi-frac<pi><6>rightarrow pi-frac<pi><6>=frac<5pi><6>\ frac<27pi><4>=frac<28-1><4>pi=7pi-frac<pi><4>rightarrow pi-frac<pi><4>=frac<3pi> <4>end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac<3,14><2>=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac<3pi><2>approx frac<3cdot 3,14><2>=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac<3pi> <2>Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac<3pi><2>lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/edinichnaya-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoj-ploskosti/

Источник

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac{π}{2}), (-frac{π}{2}), (frac{3π}{2})

Отметим точку (frac{π}{2}). (frac{π}{2}) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-)(frac{π}{2}). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac{3π}{2}). Для этого дробь (frac{3}{2}) переведем в смешанный вид (frac{3}{2})(=1)(frac{1}{2}), т.е. (frac{3π}{2})(=π+)(frac{π}{2}). Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-)(frac{3π}{2}).

Обозначаем числа (frac{π}{4}), (frac{π}{3}), (frac{π}{6})

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac{π}{4}), (frac{π}{3}) и (frac{π}{6}).
(frac{π}{4}) – это половина от (frac{π}{2}) (то есть, (frac{π}{4}) (=)(frac{π}{2})(:2)) , поэтому расстояние (frac{π}{4}) – это половина четверти окружности.

(frac{π}{4}) – это треть от (π) (иначе говоря,(frac{π}{3})(=π:3)), поэтому расстояние (frac{π}{3}) – это треть от полукруга.

(frac{π}{6}) – это половина (frac{π}{3}) (ведь (frac{π}{6})(=)(frac{π}{3})(:2)) поэтому расстояние (frac{π}{6}) – это половина от расстояния (frac{π}{3}).

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac{π}{2}),(π), (frac{3π}{2}), (frac{π}{4}), (frac{π}{3}), (frac{π}{6}) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа (frac{7π}{6}), (-frac{4π}{3}), (frac{7π}{4})

Обозначим на окружности точку (frac{7π}{6}), для этого выполним следующие преобразования: (frac{7π}{6})(=)(frac{6π + π}{6})(=)(frac{6π}{6})(+)(frac{π}{6})(=π+)(frac{π}{6}). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac{π}{6}).

Отметим на окружности точку (-)(frac{4π}{3}). Преобразовываем: (-)(frac{4π}{3})(=-)(frac{3π}{3})(-)(frac{π}{3})(=-π-)(frac{π}{3}). Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac{π}{3}).

Нанесем точку (frac{7π}{4}), для этого преобразуем (frac{7π}{4})(=)(frac{8π-π}{4})(=)(frac{8π}{4})(-)(frac{π}{4})(=2π-)(frac{π}{4}). Значит, чтобы поставить точку со значением (frac{7π}{4}), надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac{π}{4}).

Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки (-)(frac{π}{6}),(-)(frac{π}{4}),(-)(frac{π}{3}),(frac{5π}{4}),(-)(frac{7π}{6}),(frac{11π}{6}), (frac{2π}{3}),(-)(frac{3π}{4}).

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac{7π}{2}) ,(frac{16π}{3}), (-frac{21π}{2}), (-frac{29π}{6})

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

Еще один вывод:

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac{7π}{2}). Как обычно, преобразовываем: (frac{7π}{2})(=)(frac{6π}{2})(+)(frac{π}{2})(=3π+)(frac{π}{2})(=2π+π+)(frac{π}{2}). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac{7π}{2}) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+)(frac{π}{2}) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac{16π}{3}). Вновь преобразования: (frac{16π}{3})(=)(frac{15π + π}{3})(=)(frac{15π}{3})(+)(frac{π}{3})(=5π+)(frac{π}{3})(=4π+π+)(frac{π}{3}). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+)(frac{π}{3}) – и мы найдем место точки (frac{16π}{3}).

Нанесем на окружность число (-)(frac{21π}{2}).
(-)(frac{21π}{2})(= -)(frac{20π}{2})(-)(frac{π}{2})(=-10π-)(frac{π}{2}). Значит, место (-)(frac{21π}{2}) совпадает с местом числа (-)(frac{π}{2}).

Обозначим (-)(frac{29π}{6}).
(-)(frac{29π}{6})(=-)(frac{30π}{6})(+)(frac{π}{6})(=-5π+)(frac{π}{6})(=-4π-π+)(frac{π}{6}). Для обозначение (-)(frac{29π}{6}), на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac{π}{6}).

Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки (-8π),(-7π), (frac{11π}{4}),(-)(frac{7π}{3}),(frac{17π}{6}),(-)(frac{20π}{3}),(-)(frac{11π}{2}).

Скачать статью

Источник

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

koordinaty na trigonometricheskoj okruzhnosti

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

chetverti (chasti) trigonometricheskoj okruzhnosti

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

( displaystyle angle text{AOB}=angle text{BOC}=angle text{COD}=angle text{DOA}=90{}^circ )

Тогда чему равна их сумма?

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

( displaystyle angle Atext{OC}=angle text{AOB}+angle text{BOC}=180{}^circ )

Что еще можно вытянуть? А вот что:

( displaystyle angle Atext{OD}=angle text{AOB}+angle text{BOC}+angle text{COD}=270{}^circ )

Отметим эти значения также на нашей окружности:

gradusnaya mera trigonometricheskoj okruzhnosti

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

gradusnaya mera trigonometricheskoj okruzhnosti cherez radiany i chislo pi

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

Через градусы
Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

( displaystyle 180{}^circ =pi ~рад.)

И все, больше знать ничего не надо!

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы;
Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы;
Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

treugolnik na trigonometricheskoj okruzhnosti

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

( y=sin alpha )
( x=cos alpha )

sinus i kosinus na trigonometricheskoj okruzhnosti

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла;
Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

( sin 30{}^circ =0,5)

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1) или, что то же самое,

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот.

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

( frac{1}{4}+co{{s}^{2}}30{}^circ =1)

( displaystyle co{{s}^{2}}30{}^circ =frac{3}{4})

( displaystyle cos 30{}^circ =pm sqrt{frac{3}{4}}=pm frac{sqrt{3}}{2})

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60{}^circ ) и ( displaystyle 45{}^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60{}^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60{}^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30{}^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

( displaystyle sin 30{}^circ =cos 60{}^circ )

( displaystyle sin 60{}^circ =cos 30{}^circ )

Тогда так как ( displaystyle sin 30{}^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60{}^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}), то и ( displaystyle sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ +co{{s}^{2}}45{}^circ =2si{{n}^{2}}45{}^circ =1)

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ =co{{s}^{2}}45{}^circ =1/2)

Откуда: ( displaystyle sin 45{}^circ =cos 45{}^circ =sqrt{1/2}=frac{sqrt{2}}{2})

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0{}^circ =0), ( displaystyle cos 0{}^circ =1), ( displaystyle sin 90{}^circ =1), ( displaystyle cos 90{}^circ =0).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle text{t}g alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }), ( displaystyle ctg alpha =frac{cos alpha }{sin alpha })

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

tablitsa znachenij trigonometricheskih funktsij

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

( displaystyle ctg 0=frac{cos 0}{sin 0}=frac{1}{0}=?????)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

ugol na trigonometricheskoj okruzhnosti 1

…вот такой:

ugol na trigonometricheskoj okruzhnosti 2

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

trigonometricheskaya okruzhnost znaki raznyh chetvertej

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

trigonometricheskaya okruzhnost ugly bolshe 360 gradusov

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

trigonometriya otritsatelnye ugly okruzhnost

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

trigonometricheskaya okruzhnost otritsatelnye ugly cherez polozhitelnye

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

trigonometricheskaya okruzhnost otritsatelnye ugly

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

trigonometricheskaya okruzhnost polozhitelnye i otritsatelnye ugly

В целом правило можно сформулировать вот так:

Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

sinus ot otritsatelnogo kosinus ot otritsatelnogo na okruzhnosti

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}),

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Тогда если ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }=text{x}),

то и ( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{x})

( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{cos} text{ }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{tg }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{ctg} text{ }!!alpha!!text{ })

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

bolshaya tablitsa trigonometriya znacheniya

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

( displaystyle sinleft( -x right)=-sin x)
( displaystyle tgleft( -x right)=-tgleft( x right))
( displaystyle cosleft( -x right)=cosleft( x right))

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Например:

( displaystyle sinleft( -855{}^circ right)=-sin855{}^circ),

( displaystyle cosleft( -855{}^circ right)=cos855{}^circ).

Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: ( displaystyle 2pi k) (по ( displaystyle 360) градусов), а для тангенса – ( displaystyle pi k) (( displaystyle 180) градусов).

Например:

( displaystyle sin 855{}^circ =sinleft( 2cdot 360{}^circ +135{}^circ right)=sin 135{}^circ )( displaystyle tg 225{}^circ =tgleft( 180{}^circ +45{}^circ right)=tg 45{}^circ )

Если оставшийся «уголок» меньше ( displaystyle 90) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

…так, чтобы оставшийся угол ( displaystyle beta ) был больше нуля и меньше ( displaystyle 90) градусов.

Например:

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла.

Если же ты выбрал запись через ( displaystyle 90) или ( displaystyle 270) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Источник

Продолжение (начало здесь)

Перевод радиан в градусы и градусы в радианы

На тригонометрическом круге помимо углов в градусах мы наблюдаем радианы.

Подробнее про радианы:+ показать

радиан – это $180^{circ}.$

Так вот, например,

$frac{pi}{3}=frac{180^{circ}}{3}=60^{circ}$ ,

$frac{11pi}{6}=frac{11cdot 180^{circ}}{6}=330^{circ}$ .

Так, мы научились переводить радианы в углы.

Теперь наоборот, давайте переводить градусы в радианы.

Допустим, нам надо перевести $80^{circ}$ в радианы. Нам поможет пропорция. Поступаем следующим образом:

Так как, $180^{circ}=pi$ радиан, то заполним таблицу:

Откуда

$x=frac{80^{circ}cdot pi}{180^{circ}}=frac{4pi}{9}.$

Итак,

$80^{circ}=frac{4pi}{9}.$

Тренируемся находить значения синуса и косинуса по кругу

Давайте еще уточним следующее.

Ну хорошо, если нас просят вычислить, скажем, $sin 30^{circ}$ , – здесь обычно путаницы не возникает – все начинают первым делом искать $30^{circ}$ на круге.

А если просят вычислить, например, … Многие, вдруг, начинают не понимают где искать этот ноль… Частенько ищут его в начале координат. Почему?

1) Давайте договоримся раз и навсегда! То, что стоит после или – это аргумент=угол, а углы у нас располагаются на окружности, не ищите их на осяx! (Просто отдельные точки попадают и на окружность, и на ось…) А сами значения синусов и косинусов – ищем на осях!

2) И еще! Если мы от точки «старт» отправляемся против часовой стрелки (основное направление обхода тригонометрического круга), то мы откладываем положительные значения углов, значения углов растут при движении в этом направлении.

Если же мы от точки «старт» отправляемся по часовой стрелке, то мы откладываем отрицательные значения углов.

Пример 1. Найти значение $sin 0^{circ}$ .

Решение: + показать

Пример 2. Найти значение $sin 270^{circ}$ .

Решение: + показать

Заметим, + показать

Пример 3. Найти значение $sin (-frac{7pi}{6})$ .

Решение: + показать

Пример 4. Найти значение $cos frac{5pi}{4}$ .

Решение: + показать

Пример 5. Найти значение $cos (-frac{25pi}{6})$ .

Решение: + показать

Пример 6. Найти значение $cos (-1500^{circ})$ .

Решение: + показать

Тригонометрический круг – у вас в руках

Вы же уже поняли, что главное – запомнить значения тригонометрических функций первой четверти. В остальных четвертях все аналогично, нужно лишь следить за знаками. А «цепочку-лесенку» значений тригонометрических функций, вы, надеюсь уже не забудете.

Как находить значения тангенса и котангенса основных углов смотрите здесь

Unknown После чего, познакомившись с основными значениями тангенса и котангенса, вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов различных углов»

Ссылочка на пустой шаблон круга. Тренируйтесь!

Источник

Загрузить PDF

Пи (π) — одно из самых важных и интригующих чисел в математике. Эта константа, примерно равная 3,14, используется для вычисления длины окружности с учетом ее радиуса.^[1] Это также иррациональное число, то есть оно может быть вычислено до бесконечного числа знаков после запятой.^[2] Это не так-то просто сделать, но все-таки возможно.

1

Убедитесь, что вы используете идеальный круг. Этот метод не работает с эллипсами, овалами и чем-либо иным, этот метод подходит только для идеальной окружности. Окружность определяется как совокупность всех точек на плоскости, которые лежат на одинаковом расстоянии от одной центральной точки. Крышка банки — идеальный предмет для этого метода. Если вы хотите сделать наиболее точные вычисления, используйте карандаш с очень тонким грифелем.
2
Измерьте длину окружности настолько точно, насколько это возможно. Это нелегкая задача (вот почему Пи так важно).
- Оберните нитку вокруг крышки как можно плотнее. Отметьте точку совпадения начала и конца, а затем измерьте длину нитки с помощью линейки.
3

Измерьте диаметр окружности. Диаметр — длина отрезка, проходящего через центр окружности и любые две точки, лежащие на окружности.
4

Используйте формулу. Длина окружности вычисляется по формуле C= π*d = 2*π*r. Таким образом, Пи равно длине окружности, деленной на ее диаметр. Посчитайте Пи (с вашими значениями) на калькуляторе. Результат должен быть примерно равен 3,14.^[3]
5

Чтобы уточнить расчеты, повторите эту процедуру с несколькими различными окружностями, а затем усредните результаты. Ваши измерения не будут совершенными для одной взятой окружности, но с учетом нескольких окружностей, они должны усредниться до точного значения Пи.

Реклама

1
Используйте ряд Лейбница. Математики нашли несколько различных бесконечных рядов, которые позволяют точно вычислить Пи до большого количества знаков после запятой. Некоторые из них настолько сложны, что требуются суперкомпьютеры для обработки. Однако одним из простейших рядов является ряд Лейбница. Хотя он и не самый эффективный, с каждой итерацией он будет давать более точное значение Пи; после 500 000 итераций ряд Лейбница даст точное значение Пи с десятью знаками после запятой.^[4] Here is the formula to apply.
- π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …
- Возьмите 4/1 и вычтите 4/3. Затем прибавьте 4/5. Затем вычтите 4/7. Продолжайте, чередуя сложение и вычитание дробей с 4 в числителе и каждым последующим нечетным числом в знаменателе. Чем больше раз вы это сделаете, тем более точное значение Пи вы получите.
2
Попробуйте ряд Нилаканта. Это еще один бесконечный ряд для вычисления Пи, который довольно легко понять. Этот ряд более сложный, чем ряд Лейбница, но он дает точное значение Пи гораздо быстрее.^[5]
- π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) …
- Для этого ряда запишите число 3 и чередуйте сложение и вычитание дробей с числом 4 в числителе и произведением трех последовательных целых чисел, которые увеличиваются с каждой новой итерацией, в знаменателе. Каждое последующее произведение начинается с наибольшего числа, используемого в предыдущем произведении. Проделайте это всего несколько раз и вы получите довольно точное значение Пи.
Реклама

1
Проведите эксперимент. Оказывается, Пи можно найти, проведя интересный эксперимент под названием метод иглы Буффона,^[6] который стремится определить вероятность того, что случайно брошенные иглы приземлятся либо между нарисованными равноудаленными параллельными прямыми, либо пересекут ровно одну прямую. Если расстояние между прямыми равно длине иглы, то отношение числа бросков, когда игла пересекает прямую, к общему числу бросков стремится к 2/Пи. Также можете попробовать провести эксперимент с хот-догами (перейдите по ссылке в начале шага).
- Ученые и математики не могут определить точный способ вычисления Пи, так как они не могут найти настолько тонкий предмет, чтобы вычисления были точными.^[7]

1

Сначала выберите большое число. Чем больше это число, тем точнее будет результат.
2

Затем подставьте это число (обозначим его х) в формулу для расчета Пи: x * sin(180 / x)’. Чтобы этот метод сработал, калькулятор нужно включить в режиме «Градусы». Мы говорим, что в этом методе используется предел, так как результат ограничен числом Пи (то есть значение Пи является предельно возможным). Чем больше значение х, тем точнее вы рассчитаете Пи.

Реклама

1

Выберите любое число от -1 до 1. Функция y=arcsin(x) не имеет таких значений x, больших 1 и меньших -1, которым можно было бы сопоставить хоть какое-нибудь значение y (неважно — бесконечное или нет). Это означает, что функция y=arcsin(x) определена только на интервале от x=-1 до x=1 включительно и не определена при любых других x.
2
Подставьте свое число в следующую формулу и вы сможете вычислить число Пи.
- Пи = 2 * (Arcsin (SQRT (1 — х ^ 2))) + ABS (Arcsin (х)).
  - Значение арксинуса будет представлено в радианах.
  - Sqrt — это квадратный корень.
  - Abs — это абсолютное значение числа
  - х ^ 2 — в данном случае это х в квадрате.
Реклама

Советы

Расчет Пи — увлекательное и интересное занятие, но вычисление многих знаков после запятой не имеет большого смысла. Астрофизики утверждают, что значения Пи с 39 знаками после запятой достаточно для космологических расчетов, которые проводятся с точностью до размеров атома.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 241 428 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник