Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
Калькулятор n-го члена и суммы n членов:
Арифметическая прогрессия
Первый член прогрессии а1
Показать все члены прогрессии
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма арифметической прогрессии Sn
Для того, чтобы найти какой — либо член арифметической прогрессии, надо воспользоваться формулой аn = a1 + d * (n — 1); Т.к нам нужно найти 10-ый член арифметической прогрессии, то подставим 10 в формулу (значение n);
а1 = -31, d = 7 (по условию);
a10 = -31 + 7 * (10 — 1);
a10 = -31 + 7 * 9;
a10 = -31+ 63;
a10 = 32;
Ответ: 32.
Определение
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.
-ый элемент арифметической прогрессии
Чтобы найти -ый элемент, нужно к элементу прибавить разность арифметической прогрессии.
где — разность арифметической прогрессии, — -ый элемент арифметической прогрессии.
Выразим -ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.
Получаем, что
Пример 1. Найти -ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен , а разность .
Решение.
Ответ: .
Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен , а -ый — -ти.
Решение.
Вычтем из второго уравнения первое:
Ответ: .
Сумма арифметической прогрессии
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:
Докажем первую формулу.
Сложим почленно два последних равенства.
Получаем,
Так как, то
Следовательно,
Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.
Решение.
Ответ: .
Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен , а разность арифметической прогрессии равна . Найдите сумму первых элементов данной арифметической прогрессии.
Решение.
Ответ: .
Пример 5. Арине надо решить задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила задач, а в последний она запланировала решить задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.
Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
По условии задачи: Надо найти
Ответ:
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Доказательство основывается на том, что
Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
Найдите .
Решение.
Ответ: .
Арифметическая прогрессия — это некая последовательность чисел, каждый следующий член которой отличается от предыдущего на одно и то же число d, называемое шаг прогрессии или разность прогрессии. Калькулятор арифметической прогрессии, используя следующие формулы, может найти первый член арифметической прогрессии , n-ный член прогрессии, найти сумму первых членов или разность.
Арифметическая прогрессия как последовательность, составленная из действительных чисел, связывает их между собой заданной закономерностью ряда. Как правило, числовой ряд начинается с того, что дан первый член арифметической прогрессии, как отправная точка. Далее каждый следующий член прогрессии получается путем прибавления к предыдущему одного и того же параметра, называемого разность арифметической прогрессии или шаг арифметической прогрессии. Если разность является положительным числом, то вся последовательность будет стремиться к плюс бесконечности, так как значения членов будут увеличиваться по мере возрастания их порядковых номеров.
Если разность арифметической прогрессии представлена отрицательным числом, каждый следующий член будет меньше предыдущего и вся последовательность будет стремиться к минус бесконечности. В некоторых случаях предел арифметической прогрессии будет конкретным числом. Это происходит, если шаг прогрессии (разность) равен нулю, тогда первый член арифметической прогрессии совпадает со всеми остальными.
Формулы арифметической прогрессии включают в себя следующие равенства:
• формула первого члена арифметической прогрессии;
• формула n-ного члена прогрессии;
• формула разности арифметической прогрессии;
• формула суммы первых членов арифметической прогрессии или суммы определенной выборки членов.
По всем формулам онлайн калькулятор рассчитывает необходимые значения, используя условия, по которым дана арифметическая прогрессия. Числа, выстроенные в симметричной последовательности, дают возможность вычислить любой член или сумму прогрессии, опираясь всего на два или три параметра в зависимости от уровня сложности задания.
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.