Как найти а11 а 12 а13

МАТРИЦЫ а 11 а 12 а 13 … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n An n = (aij) = a 31 a 32 a 33 … a 3 n … … … столбцы … … an 1 an 2 an 3 … ann а 11 а 12 а 13 … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n An n = (aij) = a 31 a 32 a 33 … a 3 n … … … an 1 an 2 an 3 … ann строки

а 11 а 12 а 13 … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n An n = (aij) = a 31 a 32 a 33 … a 3 n … … … блоки … … an 1 an 2 an 3 … ann а 11 а 12 а 13 … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n An n = (aij) = a 31 a 32 a 33 … a 3 n … … … an 1 an 2 an 3 … ann диагональ

Характеристики матриц 1. След Sp = a 11 + a 22 + … + ann = aii 2. Определитель (детерминант) Метод разложения по элементам строки (столбца) 1) выбрать в матрице некоторую строку (обычно выбирается та строка, которая содержит наибольшее количество нулей); 2) записать первый элемент выбранной строки и умножить его на вспомогательную матрицу (минор), которая получается из исходной посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выписанный элемент;

а 11 а 12 а 13 … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n An n = (aij) = a 31 a 32 a 33 … a 3 n … … … an 1 an 2 an 3 … ann а 11 а 12 а 13 … a 1 n a 22 a 23 … a 2 n a 21 a 22 a 23 … a 2 n Det A = a 31 a 32 a 33 … a 3 n … … … an 1 an 2 an 3 … ann = a 11 a 32 a 33 … a 3 n … … +… an 2 an 3 … ann 3) выполнить описанный выше прием для всех элементов выделенной строки;

a 21 a 23 … a 2 n + a 12 a 21 a 22 … a 2 n– 1 a 33 … a 3 n a 31 a 32 … a 3 n– 1 … … an 1 an 3 … ann + … + a 1 n … … an 1 an 2 … ann– 1 4) каждое произведение дополнительно умножить на (– 1)i+j, где i и j — индексы элемента выделенной строки. В итоге большой определитель представляется в виде линейной комбинации определителей, размерность которых на 1 меньше, чем у исходного.

5) применить описанную процедуру ко всем определителям с размерностью (n – 1), в результате чего каждый из них превратится в линейную комбинацию определителей размерностью (n – 2). Систематически повторяя процедуру, мы, в конце концов, придем к длинной линейной комбинации определителей с размерностью 1, т. е. обычных чисел. Для завершения процедуры нужно выполнить все перемножения, сложения и вычитания, что даст в итоге единственное число — определитель матрицы А.

Пример Det A = – 48 Det A = = 2 (5 5 – 7 1) – 4 (3 5 – 7 4) + 8 (3 1 – 5 4) = 2 (25 – 7) – 4 (15 – 28) + 8 (3 – 20) = = 2 (18) – 4 (– 13) + 8 (– 17) = 36 + 52 – 136 = – 48 3. Перманент (плюс-определитель) Метод вычисления тот же самый, что и для определителя, но вместо дополнительного множителя (– 1)i+j используется множитель (+1)i+j

Пример Per A = 420 Per A = = 2 (5 5 + 7 1) + 4 (3 5 + 7 4) + 8 (3 1 + 5 4) = 2 (25 + 7) + 4 (15 + 28) + 8 (3 + 20) = = 2 (32) + 4 (43) + 8 (23) = 64 + 172 + 184 = 420 Алгебраическое дополнение Aij = минор (aij) (– 1)i + j Det A = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + … + ain Ain

Операции над матрицами 1. Сложение матриц А + В = С Аij + Вij = Сij 2. Умножение матрицы на число А = D Аij = Dij 3. Линейные комбинации А + В + С + … = F Аij + Вij + Сij + … = Fij

4. Скалярное умножение матриц А • В = С. . . Аi 1 Ai 2 . . Ain . . B 1 j. . • . . . B 2 j. . . . . Cij. . . Bnj. . . = n Cij = Ai 1 B 1 i + Ai 2 B 2 i + … + Ain Bni = (Aij Bji) j =1 A • B = B • A Коммутирующие матрицы A • B ≠ B • A Некоммутирующие матрицы

Примеры 1 2 3 4 5 • 1 2 3 4 5 6 7 8 + • • 5 6 7 8 1 2 3 4 = = 6 8 10 12 5 10 15 20 19 22 43 50 23 34 31 46 Матрицы не коммутируют

Типология матриц Единичная матрица, Е 1 0 0 … 0 1 0 … 0 0 1 … …………… А • Е = Е • А = А Взаимно обратные матрицы В • В– 1 = В– 1 • В = Е Элемент обратной матрицы (Вij)– 1 = Aji Det В Алгебраическое дополнение элемента Вji Если матрица В «особенная» (Det В = 0), то обратной ей матрицы не существует Алгебраическое дополнение Aij = минор (aij) (– 1)i + j

Пример В = А 11 = +4 1 2 3 4 Det B = – 2 В– 1 1 = (В 11)– 1 = +4/– 2 = – 2 А 12 = – 3 (В 12)– 1 = – 2/– 2 = +1 А 21 = – 2 (В 21)– 1 = – 3/– 2 = +1, 5 А 22 = +1 (В 22)– 1 = +1/– 2 = – 0, 5 А 11 А 21 4 – 2 1 = – 2 А 12 А 22 – 3 1 Проверка: В • В– 1 = Е 1 2 3 4 • – 2 1 1, 5 – 0, 5 = 1 0 0 1 = – 2 1 1, 5 – 0, 5

Взаимно транспонированные матрицы В = 1 2 3 4 1 3 В = 2 4 Т Симметричные матрицы В = В Т Ортогонгальные матрицы В– 1 = В Т В = В– 1 = cos φ – sin φ cos φ sin φ – sin φ cos φ

Комплексно сопряженные матрицы В = 1+i 2–i 3 – 2 i 4 В* = 1–i 2+i 3 + 2 i 4 Эрмитово сопряженные матрицы В = 1+i 2–i 3 – 2 i 4 + В = 1 – i 3 + 2 i 2+i 4 Самосопряженные (эрмитовы) матрицы В = В + Аналоги симметричных матриц Унитарные матрицы В– 1 = В + Аналоги ортогональных матриц

Линейные операторы F 11 F 12. . . F 1 n x 1 y 1 F 22. . . F 2 n x 2 y 2 . . . Fn 1 Fn 2. . . Fnn • . xn F (X) = Y = . yn F ( X) = F (X) F (X + Y) = F (X) + F (Y) ОПЕРАТОР, трансформирующий исходный вектор X в конечный вектор Y ВЕКТОРЫ, принадлежащие к одному ВП Условия линейности

Преобразование векторов-строк F 11 F 12. . . F 1 n ( x 1 x 2 … xn ) • F 21 F 22. . . F 2 n. . . = ( y 1 y 2 … yn ) Fn 1 Fn 2. . . Fnn F (X) = Y «столбец столбец» (X)F = Y «строка строка»

1. Любая квадратная матрица может выступать в роли оператора 2. Любой оператор может быть изображен в виде квадратной матрицы Единичный оператор 1 0 0 x 0 1 0 • y 0 0 1 z Оператор растяжения 2 0 0 x 0 2 0 • y 0 0 2 z Оператор проектирования на ось Z 0 0 0 x 0 0 0 • y 0 0 1 z = x y z = 2 x 2 y 2 z = 0 0 z

Матричные представления операций симметрии Единичная операция E x y z Е x y z 1 0 0 x 0 1 0 • y 0 0 1 z = x y z = –x –y –z Инверсия E x y z i –x –y –z – 1 0 0 x 0 – 1 0 • y 0 0 – 1 z

Отражения x y z x y –z 0 0 x 1 0 • y 0 – 1 z x y –z σXY 1 0 0 = σXZ 1 0 0 – 1 0 0 +Z X (Y) –Z σYZ 0 x 0 • y 1 z = x –y z – 1 0 0 0 x 0 • y 1 z = –x y z

Отражения x y z σX+Y, Z 0 1 0 Y 1 0 0 1 y x z x • y z Y’ Y X’ y x z = X X Y Y X’ σX–Y, Z 0 – 1 0 x – 1 0 0 • y 0 0 1 z X = –y –x z Y’ X

Y Повороты С 2 Z Y – 1 0 0 0 – 1 0 • 0 0 1 x y z = –y –x z X’ X Y’ С 4 Z Y 0 – 1 0 x 1 0 0 • y 0 0 1 z = –y x z cos φ – sin φ Сφ Z = X 0 sin φ cos φ 0 0 0 1 Y’ Y X’ X Поворот на произвольный угол φ X

Группа С 2 v E C 2 Z 1 0 0 0 1 – 1 0 0 σXZ 0 0 1 σYZ 1 0 0 – 1 0 0 1 – 1 0 0 0 0 1 Матричное представление группы С 2 v σXZ • σYZ 1 0 0 – 1 0 0 = C 2 Z 0 0 1 • – 1 0 0 = – 1 0 0 0 0 1

Домашнее задание Задача 3. 1. Установить, коммутируют ли между собой заданные операции симметрии, найти коммутатор. 1) найти матричные представления операций 2) найти произведения: F 1 3) найти коммутатор: • F 2 и F 1 и F 2; F 2 • F 1; С = F 1 • F 2 – F 2 • F 1

Инвариантные подпространства Векторы инвариантных подпространств преобразуются оператором только друг в друга, оставаясь внутри подпространства. Z C 2 Z ХY 1 -мерное инвариантное подпространство (любой вектор, лежащий на оси Z, при действии оператора останется лежащим на этой оси) XY Z Трехмерное пространство XYZ — прямая сумма двумерного подпространства XY и одномерного подпространства Z 2 -мерное инвариантное подпространство (любой вектор, лежащий в плоскости XY, при действии оператора останется лежащим в этой плоскости)

σXZ σYZ Z Z X Z Y Y X YZ X XZ Y X YZ

Спектральные свойства операторов F (X) = Y Уравнение на собственные значения Собственное значение Y F (А) = А X Спектр оператора Собственный вектор (инвариантное подпространство) 1 2 3 … n A 1 A 2 A 3 … A n n — размерность пространства

F (А) = А F 11 F 12. . . F 1 n a 1 F 21 F 22. . . F 2 n a 2 . . . • . Fn 1 Fn 2. . . = . Fnn . . an an F 11 а 1 + F 12 а 2 +. . . + F 1 n аn = a 1 F 21 а 1 + F 22 а 2 +. . . + F 2 n аn = a 2. . . Fn 1 а 1 + Fn 2 а 2 +. . . + Fnn аn = an

(F 11 – ) а 1 + F 12 а 2 +. . . + F 1 n аn = 0 F 21 а 1 + (F 22 – ) а 2 +. . . + F 2 n аn = 0. . . Fn 1 а 1 + Fn 2 а 2 +. . . + (Fnn – ) аn = 0 Однородная система линейных уравнений Условие разрешимости: Det = 0 (F 11 – ) F 12 . Fn 1 F 1 n (F 22 – ). . . F 2 n F 21. . . . Fn 2 . . . . (Fnn – ) = 0

Сn n + Сn– 1 + Сn– 2 +. . . + С 1 + Co = 0 Характеристическое уравнение Основная теорема алгебры: всякое уравнение степени n имеет n корней Корни: { 1 2 … n } — собственные значения оператора F (F 11 – ) а 1 + F 12 а 2 +. . . + F 1 n аn = 0 F 21 а 1 + (F 22 – ) а 2 +. . . + F 2 n аn = 0. . . Fn 1 а 1 + Fn 2 а 2 +. . . + (Fnn – ) аn = 0

1 a 1 = 2 a 1 a 2 a 2 = … an Пример: an = • • • … an 1 n … an 2 2 4 2 0 2 4 2 3 2 4 2 A = 3– 3 … 0– 2 4 2 3– = 0 n

Det = (3 – ) (0 – ) (3 – ) + 2 2 4 + 4 2 2 – – 4 (0 – ) 4 – 2 2 (3 – ) – (3 – ) 2 2 = = – 9 + 6 2 – 3 + 16 +16 – 12 + 4 = = – 3 + 6 2 + 15 + 8 = 0 Корни: { 1 = 8 2 = – 1 (3 – ) х + 3 = – 1 } 2 y + 4 z = 0 2 x + (0 – ) y + 2 z = 0 4 x + 2 y + (3 – ) z = 0

– 5 х + 2 y + 4 z = 0 2 x – 8 y + 2 z = 0 4 x + 2 y – 5 z = 0 1 = 8 Вычитая третье уравнение из первого, получим: – 9 x + 9 z = 0 или x = z. Подставим этот результат во второе уравнение и получим: 4 х – 8 у = 0 или у = х/2. Теперь мы можем выразить все три координаты вектора через одну, например, через х: х=х у = х/2 z=x x Решение: а 1 = x/2 = (х/2) x 2 1 2

= – 1 4 х + 2 y+ 4 z = 0 2 x + 1 y+ 2 z = 0 4 x + 2 y+ 4 z = 0 Видно, что все три уравнения одинаковы и задают только одно соотношение между тремя неизвестными. Поэтому мы можем произвольно выбрать значения двух неизвестных, а третье уже выразить через эти два. Уравнение 2 x + 1 y + 2 z = 0 определяет некоторую плоскость (двумерное инвариантное подпространство) в трехмерном пространстве. Любой вектор, лежащий на этой плоскости является решением нашей системы и, следовательно, будет собственным для нашего оператора. Экономный способ задать все эти векторы заключается в выборе базиса — двух ортогональных векторов на плоскости.

Первый базисный вектор можно выбрать произвольно. Положим, например, х = 0 и у = 1. Тогда из уравнения плоскости 2 x + 1 y + 2 z = 0 следует, что z = – 1/2. Второй базисный вектор должен удовлетворять как уравнению плоскости (2 x + 1 y + 2 z = 0), так и условию ортогональности: x (0, 1, – 1/2) y = y – 1/2 z = 0 z Решая совместно эти два уравнения, получим: у = – 2/5 х и z = – 4/5 х. 0 а 2 = 1 – 1/2 1 a 3 = – 2/5 – 4/5 0 а 2 = 2 – 1 5 a 3 = – 2 – 4

1 = 8 2 = – 1 2 a 1 = 0 a 2 = 2 2 a 3 = – 2 – 1 1 5 – 4 Проверка 3 2 4 2 2 0 2 1 4 2 3 2 16 = 8 16 А (а 1) = 1 а 1 2 = (+8) 1 2

Собственные векторы любого оператора образуют БАЗИС в линейном пространстве — «собственный базис» оператора. Матрица оператора в собственном базисе имеет квазидиагональный вид Все собственные значения невырожденны

Группа С 2 v E C 2 Z 1 0 0 0 1 – 1 0 0 σXZ 0 0 1 1 0 0 – 1 0 0 σYZ 0 0 1 – 1 0 0 0 0 1 Собственные векторы 1 a 1 = 0 0 0 a 2 = 1 0 0 a 3 = 0 1

Домашнее задание Задача 3. 2. Для заданной матрицы найти собственные значения и собственные векторы: 1 = ? 2 = ? ? ? a 1 = ? ? a 2 = ? ? a 3 = ? ? (все собственные значения являются целыми числами)

Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы сможете очень просто и быстро найти определитель (детерминант) матрицы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на транспонирование матриц, а также закрепить пройденный материал.

Найти определитель (детерминант) матрицы

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

1.

Часто для краткости пишут А = ||Aij||. Числа, из которых состоит матрица, называются Элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент А23 находится на пересечении второй строки и третьего столбца:

Элементы А11, А22, А33, … называются Главной диагональю матрицы

Если матрица А имеет размер то такую матрицу называют Квадратной матрицей порядка П.

Две матрицы одинакового размера А = ||Aij|| и B = ||Bij|| называют Равными (при этом пишут А = В), если

.

Упражнение 1.

.

Найти А12 и А23.

Решение.

Элемент А12 располагается в первой строке и втором столбце, то есть это второй элемент первой строки: А12 = -1.

Соответственно А23 – элемент, стоящий во второй строке и в третьем столбце;

А23 = -3.

Упражнение 2.

Даны матрицы

.

При каких A и B А=В?

Решение.

У равных матриц должны быть равными соответствующие элементы. Для элементов, заданных численно, это условие выполняется: A12 = B12 = 1,

A22 = B22 = 3. Поскольку B11 = 4, a A21 = -2, для равенства матриц А и В должны выполняться условия:

.

Следовательно, A = ±2, B = -2.

Ответ: A = ±2, B = -2.

< Предыдущая		Следующая >

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 — 0 — 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 — 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 — 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 — 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 — 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 — 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 — 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$