Найдем разность d данной арифметической последовательности.
Согласно условию задачи, первый член а1 данной арифметической прогрессии равен -5, первый член а2 данной арифметической прогрессии равен -3.
Используя определение арифметической прогрессии, находим разность d данной прогрессии:
d = а2 — а1 = -3 — (-5) = -3 + 5 = 2.
Подставляя значения а1 = -5, d = 2, а также значение n = 16 в формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n — 1) * d, находим шестнадцатый член данной прогрессии а16:
а16 = -5 + (16 — 1) * 2 = -5 + 15 * 2 = 25.
Ответ: шестнадцатый член данной прогрессии равен 25.
Арифметическая прогрессия, как правило, представлена рядом, в котором каждое число по сравнению с предыдущим монотонно убывает или возрастает на один и тот же шаг прогрессии. Онлайн калькулятор поможет найти первый член арифметической прогрессии можно, используя любой n член прогрессии и ее разность. Аналогично решаются задания формата «Найдите шестой член арифметической прогрессии (пятый, седьмой или любой другой)» .
Для того чтобы понимать, каким образом упорядочены числа арифметической прогрессии, рассмотрим следующий ряд:
a1
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d
…
Очевидно прослеживается закономерность формирования каждого следующего члена прогрессии, который можно выразить через предыдущий: an=a(n-1)+d или через первый член арифметической прогресии a1. Чтобы найти член арифметической прогрессии через первый член, к нему прибавляется количество шагов прогрессии, равное n-1, где n — это порядковый номер члена прогрессии, который нужно найти по заданным условиям.
an=a1+(n-1)d
Наоборот, зная какой-либо определенный n член арифметической прогрессии, можно найти первый член. Для этого выводится специальная формула из предыдущей:
a1=an-(n-1)d
Если по заданию нужно найти первые члены арифметической прогрессии, то в любом случае первым действием должно быть вычисление первого члена прогрессии, и затем путем прибавления разности прогрессии к каждому предыдущему числу можно будет найти необходимое количество первых членов, например, до пятого или до десятого члена.
Общее число членов арифметической прогрессии по умолчанию неограниченно, так как прибавление разности прогрессии является действием, возможным для бесконечного повторения. Предел такой последовательности будет стремиться в сторону плюс или минус бесконечности в зависимости от знака разности прогрессии. Так как последовательность будет бесконечно расти, для арифметической прогрессии можно найти сумму первых членов или сумму членов, определенных условием задания.
Соответственно, зная сумму арифметической прогрессии, найти первый член не составляет труда, если правильно перевернуть формулу. Сумма арифметической прогрессии — это среднее арифметическое (откуда и название) первого и последнего членов прогрессии, умноженное на общее количество членов прогрессии.
Первый член прогрессии в таком случае будет равен удвоенному отношению суммы к общему количеству членов за вычетом последнего члена в сумме.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Смотрите также
Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
Калькулятор n-го члена и суммы n членов:
Арифметическая прогрессия
Первый член прогрессии а1
Показать все члены прогрессии
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма арифметической прогрессии Sn
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.
Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:
- 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,
- 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6
А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.
An = 2n.
Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.
An = 2n − 1
Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.
Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:
An = n2 + 2
Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 10002 + 2 = 1000002.
Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.
Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.
Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:
- An = 2n
- Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)
Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Замечания
Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.
Понятие арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.
Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.
Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…
Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…
Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:
An = a1 + (n − 1)d
Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.
Sn = [(a1 + an) / 2] × n
Примеры задач
Пример 1
В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 3
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 3
Получаем:
- Арифметическая прогрессия: 61
- Сумма членов прогрессии: 650
- Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61
Проверяем самостоятельно по формулам с теории:
- a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61
Пример 2
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 5
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 2
Результаты рассчета:
- Арифметическая прогрессия: 43
- Сумма членов прогрессии: 480
- Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43
Проверяем:
- Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
- S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480
Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.