Как найти абсциссу точки касания параллельной касательной - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Всего: 23 1–20 | 21–23

Добавить в вариант

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y  =  f(x) параллельна прямой y  =  6x или совпадает с ней.

Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

На рисунке изображён график y  =  f‘(x)  — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y  =  f(x) параллельна прямой y  =  6 − 2x или совпадает с ней.

Прямая y  =  −5x + 2 параллельна касательной к графику функции y  =  x² + 5x + 3. Найдите абсциссу точки касания.

Всего: 23 1–20 | 21–23

Источник

Рассмотрим задания из №7 ЕГЭ, в которых данная прямая параллельна касательной к графику функции.

№1

Прямая y=9x+5 параллельна касательной к графику функции y=x²-5x+54. Найти абсциссу точки касания.

Решение:

Прямые y=k₁x+b₁ y=k₂x+b₂ параллельны,если их угловые коэффициенты равны: k₁=k₂.

y=9x+5, отсюда k₁=9.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k₂=f'(x_o).

f'(x)=(x²-5x+54)’=2x-5;

f'(x_o)=2x_o-5.

Таким образом, 2x_o-5=9; 2x_o=14; x_o=7.

Ответ: 7.

№2

Прямая y=14-2x является касательной к графику функции y=x³+1,5x²-8x+4. Найти абсциссу точки касания.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(x³+1,5x²-8x+4)’=3x²+3x-8;

f'(x_o)=3x_o²+3x_o-8.

По условию, y=14-2x. Отсюда k=-2.

3x_o²+3x_o-8=-2

3x_o²+3x_o-6=0

x_o²+x_o-2=0

x_o=1 либо x_o=-2.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции.

x_o³+1,5x_o²-8x_o+4=14-2x_o.

Проверяем, выполняется ли равенство при x_o=1:

1³+1,5·1²-8·1+4=14-2·1?

-1,5≠12.

При x_o=-2:

(-2)³+1,5·(-2)²-8·(-2)+4=14-2·(-2)

18=18.

Абсцисса точки касания равна x_o=-2.

Ответ: -2.

№3

Прямая y=11x+8 является касательной к графику функции y=ax²+7x-2. Найти a.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(ax²+7x-2)’=2ax+7;

f'(x_o)=2ax_o+7.

По условию, уравнение касательной y=5x+1, поэтому k=5.

Имеем: 2ax_o+7=11, откуда ax_o=2.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции, поэтому

ax_o²+7x_o-2=11x_o+8. Подставив в это равенство ax_o=2, получим

2x_o+7x_o-2=11x_o+8, откуда x_o=-5.

ax_o=2

-5_a=2

a=-0,4.

Ответ: 0,4.

№4

Прямая y=-6x+7 является касательной к графику функции y=6x²+bx+13. Найти b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(6x²+bx+13)’=12x+b;

f'(x_o)=12x_o+b.

По условию, уравнение касательной y=-6x+7, поэтому k=-6.

Имеем: 12x_o+b=-6, откуда b=-12x_o-6.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции.

6x_o²+bx_o+13=-6x_o+7

6x_o²+(-12x_o-6)x_o+13=-6x_o+7

6x_o²-12x_o²-6x_o+13+6x_o-7=0

-6x_o²+6=0

x_o=1 либо x_o=-1.

По условию, x_o<0, следовательно, x_o=-1.

b=-12·(-1)-6=6.

Ответ: 6.

№5

Прямая y=2x+4 является касательной к графику функции y=x²-4x+c. Найти c.

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: k=f'(x_o).

f'(x)=(x²-6x+c)’=2x-6;

f'(x_o)=2x_o-6.

По условию, уравнение касательной y=2x+4, поэтому k=2.

Имеем: 2x_o-6=2, откуда x_o=4.

Точка касания принадлежит и касательной, и графику функции, поэтому

x_o²-4x_o+с=2x_o+4. Подставив в это равенство x_o=4, получим

16-16+с=8+4

с=12.

Ответ: 12.

Источник

Тема 7.

Взаимосвязь функции и ее производной

Расчет касания двух графиков

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Прямая параллельна касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Поскольку касательная параллельна прямой , то уравнение
касательной имеет вид , где . Поскольку прямая является
касательной, то это может быть только, если функции совпадают, но при этом
решение может быть только одно, то есть должно получиться уравнение,
дискриминант которого равен 0:

pict

Однако если квадратное уравнение имеет D = 0 , то его корень равен
x = − b-= − −-11-= 5,5
2a 2 , что и будет являться абсциссой точки касания.

Прямая параллельна касательной к графику функции 2
y = x + 7x− 6. Найдите абциссу точки
касания.

Показать ответ и решение

Пусть — абцисса точки касания. Тогда угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой
точке. Найдём производную функции f(x) в точке x0 :

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, значит,

Показать ответ и решение

Способ 1

Прямая и парабола касаются, если их функции совпадают только в одной
точке. Нужно приравнять функции, тогда получится квадратное уравнение,
которое будет иметь один корень при нулевом дискриминанте:

pict

Способ 2

В точке касания значения функций и их производных равны:

pict

Чтобы найти , подставим в квадратное уравнение:

pict

Прямая параллельна касательной к графику функции

2
f(x) = 3x + 7x+ 5

Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Так как параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты и прямая имеет вид , то уравнение
касательной будет выглядеть как

где — некоторое число. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной, то

Показать ответ и решение

Графики функций и касаются в точке (x0;y0) тогда и только тогда,
когда

{
f(x0) = g(x0) = y0
f′(x0) = g′(x0)

Тогда график функции и прямая y = x касаются в точке (x0;y0) тогда и только тогда,
когда

{ {
x02 + c = x0 = y0 0,25 + c = 0,5 = y0
2x = 1 ⇔ x = 0,5,
0 0

то есть ответ: 0, 5 .

Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу
точки касания.

Найдите ординату точки касания графика функции и прямой π
y = x + 0, 5 − --
4 .

Показать ответ и решение

Если указанные графики касаются в точке (x0;y0) , то производные соответствующих функций равны в
точке :

π-
2sinx0 ⋅ cos x0 = 1 ⇔ sin2x0 = 1 ⇔ x0 = 4 + πk, k ∈ ℤ

При этом необходимо, чтобы при x = x0 значения соответствующих функций совпадали:

2 π-
sin x0 = x0 + 0,5 − 4 ,

но при π
x0 = --+ πk, k ∈ ℤ
4 имеем: , тогда

0,5 = x0 + 0,5 − π,
4

куда
подходит только π-
x0 = 4 .

Таким образом, для касания указанных графиков в точке (x0;y0) необходимо, чтобы было
выполнено π-
x0 = 4 . Но этого и достаточно, ведь при совпадают значения функций и их
производных.

В итоге,

Прямая является касательной к графику функции . Найдите
абсциссу точки касания.

Источник

16 января 2014

Второе видео из серии уроков, посвященных задачам B9 без графиков. Несмотря на кажущуюся сложность, такие задачи решаются очень легко (разумеется, есть и более сложные задачи — их мы рассматриваем в соседнем видеоуроке).

Задача B9. Прямая y = 4x + 7 параллельна касательной к графику функции:

y = x² +8x + 6

Найдите абсциссу точки касания.

Главное в этой задаче — понять, что речь идет не о самой касательной, а лишь о прямой, которая параллельна касательной к графику функции. Сама же касательная — это не просто прямая, имеющая общую точку с графиком функции. Для возникновения касательной треуется еще и одинаковое значение производной. Именно это требование применяется для решения сегодняшней задачи B9.

Смотрите также:

ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром
Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
Комбинаторика в задаче B6: средний тест
Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии
Задача B4: резка стекол

Источник

26
Дек 2011

06 Задание (2022)

Абсцисса точки касания. Задание В8 (2014)

Задание B9 (№ 27485) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x²+8x+6. Найдите абсциссу точки касания.

Чтобы выполнить это задание, нам нужно вспомнить теорию.

1. Прямая y=k₁x+b₁ параллельна прямой y=k₂x+b₂, если k₁=k₂. k₁ и k₂ — коэффициенты наклона прямых. Коэффициент наклона прямой равен тангенсу угла между этой прямой и положительным направлением оси ОХ: tg(a)=AB/OA

2. Геометрический смысл производной: значение производной функции у=f(x) в точке x₀ равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции у=f(x) в точке x₀, то есть tg(a)=k=f'(x₀), где k — угловой коэффициент касательной: Решение.
Так как касательная параллельна прямой y=7x-5, следовательно коэффициент наклона касательной, а, значит, производная функции в точке касания равны 7.
Найдем производную функции y=x²+8x+6:

y'(x)=2x+8

Приравняем производную к 7:

y'(x₀)=2x₀+8=7

В этом уравнении x₀ — абсцисса точки касания.
Решим уравнение:
2x₀+8=7
x₀=-0,5
Ответ: -0,5

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать

Firefox

Для вас другие записи этой рубрики:

Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)
Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7
Задачи на производную и касательную
Видеолекция 11. «Производная. Касательная. Применение производной к исследованию функции. Задание В8»
Первообразная.
Касательная к графику функции. Задача с параметром.

Источник