Поверните устройство
- Классы
- 10 класс
- 01. Тригонометрическая окружность
- Теория: 06 Вычисление координат точки на единичной окружности
На единичной окружности отмечена точка (displaystyle A <small ,>) как показано на рисунке. Угол (displaystyle BOA ) равен (displaystyle color<alpha> <small .>) Найдите абсциссу точки (displaystyle A <small .>)
Абсцисса точки (displaystyle A) равна Перетащите сюда правильный ответ .
Так как отрезок (displaystyle AB) перпендикулярен оси (displaystyle rm OX<small,>) то абсцисса точки (displaystyle A) равна длине отрезка (displaystyle OB<small.>)
Найдем длину отрезка (displaystyle OB<small.>)
Рассмотрим прямоугольный треугольник (displaystyle AOB<small,>) катетом которого является отрезок (displaystyle OB<small.>)
Гипотенуза (displaystyle OA) треугольника (displaystyle AOB) является радиусом единичной окружности.
Значит, (displaystyle OA=1<small.>)
Тогда, поскольку (displaystyle OB) – катет, прилежащий к углу (displaystyle color<alpha><small,>) то
Таким образом, получаем:
абсцисса точки (displaystyle A) (displaystyle = OB=cos(color<alpha>)<small.>)
Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат
О чем эта статья:
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.
Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- верхний левый угол — вторая четверть II;
- нижний левый угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.
Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.
Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.
Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на Оу — yM. Как это выглядит на координатных осях:
Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.
Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.
- Оглавление
- Занятия
- Обсуждение
- О курсе
Вопросы
Задай свой вопрос по этому материалу!
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
Решение задач
Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности.
Найдите координаты центра и радиус каждой окружности.
а)
б)
в)
г) ;
д)
Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.
а) – окружность,
б) – окружность,
в)
Выделим полный квадрат:
уравнение не является уравнением окружности.
г) .
Выделим полный квадрат:
– окружность,
д)
Выделим полный квадрат:
– окружность,
На окружности, заданной уравнением , найдите точки
а) с абсциссой –4; б) с ординатой 3.
Решение: построим окружность с центром (0;0) радиуса 5 (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
а) Координаты точек окружности с абсциссой –4 являются решениями системы:
Получаем точку и точку
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
б) Координаты точек окружности с ординатой 3 являются решениями системы:
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Получаем точку и ту же самую точку
Ответ: .
Запишите уравнение окружности радиуса r с центром в точке А, если
а)
б)
в)
г)
а) Окружность
Ответ:
б) Окружность .
Ответ:
в) Окружность
Ответ:
г) Окружность
Ответ:
Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Найдем радиус, как расстояние ОВ:
Запишем уравнение окружности с центром О(0;0):
Для контроля проверим, удовлетворяют ли полученному уравнению координаты точки В:
значит, точка В лежит на окружности.
Ответ:
Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5.
Сколько существует таких окружностей?
Дано: А(1;3) – точка окружности,
Найти: уравнение окружности (С; r=5).
Решение: центр искомой окружности удален от точки А(1;3) на расстояние 5, значит, он лежит на окружности с центром в точке А(1;3) радиуса 5, но он еще лежит и на оси Ох. Построим окружность (А(1;3); r=5) (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Точек, удовлетворяющих нашим условиям, на оси Ох две:
Для определения координат этих точек составим систему:
Запишем уравнения искомых окружностей:
окружность (
окружность ( и построим эти окружности (рис. 6):
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Ответ: две окружности.
Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки и В(0;9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
Дано: окружности ;
oкружности .
записать уравнение окружности.
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Запишем уравнение окружности так как окружность проходит через точки А и В, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности:
Подставим найденные значения в уравнение.
Ответ:
Напишите уравнение окружности с центром в точке А(6;0), проходящей через точку В(-3;2).
Дано: А(6;0) – центр,
окружности.
Найти: уравнение окружности.
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Находим радиус как расстояние АВ:
Запишем уравнение окружности:
Ответ:
Заключение
Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Окружность» и в каждой задаче использовали уравнение окружности.
На следующем уроке мы выведем уравнение прямой.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/Os-abstsiss-i-ordinat
http://www.kursoteka.ru/course/2507/lesson/8218/unit/21023/5
Координаты на плоскости:
Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке
Определение: Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) направления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.
Назовем одну из осей осью или осью абсцисс, другую—осью или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.
Возьмем произвольную точку , лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось через , а проекцию на ось через . Обозначим координату точки (по оси ) через , а координату точки (по оси ) через . Введем определение:
Определение. Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось . Ординатой точки называется координата ее проекции на ось .
Абсциссу точки обычно обозначают буквой , ординату— буквой . Точку , имеющую абсциссу и ординату , обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: .
Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.
Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.
Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.
Третьей четвертью—та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой,—та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7). На рис. 8 указаны Заметим, что абсцисса по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как (см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки от оси абсцисс, так как .
Пример:
Найти точку (рис. 9).
Решение:
Возьмем на оси точку с координатой , ее координатный отрезок . На оси возьмем точку с координатным отрезком . Восставим перпендикуляры к осям из точек и , точка их пересечения и даст искомую точку .
Пример:
Найти расстояние между точками и . Иначе говоря, нужно найти длину отрезка (рис. 10).
Решение:
Обозначим проекцию точки на ось через , а ее проекцию на ось — через . Проекцию точки на ось обозначим через и через — ее проекцию на ось . Тогда . Из точки проведем прямую, параллельную оси , до пересечения с прямой в точке . Рассмотрим треугольник По теореме Пифагора имеем . to , , как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки , и будут равны Подставляя полученные выражения в , получим
откуда
т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей, координат.
Примечание. Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.
Пример:
Найти расстояние между точками и .
Решение:
Применяя формулу (1), получим
Пример:
Найти длину отрезка , если даны и .
Решение:
Применяя формулу (1), получим
Пример:
Найти точку , делящую отрезок в отношении , если известны координаты точек и .
Решение:
По условию задачи надо найти такую точку , чтобы было выполнено равенство
Обозначим, как и выше, проекции точки на оси через и , а проекции точки —через и ; тогда (рис. 11).
Кроме того, обозначим координаты искомой точки через и , а ее проекции на оси — через и , т. е.
Так как прямые и параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что
Но поэтому, подставляя в равенство , будем иметь уравнение
решая которое найдем абсциссу точки :
Рассуждая аналогично о проекциях на оси , т.е. о точках и , по- лучим ординату точки , делящей отрезок в отношении ,
Итак, искомая точка имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).
Пример:
Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок , где и .
Здесь .
Решение:
Применяя формулы (2) и (3), получим:
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример:
Найти точку, делящую расстояние между точками и в отношении 3:1.
Здесь .
Решение:
По формулам (2) и (3) находим:
Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка делит отрезок пополам, то , поэтому
т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.
Пример:
Даны три вершины треугольника: , и . Найти длину биссектрисы угла (рис. 12).
Решение:
Найдем длины сторон и . Для этого применим формулу (1):
Обозначим точку пересечения биссектрисы угла с противоположной стороной через , а ее координаты—через и . Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка делит отрезок в отношении ; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:
т.е. (5,6).
Теперь вычисляем длину биссектрисы как расстояние между точками и :
Пример:
Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки , (рис. 13).
Решение:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через середину стороны ; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:
т. е. . Точка пересечения медиан делит отрезок в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2) и (3):
Итак, искомая точка Задача 5. Записать условие того, что точка находится на расстоянии 5 от точки . По формуле (1) имеем
или, возводя обе части равенства в квадрат, получим
Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными и . Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки . Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки равно 5. Это геометрическое место есть окружность.
Следовательно, можно сказать, что уравнение есть уравнение окружности с центром в точке и радиуса 5.
В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными и и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.
- Линейная функция
- Квадратичная функция
- Тригонометрические функции
- Производные тригонометрических функции
- Уравнение линии
- Функции нескольких переменных
- Комплексные числ
- Координаты на прямой
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
-
Решение
-
Видеорешение
Обозначим отмеченную на графике функции (displaystyle f(x)=ax^2-8x+9{,}7) точку как (displaystyle B{small.})
По рисунку можно найти абсциссу точки (displaystyle B{small.}) Сделаем это.
Заметим, что графиком функции является парабола, а точка (displaystyle B ) с абсциссой (displaystyle color{magenta}{x_0=2}) – её вершина.
Воспользуемся правилом:
Правило
Абсцисса вершины параболы
Абсцисса (displaystyle x_0) вершины параболы (displaystyle y=color{red}ax^2+color{blue}bx+color{green}c) находится по формуле:
(displaystyle x_0=frac{-color{blue}b}{2color{red}a}{small.})
У нас
(displaystyle y=color{red}ax^2+(color{blue}{-8})x+color{green}{9{,}7}) и (displaystyle color{magenta}{x_0=2}{small .})
Тогда:
(displaystyle color{magenta}2=frac{-(color{blue}{-8})}{2color{red}a}{small.})
Найдём (displaystyle a) из полученного уравнения.
(displaystyle 4a=8{small,})
(displaystyle a=2{small.})
Ответ:(displaystyle a=2{small.})
Математика 5-6 класс
10 баллов
как найти абсциссу и ординату точки на координатной плоскости?
Влад Тихонов
15.07.2019 15:46:22
Чтобы найти абсциссу, нужно по оси x выбрать то число, которое указано в координатах на первом месте. Чтобы найти ординату, нужно по оси y выбрать то число, которое указано в координатах на втором месте.
Все предметы
Рейтинг пользователей
- Калькуляторы
- Справочник
- Словарь