Как найти абсциссы точек перегиба графиков

Точки перегиба графика функции

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки. 

Точка перегиба функции — это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

1. Найти вторую производную функции $ y»(x) $
2. Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
3. Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y»'(x) $

Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y»'(x)$. Если $ y»'(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка — это точка перегиба.

Примеры решений 

Пример 1

Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $

Решение

Найдем первую производную, заданной функции: $$ y’ = (2x^4 — 6x^2 + 1)’ = 8x^3 — 12x $$ Теперь получим вторую производную: $$ y» = (y’)’ = (8x^3 — 12x)’ = 24x^2 — 12 $$ Приравниваем к нулю $ y» = 0 $ и решаем уравнение: $$ 24x^2 — 12 = 0 $$ $$ x^2 = frac{1}{2} $$ $$ x_1 = -frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$ Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $: $$ y»'(x) = (y»(x))’ = 48x $$ $$ y»'(x_1) = y»'(-frac{1}{sqrt{2}}) = -frac{48}{sqrt{2}} $$ $$ y»'(x_2) = y»'(frac{1}{sqrt{2}}) = frac{48}{sqrt{2}} $$ Так как $ y»'(x_1) $ и $ y»'(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ x_1 = — frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$

Пример 2

Узнать, является ли для графика функции $ y = cos x $ точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точкой перегиба

Решение

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче: $$ y'(x) = (cos x)’ = — sin x $$ $$ y»(x) = (-sin x)’ = -cos x $$ $$ y»'(x) = (-cos x)’ = sin x $$ Вычислим значения $ y»(x_0) text{ и } y»'(x_0) $: $$ y»(x_0) = y»(frac{pi}{2}) = — cos frac{pi}{2} = 0 $$ $$ y»'(x_0) = y»'(frac{pi}{2}) = sin frac{pi}{2} = 1 $$ Так как $ y»(frac{pi}{2}) = 0 $, а $ y»'(frac{pi}{2}) neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ является точкой перегиба для функции $ y = cos x $

Ответ

Точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точка перегиба

18.
Выпуклые функции. Признаки выпуклости
функции. Необходимый признак точки
перегиба, достаточный признак точки
перегиба, их геометрический признак.
Примеры

Выпуклые
функции

     Функция
f
на интервале

     1)
выпукла (выпукла вниз), если

     2)
строго выпукла (строго выпукла вниз),
если

     3)
выпукла вверх, если

     4)
строго выпукла вверх, если

     Признаки
выпуклости дифференцируемых функций

     1.
Если f’
возрастает на
,
то f
выпукла на
(если
f’
строго возрастает, то f
строго выпукла).

     2.
Если
,
то f
выпукла на
(если
обращаясь
в нуль, возможно, лишь в конечном числе
точек, то f
строго выпукла).

     3.
Функция f
выпукла тогда и только тогда, когда
график функции лежит не ниже касательной,
проведенной к нему в любой его точке.

     Свойства
выпуклых функций

1. 

В
частности:

     2.

     3.
Точки любой дуги графика лежат под
хордой, стягивающей эту дугу.

     4.
Функция f
непрерывна на интервале
и
имеет в каждой его точке конечные
односторонние производные.

     5.
Функция f
имеет на
не
более одного локального минимума и не
имеет локальных максимумов.

     Точки
перегиба

     Пусть
функция f
определена в некоторой окрестности
точки x₀,
непрерывна в точке x₀
и имеет в этой точке конечную или
бесконечную производную. Если при
переходе через точку x₀
функция f
меняет направление выпуклости, то x₀
называют точкой перегиба функции f,
а точку (x₀;
f(x₀))
— точкой перегиба графика функции f.
График функции переходит с одной стороны
касательной, проведенной в точке (x₀;
f(x₀)),
на другую сторону. Точки перегиба f
— точки экстремума для f’.

Необходимое
условие перегиба.

Сформулируем необходимое
условие перегиба графика
функции.

Пусть
график функции y=f(x) имеет
перегиб в точке  и
имеет при непрерывную
вторую производную, тогда выполняется
равенство .

Из
этого условия следует, что абсциссы
точек перегиба следует искать среди
тех, в которых вторая производная функции
обращается в ноль. НО, это условие не
является достаточным, то есть не все
значения ,
в которых вторая производная равна
нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще
следует обратить внимание, что по
определению точки перегиба требуется
существование касательной прямой, можно
и вертикальной. Что это означает? А
означает это следующее: абсциссами
точек перегиба могут быть все  из
области определения функции, для
которых  и .
Обычно это точки, в которых знаменатель
первой производной обращается в ноль.

Первое
достаточное условие перегиба.

После
того как найдены все ,
которые могут быть абсциссами точек
перегиба, следует воспользоваться первым
достаточным условием перегиба графика
функции.

Пусть
функция y=f(x) непрерывна
в точке ,
имеет в ней касательную (можно вертикальную)
и эта функция имеет вторую производную
в некоторой окрестности точки .
Тогда, если в пределах этой окрестности
слева и справа от ,
вторая производная имеет разные знаки,
то  является
точкой перегиба графика функции.

Как
видите первое достаточное условие не
требует существования второй производной
в самой точке ,
но требует ее существование в окрестности
точки .

Сейчас
обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм
нахождения точек перегиба функции.

Находим
все абсциссы  возможных
точек перегиба графика функции
( или  и )
и выясняем, проходя через какие  вторая
производная меняет знак. Такие значения
и будут абсциссами точек перегиба, а
соответствующие им точки  будут
точками перегиба графика функции.

Второе
достаточное условие перегиба.

Если ,
а ,
тогда  является
абсциссой точки перегиба графика
функцииy=f(x).

Пример.

Выяснить,
является ли точка  точкой
перегиба графика функции .

Решение.

Для
начала убедимся, что точка  принадлежит
графику функции:

Функция
определена для всех действительных
значений аргумента. Найдем первую и
вторую производные.

Вторая
производная обращается в ноль при x=3,
то есть необходимое условие перегиба
графика функции в точке  выполнено,
и эта точка может быть точкой перегиба.
Воспользуемся вторым достаточным
условием перегиба. Для этого найдем
третью производную и убедимся, что ее
значение при x=3 отлично
от нуля.

Очевидно,
что значение третьей производной отлично
от нуля для любых x,
в том числе и для x=3.
Поэтому, по второму достаточному условию
перегиба графика функции, точка  является
точкой перегиба.

Соседние файлы в папке Bilety

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  14.03.2016489.23 Кб372.docx

• #
• #
• #

Когда мы чертим график функции, важно определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Они, наряду с промежутками убывания и возрастания, нужны нам для четкого представления функции в графическом виде.

Понимание этой темы требует знания того, что такое производная функции и как ее вычислить до некоторого порядка, а также умения решать разные виды неравенств.

В начале статьи определяются основные понятия. Потом мы покажем, какая связь существует между направлением выпуклости и значением второй производной на определенном интервале. Далее мы укажем условия, в которых можно определить точки перегиба графика. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции

Определение 1

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.

Определение 2

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.

Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:

Определение 3

Точка перегиба функции – это точка M(x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.

Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным.  Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.

Как найти интервалы выпуклости функции

В этом пункте мы расскажем о теореме,  с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.

Определение 4

График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y=f(x) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f»(x)≥0 ∀x∈X (f»(x)≤0 ∀x∈X) будет верным.  

Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f»(x)≥0  и f»(x)≤0  на области определения соответствующей функции.

Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y=f(x) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.

Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.

Пример 1

Условие: дана функция y=x36-x2+3x-1. Определите, на каких промежутках ее график будет иметь выпуклости и вогнутости.

Решение

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Начнем с вычисления второй производной.

• y’=x36-x2+3x-1’=x22-2x+3⇒y»=x22-2x+3=x-2
• Мы видим, что область определения второй производной совпала с областью самой функции Значит, для выявления интервалов выпуклостей нам надо решить неравенства f»(x)≥0  и f»(x)≤0 .
• y»≥0⇔x-2≥0⇔x≥2y»≤0⇔x-2≤0⇔x≤2
• Мы получили, что график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [2; +∞) и выпуклость на отрезке (-∞; 2].
• Для наглядности изобразим график функции и отметим на нем выпуклую часть синим, а вогнутую – красным цветом.

Ответ: график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [2; +∞) и выпуклость на отрезке (-∞; 2].

А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.

Пример 2

Условие: дана функция y=8xx-1 . Определите, в каких промежутках ее график будет иметь вогнутость, а в каких – выпуклость.

1. Решение
2. Для начала выясним область определения функции.
3. x≥0x-1≠0⇔x≥0x≠1⇔x∈[0; 1)∪(1;+∞)
4. Теперь вычисляем вторую производную:
5. y’=8xx-1’=8·12x·(x-1)-x·1(x-1)2=-4·x+1x·(x-1)2y»=-4·x+1x·(x-1)2’=-4·1·x·x-12-(x+1)·x·x-12’x·(x-1)4==-4·1·x·x-12-x+1·12x·(x-1)2+x·2(x-1)x·x-14==2·3×2+6x-1×32·(x-1)3

Область определения второй производной – это множество x∈(0; 1)∪(1; +∞). Мы видим, что x, равный нулю, будет принадлежать области определения исходной функции, но не области определения второй производной. Эту точку нужно обязательно включить в отрезок вогнутости или выпуклости.

После этого нам надо решить неравенства f»(x)≥0  и f»(x)≤0  на области определения заданной функции. Используем для этого метод интервалов: при x=-1-233≈-2,1547 или x=-1+233≈0,1547  числитель 2·(3×2+6x-1)x23·x-13 обращается в 0, а знаменатель равен 0 при x, равном нулю или единице.

Нанесем получившиеся точки на график и определим знак выражения на всех интервалах, которые войдут в область определения исходной функции. На графике эта область обозначена штриховкой. Если значение положительно, отмечаем интервал плюсом, если отрицательно, то минусом.

Следовательно,

f»(x)≥0x∈[0; 1)∪(1; +∞)⇔x∈0; -1+233∪(1; +∞), а f»(x)≤0x∈[0; 1)∪(1; +∞)⇔x∈[-1+233; 1)

Включаем ранее отмеченную точку x=0 и получаем нужный ответ. График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0; -1+233∪(1; +∞) , и вверх – при x∈[-1+233; 1) .

Изобразим  график, отметив на нем выпуклую часть синим, а вогнутую красным цветом. Вертикальная асимптота отмечена черным пунктиром.

Ответ:  График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0; -1+233∪(1; +∞) , и вверх – при x∈[-1+233; 1) .

Условия перегиба графика функции

Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.

Определение 5

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), график которой имеет точку перегиба. При  x=x0  у него есть непрерывная вторая производная, следовательно, будет выполняться равенство f»(x0)=0.

Учитывая данное условие, нам следует поискать точки перегиба среди тех, в которых вторая производная будет обращаться в 0. Это условие не будет достаточным: не все такие точки нам подойдут.

Также обратите внимание, что, согласно общему определению, нам нужна будет касательная прямая, вертикальная или невертикальная.

На практике это означает, что для нахождения точек перегиба следует взять те, в которых вторая производная данной функции обращается в 0.

Следовательно, чтобы найти абсциссы точек перегиба, нам нужно взять все x0 из  области определения функции, где limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞. Чаще всего это такие точки, в которых знаменатель первой производной обращается в 0.

Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции

Мы нашли все значения x0, которые можно взять в качестве абсцисс точек перегиба. После этого нам нужно применить первое достаточное условие перегиба.

Определение 6

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), которая является непрерывной в точке M(x0; f(x0)). При этом она имеет на этой точке касательную, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки x0. В таком случае если с левой и правой стороны вторая производная приобретает противоположные знаки, то данную точку можно считать точкой перегиба.

Мы видим, что данное условие не требует, что в этой точке непременно существовала вторая производная, достаточно ее наличия в окрестности точки x0.

Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.

Как найти точки перегиба графика функции

1. Для начала нужно найти все абсциссы x0  возможных точек перегиба, где f»(x0)=0, limx→x0-0f'(x)=∞, limx→x0+0f'(x)=∞.
2. Выясним, в каких точках производная будет менять знак. Эти значения  и есть абсциссы точек перегиба, а точки M(x0; f(x0)) , соответствующие им, – это сами точки перегиба.

Для наглядности разберем две задачи.

Пример 3

Условие: дана функция y=110·x412-x36-3×2+2x . Определите, где график данной функции будет иметь точки перегиба и выпуклости.

• Решение
• Указанная функция определена на всем множестве действительных чисел. Считаем первую производную:
• y’=110·x412-x36-3×2+2x’=110·4×312-3×26-6x+2==110·x33-x22-6x+2

Теперь найдем область определения первой производной. Это также множество всех действительных чисел. Значит, равенства limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞ не могут быть выполнены ни при каких значениях x0.

1. Вычисляем вторую производную:
2. y»==110·x33-x22-6x+2’=110·3×23-2×2-6=110·x2-x-6
3. Далее определяем, когда она будет обращаться в 0:
4. y»=0⇔110·(x2-x-6)=0⇔x2-x-6=0D=(-1)2-4·1·(-6)=25×1=1-252=-2, x2=1+252=3

Мы нашли абсциссы двух вероятных точек перегиба –2 и 3. Все, что нам осталось сделать – это проверить, в какой точке производная изменит свой знак. Изобразим числовую ось и нанесем на нее данные точки, после чего расставим знаки второй производной на получившихся промежутках.

Дуги показывают направление выпуклости графика в каждом интервале.

Вторая производная меняет знак на противоположный (с плюса на минус)  в точке с абсциссой 3, проходя через нее слева направо, и также делает это (с минуса на плюс) в точке с абсциссой 3. Значит, мы можем сделать вывод, что x=-2 и x=3– это абсциссы точек перегиба графика функции. Им будут соответствовать точки графика -2; -43 и 3; -158.

Взглянем вновь на изображение числовой оси и получившиеся знаки на интервалах, чтобы сделать выводы о местах вогнутости и выпуклости. Получается, что выпуклость будет расположена на отрезке -2; 3 , а вогнутость на отрезках (-∞; -2]  и [3; +∞).

Решение задачи наглядно изображено на графике: синий цвет – выпуклости, красный – вогнутость, черный цвет означает точки перегиба.

Ответ: выпуклость будет расположена на отрезке -2; 3 , а вогнутость на отрезках (-∞; -2]  и [3; +∞).

Пример 4

• Условие: вычислите абсциссы всех точек перегиба графика функции y=18·x2+3x+2·x-335.
• Решение
• Область определения заданной функции – множество всех действительных чисел. Вычисляем производную:
• y’=18·(x2+3x+2)·x-335’==18·x2+3x+2’·(x-3)35+(x2+3x+2)·x-335’==18·2x+3·(x-3)35+(x2+3x+2)·35·x-3-25=13×2-6x-3940·(x-3)25
• В отличие от функции, ее первая производная не будет определена при значении x, равном 3, но:
• limx→3-0y'(x)=13·(3-0)2-6·(3-0)-3940·3-0-325=+∞limx→3+0y'(x)=13·(3+0)2-6·(3+0)-3940·3+0-325=+∞

Это значит, что через данную точку будет проходить вертикальная касательная к графику. Следовательно, 3 может быть абсциссой точки перегиба.

1. Вычисляем вторую производную. Также находим область ее определения и точки, в которых она обращается в 0:
2. y»=13×2-6x-3940·x-325’==140·13×2-6x-39’·(x-3)25-13×2-6x-39·x-325′(x-3)45==125·13×2-51x+21(x-3)75, x∈(-∞; 3)∪(3; +∞)y»(x)=0⇔13×2-51x+21=0D=(-51)2-4·13·21=1509×1=51+150926≈3,4556, x2=51-150926≈0,4675
3. У нас получились еще две возможные точки перегиба. Нанесем их все на числовую прямую и разметим получившиеся интервалы знаками:

Перемена знака будет происходить при прохождении через каждую указанную точку, значит, они все являются точками перегиба.

Ответ: Изобразим график функции, отметив вогнутости красным, выпуклости синим и точки перегиба – черным:

Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.

Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.

Второе достаточное условие перегиба графика функции

Если мы имеем f»(x0)=0 и  f»'(x0)≠0, то x0 будет абсциссой точки перегиба графика y=f(x).

Пример 5

Условие: задана функция y=160×3-320×2+710x-25 . Определите, будет ли график функции иметь перегиб в точке 3; 45.

• Решение
• Первое, что нужно сделать, – это убедиться в том, что данная точка вообще будет принадлежать графику этой функции.
• y(3)=160·33-320·32-25=2760-2720+2110-25=9-27+42-820=45
• Заданная функция определена для всех аргументов, являющихся действительными числами. Вычислим первую и вторую производные:
• y’=160×3-320×2+710x-25’=120×2-310x+710y»=120×2-310x+710’=110x-310=110(x-3)

Мы получили, что вторая производная будет обращаться в 0, если x будет равен 0. Значит, необходимое условие перегиба для этой точки будет выполнено. Теперь используем второе условие: найдем третью производную и выясним, будет ли она обращаться в 0 при 3:

y»’=110(x-3)’=110

Третья производная не будет обращаться в нуль ни при одном значении x. Поэтому можно заключить, что данная точка будет точкой перегиба графика функции.

Ответ: Покажем решение на иллюстрации:

Третье достаточное условие перегиба графика функции

Допустим, что f'(x0)=0, f»(x0)=0, …, f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0 .В таком случае при четном n мы получим, что x0 – это абсцисса точки перегиба графика y=f(x).

Пример 6

Условие: дана функция y=(x-3)5+1. Вычислите точки перегиба ее графика.

Решение

Данная функция является определенной на всем множестве действительных чисел. Вычисляем производную: y’=((x-3)5+1)’=5·x-34 . Поскольку она тоже будет определена для всех действительных значений аргумента, то в любой точке ее графике будет существовать невертикальная касательная.

1. Теперь вычислим, при каких значениях вторая производная будет обращаться в 0:
2. y»=5·(x-3)4’=20·x-33y»=0⇔x-3=0⇔x=3
3. Мы получили,  что при x=3 график функции может иметь точку перегиба. Используем третье условие, чтобы подтвердить это:
4. y»’=20·(x-3)3’=60·x-32, y»'(3)=60·3-32=0y(4)=60·(x-3)2’=120·(x-3), y(4)(3)=120·(3-3)=0y(5)=120·(x-3)’=120, y(5)(3)=120≠0

Имеем n=4 по третьему достаточному условию. Это четное число, значит, x=3 будет абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции (3;1).

Ответ: Вот график данной функции с отмеченными выпуклостями, вогнутостями и точкой перегиба:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/vypuklost-funktsii/

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки её перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой

Кривая называется выпуклой в интервале если она лежит ниже любой своей касательной в точках, абсциссы которых лежат в этом интервале (см. рис. 68).

Кривая называется вогнутой в интервале если она лежит выше любой своей касательной в точках, абсциссы которых лежат в этом интервале(см. рис. 69).

Точка кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Ясно, что касательная к кривой в точке перегиба пересекает кривую, т. к. выпуклая часть лежит ниже касательной, а вогнутая – выше касательной (см. рис. 70).

Известно, что вычисленная в точке производная равна тангенсу угла образованного с осью касательной к кривой в её точке с абсциссой Для выпуклой кривой (см. рис. 68) с увеличением угол убывает, следовательно, убывает значит, производная согласно необходимому признаку убывания функции. Аналогично убедимся в том, что если кривая вогнутая, то Итак, пришли к теореме.

Теорема 6 (необходимые признаки выпуклости и вогнутости кривой). Если кривая является выпуклой на то в этом интервале ; если кривая является вогнутой на то в этом интервале

Теорема 7 (достаточные признаки выпуклости и вогнутости кривой). Если всюду в интервале то в этом интервале кривая выпуклая. Если всюду в интервале то в этом интервале кривая вогнутая.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть всюду в интервале Тогда, согласно достаточному признаку убывания функции, в этом интервале убывает с увеличением Значит, убывает всюду в интервале Следовательно, кривая является выпуклой, что очевидно геометрически. Теорема доказана.

Теорема 8 (необходимый признак точки перегиба). Если – абсцисса точки перегиба кривой то или не существует.

Доказательство.Точка перегиба отделяет выпуклую часть от вогнутой, следовательно, она одновременно принадлежит обеим указанным частям кривой. Будем считать, что вторая производная существует и непрерывна в точке .

Для выпуклой части кривой согласно необходимому признаку выпуклости кривой, поэтому Для вогнутой части кривой согласно необходимому признаку вогнутости кривой, поэтому Но эти два соотношения должны выполняться одновременно, следовательно, Теорема доказана.

Абсциссой точки перегиба может служить и значение при котором не существует. Покажем это на примере кривой Здесь Отметим, что при вторая производная не существует, т. е. не существует .

Кроме того, видим, что при , а при имеем Значит, по теореме 7 при кривая вогнутая, при — выпуклая. Это означает, что есть абсцисса точки перегиба рассматриваемой кривой.

Это также очевидно из графика функции (см. рис. 71).

Теорема 9 (достаточный признак точки перегиба).

Точка кривой является точкой перегиба, если обращается в нуль или не существует при и знак второй производной изменяется при переходе через (с увеличением ).

При перемене знака с «‑» на «+» участок выпуклости сменяется участком вогнутости, а при перемене с «+» на «‑» участок вогнутости сменяется участком выпуклости.

Доказательство.Пусть знак изменяется с «‑» на «+» при переходе через с увеличением т. е. при имеем а при получим Тогда, согласно достаточному признаку выпуклости и вогнутости кривой, слева от лежит участок выпуклости кривой, а справа от – участок вогнутости. Следовательно, – абсцисса точки перегиба кривой Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Для нахождения точек перегиба кривой требуется:

• 1)найти точки, в которых обращается в нуль или не существует;
• 2)каждую такую точку исследовать с помощью достаточного признака точки перегиба;
• 3)найти ординаты точек перегиба, подставив их абсциссы в выражение вместо
• Асимптоты кривой.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки этой кривой до прямой стремится к нулю, когда указанная точка неограниченно удаляется от начала координат. Рассмотрим два вида асимптот.

Вертикальные асимптоты.Дана кривая с уравнением Если – заданное число, то кривая имеет вертикальную асимптоту с уравнением Здесь график функции будет иметь вид, указанный, например, на рис. 73.

На кривой возьмём точку с абсциссой и ординатой Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Тогда расстоя-ние от точки до прямой с уравне-нием равно

По условию при когда стремится к нулю, имеем а точка кривой неограниченно удаляется от начал координат. Иначе говоря, когда точка неограниченно удаляется от начала координат, расстояние стремится к нулю. Это значит, что прямая с уравнением есть асимптота линии

Наклонные асимптоты.Пусть кривая имеет наклонную асимптоту с уравнением где – угловой коэффициент асимптоты, т. е. угол образован с осью асимптотой (рис. 74). На кривой возьмём точку с координатами На прямой (асимптоте рассматриваемой кривой) возьмём точку с той же абсциссой, что и у точки Её ордината равна Поэтому

(3)

Так как мы рассматриваем наклонную асимптоту, то считаем, что угол не равен Это означает, что Пусть точка – основание перпендикуляра, опущен-ного из точки на асимптоту. Получили прямоугольный треуголь-ник . Из него найдем выражение поэтому, учитывая, что будем иметь

(4)

Прямая есть асимптота линии следовательно, расстояние от точки до прямой стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат, т. е. её абсцисса стремится к бесконечности.

Итак, при значит, согласно (4) при т. е. Подставим сюда вместо выражение (3) и получим

(5)

Из (5) видно, что выражение под знаком предела – бесконечно малая функция, которую обозначим через . Тогда или где при Это соотношение поделим на перейдем к пределу при и учтем, что предел суммы есть сумма пределов. Получим

1. Поскольку при произведение постоянной на есть бесконечно малая величина, а её предел равен нулю. Аналогично Предел постоянной равен поэтому
2. (6)
3. Соотношение (5) запишем так: Учтём, что слева предел разности равен разности пределов и предел постоянной равен этой постоянной. Поэтому
4. (7)

Итак, мы показали, что если линия имеет наклонную асимптоту то обязательно существуют два конечных предела (6) и (7) для чисел и входящих в уравнение асимптоты. И наоборот, если для линии существуют два конечных предела (6), (7), то эта линия имеет наклонную асимптоту В этом можно убедиться, проведя изложенные выше рассуждения в обратном порядке.

Источник: https://megaobuchalka.ru/7/30978.html

Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба

Функции, исследование функций

При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Эти данные вместе с промежутками возрастания и убывания позволяют схематично представить график исследуемой функции.

Дальнейшее изложение подразумевает, что Вы умеете находить производные функции до некоторого порядка и решать неравенства разных видов.

Изучение материала начнем с необходимых определений и понятий. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. После этого перейдем к условиям, которые позводляют определять точки перегиба графика функции. По тексту будем приводить характерные примеры с подробными решениями.

Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

К началу страницы

Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.

Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство (), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.

• Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства и соответственно.
• Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.
• Разберемся с этим на примере.

Выяснить промежутки, на которых график функции имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.

1. Область определения функции — это все множество действительных чисел.
2. Найдем вторую производную.
3. Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить и соответственно.
4. Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале и выпуклая вверх на интервале .
5. Графическая иллюстрация.
6. Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом.

Сейчас рассмотрим пример, когда область определения второй производной не совпадает с областью определения функции. В этом случае, как мы уже отмечали, точки области определения, в которых не существует конечная вторая производная, следует включать в интервалы выпуклости и (или) вогнутости.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .

Начнем с области определения функции:

Найдем вторую производную:

Областью определения второй производной является множество . Как видите, x=0 принадлежит области определения исходной функции, но не принадлежит области определения второй производной. Не забывайте про эту точку, ее нужно будет включить в интервал выпуклости и (или) вогнутости.

Теперь решаем неравенства и на области определения исходной функции. Применим метод интервалов. Числитель выражения обращается в ноль при или , знаменатель – при x = 0 или x = 1.

Схематично наносим эти точки на числовую прямую и выясняем знак выражения на каждом из интервалов, входящих в область определения исходной функции (она показана заштрихованной областью на нижней числовой прямой).

При положительном значении ставим знак «плюс», при отрицательном – знак «минус».

Таким образом, и

• Следовательно, включив точку x=0, получаем ответ.
• При график функции имеет выпуклость направленную вниз, при — выпуклость направленную вверх.
• Графическая иллюстрация.
• Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, черной пунктирной прямой является вертикальная асимптота.

К началу страницы

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все из области определения функции, для которых и . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

1. Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .
2. Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.
3. Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

Рассмотрим два примера нахождения точек перегиба для разъяснения.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

• Областью определения функции является все множество действительных чисел.
• Найдем первую производную:
• Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства и не выполняется ни для каких .
• Найдем вторую производную:
• Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль:
• Таким образом, абсциссами возможных точек перегиба являются x=-2 и x=3.

Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Для этого нанесем точки x=-2 и x=3 на числовую ось и, как в обобщенном методе интервалов, расставим знаки второй производной над каждым промежутком. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции.

Вторая производная меняет знак с плюса на минус, проходя через точку x=-2 слева направо, и меняет знак с минуса на плюс, проходя через x=3. Следовательно, и x=-2 и x=3 являются абсциссами точек перегиба графика функции. Им соответствуют точки графика и .

Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале и вогнутый на интервалах и .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Найдите абсциссы всех точек перегиба графика функции .

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел.

Найдем производную.

Первая производная, в отличии от исходной функции, не определена при x=3. Но и . Следовательно, в точке с абсциссой x=3 существует вертикальная касательная к графику исходной функции. Таким образом, x=3 может быть абсциссой точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную, область ее определения и точки, в которых она обращается в ноль:

Получили еще две возможные абсциссы точек перегиба. Отмечаем все три точки на числовой прямой и определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов.

1. Вторая производная меняет знак, проходя через каждую из точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба.
2. Графическая иллюстрация.
3. Части графика функции на интервалах выпуклости изображены синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.

Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.

Второе достаточное условие перегиба

Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

Выяснить, является ли точка точкой перегиба графика функции .

Для начала убедимся, что точка принадлежит графику функции:

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Найдем первую и вторую производные.

Вторая производная обращается в ноль при x=3, то есть необходимое условие перегиба графика функции в точке выполнено, и эта точка может быть точкой перегиба. Воспользуемся вторым достаточным условием перегиба. Для этого найдем третью производную и убедимся, что ее значение при x=3 отлично от нуля.

Очевидно, что значение третьей производной отлично от нуля для любых x, в том числе и для x=3. Поэтому, по второму достаточному условию перегиба графика функции, точка является точкой перегиба.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

Третье достаточное условие перегиба

Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

Найдите точки перегиба графика функции .

Функция определена на всем множестве действительных чисел.

Найдем ее производную: . Очевидно, что она также определена для всех действительных x, поэтому, в любой из точек ее графика существует невертикальная касательная.

Определим значения х, при которых вторая производная обращается в ноль.

Таким образом, в точке с абсциссой x=3 может быть перегиб графика функции. Чтобы убедиться в том, что х=3 действительно абсцисса точки перегиба, воспользуемся третьим достаточным условием.

• По третьему достаточному условию перегиба графика функции имеем n=4 (пятая производная обращается в ноль) – четное, поэтому x=3 является абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции (3;1).
• Графическая иллюстрация.
• Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

1. Некогда разбираться?
2. Закажите решение
3. К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/functions/convexity_and_inflection_points.html

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба (Лекция №10)

• График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
• График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
• На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Примеры.

1. Полуокружность выпукла на [–1; 1].
2. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞; +∞).
3. График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f »(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f»(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f»(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 Î (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x0.

Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f »(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x0. Тогда x0 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x0) = 0 или f »(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f »(x) < 0 при x < x0 и f »(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута.

Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба.

Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x < x0 и f »(x) < 0 при x > x0.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

1. Найдем производные заданной функции до второго порядка.

   .

   . Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

   Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

2. Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x2 – 1 = 0. Отсюда .

   Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

3. y = ln (1 – x2). Область определения функции D(y) = (-1; 1).
   1. .
   2. при всех x из (–1; 1).
   3. Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

• АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
• При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
• Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

1. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.
2. Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
3. Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.
4. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.

Примеры.

1. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

   Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

2. .

   Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

MN = MK – NK = y — yас = f(x) — (kx+b).

Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k уже известно, то , поэтому .

Для доказательства в случае x → –∞  все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞  и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

1. .
   1. Вертикальные:

      x = 0 – вертикальная асимптота.

   2. Наклонные:

      .

      При x → — ∞  получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

2. y = e–x sin x + x.
   1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот нет.
   2.  

      а) .

      Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у= х.

      б) , т. к.

      , поэтому при x → — ∞  наклонных асимптот нет.

3. y = x – 2arctg x.
   1. Вертикальных асимптот нет.
   2.  

      а) .

      . Наклонная асимптота y = x – π при .

      б) при .

Источник: https://toehelp.ru/theory/math/lecture10/lecture10.html

1.4 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Достаточное
условие выпуклости (вогнутости).Пусть
функцияимеет вторую производную на интервале.

Тогда, еслина этом интервале, то функция выпукла,
если,
то график функции вогнутый на этом
интервале.

Точка графика
непрерывной функции ,
отделяющая его части выпуклости и
вогнутости, называетсяточкой перегиба(рис. 5).

Необходимое
условие точки перегиба. Если– точка перегиба функции,
то в этой точке вторая производная
функции либо равна нулю (), либо не существует.

Точки, в которых
вторая производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими
точками 2 –го рода.

Точки перегиба
следует искать среди критических точек
2- го рода.

Первое достаточное
условие точки перегиба. Пусть функцияимеет первую производную в точке

png» width=»24″>и вторую производную в некоторой
окрестности этой точки (кроме, быть
может самой точки). Тогда если при
переходе через точкувторая производная меняет знак, то

png» width=»24″>- точка перегиба.

Второе достаточное
условие точки перегиба.Пусть в точкефункцияимеет производные до третьего порядка
включительно.

Тогда если,
а,
то– точка перегиба этой функции.

Прямая
линияmназываетсяасимптотойграфика функции

a_42/img-byrx7H.png» width=»63″>,
если расстояниеdот
точкиM, лежащей на
этом графике, до прямойmстремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по графику от начала
координат в бесконечность (Рис.

6 а),
б), в)).

Асимптоты бывают
трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные (рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).

Прямая называетсявертикальной асимптотойграфика функции

png» width=»40″>,
если хотя бы один из односторонних
пределови

png» width=»82″>равен бесконечности.

разрыва
функции. Тогда уравнение вертикальных
асимптот .
Вертикальные асимптоты могут быть и на
границе области определения функции.
Например, как у функции.

Прямая называетсянаклонной асимптотойграфика
функциипри

a_42/img-VBkXlg.png» width=»54″>(при),
если(соответственно,

png» width=»168″>).

Уравнение наклонной
асимптоты к графику функции ищем
виде,
где

Если хотя бы один
из пределов (*) и (**) не существует или
равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты
графика функциипри

png» width=»54″>имогут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (*) и (**) следует отдельно
рассматривать случай, когдаи когда.

Частным случаем
наклонной асимптоты (при )
являетсягоризонтальная асимптота.

Прямая является горизонтальной асимптотой
графика функциипри

png» width=»54″>(при)
тогда и только тогда, когда(соответственно,

png» width=»95″>).

1. Общая схема исследования функции и построение графиков функций.

1. найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3. найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно);

4. найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых и);

5. найти асимптоты;

6. найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7. найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

8. построить график функции.

Приведенная схема
исследования не является обязательной.
В более простых случаях достаточно
выполнить лишь несколько операций,
например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым
вычислить несколько дополнительных
точек.

Источник: https://studfile.net/preview/5125472/page:2/

Точки перегиба функции онлайн

Точкой перегиба функции называется такая точка в которой выпуклость меняется на вогнутость.

Поясним вышесказанное на примере. Рассмотрим функцию, изображенную на рисунке.

Из графика следует, что на интервале график функции является выпуклым вверх (или вогнутым вниз). На интервале — выпуклым вниз (или вогнутым вверх). При этом точка является точкой перегиба функции.

Интервалы выпуклости (вогнутости) функции легко найти, используя следующую теорему:

Если на некотором промежутке вторая производная функции положительна, тогда график функции является выпуклым вниз на этом промежутке. Если отрицательна — выпуклым вверх. Т.е.:

Стоит также отметить, что в точках перегиба функции вторая производная равна нулю и при переходе через такие точки меняет свой знак.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет найти точки перегиба функции с описанием подробного хода решения.

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x) , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) Определение: Точка графика функции y=f(x) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x) , в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

1. Найти вторую производную f’’(x) .
2. Найти критические точки II рода функции y=f(x) , т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если при этом критическая точка x₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.
4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1 . Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0 . x=2 .

Пример 2 . Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Пример 3 . Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.

Когда мы чертим график функции, важно определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Они, наряду с промежутками убывания и возрастания, нужны нам для четкого представления функции в графическом виде.

Понимание этой темы требует знания того, что такое производная функции и как ее вычислить до некоторого порядка, а также умения решать разные виды неравенств.

В начале статьи определяются основные понятия. Потом мы покажем, какая связь существует между направлением выпуклости и значением второй производной на определенном интервале. Далее мы укажем условия, в которых можно определить точки перегиба графика. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.

Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:

Точка перегиба функции – это точка M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) , в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x 0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.

Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным. Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.

Как найти интервалы выпуклости функции

В этом пункте мы расскажем о теореме, с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.

График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y = f ( x ) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f » ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ X ( f » ( x ) ≤ 0 ∀ x ∈ X ) будет верным.

Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f » ( x ) ≥ 0 и f » ( x ) ≤ 0 на области определения соответствующей функции.

Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y = f ( x ) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.

Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.

Условие: дана функция y = x 3 6 — x 2 + 3 x — 1 . Определите, на каких промежутках ее график будет иметь выпуклости и вогнутости.

Решение

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Начнем с вычисления второй производной.

y ‘ = x 3 6 — x 2 + 3 x — 1 ‘ = x 2 2 — 2 x + 3 ⇒ y ‘ ‘ = x 2 2 — 2 x + 3 = x — 2

Мы видим, что область определения второй производной совпала с областью самой функции Значит, для выявления интервалов выпуклостей нам надо решить неравенства f » ( x ) ≥ 0 и f » ( x ) ≤ 0 .

y » ≥ 0 ⇔ x — 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y » ≤ 0 ⇔ x — 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Мы получили, что график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [ 2 ; + ∞ ) и выпуклость на отрезке ( — ∞ ; 2 ] .

Для наглядности изобразим график функции и отметим на нем выпуклую часть синим, а вогнутую – красным цветом.

Ответ: график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [ 2 ; + ∞ ) и выпуклость на отрезке ( — ∞ ; 2 ] .

А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.

Условие: дана функция y = 8 x x — 1 . Определите, в каких промежутках ее график будет иметь вогнутость, а в каких – выпуклость.

Решение

Для начала выясним область определения функции.

x ≥ 0 x — 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Теперь вычисляем вторую производную:

y ‘ = 8 x x — 1 ‘ = 8 · 1 2 x · ( x — 1 ) — x · 1 ( x — 1 ) 2 = — 4 · x + 1 x · ( x — 1 ) 2 y » = — 4 · x + 1 x · ( x — 1 ) 2 ‘ = — 4 · 1 · x · x — 1 2 — ( x + 1 ) · x · x — 1 2 ‘ x · ( x — 1 ) 4 = = — 4 · 1 · x · x — 1 2 — x + 1 · 1 2 x · ( x — 1 ) 2 + x · 2 ( x — 1 ) x · x — 1 4 = = 2 · 3 x 2 + 6 x — 1 x 3 2 · ( x — 1 ) 3

Область определения второй производной – это множество x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) . Мы видим, что x , равный нулю, будет принадлежать области определения исходной функции, но не области определения второй производной. Эту точку нужно обязательно включить в отрезок вогнутости или выпуклости.

После этого нам надо решить неравенства f » ( x ) ≥ 0 и f » ( x ) ≤ 0 на области определения заданной функции. Используем для этого метод интервалов: при x = — 1 — 2 3 3 ≈ — 2 , 1547 или x = — 1 + 2 3 3 ≈ 0 , 1547 числитель 2 · ( 3 x 2 + 6 x — 1 ) x 2 3 · x — 1 3 обращается в 0 , а знаменатель равен 0 при x , равном нулю или единице.

Нанесем получившиеся точки на график и определим знак выражения на всех интервалах, которые войдут в область определения исходной функции. На графике эта область обозначена штриховкой. Если значение положительно, отмечаем интервал плюсом, если отрицательно, то минусом.

f » ( x ) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) ⇔ x ∈ 0 ; — 1 + 2 3 3 ∪ ( 1 ; + ∞ ) , а f » ( x ) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) ⇔ x ∈ [ — 1 + 2 3 3 ; 1 )

Включаем ранее отмеченную точку x = 0 и получаем нужный ответ. График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0 ; — 1 + 2 3 3 ∪ ( 1 ; + ∞ ) , и вверх – при x ∈ [ — 1 + 2 3 3 ; 1 ) .

Изобразим график, отметив на нем выпуклую часть синим, а вогнутую красным цветом. Вертикальная асимптота отмечена черным пунктиром.

Ответ: График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0 ; — 1 + 2 3 3 ∪ ( 1 ; + ∞ ) , и вверх – при x ∈ [ — 1 + 2 3 3 ; 1 ) .

Условия перегиба графика функции

Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.

Допустим, что у нас есть функция y = f ( x ) , график которой имеет точку перегиба. При x = x 0 у него есть непрерывная вторая производная, следовательно, будет выполняться равенство f » ( x 0 ) = 0 .

Учитывая данное условие, нам следует поискать точки перегиба среди тех, в которых вторая производная будет обращаться в 0 . Это условие не будет достаточным: не все такие точки нам подойдут.

Также обратите внимание, что, согласно общему определению, нам нужна будет касательная прямая, вертикальная или невертикальная. На практике это означает, что для нахождения точек перегиба следует взять те, в которых вторая производная данной функции обращается в 0 . Следовательно, чтобы найти абсциссы точек перегиба, нам нужно взять все x 0 из области определения функции, где lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ . Чаще всего это такие точки, в которых знаменатель первой производной обращается в 0 .

Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции

Мы нашли все значения x 0 , которые можно взять в качестве абсцисс точек перегиба. После этого нам нужно применить первое достаточное условие перегиба.

Допустим, что у нас есть функция y = f ( x ) , которая является непрерывной в точке M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) . При этом она имеет на этой точке касательную, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки x 0 . В таком случае если с левой и правой стороны вторая производная приобретает противоположные знаки, то данную точку можно считать точкой перегиба.

Мы видим, что данное условие не требует, что в этой точке непременно существовала вторая производная, достаточно ее наличия в окрестности точки x 0 .

Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.

Как найти точки перегиба графика функции

1. Для начала нужно найти все абсциссы x 0 возможных точек перегиба, где f » ( x 0 ) = 0 , lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ , lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ .
2. Выясним, в каких точках производная будет менять знак. Эти значения и есть абсциссы точек перегиба, а точки M ( x 0 ; f ( x 0 ) ) , соответствующие им, – это сами точки перегиба.

Для наглядности разберем две задачи.

Условие: дана функция y = 1 10 · x 4 12 — x 3 6 — 3 x 2 + 2 x . Определите, где график данной функции будет иметь точки перегиба и выпуклости.

Решение

Указанная функция определена на всем множестве действительных чисел. Считаем первую производную:

y ‘ = 1 10 · x 4 12 — x 3 6 — 3 x 2 + 2 x ‘ = 1 10 · 4 x 3 12 — 3 x 2 6 — 6 x + 2 = = 1 10 · x 3 3 — x 2 2 — 6 x + 2

Теперь найдем область определения первой производной. Это также множество всех действительных чисел. Значит, равенства lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ не могут быть выполнены ни при каких значениях x 0 .

Вычисляем вторую производную:

y ‘ ‘ = = 1 10 · x 3 3 — x 2 2 — 6 x + 2 ‘ = 1 10 · 3 x 2 3 — 2 x 2 — 6 = 1 10 · x 2 — x — 6

Далее определяем, когда она будет обращаться в 0 :

y » = 0 ⇔ 1 10 · ( x 2 — x — 6 ) = 0 ⇔ x 2 — x — 6 = 0 D = ( — 1 ) 2 — 4 · 1 · ( — 6 ) = 25 x 1 = 1 — 25 2 = — 2 , x 2 = 1 + 25 2 = 3

Мы нашли абсциссы двух вероятных точек перегиба – 2 и 3 . Все, что нам осталось сделать – это проверить, в какой точке производная изменит свой знак. Изобразим числовую ось и нанесем на нее данные точки, после чего расставим знаки второй производной на получившихся промежутках.

Дуги показывают направление выпуклости графика в каждом интервале.

Вторая производная меняет знак на противоположный (с плюса на минус) в точке с абсциссой 3 , проходя через нее слева направо, и также делает это (с минуса на плюс) в точке с абсциссой 3 . Значит, мы можем сделать вывод, что x = — 2 и x = 3 – это абсциссы точек перегиба графика функции. Им будут соответствовать точки графика — 2 ; — 4 3 и 3 ; — 15 8 .

Взглянем вновь на изображение числовой оси и получившиеся знаки на интервалах, чтобы сделать выводы о местах вогнутости и выпуклости. Получается, что выпуклость будет расположена на отрезке — 2 ; 3 , а вогнутость на отрезках ( — ∞ ; — 2 ] и [ 3 ; + ∞ ) .

Решение задачи наглядно изображено на графике: синий цвет – выпуклости, красный – вогнутость, черный цвет означает точки перегиба.

Ответ: выпуклость будет расположена на отрезке — 2 ; 3 , а вогнутость на отрезках ( — ∞ ; — 2 ] и [ 3 ; + ∞ ) .

Условие: вычислите абсциссы всех точек перегиба графика функции y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x — 3 3 5 .

Решение

Область определения заданной функции – множество всех действительных чисел. Вычисляем производную:

y ‘ = 1 8 · ( x 2 + 3 x + 2 ) · x — 3 3 5 ‘ = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 ‘ · ( x — 3 ) 3 5 + ( x 2 + 3 x + 2 ) · x — 3 3 5 ‘ = = 1 8 · 2 x + 3 · ( x — 3 ) 3 5 + ( x 2 + 3 x + 2 ) · 3 5 · x — 3 — 2 5 = 13 x 2 — 6 x — 39 40 · ( x — 3 ) 2 5

В отличие от функции, ее первая производная не будет определена при значении x , равном 3 , но:

lim x → 3 — 0 y ‘ ( x ) = 13 · ( 3 — 0 ) 2 — 6 · ( 3 — 0 ) — 39 40 · 3 — 0 — 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y ‘ ( x ) = 13 · ( 3 + 0 ) 2 — 6 · ( 3 + 0 ) — 39 40 · 3 + 0 — 3 2 5 = + ∞

Это значит, что через данную точку будет проходить вертикальная касательная к графику. Следовательно, 3 может быть абсциссой точки перегиба.

Вычисляем вторую производную. Также находим область ее определения и точки, в которых она обращается в 0 :

y » = 13 x 2 — 6 x — 39 40 · x — 3 2 5 ‘ = = 1 40 · 13 x 2 — 6 x — 39 ‘ · ( x — 3 ) 2 5 — 13 x 2 — 6 x — 39 · x — 3 2 5 ‘ ( x — 3 ) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 — 51 x + 21 ( x — 3 ) 7 5 , x ∈ ( — ∞ ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) y » ( x ) = 0 ⇔ 13 x 2 — 51 x + 21 = 0 D = ( — 51 ) 2 — 4 · 13 · 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 — 1509 26 ≈ 0 , 4675

У нас получились еще две возможные точки перегиба. Нанесем их все на числовую прямую и разметим получившиеся интервалы знаками:

Перемена знака будет происходить при прохождении через каждую указанную точку, значит, они все являются точками перегиба.

Ответ: Изобразим график функции, отметив вогнутости красным, выпуклости синим и точки перегиба – черным:

Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.

Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.

Второе достаточное условие перегиба графика функции

Если мы имеем f » ( x 0 ) = 0 и f »’ ( x 0 ) ≠ 0 , то x 0 будет абсциссой точки перегиба графика y = f ( x ) .

Условие: задана функция y = 1 60 x 3 — 3 20 x 2 + 7 10 x — 2 5 . Определите, будет ли график функции иметь перегиб в точке 3 ; 4 5 .

Решение

Первое, что нужно сделать, – это убедиться в том, что данная точка вообще будет принадлежать графику этой функции.

y ( 3 ) = 1 60 · 3 3 — 3 20 · 3 2 — 2 5 = 27 60 — 27 20 + 21 10 — 2 5 = 9 — 27 + 42 — 8 20 = 4 5

Заданная функция определена для всех аргументов, являющихся действительными числами. Вычислим первую и вторую производные:

y ‘ = 1 60 x 3 — 3 20 x 2 + 7 10 x — 2 5 ‘ = 1 20 x 2 — 3 10 x + 7 10 y » = 1 20 x 2 — 3 10 x + 7 10 ‘ = 1 10 x — 3 10 = 1 10 ( x — 3 )

Мы получили, что вторая производная будет обращаться в 0 , если x будет равен 0 . Значит, необходимое условие перегиба для этой точки будет выполнено. Теперь используем второе условие: найдем третью производную и выясним, будет ли она обращаться в 0 при 3 :

y ‘ ‘ ‘ = 1 10 ( x — 3 ) ‘ = 1 10

Третья производная не будет обращаться в нуль ни при одном значении x. Поэтому можно заключить, что данная точка будет точкой перегиба графика функции.

Ответ: Покажем решение на иллюстрации:

Третье достаточное условие перегиба графика функции

Допустим, что f ‘ ( x 0 ) = 0 , f » ( x 0 ) = 0 , . . . , f ( n ) ( x 0 ) = 0 и f ( n + 1 ) ( x 0 ) ≠ 0 .В таком случае при четном n мы получим, что x 0 – это абсцисса точки перегиба графика y = f ( x ) .

Условие: дана функция y = ( x — 3 ) 5 + 1 . Вычислите точки перегиба ее графика.

Решение

Данная функция является определенной на всем множестве действительных чисел. Вычисляем производную: y ‘ = ( ( x — 3 ) 5 + 1 ) ‘ = 5 · x — 3 4 . Поскольку она тоже будет определена для всех действительных значений аргумента, то в любой точке ее графике будет существовать невертикальная касательная.

Теперь вычислим, при каких значениях вторая производная будет обращаться в 0 :

y » = 5 · ( x — 3 ) 4 ‘ = 20 · x — 3 3 y » = 0 ⇔ x — 3 = 0 ⇔ x = 3

Мы получили, что при x = 3 график функции может иметь точку перегиба. Используем третье условие, чтобы подтвердить это:

y ‘ ‘ ‘ = 20 · ( x — 3 ) 3 ‘ = 60 · x — 3 2 , y ‘ ‘ ‘ ( 3 ) = 60 · 3 — 3 2 = 0 y ( 4 ) = 60 · ( x — 3 ) 2 ‘ = 120 · ( x — 3 ) , y ( 4 ) ( 3 ) = 120 · ( 3 — 3 ) = 0 y ( 5 ) = 120 · ( x — 3 ) ‘ = 120 , y ( 5 ) ( 3 ) = 120 ≠ 0

Имеем n = 4 по третьему достаточному условию. Это четное число, значит, x = 3 будет абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции ( 3 ; 1 ) .

Ответ: Вот график данной функции с отмеченными выпуклостями, вогнутостями и точкой перегиба: