Как найти абсолютное отклонение от среднего арифметического

From Wikipedia, the free encyclopedia

The average absolute deviation (AAD) of a data set is the average of the absolute deviations from a central point. It is a summary statistic of statistical dispersion or variability. In the general form, the central point can be a mean, median, mode, or the result of any other measure of central tendency or any reference value related to the given data set.
AAD includes the mean absolute deviation and the median absolute deviation (both abbreviated as MAD).

Measures of dispersion[edit]

Several measures of statistical dispersion are defined in terms of the absolute deviation.
The term «average absolute deviation» does not uniquely identify a measure of statistical dispersion, as there are several measures that can be used to measure absolute deviations, and there are several measures of central tendency that can be used as well. Thus, to uniquely identify the absolute deviation it is necessary to specify both the measure of deviation and the measure of central tendency. Unfortunately, the statistical literature has not yet adopted a standard notation, as both the mean absolute deviation around the mean and the median absolute deviation around the median have been denoted by their initials «MAD» in the literature, which may lead to confusion, since in general, they may have values considerably different from each other.

Mean absolute deviation around a central point[edit]

For paired differences (also known as mean absolute deviation), see Mean absolute error.

The mean absolute deviation of a set {x₁, x₂, …, x_n} is

The choice of measure of central tendency, , has a marked effect on the value of the mean deviation. For example, for the data set {2, 2, 3, 4, 14}:

Measure of central tendency	Mean absolute deviation
Arithmetic Mean = 5
Median = 3
Mode = 2

Mean absolute deviation around the mean[edit]

The mean absolute deviation (MAD), also referred to as the «mean deviation» or sometimes «average absolute deviation», is the mean of the data’s absolute deviations around the data’s mean: the average (absolute) distance from the mean. «Average absolute deviation» can refer to either this usage, or to the general form with respect to a specified central point (see above).

MAD has been proposed to be used in place of standard deviation since it corresponds better to real life.^[1] Because the MAD is a simpler measure of variability than the standard deviation, it can be useful in school teaching.^[2][3]

This method’s forecast accuracy is very closely related to the mean squared error (MSE) method which is just the average squared error of the forecasts. Although these methods are very closely related, MAD is more commonly used because it is both easier to compute (avoiding the need for squaring)^[4] and easier to understand.^[5]

For the normal distribution, the ratio of mean absolute deviation from the mean to standard deviation is . Thus if X is a normally distributed random variable with expected value 0 then, see Geary (1935):^[6]

In other words, for a normal distribution, mean absolute deviation is about 0.8 times the standard deviation.
However, in-sample measurements deliver values of the ratio of mean average deviation / standard deviation for a given Gaussian sample n with the following bounds: , with a bias for small n.^[7]

The mean absolute deviation from the mean is less than or equal to the standard deviation; one way of proving this relies on Jensen’s inequality.

Mean absolute deviation around the median[edit]

The median is the point about which the mean deviation is minimized. The MAD median offers a direct measure of the scale of a random variable around its median

This is the maximum likelihood estimator of the scale parameter of the Laplace distribution.

Since the median minimizes the average absolute distance, we have .
The mean absolute deviation from the median is less than or equal to the mean absolute deviation from the mean. In fact, the mean absolute deviation from the median is always less than or equal to the mean absolute deviation from any other fixed number.

By using the general dispersion function, Habib (2011) defined MAD about median as

where the indicator function is

This representation allows for obtaining MAD median correlation coefficients.^{[citation needed]}

Median absolute deviation around a central point[edit]

While in principle the mean or any other central point could be taken as the central point for the median absolute deviation, most often the median value is taken instead.

Median absolute deviation around the median[edit]

The median absolute deviation (also MAD) is the median of the absolute deviation from the median. It is a robust estimator of dispersion.

For the example {2, 2, 3, 4, 14}: 3 is the median, so the absolute deviations from the median are {1, 1, 0, 1, 11} (reordered as {0, 1, 1, 1, 11}) with a median of 1, in this case unaffected by the value of the outlier 14, so the median absolute deviation is 1.

For a symmetric distribution, the median absolute deviation is equal to half the interquartile range.

Maximum absolute deviation[edit]

The maximum absolute deviation around an arbitrary point is the maximum of the absolute deviations of a sample from that point. While not strictly a measure of central tendency, the maximum absolute deviation can be found using the formula for the average absolute deviation as above with , where is the sample maximum.

Minimization[edit]

The measures of statistical dispersion derived from absolute deviation characterize various measures of central tendency as minimizing dispersion:
The median is the measure of central tendency most associated with the absolute deviation. Some location parameters can be compared as follows:

• L² norm statistics: the mean minimizes the mean squared error
• L¹ norm statistics: the median minimizes average absolute deviation,
• L^∞ norm statistics: the mid-range minimizes the maximum absolute deviation
• trimmed L^∞ norm statistics: for example, the midhinge (average of first and third quartiles) which minimizes the median absolute deviation of the whole distribution, also minimizes the maximum absolute deviation of the distribution after the top and bottom 25% have been trimmed off.

Estimation[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (March 2009)

The mean absolute deviation of a sample is a biased estimator of the mean absolute deviation of the population.
In order for the absolute deviation to be an unbiased estimator, the expected value (average) of all the sample absolute deviations must equal the population absolute deviation. However, it does not. For the population 1,2,3 both the population absolute deviation about the median and the population absolute deviation about the mean are 2/3. The average of all the sample absolute deviations about the mean of size 3 that can be drawn from the population is 44/81, while the average of all the sample absolute deviations about the median is 4/9. Therefore, the absolute deviation is a biased estimator.

However, this argument is based on the notion of mean-unbiasedness. Each measure of location has its own form of unbiasedness (see entry on biased estimator). The relevant form of unbiasedness here is median unbiasedness.

See also[edit]

• Deviation (statistics)
  • Median absolute deviation
  • Squared deviations
  • Least absolute deviations
• Errors
  • Mean absolute error
  • Mean absolute percentage error
  • Probable error
• Mean absolute difference
• Average rectified value

References[edit]

External links[edit]

• Advantages of the mean absolute deviation

Вычисление среднего отклонения может быть эффективным способом анализа изменчивости в наборе данных. Независимо от точного характера собранных данных, знание их среднего отклонения может помочь вам в их интерпретации. Знание того, как рассчитать среднее отклонение — ценный навык, но он требует изучения и практики. В этой статье мы обсудим, что такое среднее отклонение, как его рассчитать, а также различия между абсолютным и средним отклонением, средним средним и средним отклонением от среднего и стандартным отклонением в сравнении со средним отклонением.

Что такое среднее отклонение?

Среднее отклонение набора данных — это среднее значение всех отклонений от заданной центральной точки. Это статистический инструмент для измерения расстояния от среднего значения или медианы, где среднее значение — это среднее значение всех чисел в наборе данных, а медиана — это точное среднее число, когда мы упорядочиваем набор данных от самого низкого до самого высокого числа. Среднее отклонение набора данных также называется средним абсолютным отклонением (MAD) или средним абсолютным отклонением.

Хотя при работе с относительно небольшими наборами данных вы можете рассчитать среднее отклонение вручную, для больших наборов данных обычно требуется специальное программное обеспечение, которое выполняет расчеты за вас после ввода исходных данных.

Как рассчитать среднее отклонение

Рассмотрим эти шаги при расчете среднего отклонения набора данных:

1. Рассчитать среднюю медиану

Первый шаг — вычисление среднего значения. Вы можете сделать это, сложив все значения в наборе данных и разделив полученную сумму на общее количество значений.

Также можно вычислить медиану, если вы хотите использовать ее вместо среднего значения. Расположите все числа в числовом порядке и подсчитайте, сколько их всего. Затем, если общее число нечетное, разделите его на два и округлите, чтобы найти положение медианы. Если общее число четное, разделите его на два и сделайте среднее между числом в этой позиции и числом в следующей более высокой позиции.

2. Рассчитайте отклонение от среднего значения

После расчета среднего значения можно рассчитать отклонение от среднего для каждого значения в наборе данных. Вычислите разницу между ранее рассчитанным средним и каждым значением в наборе данных и запишите абсолютное значение получившихся чисел. Абсолютное значение числа — это его модуль или неотрицательное значение. Поскольку направление каждого отклонения не имеет значения при расчете среднего отклонения, все результирующие числа положительны.

3. Вычислите сумму всех отклонений

После вычисления отклонения от среднего значения для каждого значения в наборе данных необходимо сложить их вместе. Поскольку это операция с абсолютным значением, каждое значение должно быть положительным числом.

4. Вычислить среднее отклонение

Наконец, рассчитайте среднее отклонение вашего набора данных, разделив ранее рассчитанную сумму всех отклонений на общее количество отклонений, которые вы сложили вместе. Полученное число — это среднее отклонение от среднего.

Пример

Рассмотрите этот пример при расчете среднего отклонения от среднего значения.

Баскетболист сыграл 5 игр в этом сезоне. Числа очков в каждой игре: 23, 30, 31, 15 и 46.

Первый шаг — вычисление среднего значения. Вы делаете это, складывая очки и деля результат на пять игр.

23+30+31+15+46=145

1455=29

Теперь, когда вы определили, что игрок набирал в среднем 29 очков за игру, вам нужно рассчитать отклонение от среднего значения для каждой игры.

23-29=6

30-29=1

31-29=2

15-29=14

46-29=17

Далее необходимо вычислить сумму всех вариаций.

6+1+2+14+17=40

Среднее отклонение — это сумма всех отклонений, деленная на общее количество записей.

Среднее отклонение=405=8

Среднее отклонение от среднего значения по очкам, набранным в первых пяти играх сезона, составляет 8.

Абсолютное отклонение vs. среднее отклонение

Вычисление абсолютного отклонения является важным шагом для определения среднего отклонения. Абсолютное отклонение — это разница между средним значением набора данных и каждым значением в соответствующем наборе данных. Название абсолютного отклонения происходит от того, что все полученные числа записываются как абсолютные числа. Мера выражает расстояние между средним и каждым значением, поэтому отрицательное или положительное число не имеет значения.

После расчета абсолютного отклонения для каждого значения в наборе данных можно рассчитать среднее отклонение, сложив их все вместе и разделив на общее количество значений в наборе данных.

Среднее значение против. среднее отклонение от среднего

Вычисление среднего значения также является важным шагом для определения среднего отклонения от среднего значения. Среднее среднее — это просто сумма всех значений, включенных в набор данных, деленная на общее количество значений. Вычисление среднего значения помогает определить отклонение от среднего путем вычисления разницы между средним и каждым значением. Далее разделите сумму всех ранее рассчитанных значений на количество отклонений, сложенных вместе, и в результате получите среднее отклонение от среднего.

Стандартное отклонение против. среднее отклонение

Стандартное отклонение также является мерой изменчивости в наборе данных, так как оно показывает размер отклонения между всеми значениями в наборе данных. Основное различие между ними заключается в том, что значения, полученные в результате вычитания среднего из значения каждой точки данных, записываются как абсолютные только при вычислении среднего отклонения. Чтобы рассчитать стандартное отклонение, полученные значения записываются не в абсолютных величинах, а в квадрате. Затем необходимо вычислить среднее арифметическое всех квадратных значений. Квадратный корень из этого среднего значения является стандартным средним значением.

Стандартное отклонение чаще всего используется для измерения изменчивости, являясь очень популярным инструментом для расчета волатильности финансовых инструментов и потенциальной инвестиционной доходности. Более высокая волатильность обычно означает, что существует повышенный риск того, что инвестиции принесут убытки. Это означает, что инвестор, который берет на себя риск высоковолатильной ценной бумаги, обычно ожидает от нее высокой доходности. Среднее отклонение также используется в качестве финансового инструмента, но, как правило, реже, чем стандартное отклонение.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?