Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».
Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.
Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это
разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:
ΔА = А — Апр .
Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной
погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.
Относительная погрешность измерения
εА равна:
При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:
В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из
множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.
Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:
ΔА = εA· А.
«Правило ничтожных погрешностей»
при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟4 от другого.
Запись результата с указанием погрешности.
Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.
Пример:
Результат записывается в виде:
А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.
При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении
погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения). Значение величины и погрешность следует
выражать в одних и тех же единицах!
Пример:
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?
Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за
топливо?
Погрешности косвенных измерений
Теперь
необходимо рассмотреть вопрос о том,
как находить погрешность физической
величины ,
которая определяется путем косвенных
измерений. Общий вид уравнения измерения
Y=f(Х1,Х2, … ,Хn), (1.4)
где Хj– различные физические
величины, которые получены экспериментатором
путем прямых измерений, или физические
константы, известные с заданной точностью.
В формуле они являются аргументами
функции.
В
практике измерений широко используют
два способа расчета погрешности косвенных
измерений. Оба способа дают практически
одинаковый результат.
Способ
1. Сначала находится абсолютная,
а затем относительнаяпогрешности. Этот способ рекомендуется
для таких уравнений измерения, которые
содержат суммы и разности аргументов.
Общая формула для расчета абсолютной
погрешности при косвенных измерениях
физической величины Yдля произвольного
видаf функции имеет вид:
(1.5)
где 
частные производные функцииY=f(Х1,Х2, … ,Хn) по
аргументуХj,
общая погрешность прямых измерений
величиныХj.
Для
нахождения относительной погрешности
нужно прежде всего найти среднее значение
величины Y. Для этого в уравнение
измерения (1.4) надо подставить средние
арифметические значения величинXj.
То есть
среднее значение величины Yравно:
.
Теперь легко найти относительную
погрешность:
.
Пример: найти погрешность измерения
объёмаVцилиндра. Высотуhи
диаметрDцилиндра считаем определёнными
путём прямых измерений, причём пусть
количество измеренийn=10.
Формула
для расчета объёма цилиндра, то есть
уравнение измерения имеет вид:
Пусть
приР=0,68;
приР=0,68.
Тогда,
подставляя в формулу (1.5) средние значения,
найдём:
Погрешность
Vв
данном примере зависит, как видно, в
основном от погрешности измерения
диаметра.
Средний объём
равен:
,
относительная погрешностьV
равна:
, илиV=19%.
Окончательный результат после округления:
V=(479)
мм3, V=19%,
Р=0,68.
Способ
2.Этот способ определения погрешности
косвенных измерений отличается от
первого способа меньшими математическими
трудностями, поэтому его чаще используют.
В начале
находят относительную погрешность ,
и только затем абсолютную.
Особенно удобен этот способ, если
уравнение измерения содержит только
произведения и отношения аргументов.
Порядок
действий можно рассмотреть на том же
конкретном примере — определение
погрешности при измерении объёма
цилиндра
.
Все
численные значения входящих в формулу
величин сохраним теми же, что и при
расчетах по способу 1.
Пусть
мм,
;
приР=0,68;
;
при Р=0,68.
-погрешность
округления числа
(см. рис. 1.1)
При
использовании способа 2следует
действовать так:
1) прологарифмировать
уравнение измерения (берём натуральный
логарифм)
.
найти
дифференциалы от левой и правой частей,
считая
независимыми переменными,
;
2) заменить
дифференциал каждой величины на
абсолютную погрешность этой же величины,
а знаки “минус”, если же они есть перед
погрешностями на “плюс”:
;
3)
казалось бы, что с помощью этой формулы
уже можно дать оценку для относительной
погрешности
,
однако это не так. Требуется так оценить
погрешность, чтобы доверительная
вероятность этой оценки совпадала с
доверительными вероятностями оценки
погрешностей тех членов, которые стоят
в правой части формулы. Для этого, чтобы
это условие выполнялось, нужно все члены
последней формулы возвести в квадрат,
а затем извлечь корень квадратный из
обеих частей уравнения:
.
Или в других
обозначениях относительная погрешность
объёма равна:
,
причём вероятность этой оценки
погрешности объёма будет совпадать с
вероятностью оценки погрешностей
входящих в подкоренное выражение членов:
Сделав
вычисления, убедимся, что результат
совпадает с оценкой по способу 1:
Теперь,
зная относительную погрешность, находим
абсолютную:
V=0,19
· 47=9,4мм3,P=0,68.
Окончательный результат после округления:
V=
(47 ± 9) мм3,V
= 19%,P=0,68.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Вычисление погрешностей измерений
Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.
Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.
Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.
Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.
| Средства измерений | Диапазон измерений | Абсолютная инструментальная погрешность |
| Линейки: металлические деревянные пластмассовые |
150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм |
0,1 мм 0,5 мм 1 мм |
| Лента измерительная | 150 см | 0,5 см |
| Мензурки 2-го класса | 100, 200, 250 см3 | 5 см3 |
| Амперметр школьный | 2 А | 0,05 А |
| Миллиамперметр | от 0 до Imax | 4 % максимального предела измерений Imax |
| Вольтметр школьный | 6 В | 0,15 В |
| Термометр лабораторный | 100 °С | 1 °С |
| Барометр-анероид | 720–780 мм рт. ст. | 3 мм рт. ст. |
| Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм | 155, 250, 350 мм | 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса |
| Микрометры с ценой деления 0,01 мм | 0–25, 25–50, 50–75 мм | 0,004 мм |
Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.
Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:
Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.
Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.
Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.
| Вид функции y | Абсолютная погрешность Δy | Относительная погрешность  |
| x1 + x2 | Δx1 + Δx2 |  |
| x1 − x2 | Δx1 + Δx2 | |
| Cx | CΔx |  |
| x1x2 | |x1| Δx2 + |x2| Δx1 |  |
 |
 |
|
| xn | |n||x|n−1Δx |  |
| lnx | |
 |
| sinx | |cosx| Δx |  |
| cosx | |sinx| Δx | |tgx| Δx |
| tgx |  |
 |
Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.