Как найти абсолютную погрешность приближенного значения

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью, или, короче, погрешностью приближенного числа, называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее).

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна (frac{3}{197}) или, округленно, (frac{3}{197}) = 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения —  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2  данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1  (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

• Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
• Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
• Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:  

1. а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
2. а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на  10^р  а = 74600·10⁴
3. а = 0,35  ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

1. а = 765000  ∆а = 5 – здесь погрешность  5<10  значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
2. а = 0,3700  ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

1. а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
2. а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
3. а = 263·10⁴ , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0, а₁ а₂ … а_k  ·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0, а₁ а₂ … а_k  –  все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной   от нуля цифры, не считаются значащими  0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

• с точностью до 10^-3   (10^-3  = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7  и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

• с точностью до 10^-2  (10^-2  = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

• с точностью до 10³  (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Раздел
1

Приближенные
числа и действия над ними

Лекция 1.

1.1.
Приближенное
значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

План лекции

1.       Приближенное значение величины. Погрешность

2.       Численные методы

3.       Абсолютная и относительная погрешности

1. Приближенное значение величины.
Погрешность

В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с
различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа
дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному,
причем степень близости определяется погрешностью вычисления.

Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5
пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 –
точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу
около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 – приближенные. Измерение ширины
дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными;
кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При
взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не
чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно
подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут
быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья
были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники
включены в счет количества деревьев.

Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение
величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным
значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное
значение приближенным в целях упрощения вычислений.

Таким образом, приближенным
числом а называется число, незначительно
отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.

При решении той или иной задачи вручную или на
вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не
является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с
массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью
точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее
решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.

Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:

1) неточное отображение реальных процессов с помощью
математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его
идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы
можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие
решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи
невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами,
близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;

2) приближенное выражение величин, входящих в условие
задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных,
физических констант, чисел π, е и др.;

3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются
искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся
погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса
на некотором этапе. Например, если в ряде

sin x = x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…

взять определенное количество членов и принять их сумму за
sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;

4) округление исходных данных, промежуточных или
окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное
число цифр числа.

При отбрасывании младших разрядов числа имеет место
погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку
электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей
запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить
так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное
число примет следующий вид: 0,7835479;

5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут
появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае
погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат
вычислений.

Полная погрешность является результатом сложного
взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или
иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной
погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все
их виды.

Во всех случаях полная погрешность не может превышать по
своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но
обычно она редко достигает такой максимальной величины.

Таким образом, погрешности можно подразделить на три
большие группы:

1) исходные, или неустранимые, к которым относятся
погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов
и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с
действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все
вычисления и, являются неустранимыми;

2) погрешности округления (зарождающиеся), которые
появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и
окончательных результатов;

3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных
процессов конечной последовательностью действий;

2. Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение
математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что
мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в
привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное
значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических
методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных
ЭВМ.

Под численными методами подразумевается методы решения
задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над
числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В зависимости от сложности задачи, заданной точности,
применяемого метода и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков
многих миллиардов действий. Если число действий не превышают тысячи, то с такой
задачей обычно может справиться человек, имя в распоряжении калькулятор и набор
таблиц элементарных функций. Однако без ЭВМ явно не обойтись, если для решения
задач нужно выполнить, скажем, порядка миллиона действий и тем более, когда
решение должно быть найдено в жатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является
приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Оценка погрешности может быть произведена: с помощью
абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью
остаточного члена; с помощью статистических оценок.

При работе с приближенными величинами вычислитель должен
уметь:

а) давать математические характеристики точности
приближенных величин;

б) зная степень точности исходных данных, оценить степень
точности результатов;

в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы
обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком
завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных
расчетов;

г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы
избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

3. Абсолютная и относительная
погрешности

Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное
числовое значение некоторой величины.

a* –
известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).

Абсолютная величина разности между точным числом и его
приближенным значением  называется абсолютной погрешностью приближенного числа:

                                    
                                                                                   (1)

Здесь возможны два случая.

1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная;
погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).

Пример 1. Пусть a
= 784,2737, a* = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δа
= |а- a*| = |784,2737—784,274| = 0,0003.

2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить
абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием
границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству

|a — a*|  Δ_а*

Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо
превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется
предельной абсолютной погрешностью.

Следовательно, если Δ_а* – предельная
абсолютная погрешность, то

Δ(а*) = |а- a*| Δ_а*                                                                                                                 (2)

Значение точного числа А всегда заключено в следующих
границах:

a* — Δ_а* a  a* + Δ_а*.                                                                                                            (3)

Выражение a* — Δ_а* есть приближение числа
a по недостатку, а а + Δ_а* – приближение числа a
по избытку. Значение числа a записывается так:

a = а ± Δ_а*                                                                                                                                 (3′)

На
практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до
1 см и т. д. Это означает, что предельная абсолютная погрешность соответственно
равна 0,01; 1 см и т. д.

Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05
см, то пишут l= 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная
погрешность Δ_l*= 0,05 см, а точная величина
длины l отрезка заключена в следующих
границах: 183,95 см  l  184,05 см.

По
абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или
плохо произведено измерение.

Пример 5. Пусть при измерении книги и
длины стола были получены результаты: l₁ =
28,4 ±0,1 (см) и l₂ = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во
втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако
второе измерение было произведено более точно, чем первое.

Для
того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить,
какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от
измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Относительной
погрешностью _а приближенного числа а называется
отношение абсолютной погрешности Δ_а к модулю точного числа А
(А0), т.е.

_а=                                          (4)

Отсюда

Δ_а = |A| _а                                         (4’)

Число
^*_а, заведомо
превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей),
называется предельной относительной погрешностью:

_а^*_а
.         
                               (5)

Из
соотношений (4) и (5) вытекает, что

^*_а; Δ_а|A| _а*.

Из
определения предельной абсолютной погрешности следует, что Δ_аΔ_а^*_.
Тогда можно записать

Δ_а^*=|A| _а*.          
                        (6)

и
за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно
принять

_а* = .                                         (7)

Учитывая,
что А, как правило, неизвестно и  что А  а,
равенства (6) и (7) можно записать так:

Δ_а^*=|a| _а*,                                        
(6′)

_а* = .                                         (7’)

Очевидно, что как
относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность
представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых
выражаются результаты измерений.

X	Δx	Y	Δy
50030’10’’	3’’	45015’36’’	2’’