Как найти абсолютную погрешность результата серии измерений - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения
Систематическая и случайная погрешности
Определение абсолютной погрешности
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Примеры

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Теоретическая погрешность

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$

Например:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

$m_i,г$

98,4

99,2

98,1

100,3

98,5

$Delta m_i, г$

1,6

0,8

1,9

0,3

1,5

Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $

Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.

Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений

Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = overline{1, N}$.

Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:

$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$

Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:

$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$

Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.

Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:

$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$

Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:

$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$

Значащие цифры и правила округления результатов измерений

Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Например:

0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.

5,01 — три значащие цифры.

5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.

Внимание!

Правила округления.

Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).

Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.

Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:

$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$

Примеры

Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?

По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:

$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 \ a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 \ h = 0,04end{array} right.} $$

$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$

Ответ: 0,04 ℃

Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.

$x_i$

15,3

16,4

15,3

15,8

15,7

16,2

15,9

Находим среднее арифметическое:

$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$

Находим абсолютные погрешности:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

$ Delta x_i$

0,5

0,6

0,5

0,1

0,4

0,1

Находим среднее арифметическое:

$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$

Выбираем большую величину:

$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max⁡ {0,1; 0,31} = 0,31 $$

Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.

Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$

Границы: $15,4 le x le 16,2$

Ответ: $15,4 le x le 16,2$

Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.

Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 \ 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 \ 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 \ 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$

Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:

$$ 5,3 le a le 5,9 $$

Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $

Источник

где
— абсолютное значение разности между
величинойх_i,
полученной вi– том измерении и
средним значением <х>. Абсолютная
погрешность опыта характеризует таким
образом качество проведённых измерений,
т. е. указывает, на сколько истинное
значение измеряемой величины может
отличаться от значения, измеренного в
опыте.

3. Для оценки точности, с которой
определена измеряемая величина,
используется понятие относительной
погрешности:

Таким образом, относительная погрешность
показывает, какая часть абсолютной
погрешности приходится на каждую единицу
измеряемой величины.

Пример. При измерении толщиныh
стеклянной пластинки с помощью
микрометра было сделано четыре измерения,
результаты которых занесены в табл. 1:

Таблица 1.

Результаты измерений толщины стеклянной
пластинки

№ измерения	h, мм	< h>, мм	Δ h_i, мм	Δ h, мм	ε_h, %
1	3,82	3,84	— 0,02	0,03	0,8
2	3,85	+ 0,01
3	3,89	+ 0,05
4	3,80	— 0,04

По данным таблицы рассчитываем среднее
значение толщины:

Определяем абсолютную погрешность
опыта (серии измерений):

Определяем относительную погрешность:

При косвенных измеренияхискомую
величину вычисляют по результатам
прямого измерения других величин,
связанных с искомой определённой
функциональной зависимостьюy = f
(x₁,х₂,…,х_n).

Абсолютная и относительная погрешности
некоторых простейших функций приведены
в табл.2.

Таблица 2

Погрешности при косвенных измерениях
в простейших случаях

Вид функции	Абсолютная погрешность Δy	Относительная погрешность ε_y
1	2	3
x₁ + x₂	Δ x₁ + Δ x₂
1	2	3
x₁ — x₂	Δ x₁ + Δ x₂
x₁ x₂	x₁ Δ x₂ + x₂ Δ x₁	ε_x₁ + ε_x₂
x₁ / x₂		ε_x₁ + ε_x₂
xⁿ	nx^n-¹ Δ x	nε_x

e^x	e^x Δ x	Δx

Когда функция y = f (x₁,х₂,…,х_n)удобна для логарифмирования, то вначале
лучше рассчитать относительную
погрешность ε_yфункции (в %) и затем её абсолютную
погрешность

Пример. Ускорение свободного паденияgопределяется по результатам
измерений периодов колебанийТ₁иТ₂двух математических
маятников с длинамиl₁иl₂соответственно (l₁>l₂)
по формуле

где a= l₁—l₂.
Логарифмирование даёт lng=ln(4π²)
+lna–ln.
После дифференцирования lngс заменамиdaна ΔaиdТна ΔТполучим:

(предполагается, что погрешности
независимых измерений Δa,ΔТ₁и ΔТ₂усиливают
друг друга, и поэтому их влияние
учитывается в формуле со знаком плюс).
Затем найдём абсолютную погрешность

,
где.

Окончательный результат вычислений
– среднее арифметическое измеряемой
величины записывают в виде числа из
нескольких разрядов. Цифры в этом числе
делятся на значащие и незначащие. К
значащим цифрам относятся все верные
и сомнительные цифры. К незначащим
относятся: а) нули в начале числа,
определяющие разряды десятичных дробей
в числах меньших единицы; б) нули в конце
числа, заменившие цифры после округления;
в) неверные цифры, если они не были
отброшены.

Для определения значащих цифр в
результате измерения необходимо
вычислить абсолютную погрешность опыта,
числовое значение которой тоже может
содержать несколько разрядов. Но
абсолютная погрешность показывает, в
каком разряде полученного результата
содержится неточность. Поэтому её
числовое значение всегда округляется
до одной значащей цифры, кроме того, в
случае когда эта цифра представляет
единицу – в этом случае округление
производится до цифры первого младшего
разряда. Тогда сохранение цифр меньших
разрядов в среднем арифметическом
измеряемой величины теряет смысл.

Пример. В нескольких опытах по
результатам измерений периода колебаний
математического маятника было проведено
с различной погрешностью определение
ускорения свободного падения:

неправильная запись результата
правильная запись результата

g= (10,1835±0,433) м/с²g=
(10,2±0,4) м/с²

g= (9,8167±0,053) м/с²g=
(9,82±0,05) м/с²

g= (9,9423±0,132) м/с²g=
(9,94 ±0,13) м/с²

g= (10,8261±2,026) м/с²g=
(11±2) м/с²

При записи измеренного значения х
последней, таким образом, должна
указываться цифра того десятичного
разряда, который был использован при
указании погрешности. Это правило должно
соблюдаться и в тех случаях, когда
некоторые из цифр являются нулями.
Пусть, например, при вычислении gв
предыдущем опыте было получено значение
9,88 м/с²(точно), а погрешность
составила ± 0,004 м/с², то окончательный
результат следует представить в таком
виде:

g= 9,880± 0,004 м/с².

При записи окончательного результата
измерения наряду с основными единицами
СИ и производными от них допускаются к
применению кратные единицы (например,
см, МПа, мВ и т.д.) в тех случаях, когда
это упрощает запись. Полученные в ходе
эксперимента результаты часто изображают
в виде графика.

При построении графика чаще всего
пользуются прямоугольной системой
координат, причем значения аргумента
откладывают по горизонтальной оси, а
значения функции по вертикальной оси.
Начало координат не обязательно должно
совпадать с нулевыми значениями функции
и аргумента. При выборе масштаба величин,
откладываемых на осях координат, исходят
из того, чтобы получить примерно равные
отрезки, которые соответствуют
установленным в опыте интервалам
численных значений функции и аргумента.
Например, по результатам измерения
показателя преломления п водного
раствора глюкозы был построен графикп= п(с), гдес — концентрация
глюкозы (рис.1). На рис.1а график удовлетворяет
необходимым требованиям. На рис. 1б
из-за неудачного выбора масштаба и
начала отсчета дляпзависимостьп(с)почти незаметна, и такой график
бесполезен для практического применения.

Рис. 1

Использование гpафических методов
облегчается в тех случаях, когда гpафик
представляет собой прямую линию. С целью
«спрямления» гpафика исследуемой
зависимости, имеющей сложный характер,
целесообразно использовать нелинейные
шкалы, например, логарифмическую,
квадратичную и т.д. или откладывать не
сами величины аргумента и функции, а их
логарифмы, степени, обратные значения.
Например, в работе «Исследование
теплового излучения чёрного тела» с
целью экспериментальной проверки закона
Стефана – Больцмана

R_э=σТ⁴,

где R_э–
энергетическая светимость тела, аТ– его абсолютная температура, по оси
абсцисс откладывают Т, а по оси ординат
—.

Выбрав рациональные масштаб и размеры
гpафика, на координатные оси наносят
деления через 10-20 мм и обозначают их.
Затем наносят экспериментальные точки,
с которыми совмещают прямоугольные
крестики, размеры которых вдоль осей
координат ОхиОуравны удвоенным
погрешностям соответственно 2Δхи
2Δув выбранном масштабе. По отмеченным
точкам проводят линию так, чтобы она
прошла как можно ближе к экспериментальным
точкам, и чтобы равное количество их
оказалось по обе стороны от этой линии.

Для построения графиков, как правило,
используют масштабно-координатную
(миллиметровую) бумагу.

Если в лабораторной работе по графику
определяется какая-либо константа,
например, как угловой коэффициент
экспериментальной прямой y = x₀+kx,
то в этом случае тангенс угла α наклона
прямой к оси абсцисс может быть определён
только с учётом соответствующих масштабов
и единиц измерения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.