Как найти абсолютную величину угла

Уважаемый пользователь! Для получения полного доступа ко всем функциями сайта, пожалуйста, пополните счёт

При рассмотрении основных составляющих измерения углов, следует изучить исходные геометрические сведения:

• Угол.
• Развернутый угол, неразвернутый угол.
• Градус, секунда и минута.
• Градусная мера.
• Острый, прямой или тупой.

Геометрическая фигура, которая представляет собой точку — называется вершиной. А исходящие из этой вершины два луча, являются ее сторонами.

Измерение углов производится с помощью градусной меры угла. Углы измеряются таким же способом, как и отрезки, при помощи специальных единиц измерения – градусов.

Равенство градуса таково: [frac{1}{180}] от развернутого угла. Исходя из этого, можно понять, что развернутый угол равен 180 градусам, а неразвернутый угол любой меньше 180 градусов.

Чему равна градусная мера угла

Транспортир используется следующим образом:

• Совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна сторона угла должна пройти по линейке.
• Штрих на шкале транспортира, через который пройдет 2-я сторона, покажет его градусную меру.

Как найти градусную меру угла

На рисунке угол АОВ = 135 градусов. Угол АОС = 90 градусов, угол ВОС = 45 градусов. Градусная мера углов равна сумме углов, на которые он разбит лучом, который проходит между его сторонами.

Отсюда следует, что величина угла AOB на рисунке 1 равна сумме величин углов AOC и [B O C: angle A O B=angle A O C+angle B O C].

Какие бывают названия углов можно понять, разобравшись со следующими обозначениями.

• Минута – 1/60 часть градуса. Обозначается знаком ‘
• Секунда – 1/60 часть минуты. Обозначают знаком»

Например: угол в 65 градусов, 35 минут,18 секунд записывается так: 75°45’28». Если градусная мера у нескольких углов одинаковая, эти углы считаются равными. Сравнить их можно по размерам – больше или меньше. Развернутый и неразвернутый углы.

Градусная мера вписанного угла

Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, опирающуюся на нее, и половине градусной меры угла, находящегося по центру, которая опирается на эту же дугу.

Вписанный угол равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

АВ-хорда

ВС-хорда

В-точка окружности.

Углы также различаются несколькими типами:

• Прямыми
• Острыми
• Тупыми

Равность прямого угла составляет — 90 градусов. Острый равен цифре меньше 90 градусов. А тупой же – больше 90 и меньше 180 градусов. В чем же заключается важность умения измерения углов и градусной меры в жизни? Оно пригодится в исследованиях, таких как: астрономия. Например, чтобы вычислить положение различных тел в космосе. Чтобы попрактиковаться, необходимо прочертить несколько неразвернутых углов, отличающихся друг от друга. Также важно потренироваться чертить развернутые. А еще, можно при помощи транспортира поупражняться, задавая случайные цифры, в правильности воспроизведения углов.

Существует еще такое понятие, как, биссектриса.

Пример 1. Задача с биссектрисой и развернутым углом.

Рис.3 Лучи DЕ и DF – это биссектрисы, которые соответствуют углам ADB и BDC.

Теперь нужно найти угол ADC, при этом угол EDF = 75°

Ответ. Угол EDF имеет по половинке от углов ADB и BDC, это значит, что EDF – это половина самого угла ADC. Теперь получили вычисление угол ADC = 75 умножить на 2 = 150°.

Ответ: 150°

Пример 2. Задача с биссектрисой и прямым углом.

Рисунок 4.  По рисунку 4 видно, что угол АВС прямой, а углы ABE EBD DBC равны. Нужно найти угол, который образовали биссектрисы — ABE и DBC.

Решение будет таким: угол АВС прямой, и исходя из этого, можно понять что он равен 90°. Угол ЕВD=90/3=30°. Согласно правилу, углы ABE EBD DBC равны и поэтому каждый из них будет = 30°. Далее видно, что биссектриса любого из трех углов делит любой из этих углов на 2 угла, которые будут равны 15°. Обе половины углов ABE и DBC относятся к углу, который необходимо найти, то можно смело утверждать, что угол, который мы вычисляем, равен 30+15+15=60°.

Решение: 60°

Градусная мера углов треугольника

У любой геометрической фигуры, кроме округлой, имеются углы. При рассмотрении углов треугольника можно увидеть следующее: Сумма углов треугольника всегда равняется 180°. Если рассматривать прямоугольный треугольник, то можно увидеть, что один из углов равен 90°. А сумма двух других углов тоже равняется 90°.

Поэтому, если известно сколько градусов составляет один из острых углов треугольника, второй угол можно найти по формуле:

[angle a=90^{circ}-angle beta]

У прямоугольного треугольника один из углов прямой, соответственно, два других – острые.

Разъяснение острого угла таково: острым углом называется угол, значение которого составляет менее 90 градусов.

Исходя из вышесказанного, можно отметить, что прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, которая образовалась из трех отрезков. Эти отрезки соединяются между собой тремя точками. Углы у нее все внутренние, а один из них — прямой и равняется 90°. Пример —  рисунок 5.

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

• Острые (от 0 до 90°)
• Прямые (90°)
• Тупые (от 90° до 180°)
• Развернутые (180°)
• Невыпуклые (от 180° до 360°)
• Полные (360°)

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: ) называбт величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме или, что по нашему соглашению то же самое, ). Ориентированные углы обладает следующими свойствами: а) ; б) ; в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда .

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Каждый
угол имеет величину. Специального
названия для нее в геометрии нет.

Определение.
Величиной
угла называется положительная величина,
определенная для каждого угла так, что:
1) равные углы имеют равные величины; 2)
если угол состоит из двух углов, то его
величина равна сумме величин его частей.

Эти
свойства лежат в основе измерения
величины угла. Оно аналогично измерению
длины отрезка и состоит в сравнении
измеряемой величины угла с величиной
угла, принятой за единицу. Единичный
угол, а если нужно и его доли, откладываются
на угле, величина кото­рого измеряется.
В результате получается численное
значение величины угла или мера величины
угла при данной единице измерения.

Число,
которое получается в результате измерения
величины угла, должно удовлетворять
ряду требований — они аналогичны
требованиям, предъявляемым к числовому
значению длины отрезка.

На
практике за единицу величины угла
принимают градус —часть прямого угла. Один градус записывают
так: 1°. Величина прямого угла равна 90°,
величина развернутого — 180°.

Градус
делится на 60 минут, а минута на 60 секунд.
Одну минуту обозначают 1′, одну секунду
– 1».
Так, если мера величины угла равна 5
градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут
5°3’12». Если нужна большая точность в
измерении величин углов, используют и
доли секунды. Заметим, что часто вместо
«величина угла» говорят «угол». Например,
вместо «величина угла равна 45 градусам»
говорят, что «угол равен 45 градусам».

На
практике величины углов измеряют с
помощью транспортира. Для более точных
измерений пользуются и другими приборами.

3. Понятие площади фигуры и ее измерение

Каждый
человек представляет, что такое площадь
комнаты, площадь участка земли, площадь
поверхности, которую надо покрасить.
Он также понимает, что если земельные
участки одинаковы, то площади их равны;
что площадь квартиры складывается из
площади комнат и площади других ее
помещений.

Это
обыденное представление о площади
используется при ее определении в
геометрии, где говорят о площади фигуры.
Но геометрические фигуры устроены
по-разному, и поэтому, когда говорят о
площади, выделяют определенный класс
фигур. Например, рассматривают площадь
многоугольника, площадь произвольной
плоской фигуры, площадь поверхности
многогранника и др. В нашем курсе речь
будет идти только о площади многоугольника
и произвольной плоской фигуры.

Так
же, как и при рассмотрении длины отрезка
и величины угла, будем использовать
понятие «состоять из», определяя его
следующим образом: фигура F
состоит (составлена) из фигур F₁
и F₂,
если она является их объединением и у
них нет общих внутренних точек.

В
этой же ситуации можно говорить, что
фигура F
разбита на фигуры F₁
и F₂.
Например, о фигуре F,
изображенной на рисунке 2, а, можно
сказать, что она состоит из фигур F₁
и F₂,
поскольку они не имеют общих внутренних
точек. Фигуры F₁
и F₂
на рисунке 2, b
имеют общие внутренние точки, поэтому
нельзя утверждать, что фигура F
состоит из фигур F₁
и F₂.
Если фигура F
состоит из фигур F₁
и F₂,
то пишут: F=F₁

F₂.

Определение.
Площадью
фигуры называется положительная
величина, определенная для каждой фигуры
так, что: 1) равные фигуры имеют равные
площади; 2) если фигура состоит из двух
частей, то ее площадь равна сумме площадей
этих частей.

Чтобы
измерить площадь фигуры, нужно иметь
единицу площади. Как правило, такой
единицей является площадь квадрата со
стороной, равной единичному отрезку.
Условимся площадь единичного квадрата
обозначать буквой Е, а число, которое
получается в результате изме­рения
площади фигуры – S(F).
Это число называют численным значе­нием
площади фигуры F
при выбранной единице площади Е. Оно
должно удовлетворять условиям:

1.
Число S(F)
—
положительное.

2.
Если фигуры равны, то равны численные
значения их площадей.

3.
Если фигура F
состоит из фигур
F₁
и F₂,
то
численное значение площади фигуры равно
сумме численных значений площадей фигур
F₁
и F₂.

4.
При замене единицы площади численное
значение площади данной фигуры F
увеличивается (уменьшается) во столько
же раз, во
сколько
новая единица меньше (больше) старой.

5.
Численное значение площади единичного
квадрата принимается
равным
1, т.е. S(F)

= 1.

6.
Если фигура F₁
является частью фигуры F₂,
то численное значе­ние площади фигуры
F₁
не больше численного значения площади
фи­гуры F₂,
т.е. F₁

F₂


S (F₁)
≤ S (F₂)
.

В
геометрии доказано, что для многоугольников
и произвольных плоских фигур такое
число всегда существует и единственно
для каждой фигуры.

Фигуры,
у которых площади равны, называются
равновеликими.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #