Как найти афелий формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Мы уже рассчитывали линейную и угловую скорости вращения Земли вокруг своей собственной оси. Давайте сегодня рассмотрим движение Земли вокруг Солнца, и найдем скорость этого движения. Ну, и заодно, рассмотрим три закона Кеплера. Куда без них.

Первый способ

С какой скоростью вращается Земля вокруг Солнца? Первое что приходит в голову, это воспользоваться уже знакомым уравнением для нахождения линейной скорости:

$[upsilon =frac {2pi R}{T}]$

Расстояние от Земли до Солнца одна астрономическая единица или 149 597 870 700 м. Период обращения составляет один год. Если перевести это в секунды мы получим 31 536 000 с.

Подставляем это все в наше уравнение и считаем.

$upsilon =frac {2*3,14 *149 597 870 700}{31536000} approx 29 790,545$ м/с

Второй способ

Но можно и пойти другим путем. Скорость движения Земли будет являться первой космической скоростью в поле тяготения Солнца. По этому, вспоминаем уравнение для нахождения первой космической скорости.

$[v =sqrt{frac {G*M_c}{R}}]$

Где G -это гравитационная постоянная, R — расстояние от Земли до Солнца, ну и M — масса самого Солнца. Остается только взвесить Солнце и произвести расчет:

$v =sqrt{frac {G*M_c}{R}} = sqrt{frac {6.67cdot 10^{-11}cdot 1.9985 cdot 10^{30}}{1.496cdot 10^{11}}}approx 29775.559$ м/с

Часто для удобства скорость округляют и представляют как 30 км/с или 108 000 км/ч. Последний вариант, кстати, очень любят индусы. Так как в индуизме число 108 считается священным. Они даже число Пи, в свое время, определяли как отношение 339/108. Но вернемся к скорости.

Первый закон Кеплера

В наших расчетах мы принимали что Земля равномерно движется по окружности. Хотя в реальности это не совсем так.

Иоганн Кеплер (1571 — 1630 гг).

Еще в начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, опираясь на данные многолетних наблюдений за планетой Марс, полученные его учителем — датским астрономом Тихо Браге, заключил, что все планеты солнечной системы движутся не по окружности, а по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Этот закон называют первым законом Кеплера.

Все планеты Солнечной Системы движутся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Так что давайте разобраться что такое такое эллипс, и в чем его фокус.. или фокусы.

Что такое эллипс?

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Рассмотрим все на простом примере. Берем шнурок с канцелярскими кнопками-гвоздиками на концах. Втыкаем кнопки в кусок гипсокартонна, который завалялся в гараже после ремонта.

Далее карандашом, опираясь на шнурок рисуем линии. Получившаяся фигура и есть эллипс, а точки куда мы втыкали кнопки называются фокусами.

Большая и малая полуось

Важными характеристиками эллипса являются его полуоси. Большая ее обычно обозначают латинской буквой «a», и малая, которую обозначают буквой «b». Тоже латинской.

Большая полуось — это расстояния от центра эллипса до самой дальней его точки. Соответственно, малая полуось — это расстояние от центра до самой ближней точки эллипса.

Эксцентриситет

Еще одна важная характеристика эллипса носит шикарное название — эксцентриситет. Его обычно обозначают буквой «е» и определяют как отношение фокусного расстояния эллипса (c) к большой полуоси (a).

$[e =frac {c}{a}]$

Эллипс иногда называют сплющенной окружностью. Так вот эксцентриситет как раз показывает насколько эта окружность сплющена.

Для эллипса:

Чем ближе эксцентриситет к единице, тем более вытянутый эллипс мы получим. И наоборот эксцентриситет близкий к 0, будет иметь эллипс ну очень похожий на окружность. В принципе можно сказать что окружность это эллипс с е=0.

В солнечной системе самый маленький эксцентриситет у Венеры всего 0,007, то есть траектория ее движения это практически окружность. Эксцентриситет близкий к единице имеют кометы. К примеру у кометы Галея е=0,967.

Что же касается Земли, то эксцентриситет земной орбиты тоже очень близок к нулю, всего 0,017. Но тем не менее это не ноль. А это значит что расстояние от Земли до Солнца величина отнюдь не постоянная.

Афелий и перигелий

Точка в которой планета находится ближе всего к Солнцу называется перигелий. От греческого perihelion, “peri“ — рядом и “helios“ — Солнце. Противоположная перигелию точка называется афелий. Соответственно это точка где планета максимально удалена от светила.

Земля находится перигелии, начале января. Она приближается к Солнцу на расстояние в 147,1 миллионов километров. Афелий она проходит в начале июля, когда удаляется на 152,1 миллионов километров. Разница выходит около 5 миллионов километров.

Этим иногда объясняют то что зимы в северном полушарии менее суровые, нежели в южном. Все таки зимой мы чуть ближе к солнцу. С другой стороны так как земля получает меньше солнечной энергии в июле, лето в северном полушарии более прохладное.

Второй закон Кеплера

Итак, мы сказали что согласно первому закону Кеплера Земля движется не по круговой, а по эллиптической орбите. Что же касается ее скорости, то она возрастает при приближении к Солнцу, и убывает при удалении от него.

Кеплер сформулировал это следующим образом:

За одинаковые промежутки времени радиус-вектор планеты описывает одинаковые площади.

Это так называемый закон площадей или второй закон Кеплера, пожалуй в самой бесполезной его формулировке. Но фактически мы имеем дело с законом сохранения момента импульса. И куда больший интерес для нас будет иметь следующее уравнение:

Произведение линейной скорости и радиус-вектора в перигелии, равно произведению скорости и радиус-вектора афелии. Это частный случай второго закона Кеплера, соответственно для максимального и минимального значений скорости движения планеты.

Максимальная и минимальная скорость движения Земли

Зная это можно, рассчитать с какими скоростями движется Земля перигелии и афелии. То есть найти ее максимальную и минимальную скорости. Но здесь нам понадобится закон сохранения энергии.

$[frac {mupsilon_1^2}{2} - G frac { M_c cdot m}{r_1} = frac {mupsilon_2^2}{2} - G frac {M_c cdot m}{r_2}]$

А так же, формулы для определения расстояний от солнца до афелия и перигелия, через эксцентриситет и большую полуось:

Ну и пожалуй уравнение для нахождения первой космической скорости.

$[upsilon =sqrt{frac {G*M_c}{R}}]$

Единственное в формуле расстояние R мы заменим на a, то есть на большую полуось. Большая полуось земной орбиты — это среднее расстояние от Земли до Солнца, и именно значение большой полуоси мы использовали в расчетах в самом начале. А значит скорость которую мы рассчитывали в самом начале есть средняя орбитальная. Она нам пригодится.

$[upsilon =sqrt{frac {G*M_c}{a}}]$

Составляем небольшую систему уравнения и с точки зрения физики задача решена. Остается только математика.

$[begin{cases} upsilon_1cdot r_1 =upsilon_2cdot r_2\ frac {mupsilon_1^2}{2} - G frac { M_c cdot m}{r_1} = frac {mupsilon_2^2}{2} - G frac {M_c cdot m}{r_2}\ r_1 = a(1-e)\ r_2 = a(1+e)\ upsilon =sqrt{frac {G*M_c}{a}} end{cases}]$

Начнем с того, что сократим массу Земли в законе сохранения энергии, а так же заменим радиус векторы на, соответственно, , .

$[begin{cases} upsilon_1cdot a(1-e) =upsilon_2cdot a(1+e)\ frac {upsilon_1^2}{2} - G frac { M_c}{a(1-e)} = frac {upsilon_2^2}{2} - G frac {M_c}{a(1+e)}\ upsilon =sqrt{frac {G*M_c}{a}} end{cases}]$

Если внимательно посмотреть, то можно увидеть что в отношениях $G frac { M_c}{a(1-e)}$ , и $G frac {M_c}{a(1+e)}$ , $G frac {M_c}{a}$ , это квадрат средней орбитальной скорости . А ее мы уже рассчитали в самом начале. Так что здесь удобно будет выполнить замену.

$[begin{cases} upsilon_1cdot a(1-e) =upsilon_2cdot a(1+e)\ frac {upsilon_1^2}{2} - frac { upsilon ^2}{1-e} = frac {upsilon_2^2}{2} - G frac {upsilon ^2}{1+e}]$

Теперь из первого уравнения выражаем , и подставляем это все во второе. Делаем все необходимые преобразования и выражаем :

$[upsilon_1 =upsilon sqrt{frac {1+e}{1-e}}]$

Ну и теперь так же выражаем :

$[upsilon_2 =upsilon sqrt{frac {1-e}{1+e}}]$

Остается только подставить значения, и посчитать.

$upsilon_1 = 29775.559 sqrt{frac {1+0.017}{1-0.017}} approx 30 286,1$ м/с

$upsilon_2 = 29775.559 sqrt{frac {1-0.017}{1+0.017}} approx 29 273,6$ м/с

Третий закон Кеплера

Опубликовав в 1609 г. два своих закона Иоганн Кеплер так и не остался удовлетворен, и продолжил поиски, которые спустя десять лет привели его к открытию третьего закона.

Квадраты звездных периодов обращений планет относятся между собой как кубы больших полуосей их орбит.

$[frac {T_1^2}{T_2^2}} =frac {a_1^3}{a_2^3}}]$

Но это уже совсем другая история…

Источник

Афелий

Афе́лий или апоге́лий (др.-греч. ἀπό «апо» — от, др.-греч. ἥλιος «гелиос» — Солнце) — наиболее удалённая от Солнца точка орбиты планеты или иного небесного тела Солнечной системы, а также расстояние от этой точки до Солнца.

Афелий является частным случаем апоцентра для систем Солнце — небесное тело.

Антонимом афелия является перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты. Воображаемую линию между афелием и перигелием называют линией апсид.

Основные формулы

Афелий орбиты рассчитывается по формуле ${displaystyle r_{mathrm {af} }=(1+e)a,}$ где

a — большая полуось;

е — эксцентриситет орбиты.

Линейная скорость планеты в афелии рассчитывается по формуле

${displaystyle v_{mathrm {af} }={sqrt {frac {GM_{odot }(1-e)}{a(1+e)}}},}$

где

G — гравитационная постоянная;

$M_{odot }$

— масса Солнца;

a — большая полуось;

е — эксцентриситет орбиты.

Угловая скорость планеты в афелии относительно Солнца, выраженная в радианах в секунду, рассчитывается по формуле

${displaystyle {dot {varphi }}_{mathrm {af} }={frac {v_{mathrm {af} }}{r_{mathrm {af} }}}={sqrt {frac {GM_{odot }(1-e)}{a^{3}(1+e)^{3}}}}.}$

И линейная, и угловая скорость в афелии достигают своего минимума, тогда как в перигелии они максимальны.

Афелий Земли

Средний афелий барицентра системы Земля-Луна составляет 152 098 233 километра (на эпоху J2000.0). Земля проходит афелий между 3 и 7 июля (через пару недель после летнего солнцестояния, однако это приблизительное совпадение случайно)^[1]. Изменение даты прохождения афелия и колебание афелийного расстояния обусловлены возмущениями от Луны и (в меньшей степени) планет. На них накладывается также периодическое смещение календарного момента прохождения афелия в пределах одних суток, обусловленное високосным циклом. Долгота афелия барицентра системы Земля-Луна составляет −77,06231807° (долгота перигелия минус 180°) на эпоху J2000.0 и увеличивается со скоростью 0,32327364° за юлианское столетие (то есть за 35 525 суток СИ)^[2]. Эксцентриситет земной орбиты в течение последних веков претерпевает постепенное уменьшение (со скоростью −0,00004392 за юлианское столетие)^[2], орбита приближается к круговой. Хотя большая полуось орбиты при этом растёт (5,62×10⁻⁶ а.е. за юлианское столетие), но этот прирост относительно более медленный, поэтому афелий, который равен произведению постепенно уменьшается на 38,3×10⁻⁶ а.е. (5,73 тыс. км) за юлианское столетие. Указанные изменения относятся к периоду 1800—2050 гг. н.э.; однако для более длительного промежутка времени (3000 до н.э. — 3000 н.э.) афелий характеризуется приблизительно таким же вековым уменьшением. Эти изменения являются частью гораздо более длительных, с характерным временем в десятки тысячелетий, периодических изменений элементов орбиты Земли^[2].

В таблице указаны моменты прохождения афелия Землёй на 2010—2029 годы и расстояния от Солнца на эти моменты, вычисленные в рамках модели JPL DE405^[3].

Год	Дата	Время (UTC)	Расстояние (а.е.)	Отклонение от среднего афелия (км)
2010	6 июля	11:30	1,0167020	−1246
2011	4 июля	14:54	1,0167404	4501
2012	5 июля	03:32	1,0166751	−5270
2013	5 июля	14:44	1,0167085	−268
2014	4 июля	00:13	1,0166816	−4287
2015	6 июля	19:40	1,0166821	−4214
2016	4 июля	16:24	1,0167509	6080
2017	3 июля	20:11	1,0166756	−5190
2018	6 июля	16:47	1,0166961	−2129
2019	4 июля	22:11	1,0167543	6590
2020	4 июля	11:35	1,0166943	−2399
2021	5 июля	22:27	1,0167292	2832
2022	4 июля	07:11	1,0167154	760
2023	6 июля	0:07	1,0166806	−4444
2024	5 июля	05:06	1,0167255	2273
2025	3 июля	19:55	1,0166437	−9957
2026	6 июля	17:31	1,0166440	−9920
2027	5 июля	05:06	1,0167289	2786
2028	3 июля	22:18	1,0166798	−4566
2029	6 июля	05:12	1,0167127	362

Афелий других планет Солнечной системы

Ниже приведены афелии остальных планет Солнечной системы на основании информации NASA^[4]:

Меркурий — 69 817 445 км;
Венера — 108 942 780 км;
Марс — 249 232 432 км;
Юпитер — 816 001 807 км;
Сатурн — 1 503 509 229 км;
Уран — 3 006 318 143 км;
Нептун — 4 537 039 826 км.

См. также

Апоцентр и перицентр
Небесная механика

Примечания

↑ Даты равноденствий, солнцестояний, перигелия и афелия Земли в 2000—2020. Дата обращения: 27 июня 2014. Архивировано из оригинала 13 октября 2007 года.
↑ ¹ ² ³ Standish E. M., Williams J. G. Orbital ephemerides of the Sun, Moon, and Planets // Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (англ.) / Ed. by S. E. Urban, P. K. Siedelmann. — 3rd Edn. — University Science Books, 2012. — P. 305—346.
↑ Earth at Perihelion and Aphelion: 2001 to 2100. Архивная копия от 13 июля 2021 на Wayback Machine Earth perihelion and aphelion Table Courtesy of Fred Espenak, www.Astropixels.com
↑ Solar System Exploration: Planets: Comparison Chart. Дата обращения: 27 июня 2014. Архивировано из оригинала 14 января 2015 года.

Ссылки

Perihelion, Aphelion and the Solstices. timeanddate.com. Дата обращения: 10 января 2018.
Variation in Times of Perihelion and Aphelion. Astronomical Applications Department of the U.S. Naval Observatory (11 августа 2011). Дата обращения: 10 января 2018.
Espenak, Fred Earth at Perihelion and Aphelion: 2001 to 2050. astropixels. Дата обращения: 24 декабря 2019.

Эта страница в последний раз была отредактирована 28 сентября 2022 в 13:53.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Источник

Наша компания имеет богатый опыт сотрудничества и участия в тендерах с государственными и частными компаниями. Мы предлагаем большой набор готовых решений для образовательных учреждений, а также работаем по индивидуальным техническим заданиям.

Если вы являетесь участником или организатором тендера или госзакупки, заполните, пожалуйста, форму и опишите свой запрос. Наш специалист по работе с корпоративными заказчиками обязательно с вами свяжется. Вы также можете связаться с нами по телефону: +7 (812) 418-29-44 (доб. 117 или доб. 106).

Источник

Астрономия. Решение задач. Тема: Законы Кеплера

Из опыта работы

Лукиных Г. И.

Тема : Законы Кеплера

Решение задач.

Задача 1

Звездный период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет около 12 лет. Каково среднее расстояние Юпитера от Солнца?

Дано:
Т₁=12 лет
а₂=1 а. е
Т₂=1 год
_________________________
а₁=?

Решение:

Среднее расстояние планеты от Солнца равно большой полуоси эллиптической орбиты a. Из третьего закона Кеплера

, сравнивая движение планеты с Землей, для которой приняв звездный период обращения T₂ = 1 год, а большую полуось орбиты a₂ = 1 а.е., получим простое выражение

для определения среднего расстояния планеты от Солнца в астрономических единицах по известному звездному (сидерическому) периоду обращения, выраженному в годах. Подставив численные значения окончательно найдем:

≈ 5 а.е.

Ответ: около 5 а.е.

Задача 2

Определите афелийное расстояние астероида Минск, если большая полуось его орбиты а=2,88 а. е., а эксцентриситете =0,24

Дано:

а=2,88 а.е
е=0,24
_________________________

Решение

Радиус перигелия рассчитывается по формуле: r=(1-e)а, где: a — большая полуось; е — эксцентриситет орбиты.

Афелий орбиты рассчитывается по формуле r =(1+е)а, где a — большая полуось; е — эксцентриситет орбиты.

r=2.88(1 +0,24)=3.57 а.е

Ответ: 3.57 а.е

Задача 3

Период обращения малой планеты Шагал вокруг Солнца Т=5,6 года. Определите большую полуось ее орбиты.

Дано

Т₁=5,6 года
Т₂=1 год
а₂=1 а.е
_________________________
а₁=?

Решение

а₁=Т₁²
а₁=3√5,6² =3.2 а.е

Ответ: 3.2 а.е

Задача 4

Определите перигелийное расстояние астероида Икар, если большая полуось его орбиты а=160 млн км, а эксцентриситет е=0,83.

Дано:

а = 160 млн. км
е = 0,83
_________________________
r=?

Решение

r=(1-e)а
r=1,6*10⁸(1-0,83)=2,72*10⁷ км

Ответ: 2,72*10⁷ км

Источник

Афе́лий или апоге́лий (др.-греч. από «апо» — из, от (приставка, означающая отрицание и отсутствие чего-либо), др.-греч. ηλιος «гелиос» — Солнце) — наиболее удалённая от Солнца точка орбиты планеты или иного небесного тела Солнечной системы.

Антонимом афелия является Перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты. Воображаемую линию между афелием и перигелием называют — линия апсид.

Основные формулы[править]

Радиус афелия рассчитывается по формуле: $r_mathrm{af}=(1+e)a!,$

где:

a — большая полуось;

е — эксцентриситет орбиты.

Скорость в афелии рассчитывается по формуле:

$v_mathrm{af}=sqrt{frac{GM_{odot}(1-e)}{a(1+e)}}$

где:

G — гравитационная постоянная;

М — масса Солнца;

a — большая полуось;

е — эксцентриситет орбиты.

Афелий планет Солнечной системы[править]

Афелий Земли составляет 152 098 233 километров. Земля проходит афелий между 3 и 7 июля^[1]

Ниже приведены афелии остальных планет Солнечной системы на основании информации NASA^[2]:

Меркурий — 69 817 445 км.
Венера — 108 942 780 км.
Марс — 249 232 432 км.
Юпитер — 816 001 807 км.
Сатурн — 1 503 509 229 км.
Уран — 3 006 318 143 км.
Нептун — 4 537 039 826 км.

См. также[править]

Апоцентр и перицентр
Небесная механика
Орбита

Примечания[править]

↑ Даты равноденствий, солнцестояний, перигелия и афелия Земли в 2000—2020
↑ Solar System Exploration: Planets: Comparison Chart

Источник