Как найти активное сопротивление колебательного контура

«Не
стыдно не знать, стыдно не учиться».

Задача
1.
В колебательном контуре напряжение на зажимах изменяется по закону  .
Найдите действующие значения силы тока и напряжения, если активное
сопротивление цепи равно 50 Ом.

ДАНО:	РЕШЕНИЕ Запишем общее уравнение гармонических колебаний напряжения Исходя из заданного по условию задачи уравнения можно определить, что амплитудное напряжение равно Из закона Ома для участка цепи Тогда действующие значения напряжения и силы тока равны

Ответ:
U_д = 70,7 В;
I_д = 1,4 А.

Задача
2.
В цепь параллельно включены катушка с индуктивностью 30 мГн и конденсатор с
ёмкостью 50 мкФ. Действующее значение силы тока равно 10 А. Запишете уравнения,
описывающие колебания тока и напряжения, а также найдите активное сопротивление
цепи.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Уравнения гармонических колебаний для напряжения и силы тока имеют вид Циклическая частота колебательного контура определяется по формуле Действующие значения напряжения и силы тока рассчитываются по выражениям Тогда амплитудное значение силы тока равно Амплитудное значение напряжения можно рассчитать по формуле С учетом рассчитанных значений уравнения гармонических колебаний примут вид Активное сопротивление цепи определяется по формуле

Задача
3.
Действующее значение напряжения в цепи с колебательным контуром  составляет 50 В.
Известно, что в некоторый момент времени t = 2 мс
ток в цепи равен 2 А. Найдите индуктивность катушки, если ёмкость
конденсатора равна 80 нФ,а активное сопротивление цепи равно 20 Ом.
Сдвиг фаз равен нулю.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Запишем уравнения, описывающие колебания тока и напряжения в общем виде Из закона Ома для участка цепи Действующие значения напряжения и силы тока рассчитываются по формулам Тогда амплитудные значения напряжения и силы тока равны Циклическая частота колебательного контура определяется по формуле С учётом рассчитанного значения амплитудной силы тока и формулы для расчёта циклической частоты колебательного контура уравнение гармонических колебаний силы тока примет вид Т.к. по истечении 2 мс сила тока равна 2А, то

Ответ:
53 Гн.

Задача
4.
Активное сопротивление колебательного контура равно 35 Ом, а частота колебаний
равна 25 кГц. Найдите ёмкость конденсатора и индуктивность катушки.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Максимальная электрическая энергия колебательного контура Максимальная магнитная энергия колебательного контура Когда электрическая энергия максимальна, магнитная энергия равна нулю и наоборот, когда магнитная энергия максимальна, электрическая энергия равна нулю. Поэтому, оба выражения для максимальной энергии соответствуют полной энергии контура. В общем случае в контуре с активным сопротивлением происходят потери энергии. Однако, в течение одного колебания эти потери ничтожно малы, поэтому можно приравнять максимальную электрическую и максимальную магнитную энергию. Частота колебательного контура определяется по формуле Преобразуем данное выражение Активное сопротивление определяется по формуле Из равенства максимальной электрической энергии и максимальной магнитной энергии получаем Получаем систему состоящую из двух уравнений Из первого уравнения получаем Из второго уравнения

Ответ:
L = 2,2×10^–4 Гн;
C = 1,7×10^–7 Ф.

Параллельный и последовательный колебательный контур

Что такое колебательный LC-контур?  Принцип работы, формулы расчёта основных
параметров.   Онлайн калькулятор резонансной 
частоты  колебательного  контура,
добротности и коэффициента затухания в зависимости от величин индуктивности,
ёмкости и сопротивления потерь

Колебательный контур – это пассивная электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, в которой
возможно возбудить свободные электромагнитные колебания.
Если конденсатор и катушка соединены параллельно, то контур называется параллельным, при последовательном соединении элементов колебательный
контур называется последовательным.

Для начала рассмотрим параллельный колебательный контур, который в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного
чаще последовательного.

Рис.1 Параллельный колебательный контур, его изображение на схеме (идеальный
колебательный контур), реальный колебательный контур

При анализе цепи колебательного контура обычно используется реалистичная модель (Рис.1 справа), состоящая из идеальных пассивных элементов и активного
сопротивления потерь катушки – Rпот.
Сопротивление потерь катушки Rпот складывается из потерь в проводах, диэлектрике, сердечнике и экране (если он есть).

Поскольку потери в контурном конденсаторе на порядки меньше, чем потери в катушке, то его сопротивление потерь при расчётах обычно не учитывается.

Так, за счёт чего в колебательном контуре возникают свободные колебания? Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте соберём простейшую схему (Рис.2)

Рис.2 Колебательный процесс в параллельном колебательном контуре

Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор следует предварительно зарядить, сообщая его обкладкам заряд
q_max от внешнего источника Bat напряжением
U_max.
После того как конденсатор будет заряжен, переводим переключатель в правое по схеме положение, отключая контур от источника, и наблюдаем возникшие в цепи затухающие
электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот (Рис.2 справа).

Из-за потерь, возникающих в элементах контура, электромагнитные колебания в цепи всегда будут затухающими. Скорость их затухания зависит от величины этих потерь,
суммарное значение которых характеризуются параметром, называемым добротностью колебательного контура Q. Численно добротность равна числу
колебаний от момента возбуждения свободных колебаний до момента, когда их амплитуда уменьшится в
еπ = 23,14 раз. Для желающих поподробнее познакомиться с тем, что такое добротность и как её
измерить, имеет смысл посетить страницу – ссылка на страницу.

А мы тем временем рассмотрим последовательные фазы колебаний, происходящие в контуре после зарядки конденсатора.

Рис.3 Фазы колебаний, происходящих в колебательном контуре за полный период

Электромагнитные колебания, а также описывающие их уравнения во многом подобны механическим колебаниям.

Опишем стадии колебательного процесса за полный период колебаний:

1. t = 0 – начало разрядки конденсатора (энергия электрического поля, запасённая в конденсаторе, равна
W = q²/2C ).
Через катушку начинает течь ток. При этом катушка оказывает сопротивление моментальному росту тока, поскольку в ней присутствует ЭДС
самоиндукции, препятствующая этому росту.

2. t = 0,25Т – конденсатор полностью разряжен.
Ток через катушку максимален, так как вся энергия из конденсатора перешла в энергию магнитного электрического поля катушки
W = L*I²/2.
Начиная с этого момента, эта энергия начинает опять перетекать в конденсатор, перезаряжая его потенциалом обратной полярности.

3. t = 0,5Т – конденсатор опять полностью заряжен, но потенциалом противоположной полярности. Ток через
катушку индуктивности равен нулю. Начинается фаза, описанная в п.1, но с током, текущем в обратном направлении.

4. t = 0,75Т – конденсатор вновь полностью разряжен, ток через катушку максимален и направлен
в противоположную (по отношению к п.2) сторону.

5. t = Т – всё начинается сначала, т. е. аналогично 1п.

Мгновенные значения напряжения, силы тока и энергии можно рассчитать по формулам:

Заряд: q(t) = q_max cos(ωt) ;

Напряжение: U(t) = U_max cos(ωt) ;

Сила тока: I(t) = I_max sin(ωt) ;

Энергия: W(t) = I(t)²L/2 + q(t)²/(2C) .

Все приведённые формулы хороши для идеального колебательного контура, в котором нет потерь, а соответственно, и нет затухания колебаний. Для реальных же контуров
(с потерями) вводятся дополнительные параметры, характеризующие скорость затухания колебаний. Одними из таких параметров являются коэффициент затухания
β и логарифмический декремент колебаний λ.

Коэффициент затухания β – это величина, характеризующая скорость затухания колебаний и обратно
пропорциональная времени τ, по истечении которого амплитуда колебаний убывает в
е раз.
Для колебательного контура данная величина вычисляется по формуле:
β = R_потерь /(2L).

Логарифмическим декрементом затухания λ называется величина, равная натуральному логарифму отношения
двух последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга на период колебаний. Численно логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания,
умноженному на период колебаний:
λ = βT.

При относительно высокой добротности цепи, то есть когда колебания затухают не слишком быстро и выполняется условие
β² << ω₀², круговая частота контура равна
ω ≈ ω₀ ,
а формулы по расчёту резонансной частоты и добротности принимают привычный вид, приведённый выше на синем фоне.

Для проверки знаний, полученных в рамках данной статьи, приведём онлайн калькулятор для расчёта основных параметров колебательного контура.

РАСЧЁТ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ, ДОБРОТНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ КОНТУРА

Ёмкость конденсатора контура
Индуктивность катушки контура L
Сопротивление потерь Rпот
Резонансная частота
Добротность = кол-во колебаний
Коэффициент затухания β (сек-1)

Для последовательного колебательного контура резонансная частота (период и круговая частота) не зависит от сопротивления потерь, однако остальные приведённые
выше параметры описываются теми же формулами, что и для параллельного. При этом в составе частотно-избирательных цепей эти контуры ведут себя по-разному и
имеют значительно отличающиеся друг от друга передаточные характеристики. Какие это характеристики? – рассмотрим в рамках отдельной статьи.

А на следующей странице рассмотрим, как на добротность LC-контура влияют сопротивления нагрузки и источника сигнала.

Последовательный колебательный контур обозначение на схеме

Последовательный колебательный контур — это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно.

Идеальный последовательный колебательный контур

 На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:

где

L — индуктивность, Гн

С — емкость, Ф

Реальный последовательный колебательный контур

Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:

R  — это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора

L — собственно сама индуктивность катушки

С — собственно сама емкость конденсатора

Принцип работы последовательного колебательного контура

Генератор частоты и последовательный колебательный контур

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор (Ген)у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R — это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно «прячется» внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта U_ш , а также снимая осциллограмму с самого генератора U_ГЕН .

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

Влияние частоты генератора на сопротивление колебательного контура

В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма — это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма — отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600  Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

3 Килогерца

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

4,25 Килогерц

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

22 Килогерца

74 Килогерца

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Резонанс последовательного колебательного контура

Давайте подробнее рассмотрим тот самый момент, когда сдвиг фаз был равен нулю и сила тока, проходящая через последовательный колебательный, контур была максимальна:

Это явление носит название резонанса.

Не будем углубляться  в теорию высшей математики и комплексных чисел. Дело в том, что в этот самый момент реактивное сопротивление катушки и конденсатора становятся равными, но противоположными по знаку. Поэтому, эти реактивные сопротивления как-бы вычитаются друг из друга, что в сумме дает ноль, и в цепи остается только активная составляющая сопротивления, то есть то самое паразитное сопротивление катушки и конденсатора, или иначе, сопротивление потерь R.

Как вы помните, если у нас сопротивление  становится малым, а в данном случае сопротивления потерь катушки и конденсатора очень маленькие, то в цепи начинает течь большая сила тока согласно закону Ома: I=U/R. Если генератор мощный, то напряжение на нем не меняется, а сопротивление становится пренебрежимо малым и вуаля! Ток растет как грибы после дождя, что мы и увидели, посмотрев на желтую осциллограмму при резонансе.

Формула Томсона (резонанса) для последовательного колебательного контура

Если при резонансе у нас реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора X_L=X_C , то можно уравнять их реактивные сопротивления и уже отсюда вычислить частоту, на которой произошел резонанс. Итак, реактивное сопротивление катушки у нас выражается формулой:

Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле:

Приравниваем обе части и вычисляем отсюда F:

В данном случае мы получили формулу резонансной частоты. Это формула по другому называется формулой Томсона, как вы поняли, в честь ученого, который ее вывел.

Давайте по формуле Томсона посчитаем резонансную частоту нашего последовательного колебательного контура. Для этого я буду использовать свой RLC-транзисторметр.

Замеряем индуктивность катушки:

И замеряем нашу емкость:

Высчитываем по формуле нашу резонансную частоту:

У меня получилось 5, 09 Килогерц.

С помощью  регулировки частоты и осциллографа я поймал резонанс на частоте 4,78 Килогерц (написано в нижнем левом углу)

Спишем погрешность в 200 с копейками Герц на погрешность измерений приборов. Как вы видите, формула Томпсона работает.

Резонанс напряжений

Давайте возьмем другие параметры катушки и конденсатора и посмотрим, что у нас происходит на самих радиоэлементах. Нам ведь надо досконально все выяснить ;-). Беру катушку индуктивности с индуктивностью в 22 микрогенри:

и конденсатор в 1000 пФ

Из них собираю последовательный колебательный контур. Итак, чтобы поймать резонанс, я не буду в схему добавлять резистор. Поступлю более хитрее.

Так как мой генератор частоты китайский и маломощный, то при резонансе у нас в цепи остается только активное сопротивление потерь R. В сумме получается все равно маленькое значение сопротивления, поэтому ток при резонансе достигает максимальных значений. В результате этого, на внутреннем сопротивлении генератора частоты падает приличное напряжение и выдаваемая амплитуда частоты генератора  падает. Я буду ловить минимальное значение этой амплитуды. Следовательно это и будет резонанс колебательного контура. Перегружать генератор — это не есть хорошо, но что не сделаешь ради науки!

Ну что же, приступим ;-). Давайте сначала посчитаем  резонансную частоту по формуле Томсона. Для этого я открываю онлайн калькулятор на просторах интернета и быстренько высчитываю эту частоту. У меня получилось 1,073 Мегагерц.

Ловлю резонанс на генераторе частоты по его минимальным значениям амплитуды. Получилось как-то вот так:

Размах амплитуды 4 Вольта

Хотя на генераторе частоты  размах  более 17 Вольт! Вот так вот сильно просело напряжение. И как видите, резонансная частота получилась чуток другая, чем расчетная: 1,109 Мегагерц.

Теперь небольшой прикол

Вот этот сигнал мы подаем на наш последовательный колебательный контур:

Как видите, мой генератор не в силах выдать большую силу тока в колебательный контур на резонансной частоте, поэтому сигнал получился даже чуть искаженным на пиках.

Ну а теперь самое интересное. Давайте замеряем падение напряжения на конденсаторе и катушке на резонансной частоте. То есть это будет выглядеть вот так:

Смотрим напряжение на конденсаторе:

Размах амплитуды 20 Вольт (5х4)! Откуда? Ведь подавали мы на колебательный контур синус с частотой в 2 Вольта!

Ладно, может с осциллографом что-то произошло?. Давайте замеряем напряжение на катушке:

Народ! Халява!!! Подали 2 Вольта с генератора, а получили 20 Вольт и на катушке и на конденсаторе! Выигрыш энергии в 10 раз! Успевай только снимать энергию с конденсатора или с катушки!

Ну ладно раз такое дело… беру лампочку от мопеда на 12 Вольт и цепляю ее к конденсатору или катушке. Лампочке ведь вроде как по-барабану на какой частоте работать и какой ток кушать. Выставляю амплитуду, чтобы на катушке или конденсаторе было где то Вольт 20 так как среднеквадратичное напряжение будет где-то Вольт 14,  и цепляю поочередно к ним лампочку:

Как видите — полный ноль. Лампочка гореть не собирается, так что побрейтесь фанаты халявной энергии). Вы ведь не забыли, что мощность определяется произведением силы тока на напряжение? Напряжения вроде как-бы хватает, а вот силы тока — увы! Поэтому, последовательный колебательный контур носит также название узкополосного (резонансного) усилителя напряжения, а не мощности!

Объяснение резонанса напряжения

При резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе оказались намного больше, чем то, которое мы подавали на колебательный контур. В данном случае у нас получилось в 10 раз больше. Почему же напряжение на катушке при резонансе равняется напряжению на конденсаторе. Это легко объясняется. Так как в последовательном колебательном контуре катушка и кондер идут друг за другом, следовательно, в цепи протекает одна и та же сила тока.

При резонансе реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора. Получаем по правилу шунта, что на катушке у нас падает напряжение U_L = IX_L , а на конденсаторе U_C = IX_C . А так как при резонансе у нас X_L = X_C , то получаем что U_L = U_C , ток ведь в цепи один и тот же ;-). Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют также резонансом напряжений, так как напряжение на катушке на резонансной частоте равняется напряжению на конденсаторе.

Добротность последовательного колебательного контура

Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:

Давайте посчитаем добротность в нашем случае.

Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала  генератора частоты 2 Вольта.

А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.

Считаем по формуле добротности:

Q=20/2=10. В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.

Есть также вторая формула для вычисления добротности.

где

R — сопротивление потерь в контуре, Ом

L — индуктивность, Генри

С — емкость, Фарад

Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.

Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура — это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.

Видео на тему «Как работает колебательный контур. Резонанс»:

Резюме

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных последовательно.

Катушка и конденсатор имеют паразитные омические потери, так как не являются идеальными радиоэлементами. Сумма этих потерь называется сопротивлением потерь R последовательного колебательного контура.

На какой-то частоте реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора и в цепи последовательного колебательного контура наступает такое явление, как резонанс.

При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому они вычитается и в сумме дают ноль. В цепи остается только активное сопротивление потерь R.

При резонансе сила тока в цепи становится максимальной, так как сопротивление потерь катушки и конденсатора R в сумме дают малое значение.

При резонансе напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе и превышает напряжение на генераторе.

Коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение на катушке либо на конденсаторе превышает напряжение на генераторе, называется добротностью Q последовательного колебательного контура и показывает качественную оценку колебательного контура. В основном стараются сделать Q как можно больше.

На низких частотах колебательный контур имеет емкостную составляющую тока до резонанса, а после резонанса — индуктивную составляющую тока.

Активное сопротивление — колебательный контур

Cтраница 1

Активное сопротивление колебательного контура г равно сумме сопротивлений TL катушки и те конденсатора. Сопротивление г зависит от частоты. Это объясняется главным образом явлением поверхностного эффекта.
 [2]

Если, активное сопротивление R колебательного контура равно нулю, то общая величина энергии контура остается неизменной, и свободные электромагнитные колебания называются незатухающими.
 [3]

В большинстве случаев активное сопротивление колебательного контура определяется, главным образом, активным сопротивлением включенной в контур катушки индуктивности. С увеличением частоты индуктивное сопротивление катушки растет, но вследствие поверхностного эффекта растет и ее активное сопротивление.
 [4]

В большинстве случаев активное сопротивление колебательного контура определяется главным образом актизным сопротивлением входящей в контур катушки. С увеличением частоты индуктивное сопротивление катушки растет, но вследствие поверхностного эффекта ( см.) растет и ее активное сопротивление.
 [5]

В большинстве случаев активное сопротивление колебательного контура определяется главным образом активным сопротивлением входящей в контур катушки. С увеличением частоты индуктивное сопротивление катушки растет, но вследствие поверхностного эффекта ( см.) растет и ее активное сопротивление.
 [6]

Множитель при I2 представляет собой активное сопротивление колебательного контура, характеризующее его способность к излучению. Его называют сопротивлением излучения.
 [7]

Множитель при / 2 представляет собой активное сопротивление колебательного контура, характеризующего его способность к излучению. Его называют сопротивлением излучения.
 [8]

Множитель при / 2 представляет собой активное сопротивление колебательного контура, характеризующее его способность к излучению. Его называют сопротивлением, излучения.
 [9]

Множитель при / а представляет собою активное сопротивление колебательного контура, характеризующее его способность излучать энергию. Его называют сопротивлением излучения.
 [10]

Множитель при / 2 представляет собой активное сопротивление колебательного контура, характеризующее его способность к излучению. Его называют сопротивлением излучения.
 [11]

Этот метод служит для определения активного сопротивления колебательного контура. Другим вариантом является следующий. Нек-рый колебательный контур настраивают в резонанс с частотой лампового генератора.
 [12]

Резонансным методом можно также измерять величину активного сопротивления колебательного контура, однако эти измерения значительно сложнее, и рассмотрение их выходит за рамки данной книги. Измерение добротности также обычно производят резонансным методом.
 [14]

Определяют логарифмические декременты для различных емкостей и активных сопротивлений колебательного контура. Строят графики зависимости логарифмического декремента от емкости и сопротивления контура.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

ТОМСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОННИКИ (ТУСУР)

Заочный факультет

(дистанционная форма обучения)

Кафедра автоматизированных систем
управления (АСУ)

ОТЧЕТ

Лабораторная
работа по курсу «Общая физика»

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы
является изучение работы колебательного
контура, свободных затухающих
электромагнитных колебаний и их
характеристик.

2. ОПИСАНИЕ
УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

С
хема
установки представлена на рис. 2.1..
Колебания в контуре II возбуждаются с
помощью генератора импульсного
напряжения, вырабатываемого в контуре
I, собранного на резисторе R₁
, емкости
C₁
и диоде VD₁
( в качестве генератора импульсного
напряжения можно использовать стандартный
генератор импульсов или генератор
релаксационных колебаний).

Схема смонтирована
на съемной панели лабораторного макета.
В качестве резистора RP₁
в колебательном контуре II используется
переменное сопротивление, максимальное
значение которого RP₁ = 400 Ом
устанавливается поворотом ручки
потенциометра по часовой стрелке в
крайнее положение. При повороте ручки
против часовой стрелки в крайнее
положение значение сопротивления
RP₁ = 0.
В этом случае активное сопротивление
колебательного контура R
складывается из сопротивления
соединительных проводов контура и
активного сопротивления катушки
индуктивности. Возбуждение контура
производится периодически от генератора
импульсного напряжения I, регистрируются
колебания на осциллографе III. Каждый
импульс, подаваемый с генератора на
колебательный контур, возбуждает один
цуг колебаний.

Измерения амплитуды
и периода колебаний осуществляются
непосредственно с помощью осциллографа.

3. ОСНОВНЫЕ
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Значения
логарифмического декремента затухания:

,
где n
— номер измерения амплитуды (3.1)

Формула
определения амплитуды в момент времени

t
= 0 , где

коэффициент затухания (3.2)

(3.3)

Частота свободного
затухания колебаний (3.4)

Добротность
колебаний контура
(3.5)

Период затухающих
колебаний:

4. РЕЗУЛЬТАТЫ
РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ

Экспериментальные
данные и результаты их обработки
представлены в следующей таблице.

Таблица

Результаты прямых
и косвенных измерений.

Значение активного сопротивления контура R	Номер измеряемой амплитуды n	Значение амплитуды Un, мм (дел.)	Значение логариф-мического декремента затухания 	Среднее значение <>		Период затухающих колебаний T, c
R = Rх	1 2 3 4 5	28,9 25,1 21,7 18,8 16,3	0,140 0,145 0,143 0,142	0,143	0,140 0,281 0,427 0,570 0,713	1,034 2,068 3,102 4,136 5,17
R = Rx + RP1	1 2 3 4 5	26,8 17,1 10,9 6,9 4,4	0,449 0,450 0,457 0,449	0,451	0,449 0,898 1,348 1,806 2,256	1,038 2,076 3,114 4,152 5,19

Находим значения
амплитуды

Нахождение значения

для

Нахождение значения

для

Находим значение
среднеарифметического декремента
затухания:

Среднее арифметическое
значение
:
для обоих случаев:

— для

— для

Находим величину
напряжения при t=0:

, где n = 1

— для

— для

Находим периоды
колебаний: T = [длительность этих
колебаний] / [количество полных колебаний]

[количество полных
колебаний] — если было сделано 5 периодов,
то это число = 5

период для

будет:
с.

период для

будет:
с.

Находим время n-го
колебания:

Расчет
:

Г
рафики
зависимости
:

Для

Рис.1.

Для

Р
ис.2.

Из графика (рис.
1) находим,

по формуле (3.3):

— для

Из графика (рис.
2) находим,

по формуле (3.3):

— для

Из формул для
коэффициентов затухания ₁=R_x/(2L);
₂=(R_x+RP₁)/(2L)
найдём индуктивность L и суммарное
активное сопротивление проводников
R_x.

Отсюда:

Гн

Вычислим суммарное
активное сопротивление проводников:

Были рассчитаны
следующие характеристики колебательного
контура:

a) собственная
частота контура:
,
где

— величина электроемкости конденсатора.

рад/с

б) частота затухающих
колебаний:

=
6091,0108 рад/с

=
6077,0183 рад/с

в) критическое
сопротивление:
:

.

г) добротность
контура (вычислить для

и
):

— для

— для

5. ВЫВОДЫ

В результате
проделанной работы изучена работа
колебательного контура и определены
основные характеристики свободных
затухающих колебаний.

При исследовании
влияния величины активного сопротивления
контура на характер колебаний выяснилось,
что величина амплитуды колебаний во
времени изменяется (уменьшается) быстрее
при увеличении активного сопротивления
контура.

Так как нам удалось
построить графики линеаризованной
зависимости
для
двух различных значений активного
сопротивления контура и проходящих
через экспериментальные точки, то мы
убедились в справедливости экспоненциального
закона убывания амплитуды со временем.

Расчетные значения
периодов затухающих колебаний (условных)
для двух значений активного сопротивления
контура оказались равны измеренным
значениям периодов для соответствующих
активных сопротивлений.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ.

6.1. Какова цель
работы?

Целью данной
работы является изучение работы
колебательного контура, свободных
затухающих электромагнитных колебаний
и их характеристик.

6.2. С помощью, какой
системы можно получить свободные
электромагнитные колебания?

Свободные
электромагнитные колебания можно
получить, используя колебательный
контур, который представляет собой
замкнутую цепь, состоящую из последовательно
соединенных конденсатора емкостью С,
катушки индуктивности L и омического
сопротивления R.

6.3. К изменению,
каких характеристик колебаний приведет
увеличение активного сопротивления в
колебательном контуре?

Увеличение
активного сопротивления в колебательном
контуре приведет к увеличению: коэффициента
затухания
,
логарифмического декремента
,
периода (условного)

Уменьшению:
добротности

частоты свободных затухающих колебаний

6.4. Какое, условие
необходимо выполнить при подборе
элементов (R,
L,
С) для колебательного контура, чтобы
изменение напряжения на предварительно
заряженном конденсаторе осуществлялось
по колебательному закону?

Параметры (R,
L,
С) необходимо подбирать такие, чтобы
,
то есть R<R_кр,
R_кр
сопротивление при котором процесс
становится апериодическим.

6.5. Каким образом
в данной работе подтверждается
правильность вывода об экспоненциальном
уменьшение амплитуды напряжения со
временем?

Для проверки
экспоненциального характера убывания
амплитуды напряжения со временем
воспользовались методом линеаризации,
прологарифмировали его и получили
уравнение прямой, истинность проверяется
построением графика этой прямой по
экспериментальным точкам.

6.6. Как в данной
работе определяется коэффициент
затухания?

Коэффициент
затухания δ определяется как угловой
коэффициент построенной по экспериментальным
точкам прямой (используя график).

6.7. Какими параметрами
контура определяется частота собственных
колебаний?

Так как

то она зависит от следующих параметров
колебательного контура: емкости
конденсатора C и индуктивности катушки
L.

6.8. Как соотносится
между собой частота собственных колебаний
контура и частота затухающих колебаний?

6.9. Изменение, каких
физических величин осуществляется в
контуре по колебательному закону?

Изменение энергии
электрического поля конденсатора,
энергии магнитного поля катушки
индуктивности, напряжений и токов на
элементах контура.

6.10. Как образуются
в контуре электромагнитные колебания?

В начальный
момент с помощью генератора одиночных
импульсов конденсатор заряжается до
некоторой разницы потенциалов на его
обмотках. Если теперь генератор отключить,
а конденсатор замкнуть на катушку с
индуктивностью L, то начнется его разрядка
и в катушке возникнет ток, что приводит
к возникновению магнитного поля. Энергия
конденсатора переходит в энергию
магнитного поля катушки. Когда конденсатор
разрядился ток в катушке не уменьшается,
так как ему препятствует явление
самоиндукции. Этот ток продолжает в том
же направлении, перезаряжая конденсатор
до тех пор, пока не станет равен нулю. В
этот момент энергия магнитного поля
катушки переходит в энергию электрического
поля конденсатора. Затем начинает
разряжаться конденсатор, при этом ток
течет в обратном направлении, он
возрастает пока конденсатор не разрядится
полностью, затем убывает, но вследствие
самоиндукции снова перезаряжается
конденсатор и контур возвращается в
исходное состояние.

6.11. Как влияет
коэффициент затухания на условный
период затухающих колебаний контура?

Условный период
затухающих колебаний уменьшается, если
δ убывает, и возрастает, если δ возрастает,
так как
.

6.12. Как изменяется
логарифмический декремент затухания
и добротность контура, если известно,
что при изменении параметров контура
(R,
L,
С) число колебаний, за которое амплитуда
уменьшится в е раз, увеличилось на десять
колебаний?

∆Ν
= 10

Θ₁
= 1 Θ₂
= 1 = 1 = 1

N₁ N₂
N₁
+ ∆Ν
N₁
+ 10

Логарифмический
декремент уменьшился в (1 + 10/N) раз.

Добротность Q ≈
πN

добротность
увеличилась ≈ 10π

6.13. Чем обусловлено
затухание колебаний в контуре?

Затухание колебаний
обусловлено потерями энергии на
нагревание проводников при взаимном
превращении энергии электрического и
магнитного поля.

6.14. К изменению,
каких характеристик колебаний и
колебательного контура приведет
изменение индуктивности в цепи?

Если изменить
индуктивность в цепи, то изменятся:
коэффициент затухания
,
частоты собственных колебаний

амплитуда колебаний A = U₀e^—δT,
частоты свободных затухающих колебаний

,
условный период колебаний
,
логарифмический декремент
,
добротность

критическое
сопротивление контура
.

6.15. Выполняется
ли в реальном колебательном контуре
закон сохранения электромагнитной
энергии?

В реальном
колебательном контуре закон сохранения
электромагнитной энергии не выполняется,
так как часть энергии переходит во
внутреннюю энергию теплового движения
и на нагревание проводников.

6.16. Почему при
выводе основного уравнения свободных
затухающих колебаний в контуре, где
протекают переменные токи, используют
закон Ома и правила Кирхгофа, полученные
для постоянного тока?

Закон Ома и
правила Кирхгофа применяются при выводе
уравнения, так как размеры контура L не
слишком велики (L<C/ν),
можно считать, что мгновенное значение
тока примерно одинаково во всех точках
контура получается ток квазистационарный,
для которых применимы закон Ома и правила
Кирхгофа.

6.17. Как нужно
изменить параметры контура, чтобы при
однократной зарядке конденсатора
разрядка его осуществлялась по
апериодическому закону?

Для того чтобы
разрядка конденсатора осуществлялась
по апериодическому закону необходимо,
чтобы

Для этого нужно
увеличить С или уменьшить L, чтобы
получить R_кр
≤ 500 ом. Или можно увеличить активное
сопротивление проводников R_x
до значения R_кр
– RP₁.

6.18. Какие колебания
называются непериодическими и являются
ли затухающие колебания периодическими?

Затухающие колебания
не являются периодическими, так как
максимальное значение колеблющейся
величины никогда не повторяется.

Непериодические
колебания – это колебания, у которых
значение колеблющейся величины не
повторяется через одинаковое время.

6.19. Какая
характеристика является количественной
характеристикой убывания амплитуды
затухающих колебаний?

Количественной
характеристикой убывания амплитуды
затухающих колебаний является
логарифмический декремент, который
показывает в логарифмических единицах,
во сколько раз убывает амплитуда
колебаний за 1 период.
,
то есть определяется сопротивлением
R, магнитной индукцией L, и ω, который
зависит от С, таким образом, Θ определяется
R, L и С.

6.20. Чему равно
время релаксации затухающих колебаний?

Время релаксации
затухающих колебаний равно: τ = 1/δ –
промежуток времени, в течение, которого
амплитуда затухающих колебаний
уменьшается в е раз.