Как найти алгебраическую форму комплексных чисел

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=x+i*y, где x — действительная часть комплексного числа, y — мнимая часть.

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для представления комплексного числа в алгебраической форме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Пример №1. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w3+z=0.

Решение. Предварительно с помощью данного калькулятора представим число в алгебраическая форме. Затем преобразуем число в тригонометрическую форму с помощью данного сервиса. После преобразований получим:

Алгебраическая форма записи:



Находим тригонометрическую форму комплексного числа.

,


Поскольку x > 0, y < 0, то arg(z) находим как:



Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа:

2) найти все корни уравнения w3+z=0.

Получаем уравнение w3 + z = 0 или w = (-z)1/3 = (-sqrt(2) + i*sqrt(2))1/3.

Далее решаем с помощью этого сервиса. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = -sqrt(2)+I*sqrt(2)

,



Поскольку x < 0, y ≥ 0, то arg(z) находим как:


Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -sqrt(2)+I*sqrt(2)


Извлекаем


k = 0



или

k = 1


или

k = 2



или

Пример №2. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3 + a = 0.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №3. Число записать в алгебраической форме.

Решение. так как i82 = i4*20+2 = -1, i37 = i4*9+1 = i, i44 = i4*11=1, i51=i4*12+3 = -i, то

, поэтому

Пример №4. Записать число в алгебраической форме

Решение.

Модуль числа |z|=3, аргумент argz = 5/3π



, x > 0 , y < 0



, откуда



Имеем



Подставим y в первое уравнение



Поскольку x > 0 , y < 0, то

Пример №5. Записать число в алгебраической форме

Решение.

Модуль числа |z|= , аргумент argz = 5/4π



, x < 0 , y < 0



, откуда



Имеем



y=x

Подставим y в первое уравнение



x=1, y = 1

Поскольку x < 0 , y < 0, то z=-1-i

Пример №6. Как перевести комплексное число из показательной (экспоненциальной) формы в алгебраическую.



Решение. Преобразуем к виду

Комплексное число представлено в экспоненциальной форме:

z=|z|·ei·φ

Аргумент числа:

Откуда:

Модуль числа:

|z|

==

e



Выразим y:



И подставим в выражение для модуля:

x2+y2

==

e2




Получим: ,

И тогда число в алгебраической форме:

Пример №7. Как перевести комплексное число из логарифмической формы в алгебраическую.

ln(-10·i)

Решение. Представим в показательной форме:

t=eln(i·(-10))=-10·i



Для упрощения вычислений найдем все характеристики для

z=-i

, а модуль числа умножим на 10.

Действительная часть числа:

x=Re(z)=0



Мнимая часть числа:

y=Im(z)=-1



Модуль комплексного числа:

С учетом 10 получаем:

|z|=10·1=10



Поскольку x = 0, y < 0, то arg(z) находим как:

arg(z)

=

φ

=

z

=

|z|·ei·φ

=
Обратно логарифмируем:

z

=

ln(t)

=
Ответ:

Источник

(схема
43)

Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy,                                                                                            (7.1) 

 где x и y – действительные числа, а  i так называемая мнимая единица. Соотношение для
мнимой единицы  

i2=–1.                                                                                                                                                                                                          (7.2)

Если x=0, то число 0+iy=iy
называется чисто мнимым; если y=0, то число x+i∙0=x
отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством
множества C  всех
комплексных чисел, то есть .

Число x называется действительной частью комплексного
числа  z и обозначается 
x=Re z, а y – мнимой частью комплексного числа  z и
обозначается  y=Im z.

Два  комплексных
числа z1=x1+iy1  и z2=x2+iy2
называются равными (z1=z2) тогда, когда равны их действительные и мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число z=x+iy равно
нулю, когда  x=y=0.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
вводятся.

Числа  z=x+iy и  называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости x0y такой,
что x=Re z, y=Im z.
Верно и обратное: каждую точку M(x;y) координатной
плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа  z=x+iy (рис. 7.1).

Плоскость, на которой изображаются  комплексные числа, называется комплексной
плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней
лежат действительные числа z=x+0∙y=x. Ось ординат –  мнимой осью,  на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.

 Комплексное
число z=x+iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина
угла между положительным направлением действительной оси и вектором  называется
аргументом  комплексного
числа, обозначается Arg z или  φ.

Для комплексного числа z=0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа   – величина
многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное  значение аргумента,
заключенное в промежутке (–π;π).
Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую
промежутку  [0;2π).

 Алгебраической
формой комплексного числа называется запись числа z в виде z=x+iy.

    Модуль r и
аргумент φ можно рассматривать как
полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z=x+iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

. Следовательно, комплексное число
z=x+iy можно
записать в виде  или

 .                                                                                                                                                           (7.3)

Равенство
(7.3) есть тригонометрическая форма
комплексного числа. Модуль r=|z| однозначно
определяется по формуле

            .                                                                                                                                                                               (7.4)

Аргумент  определяется из формул: 

 .                                                                                                                                                       (7.5)

При переходе от
алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно
определить главное значение аргумента комплексного числа z, то есть
считать  φ=arg z. Знаки полученных значений cos φ и sin φ по
формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти
принадлежит угол φ.

Используя формулу
Эйлера

 ,                                                                                                                                                                      (7.6)

комплексное число  можно записать в так
назы­ваемой показательной (или
экспоненциальной) форме  

           z=reiφ,                                                                                                                                                                                            (7.7)

где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол   (k=0;–1;1;–2;2…).

Функция eiφ – периодическая с основным пери­одом 2π, поэтому для записи комплексного числа  в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ=arg z.

Пример 7.1. Записать
комплексные числа  в 
тригонометрической и показательной формах.     

Решение. Для z1 имеем   . Поэтому .

Для действительного числа  . Поэтому 

 На множестве комплексных чисел определен ряд операций.

1.    
Суммой двух
комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2
называется комплексное число, определяемое равенством

 .                                                                                                                                                        (7.8)

Из (7.8) следует, что геометрически комплексные числа складываются как
векторы, причем сумма комплексных чисел интерпретируется как диагональ
параллелограмма, построенного на векторах, представляющих слагаемые (рис. 7.2).

2.    
Вычитание
комплексных чисел определяется
как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2
называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, то есть
z= z1 – z2, если z+z2=z1. Если  z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из
этого определения получаем:

                                                            (7.9)

Из равенства (7.9) следует, что геометрически
комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z= z1 – z2
изображается вектором, соединяющим концы векторов ,  и исходящим из конца
вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). 
Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между
точками, изображающими эти числа на плоскости:

.                                                                                                                                (7.10)

3.    
Произведением  комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется 
комплексное число, определяемое равенством

.                                                                                                                             (7.11)

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i2= –1.
Действительно, 

. 

Найдем произведение комплексных чисел  и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11),
получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

.                                                                                                                          (7.12)

Видно, что при умножении комплексных чисел в
тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это
правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть,
что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем
равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в
натуральную
степень:

.                                                                                                                        (7.13)

(7.13)
называется первой  формулой  Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной
(экспоненциальной) форме имеет вид:

.                                                                                                                           (7.14)

4.    
Частным двух
комплексных чисел z1 и  называется комплексное
число z, которое, будучи умноженным на z2, дает число z1,  то есть , если .

Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:

.                                                                                                                                         (7.15)

На практике при  нахождении частного двух комплексных чисел
удобно умножить числитель и знаменатель дроби  на число, сопряженное
знаменателю, с дальнейшим применением равенства i2= –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в
тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

.                                                                                      (7.16)

Видно, что при делении
комплексных чисел их модули  делятся, а
аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной
(экспоненциальной) форме имеет вид:

.                                                                                                                     (7.17)

Пример 7.2. Найти
сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .

Решение. По
формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

 .

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Пример 7.3. Найти
произведение и частное комплексных чисел  , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение.
Используя (7.4) и (7.5), получаем:

. Следовательно, на основе формул
(7.3) и (7.7) число z1 имеет
тригонометрическую и показательную форму

 .

Аналогично, для z2 можно
записать:

 . Отсюда .

По формулам (7.12) и (7.16) получим в
тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в
показательной форме:

5.    
 Извлечение 
корня  n-ой 
степени  –  операция,  обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой  (7.13).

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ωn=z, то есть , если ωn=z.

Пусть , тогда  по данному
определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда  (корень
арифметический). Окончательно получаем:

.                                                   (7.18)

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для
любого   корень n-ой степени
из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4.  Найти все корни уравнения  z4+16=0.

Решение.
Запишем уравнение в виде z4=–16+0∙i. Отсюда по
формуле (7.18) получим:

. 

Рассмотрим различные значения  k=0;1;2;3.

Корни z1 и z4, а также
z2 и z3 являются
комплексно сопряженными. Таким образом, корнями заданного уравнения  z4+16=0
являются комплексные числа    

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры).  Для всякого
многочлена с комплексными коэффициентами

 степени n>0
существует  точка , в которой P(z0)=0

Приведем еще
одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если
многочлен Pn(x) с действительными коэффициентами имеет комплексный
корень a+ib, то он
имеет и сопряженный корень a–ib

В разложение
многочлена  комплексные корни
входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x1=a+ib и x2=a–ib. Перемножив линейные множители 
разложения , получим трехчлен второй степени с действительными
коэффициентами x2+px+q и
отрицательным дискриминантом. Действительно,

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Вопросы
для самопроверки

Источник
Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $i$ — «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
  • мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Замечание 1

В обозначениях действительной и мнимой частей любое комплексное число $z$ можно записать в виде $z=Rez+Imzcdot i$.

Замечание 2

При $Rez=a=0$ получаем чисто мнимое комплексное число $z=0+bi=bi$.

При $Imz=b=0$ получаем действительное число $z=a+0i=a$.

Определение 3

Комплексное число вида $z=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$.

Замечание 3

Комплексно-сопряженное число вида $z=a-bi$ часто приводят к алгебраической форме записи $z=a+(-b)i$, однако при решении задач допускается и запись $z=a-bi$.

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) $z=2-3i$; 2) $z=3cdot (2+3i)$.

«Алгебраическая форма комплексного числа» 👇

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=2,b=-3$.

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
[z=2+(-3)i.]

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:
[z=3cdot (2+3i)=3cdot 2+3cdot 3i=6+9i]

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
[z=6+9i.]

Пример 2

Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, для которых:

[1) Rez=0,Imz=5; 2) Rez=4,Imz=0; 3) Rez=10,Imz=sqrt{3} ; 4) Rez=frac{sqrt{2} }{2} ,Imz=-frac{sqrt{2} }{2} .]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$, где $Rez=a$ и $Imz=b$.

Для $Rez=0,Imz=5$ получаем комплексное число $z=0+5i$.

Для $Rez=4,Imz=0$ получаем комплексное число $z=4+0i$.

Для $Rez=10,Imz=sqrt{3} $ получаем комплексное число $z=10+sqrt{3} i$.

Для $Rez=frac{sqrt{2} }{2} ,Imz=-frac{sqrt{2} }{2} $ получаем комплексное число $z=frac{sqrt{2} }{2} +left(-frac{sqrt{2} }{2} right)i$.

Пример 3

Представить комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z=frac{3-2i}{sqrt{2} } $.

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

[z=frac{3-2i}{sqrt{2} } =frac{3}{sqrt{2} } -frac{2}{sqrt{2} } i=frac{3sqrt{2} }{2} -sqrt{2} i=frac{3sqrt{2} }{2} +(-sqrt{2} )i.]

Следовательно, $z=frac{3sqrt{2} }{2} +(-sqrt{2} )i$ — искомая запись комплексного числа.

Определение 4

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $varphi =arctgfrac{b}{a} $.

Алгоритм 1

Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

подставить в запись числа соответствующие значения для $cos varphi $ и $sin varphi $ (использовать таблицы Брадиса);

преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 4

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

[1) z=3cdot (cos 2pi +isin 2pi ); 2) z=frac{1}{sqrt{2} } cdot (cos frac{pi }{4} +isin frac{pi }{4} ).]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) По таблице косинусов и синусов $cos 2pi =1;sin 2pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления: [z=3cdot left(1+0iright)=3+0cdot i.]

Следовательно, $z=3+0cdot i$ — искомая запись комплексного числа.

2) По таблице косинусов и синусов $cos frac{pi }{4} =frac{sqrt{2} }{2} ;sin frac{pi }{4} =frac{sqrt{2} }{2} $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

[z=frac{1}{sqrt{2} } cdot left(frac{sqrt{2} }{2} +ifrac{sqrt{2} }{2} right)=frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot i.]

Следовательно, $z=frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot i$ — искомая запись комплексного числа.

Определение 5

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=rcdot e^{ivarphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $varphi =arctgfrac{b}{a} $.

Алгоритм 2

Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

  • записать комплексное число в тригонометрической форме;
  • подставить в запись числа соответствующие значения для $cos varphi $ и $sin varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
  • преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 5

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1)$z=3cdot e^{frac{pi }{3} cdot i}$ ; 2) $z=6cdot e^{pi cdot i}$.

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3cdot (cos frac{pi }{3} +isin frac{pi }{3} )$.

По таблице косинусов и синусов $cos frac{pi }{3} =frac{1}{2} ;sin frac{pi }{3} =frac{sqrt{3} }{2} $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

[z=3cdot left(frac{1}{2} +ifrac{sqrt{3} }{2} right)=frac{3}{2} +frac{3sqrt{3} }{2} cdot i.]

Следовательно, $z=frac{3}{2} +frac{3sqrt{3} }{2} cdot i$ — искомая запись комплексного числа.

2) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6cdot (cos pi +isin pi )$.

По таблице косинусов и синусов $cos pi =-1;sin pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

[z=3cdot left(-1+0cdot iright)=-1+0cdot i.]

Следовательно, $z=-1+0cdot i$ — искомая запись комплексного числа.

Вывод

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в алгебраической форме записи $z=a+bi$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.

Задача
решения уравнений вида
,
послужила одним из поводов для расширения
понятия числа.

Рассмотрим
уравнение:

,

Обозначим
– мнимая единица

,
тогда

Добавив
ко всем действительным
числам числа мнимые, получим множество
комплексных чисел K.

Определение.
Числа
вида
(где–действительная
часть;

–мнимая
часть;
– мнимая единица), называютсякомплексными.

Запись
называется алгебраической формой
комплексного числа.

Геометрическое
изображение

Ось
OX
– действительная ось

Ось
OY
– мнимая ось

Комплексная
плоскость

RealZ
= a–
действительная часть

ImaginaryZ
= b–
мнимая часть

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1)
Сумма (разность) комплексных
чисел

;

2)
Произведение
комплексных
чисел

(учли,
что
)

3)
Деление комплексных чисел

Для
того чтобы выполнить деление комплексных
чисел, надо числитель и знаменатель
умножить на комплексное число, сопряженное
знаменателю:

Следовательно,

Пример:

Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел.

–модуль
комплексного числа

,
следовательно

–
тригонометрическая
форма комплексного числа.

Пример:

;

a
= 1;

b
= – 1;

φϵIVчетверти.
Тогда

.

Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме.

Пусть
даны два комплексных числа:

Тогда
получим:

  4. .

Примеры:

а)
Пусть

z₁
= 3 ∙ (cos
20° + isin
20°);

z₂
= 2 ∙ (cos 35° + i
sin
35°),

тогда

z₁·
z₂
= 6 ∙ (cos 55° + i
sin 55°).

б)
Перемножить три комплексных числа:

2∙(cos
150° + i
sin 150°), 3∙[cos (‒160°) + i
sin (‒160°)] и
0,5∙(cos 10° + i
sin
10°).

Решение:
Модуль произведения 2 · 3 · 0,5 = 3.

Аргумент
произведения 150° ‒ 160° + 10° = 0°.

Произведение
равно 3 ∙ (cos 0° + i
sin 0°).

Показательная форма записи комплексных
чисел.

Воспользуемся
тождеством Эйлера:

,
()

Умножим
обе части этого равенства на:

.

Следовательно,

–
показательная
форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в
показательной форме.

Пусть
даны два комплексных числа:

;

Тогда
получим:

  4. .

Пример:найти:

,
при k=
0; 1.

.

φϵIIчетверти.
Тогда
,

При
k=
0:

При
k=
1:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Комплексные числа в алгебраической форме

Определение комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида x+iy, где x,,y — действительные числа (x,yinmathbb{R}); i — число, квадрат которого равен минус единице (i^2=-1); число обозначается z=x+iy.

Числа x и y при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются x=operatorname{Re}z,, y=operatorname{Im}z; i — мнимая единица.

Выражение z=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

Множество комплексных чисел обозначается mathbb{C}, а zin mathbb{C} — элемент данного множества.

Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т.е. mathbb{R}subsetmathbb{C}, а именно при y=0 получаем z=x — действительное число.

Число z=iy называется чисто мнимым.

Пример 1.1. Записать действительную и мнимую части чисел: z_1=3-2i,~ z_2=5,~ z_3=-3i,~ z_4=1+i,.

Решение. operatorname{Re}z_1=3,~ operatorname{Im}z_1=-2;~~ operatorname{Re}z_2=5,~ operatorname{Im}z_2=0;~~ operatorname{Re}z_3=0,~ operatorname{Im}z_3=-3,~~ operatorname{Re}z_4=1,~ operatorname{Im}z_4=1.

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 называются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:

z_1=z_2quad Leftrightarrowquad begin{cases}operatorname{Re}z_1= operatorname{Re}z_2,\ operatorname{Im}z_1= operatorname{Im}z_2;end{cases} Leftrightarrowquad begin{cases}x_1=x_2,\ y_1=y_2.end{cases}

(1.1)

Сопряженные комплексные числа

Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные чисти, и мнимые противоположны по знаку. Число, сопряженное числу z=x+iy, обозначается overline{z}=x-iy. Определение сопряженных чисел можно записать и виде равенств:

operatorname{Re}overline{z}= operatorname{Re}z,qquad operatorname{Im}overline{z}= -operatorname{Im}z.

(1.2)

Из определения, в частности, следует, что число, сопряженное действительному числу, совпадает с ним: overline{x}=x,~ xin mathbb{R}.

Пример 1.2. Записать числа, сопряженные комплексным числам из примера 1.1.

Решение. Используя равенства (1.2), получаем:

z_1=3-2i~ Rightarrow~ overline{z}_1=3+2i;quad z_2=5~ Rightarrow~ overline{z}_2=5;quad z_3=-3i~ Rightarrow~ overline{z}_3=3i;quad z_4=-1+i~ Rightarrow~ overline{z}_4=-1-i.

Комплексная плоскость

Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел (см. введение) получаем, что задание комплексного числа z можно рассматривать как задание точки на плоскости, абсциссой которой является x=operatorname{Re}z, ординатой y=operatorname{Im}z, т.е. числу z=x+iy соответствует точка M(x,y). Между множеством точек плоскости Oxy и множеством комплексных чисел (множество mathbb{C}) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке M(x,y) соответствует единственное число z=x+iy, каждому числу z=x+iy соответствует единственная точка M с координатами (x,y); плоскость Oxy при этом называется комплексной плоскостью (плоскость (z)). На рис. 1.1 отмечены точки, соответствующие комплексным числам из примера 1.2.

Точки на комплексной плоскости

Используя геометрическую интерпретацию комплексных чисел как точек плоскости, убеждаемся в справедливости утверждения, что комплексные числа не сравниваются, т.е. на множестве mathbb{C} не определены операции сравнения (не имени места знаки &lt;,,leqslant,,&gt;,,geqslant). Это следует из того, что множество точек плоскости не упорядочено.

Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел

Как и в действительной области, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Это можно сделать по аналогии с множеством mathbb{R} действительных чисел из геометрических соображений.

Рассмотрим числовую прямую и окружность S, которая касается прямой в точке O; точку, диаметрально противоположную точке O, обозначим N (рис. 1.2,б).

Будем соединять прямыми различные точки оси с точкой N; точки пересечения прямых с окружностью будем обозначать X. Очевидно, каждой точке xin mathbb{R} соответствует точка Xin S. Обратное справедливо для всех точек окружности, за исключением точки N. Но по мере удаления x по прямой от точки O (с увеличением расстояния, равного |x|), ее образ на окружности приближается к точке N. Для последовательности такого вида в анализе принято название бесконечно большая последовательность (величина). Ее предел обозначается lim_{ntoinfty}x_n=infty и называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Поэтому точку N можно рассматривать как образ бесконечно удаленной точки на окружности, а бесконечность — как «точку» оси Ox, образом которой на окружности является точка N.

Сфера Римана и стереографическая проекция

По аналогии рассмотрим плоскость C (плоскость Oxy) и сферу S, касающуюся ее в начале координат, т.е. в точке O (рис. 1.2,а). Лучи, соединяющие точки zinmathbb{C} с точкой N пересекают сферу в точках Zin S. При этом любой точке zinmathbb{C} соответствует единственная точка Zin S, и наоборот, любой точке Zin Ssetminus N соответствует единственная точка zin mathbb{C}. Очевидно, чем дальше расположена точка zin mathbb{C} от начала координат (lim_{ntoinfty} rho_n=infty,~ rho_n=sqrt{x_n^2+y_n^2} — длина радиуса-вектора точки z=x+iy), тем ближе ее образ Zin S к точке N. Чтобы соответствие было полным, вводится «несобственный» элемент (символ infty) , бесконечно удаленная точка как точка плоскости, образом которой на S является точка N.

Плоскость mathbb{C}, дополненная элементом infty, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается overline{mathbb{C}}= mathbb{C}cup{infty}.

Построенное взаимно однозначное соответствие точек сферы и множества mathbb{C} называется стереографической проекцией, а сфера S — сферой Римана.

Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 называется число z=x+iy такое, что справедливы равенства

x=x_1+x_2,quad y=y_1+y_2, то есть z=z_1+z_2= (x_1+x_2)+ i(y_1+y_2)= x+iy.

Обозначение:z=z_1+z_2.

Правило сложения: при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Пример 1.3. Найти сумму чисел z_1 и z_2, z_2 и z_3, где z_1=3-2i,~ z_2=5+2i,~ z_3=1-i.

Решение.

begin{gathered}z_1+z_2= (3-2i)+(5+2i)= (3+5)+i(-2+2)=8;\[2pt] z_2+z_3= (5+2i)+(1-i)= 6+i.end{gathered}

Вычитание комплексных чисел

Разностью чисел z_1 и z_2 называется число z такое, что z_1=z+z_2. Обозначение: z=z_1-z_2. Используя правило сложения, получаем для нахождения разности z=z_1-z_2,~ z=x+iy равенства x=x_1-x_2,~ y=y_1-y_2.

Правило вычитания. При нахождении разности z_1-z_2 из действительной и мнимой частей уменьшаемого z_1 вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого:

z=(x_1-x_2)+ (y_1-y_2)i,.

Пример 1.4. Найти разность z_1-z_2,~ z_2-z_3 для чисел из примера 1.3.

Решение.

begin{gathered}z_1-z_2= (3-2i)-(5+2i)= (3-5)+ (-2i-2i)= -2-4i,\[2pt] z_2-z_3= (5+2i)- (1-i)= 4+3i. end{gathered}

Умножение комплексных чисел

Произведением чисел z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 называется число z=x+iy такое, что выполняются равенства x=x_1x_2-y_1y_2, y=x_1y_2+x_2y_1. Обозначение: z=z_1cdot z_2.

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений (x_1+iy_1) и (x_2+iy_2), как двучленов:

(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)= x_1x_2+ i,x_1y_2+ i,y_1x_2+ i^2y_1y_2= (x_1x_2-y_1y_2)+ i(x_1y_2+ y_1x_2).

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что i^2=-1.

Пример 1.5. Найти произведение комплексных чисел z_1=1-2i и z_2=3+4i.

Решение.

z_1cdot z_2= (1-2i)(3+4i)= 1cdot3+ 1cdot4i- 3cdot2i+ 4icdot(-2i)= 3-2i-8i^2= 11-2i,.

Пример 1.6. Найти сумму и произведение пары комплексных сопряженных чисел

Решение. Для чисел z=x+iy,~ overline{z}= x-iy получаем

begin{gathered} z+overline{z}= (x+iy)+ (x-iy)=2xquad Leftrightarrowquad z+overline{z}= 2 operatorname{Re}z,;\[2pt] zcdot overline{z}= (x+iy)(x-iy)= x^2+ i,xy- i,xy- i^2y^2= x^2+y^2. end{gathered}

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел — числа действительные.

Деление комплексных чисел

Частным от деления числа z_1 на z_2, (z_2ne0) называется число z, такое, что справедливо равенство zcdot z_2=z_1. Обозначение: z=frac{z_1}{z_2}. Задача нахождения частного сводится к определению operatorname{Re}z и operatorname{Im}z из системы

begin{cases}operatorname{Re}(zcdot z_2)= operatorname{Re}z_1,\ operatorname{Im}(zcdot z_2)= operatorname{Im}z_1.end{cases}

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.

Правило деления. Чтобы разделить число z_1 на z_1, (z_2ne0) следует числитель и знаменатель дроби frac{z_1}{z_2} умножить на число overline{z}_2, сопряженное знаменателю.

Пример 1.7. Найти частное от деления комплексного числа z_1=3+2i на z_2=2-i.

Решение.

frac{z_1}{z_2}= frac{3+2i}{2-i}= frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}= frac{(6-2)+i(3+4)}{4+1}= frac{4}{5}+ frac{7}{5},i,.

Возведение комплексного числа в степень

Возведение комплексного числа z в степень n — это нахождение произведения n сомножителей, каждый из которых равен z, т.е. z^n= underbrace{zcdot zcdotldotscdot z}_{n}.

Правило возведения в степень. При возведении в степень n числа z (нахождении operatorname{Re}z^n и operatorname{Im}z^n) используется правило возведения в степень двучлена (x+iy), в общем случае применяется формула бинома Ньютона:

(x+iy)^n= sum_{k=0}^{n}C_n^k x^{n-k}(iy)^k, где C_n^k= frac{n!}{k!(n-k)!}.

Пример 1.8. Найти различные степени числа i, то есть i^n.

Решение. Имеем i^2=-1,~ i^3=i^2cdot i=-i,~ i^4=(i^2)^2= (-1)^2=1. Замечая закономерность, получаем для n=4k,~ n=4k+1, n=4k+2,~ n=4k+3 следующие значения:

i^{4k}= (i^4)^k=1;quad i^{4k+1}= i^{4k}cdot i=i;quad i^{4k+2}= i^{4k}cdot i^2= -1;quad i^{4k+3}= i^{4k}cdot i^3= -i,.

Пример 1.9. Найти мнимую и вещественную части комплексных чисел: operatorname{Im}(1-i)^4,~ operatorname{Re}(2-i)^3.

Решение.

begin{gathered}(1-i)^4= bigl((1-i)^2bigr)^2= (1-2i-1)^2= (-2i)^2=-4quad Rightarrowquad operatorname{Im}(1-i)^4=0;\[5pt] (2-i)^3= 2^3+ 3cdot 2^2cdot (-i)+ 3cdot 2cdot (-i)^2+ (-i)^3= 8-12i-6+i= 2-11iquad Rightarrowquad operatorname{Re}(2-i)^3=2,. end{gathered}

Пример 1.10. Возвести комплексное число (2+i) в пятую степень.

Решение. Используем формулу бинома Ньютона при n=5:

begin{aligned}(2+i)^5&= 2^5+5cdot 2^4cdot i+ frac{5cdot 4}{2!}cdot 2^3cdot i^2+ frac{5cdot 4cdot 3}{3!}cdot 2^2cdot i^3+ frac{5cdot 4cdot 3cdot 2}{4!}cdot 2cdot i^4+ i^5=\ &=32+80i- 80-40i+10+i= -38+41i,.end{aligned}

Извлечение корня из комплексного числа

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число w, такое, что w^n=z. Обозначение: w=sqrt[LARGE{n}]{z}.

Правило извлечения корня. Для извлечения корня sqrt[LARGE{n}]{z} (нахождения x=operatorname{Re}sqrt[LARGE{n}]{z} и y=operatorname{Im}sqrt[LARGE{n}]{z}) следует, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно искомых x и y:

sqrt[LARGE{n}]{z}=x+iyquad Rightarrowquad z=(x+iy)^nquad Rightarrowquad begin{cases}operatorname{Re}z= operatorname{Re}(x+iy)^n,\ operatorname{Im}z= operatorname{Im}(x+iy)^n,.end{cases}

Пример 1.11. Извлечь корень sqrt{3-4i}.

Решение. Обозначим sqrt{3-4i}= x+iy, тогда (x+iy)^2= 3-4i, или x^2-y^2+i2xy=3-4i. Используя условие равенства комплексных чисел, записываем систему

begin{cases}x^2-y^2=3,\ 2xy=-4.end{cases} Решая ее, находим left[begin{aligned} &begin{cases}x_1=2,\ y_1=-1;end{cases}\ &begin{cases}x_2=-2,\ y_2=1.end{cases} end{aligned}right.

В результате получаем два значения квадратного корня: sqrt{3-4i}=2-i и sqrt{3-4i}=-2+i.

Свойства операции комплексного сопряжения

Используя определение сопряженных чисел и правила нахождения суммы, произведения, частного комплексных чисел, можно установить справедливость следующих свойств операции комплексного сопряжения:

begin{array}{lll}bold{1)}~ overline{z_1pm z_2}= overline{z}_1pm overline{z}_2,;quad & bold{2)}~ overline{z_1cdot z_2}= overline{z}_1cdot overline{z}_2,;quad & bold{3)}~ overline{left(dfrac{z_1}{z_2}right)}= dfrac{overline{z}_1}{overline{z}_2},;\[10pt] bold{4)}~ overline{P}_n(z)= P_n(overline{z});quad & bold{5)}~overline{left(dfrac{P_n(z)}{Q_m(z)}right)}= dfrac{P_n (overline{z})}{Q_m (overline{z})},.quad & end{array}

В двух последних равенствах P_n(z) и Q_m(z) — многочлены с действительными коэффициентами степени n и m соответственно.

Пример 1.12. Вычислить P(overline{z}_0)+ P(z_0), если P(z)= 2z^2+3z+1 и z_0=frac{1+2i}{1-i}.

Решение. Используя свойство 4 из пункта 7, находим

P(overline{z}_0)+ P(z_0)= overline{P(z_0)}+ P(z_0)= 2 operatorname{Re} P(z_0).

Далее, производя деление, записываем число z_0 в алгебраической форме:

z_0=frac{1+2i}{1-i}= frac{(1+2i)(1+i)}{2}= frac{-1+3i}{2}

и подставляем в выражение для P(z). Получаем

P(z_0)= 2cdot frac{(3i-1)^2}{4}+ frac{3(3i-1)}{2}+1= frac{-9-6i+1+9i-3+2}{2}= -frac{9}{2}+ i,frac{3}{2},,

поэтому operatorname{Re}P(z_0)=-frac{9}{2}. Окончательно имеем: P(overline{z}_0)+ P(z_0)= 2 operatorname{Re}P(z_0)=-9.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти отрезки отсекаемые на координатных осях
  • Как найти информацию по пропавшим без вести
  • Как найти историю запросов яндекс браузер
  • Найти как рисовать пони
  • Как найти скрытые заметки на редми