Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.
Результат сложения и вычитания одночленов
Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.
Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.
Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.
То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий — уже не одночлен.
А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения — многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).
Правило сложения и вычитания одночленов
Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:
Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:
- записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
- если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
- раскрыть скобки;
- привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.
Теперь применим озвученное правило для решения задач.
Примеры сложения и вычитания одночленов
Заданы одночлены 8·x и −3·x. Необходимо выполнить их сложение и вычитание.
Решение
- Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: (8·x)+(−3·x). Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8·x−3·x, а затем приведем подобные слагаемые: 8·x−3·x=(8−3)·x=5·x.
Кратко решение запишем так: (8·x)+(−3·x)=8·x−3·x=5·x.
- Аналогично произведем действие вычитания: (8·x)−(−3·x)=8·x+3·x=11·x.
Ответ: (8·x)+(−3·x)=5·x и (8·x)−(−3·x)=11·x.
Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.
Необходимо найти разность между одночленом -5·x3·23·0·x·z2 и одночленом x·23·y5·z·-38·x·y.
Решение
Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: -5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y. Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0—14·x2·y6·z. Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0+14·x2·y6·z, оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 14·x2·y6·z.
Таким образом, краткая запись решения будет такой:
-5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y==0—14·x2·y6·z=14·x2·y6·z
Ответ: -5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y=14·x2·y6·z
Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.
Заданы одночлены −9·x·z3 и −13·x·y·z. Необходимо найти их сумму.
Решение
Записываем сумму: (−9·x·z3)+(−13·x·y·z). Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: (−9·x·z3)+(−13·x·y·z)=−9·x·z3−13·x·y·z. Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: −9·x·z3−13·x·y·z.
Ответ: (−9·x·z3)+(−13·x·y·z)=−9·x·z3−13·x·y·z.
По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.
Необходимо решить пример: 0,2·a3·b2+7·a3·b2−3·a3·b2−2,7·a3·b2.
Решение
Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0,2·a3·b2+7·a3·b2−3·a3·b2−2,7·a3·b2==(0,2+7−3−2,7)·a3·b2=1,5·a3·b2
Ответ: 0,2·a3·b2+7·a3·b2−3·a3·b2−2,7·a3·b2=1,5·a3·b2.
Заданы одночлены: 5, −3·a, 15·a, −0,5·x·z4, −12·a, −2 и 0,5·x·z4. Необходимо найти их сумму.
Решение
Запишем сумму: (5)+(−3·a)+(15·a)+(−0,5·x·z4)+(−12·a)+(−2)+(0,5·x·z4). В результате раскрытия скобок получим: 5−3·a+15·a−0,5·x·z4−12·a−2+0,5·x·z4. Сгруппируем подобные слагаемые: (5−2)+(−3·a+15·a−12·a)+(−0,5·x·z4+0,5·x·z4) и приведем их: 3+0+0=3
Ответ: (5)+(−3·a)+(15·a)+(−0,5·x·z4)+(−12·a)+(−2)+(0,5·x·z4)=3.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Сложение и вычитание одночленов
- Подобные одночлены
- Сложение одночленов
- Вычитание одночленов
Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.
Подобные одночлены
Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:
5ab2 и -7ab2 — подобные одночлены;
5a2b и 5ab — не подобные одночлены.
Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:
5abb и -7b2a.
Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:
5ab2 и -7ab2.
Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.
Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:
5a2bc и -5a2bc — противоположные одночлены.
Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.
Сложение одночленов
Чтобы сложить одночлены, надо:
- Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
- Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
- сложить их численные множители;
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a2b и -5ab.
Решение: Составим сумму одночленов:
12ab + (-4a2b) + (-5ab).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
12ab — 4a2b — 5ab.
Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:
12ab — 4a2b — 5ab = (12 + (-5))ab — 4a2b = 7ab — 4a2b.
Пример 2. Сложить одночлены 5a2bc и -5a2bc.
Решение: Составим сумму одночленов:
5a2bc + (-5a2bc).
Раскроем скобки:
5a2bc — 5a2bc.
Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:
5a2bc — 5a2bc = (5 — 5)a2bc = 0a2bc = 0.
Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.
Общее правило сложения одночленов:
Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).
Вычитание одночленов
Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:
- Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком
—
(минус). - Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
- сложить их численные множители,
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример. Найти разность одночленов 8ab2, -5a2b и —ab2.
Решение: Составим разность одночленов:
8ab2 — (-5a2b) — (-ab2).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
8ab2 + 5a2b + ab2.
Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
8ab2 + 5a2b + ab2 = (8 + 1)ab2 + 5a2b = 9ab2 + 5a2b.
Общее правило вычитания одночленов:
Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.
Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.
Подобными одночленами называются такие одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться.
При сложении или вычитании одночленов нужно выполнить следующие действия:
1) сложить или вычесть коэффициенты одночленов;
2) переменные множители не менять.
При сложении или вычитании одночленов нужно помнить, что:
— коэффициенты одночленов обычно складываются и вычитаются в уме, и записывается упрощённая сумма;
— нельзя складывать или вычитать одночлены, у которых различаются произведения переменных;
— сумма противоположных одночленов всегда равна (0).
Раскрываются скобки и меняются знаки (т. к. перед скобками стоит минус, и
−−=+
):
−2p3k−(−0,6p3k)−0,2p3k=−2p3k+0,6p3k−0,2p3k==0,6p3k−0,2p3k−2p3k=0,6p3k−2,2p3k=−1,6p3k;
Эти одночлены нельзя вычесть, т. к. произведения переменных различаются.
Сумма противоположных одночленов всегда равна (0).
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Сложение и вычитание одночленов
Поддержать сайт
Вначале, необходимо понять, что называют подобными одночленами.
Запомните!
Одночлены, у которых одинаковый состав букв и их степеней,
называют подобными.
Примеры подобных и
неподобных одночленов
|
2ab и −3ab => Одночлены подобные. Можно вычитать. |
|
8y2 и 7x => Одночлены не подобные. Нельзя складывать. |
|
xy и 9xy => Одночлены подобные. Можно складывать. |
|
4a2 и 2a => Одночлены не подобные. Нельзя складывать. |
Одночлены нужно рассматривать как единое целое.
То есть, частая ошибка когда, например, одночлены 3a и
2ab считают подобными, т.к.
в обоих одночленах присутствует буквенный множитель а.
Одночлены 3a и 2ab НЕ являются подобными,
потому что состав букв должен полностью совпадать в обоих одночленах.
В данном примере в одночлене 3а из буквенных множителей только
а, а во втором одночлене
2ab — два буквенных множителя
а и b.
Запомните!
Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.
Как складывать и вычитать одночлены
При сложении и вычитании одночленов работаем только с их числовыми коэффициентами.
Состав букв остается всегда прежним!
Разберем пример: 3a2b + 2a2b
- Сначала убедимся, что данные одночлены подобные.
У первого одночлена 3a2b состав букв со степенями: a2b.
У второго одночлена 2a2b состав букв со степенями: a2b.Важно!
Состав букв и их степеней у обоих одночленов одинаков, значит, одночлены подобные и их можно складывать.
- Теперь рассмотрим числовые коэффициенты одночленов.
У первого одночлена 3a2b коэффициент: 3.
У второго одночлена 2a2b коэффициент: 2. - Сложим их коэффициенты: 3 + 2 = 5
- Запишем окончательный ответ в виде суммы одночленов.
3a2b + 2a2b = 5a2b
Еще раз обратите внимание, что состав букв в итоговом одночлене НЕ поменялся.
3a2b + 2a2b = 5a2b
Запомните!
Противоположные одночлены взаимно уничтожаются.
−73x2z + 73x2z = 0
Примеры сложения и вычитания одночленов
- 7x2y − 2x2y = 5x2y
- 2a3 + 3a3 − a3 = 5a3 − a3 =
5a3 − 1 a3 = 4a3 - ab3 + ab3 = 1ab3 + 1ab3 = 2ab3
- 5t − 6t = −t (т.к. 5 − 6 = −1)
- 8xy − 10xy + 2xy = −2xy + 2xy = 0
(т.к. при вычитании коэффициентов −2 + 2 = 0)
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Сложение и вычитание одночленов, формула
Формула сложения одночленов
Сложение одночленов это сумма коэффициентов одночленов.
Найти сложение одночленов по формуле с калькулятором онлайн
Примеры сложения одночленов
1. 10xy2 + 5xy2 = 15xy2 ;
a = x ;
b = y2 ;
2. 7x2y3 + 18x2y3 = 25x2y3 ;
a = x2 ;
b = y3 ;
3. 1/2mk2 + 1/2mk2 = 1mk2 ;
a = m ;
b = k2 ;
4. 3 • 4 • 52 + 6 • 4 • 52 = 9 • 4 • 52 = 900 ;
a = 4 ;
b = 5 ;
Формула вычитания одночленов
Вычитание одночленов это вычитание коэффициентов одночленов.
Найти вычитание одночленов по формуле с калькулятором онлайн
Примеры вычитания одночленов
1. 9x2y2 — 7x2y2 = 2x2y2 ;
a = x2 ;
b = y2 ;
2. 4xy3 — 8xy3 = -4xy3 ;
a = x ;
b = y3 ;
3. 20nk2 — 15nk2 = 5nk2 ;
a = n ;
b = k2 ;
4. 5 • 42 • 62 — 3 • 42 • 62 = 2 • 42 • 62 = 1 152 ;
a = 42 ;
b = 62 ;