Как найти аликвотные дроби

Аликвотные дроби при решении нестандартных задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Тема «Аликвотные дроби при решении нестандартных задач» является интересной темой для исследования дробей. Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Цель исследования:

Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования:

Узнать происхождение аликвотных дробей.

Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Составлять и решать задачи практического содержания.

Основная часть

История аликвотных дробей

Аликвота — (лат. aliquoties, «несколько раз или несколько частей»)

Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары

1.1 Аликвотные дроби в Древнем Египте

Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики «настоящими» считали только аликвотные дроби вида 1/n.

Итак, дроби вида1/n, где числитель 1, а n – натуральное число, (т.е. число, которое используется для счёта предметов), называются аликвотными дробями (от латинского aliguot-« несколько») или единичными.

В Древнем Египте «настоящими», математики, считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.  

Например: 8/15 =1/3+1/5,

1/2 = 1/3+1/6,

1/4 = 1/5+1/20,

3/4 = 1/2+1/4,

2/11 = 1/6+1/66,

2/7 = 1/6+1/14+1/21,

2/13 = 1/8+1/52+1/104

Кроме того, для единиц измерения емкостей и объемов использовался так называемый глаз «Хора»

Он представлял собой дробь 63/64.

Так как, согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64. Каждая часть глаза соответствовала определённой дробии была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64

Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Они нужны были для практических целей.

Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми»   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:

7/8= 1/2+1/4+1/8

Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. При этом, придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Значение аликвотных дробей в истории:

Первое понятие дроби появилось в Древнем Египте много веков назад. В русском языке это слово появилось лишь в 8 веке от слов «дробить, разбивать, ломать на части», поэтому в первых учебниках дроби называли «ломанными числами». Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии, а дробная черта появилась в записи дробей лишь 300 лет назад, до этого ставили точку между числителем и знаменателем. Сами названия «числитель» и « знаменатель» ввел в употребление греческий ученый — математик Максим Плануд.

Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка «Попасть в дроби», что означало оказаться в трудном положении.

Формулы аликвотных дробей

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий. Для этого необходимо представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей.

Например:1/3 = 1/4+1/12,

1/5 = 1/6+1/30,

1/8 = 1/9+1/72

Из данных примеров следует, что знаменатель первой дроби на 1 больше знаменателя данной дроби. Произведение же знаменателя первой дроби и знаменателя данной дроби соответствует знаменателю второй дроби.

Где n – знаменатель данной дроби является натуральным числом, тогда мы можем представить формулу в таком виде как:

+

Доказать это равенство можно, приведя дроби к общему знаменателю и после сокращений увидеть, что формула верна.

Кроме того, следует отметить, что аликвотные дроби можно как складывать, так и вычитать.

Поэтому, разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле:

+ .

Если преобразовать формулу + ,

то получим следующие равенства:

= и —

Если разложить в виде разности двух аликвотных дробей по формуле: —

то мы увидим, что аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.

Так, например: 1/6 = 1/(2*3) = 1/2-1/3

1/2 = 1/(1*2) = 1/1 – 1/2

1/56 = 1/(7*8) = 1/7-1/8

Решение нестандартных задач

№1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей.

а) трёх слагаемых:

1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6) = 1/2+1/3+1/6

б) четырёх слагаемых:

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых:

1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+(1/4+1/12)+(1/7+1/42)=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42

г) шести слагаемых:

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+(1/4+1/12)+(1/7+1/42)=1/2+1/4+1/12

+((1/8+1/56)+1/42))=1/2+1/4+1/12+1/8+1/56+1/42

№2. Представьте дробь 1/2020 в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби 1/2020 в виде суммы и один из них — в виде разности аликвотных дробей.

Это, опять-таки, из-за простоты числа 2020.

1/2020=1/2020+1/4082420=1/4040+1/4040=1/2019-1/4078380

№3. Найти сумму аликвотных дробей 1/2+1/((2*3))+1/((3*4))+1/((4*5))+⋯+1/((19*20))

Решение: воспользуемся формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности

1/2=1/((1*2))=1/1-1/2;

1/6=1/((2*3))=1/2-1/3;

1/12=1/((3*4))=1/3-1/4 и т.д.

1/20=1/((4*5))=1/4-1/5;

1/380=1/((19*20))=1/19-1/20.

Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получим:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…-1/19+1/19-1/20=1/1-1/20=19/20 1/2+1/((2*3))+1/((3*4))+1/((4*5))+⋯+1/((19*20))=19/20

Ответ: 19/20

№4. Найти сумму аликвотных дробей 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132

Решение: воспользуемся формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности

1/20=1/(4*5)=1/4-1/5;

1/30=1/(5*6)=1/5-1/6;

1/42=1/(6*7)=1/6-1/7;

1/56=1/(7*8)=1/7-1/8;

1/72=1/(8*9)=1/8-1/9;

1/90=1/(9*10)=1/9-1/10;

1/110=1/(10*11)=1/10-1/11;

1/132=1/(11*12)=1/11-1/12

1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+1/11-1/12=1/4-1/12= (3-1)/12=2/12=1/6 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132=1/6

Ответ: 1/6

№5. Решить уравнение (1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1)]=11 Решение: упростим уравнение и найдем сумму аликвотных дробей: 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)

Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей

1/(25*26)=1/25-1/26; 1/(26*27)=1/26-1/27;

1/(27*28)=1/27-1/28;

1/(28*29)==1/28-1/29;

1/(29*30)=1/29-1/30;

1/25-1/26+1/26-1/27+1/27-1/28+1/28-1/29+1/28-1/29+1/29-1/30=1/25-1/30==(6-5)/150=1/150 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)=1/150

После нахождения суммы, уравнение примет следующий вид

1/150*150+1,03:[10,3(х-1)]=11

1+1,03:[10,3(х-1) ]=11

1,03:[10,3(х-1) ]=10

[10,3(х-1) ]=1,03:10

10,3(х-1) = 0,103

х-1 = 0,01

х =1,01

Ответ: 1,01

№6. Найти сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0,09

Заключение

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Поэтому решения задач с применением аликвотных дробей – это занимательный процесс, развивающий мышление и логику, который помогает решать нестандартные и олимпиадные задачи по математике разных лет.

Список использованных источников и литературы

Баженов И.И, А.Г.Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. — Сыктывкар, 1994.

Бородин А.И. Из истории арифметики, Головное издательство «Ваша школа» — К., 1986

Гаврилова Т.Д. Занимательная математика, 5-11классы. — Волгоград: Учитель, 2008.

Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике. — М.: ИЛЕКСА, 2007.

Петерсон Л. Г. Математика, 5класс. – М.:Ювента, 2016.

Фарков А. В. Математические олимпиады в школе, 5-11классы. – М.: Айрис-пресс, 2012.

Фарков А.В. Математические олимпиады 5-6 классы.- М: Издательство «Экзамен». – М.:2019

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста, М.: Педагогика,1989.

Просмотров работы: 2502

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

г. Астрахань «Средняя образовательная школа №40»

ПРОЕКТ НА ТЕМУ:

«АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ»

Работу выполнила:

Паршкова Ульяна

МБОУ г. Астрахань

«СОШ №40», 9«Г» класс

Руководитель : Чеботарева Н.А.

г. Астрахань

2022 г.

Оглавление

Введение        3

История возникновения аликвотных дробей        4

Исследования египетских дробей………………………………………………….

Задачи с использованием аликвотных дробей        8

Заключение        12

Литература        13

Введение

 «Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне».

Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян.

Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Объектом нашего исследования служат египетские или как принято называть их в математике, аликвотные дроби.

Цель исследования:

Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни и изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике,

Задачи исследования:

узнать происхождение аликвотных дробей;

рассмотреть основные операции с аликвотными дробями;

решать задачи с помощью аликвотных дробей.

Инструменты исследования:

справочная литература;

ресурсы Интернет.

Гипотеза

Аликвотные дроби часто используются при решении задач и в окружающем нас мире.

История возникновения аликвотных дробей

Как известно, дроби появились еще в глубокой древности. Человек встретился с необходимостью ввести дроби при разделе добычи, измерении величин и нахождении их. Так, например, в Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи.

Первые дроби, с которыми нас познакомила история, так называемые единичные или аликвотные (отлат. aliquot –«несколько»). Аликвотные дроби встречаются в математических записях, написанных около 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах (Математический папирус Ринда считался одним из первых известных упоминаниях о египетских дробях) и клинописных вавилонских табличках.

Аликвотные дроби (известные также как египетские) — в математике сумма нескольких различных дробей вида 1/n. Также будет верно сказать, что в каждой такой дроби имеется числитель, который равен единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Примеры представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел. Например: 1/2 + 1/7 + 1/12 … 1/n.

Так как египетская дробь — это положительное рациональное число вида a/b, то она может быть записана в виде 43/48. Важно, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде аликвотной дроби (бесконечным числом способов). Аликвотные дроби                (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. С Древних времен эта тема считалась одной из самых сложных поэтому, когда человек попадал в трудное положение, говорили «Попал в дроби». Подробным изучением аликвотных дробей занялся Фибоначчи — первый крупный математик средневековой Европы в XIII веке. Он описал общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие, используя сложную запись дробей, состоящую из чисел со смешанным основанием.

Интересно, что один из священных символов египтян – так называемое «око Хора» – также имеет математический смысл. Один из вариантов мифа о схватке между божеством ярости и разрушения Сетом и его племянником солнечным богом Хором гласит, что Сет выбил Хору левый глаз и разорвал или растоптал его. Боги восстановили глаз, но не полностью. Око Хора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона. Изображение ока, почитавшегося как амулет, содержит элементы, обозначающие особый ряд чисел. Это дроби, каждая из которых вдвое меньше предыдущей: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Символ божественного глаза, таким образом, представляет их сумму – 63/64. Некоторые историки-математики полагают, что в этом символе отражено понятие египтян о геометрической прогрессии. Составные части изображения ока Хора использовались в практических расчетах, например при измерении объема сыпучих веществ, таких как зерно.

Египетские дроби получили распространение и в других странах. О них упоминается в литературе Древней Греции. Решение с помощью аликвотных дробей нашло наибольшее применение в Индии. Сегодня известны рукописи, датированные примерно IV веком до нашей эры, в которых говорится не только о дробях с числителями равными единице, но с числителями с произвольными значениями. А впоследствии математиками всего мира, применяли в решении задач аликвотные дроби. Хотя к египетским дробям предъявляли ряд замечаний. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой исчисления.

Аликвотные величины в настоящее время используются не только в математике. В музыке есть понятие аликвотных струн. Аликвотные или резонансные струны – это дополнительные струны, не используемые непосредственно исполнителем, а самовозбуждающиеся от колебания игровых струн. Аликвотные струны служат для обогащения тембра и усиления звучания.

В физике, химии и фармацевтике используется понятие аликвотная доля или аликвота — это точно известная часть раствора.

Исследования египетских дробей

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь разлагается на 2 слагаемых:

Здесь — частное от деления n на m, округлённое до целого в большую сторону, а — (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение.

Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

Современная теория чисел

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские.

Гипотеза Эрдёша»-Грэхема утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых такое, что

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом в 2003 году.

И по сей день Египетские дроби ставят ряд трудных нерешенных математических проблем.

Гипотеза Эрдёша-Страуса утверждает, что для всякого целого числа n ? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ? N существует разложение

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.

Задачи с использованием аликвотных дробей

В Египетских папирусах описаны арифметические действия с единичными дробями. Аликвотные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Например: ,, , .

Рассмотрим древние и современные задачи, в решении которых используются аликвотные дроби.

Египетский жрец и писарь Ахмес считается первым математиком. Решим задачу Ахмеса: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».  

Решение: Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:  . Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмую часть хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Задача из сказки “1001ночь”:

В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу:

Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину от того, сколько осталось. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:

Х= Ѕ+1/4+1/8+1/16+1/16,

1/16= 10 яблокам,

тогда Х= 80+40+20+10+10= 160

Старинная персидская задача:

Персидский крестьянин завещал трем своим сыновьям 17 верблюдов, причем первый должен был получить 1/2 часть всех верблюдов, второй – 1/3 часть, а третий – 1/9. Братья думали долго, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам еще и своего, и решить, таким образом, возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причем Ходжа Насреддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну?

Решение:

1. 17 + 1 = 18 верблюдов всего;

2. 18 * 1/2 = 9 верблюдов получил первый сын;

3. 18 * 1/3 = 6 верблюдов получил второй сын;

4. 18 * 1/9 = 2 верблюдов получил третий сын;

5. 18 – (9 + 6 + 2) = 1 верблюда вернули Ходже Насреддину.

Ответ: 9, 6, 2 верблюда

Задача из учебника математики:

«Три друга купили 2 дыни. Как, не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?»

Решение: По условию задачи две дыни нужно разделить на три равные части.

.

Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по дыни.

Ответ: половинка дыни и дыни.

Подобных задач можно придумать очень много.

Простейшими задачами считаются задачи разложения дроби на сумму аликвотных дробей. Эти задачи можно разделить на две категории:

1. в знаменателе простое число;

2. в знаменателе составное число.

Рассмотрим решение задач первого типа:

Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.

Задачи второго типа также можно разделить на три вида:

1) числитель сразу можно представить в виде суммы делителей знаменателя;

2) в числителе число наименьшего делителя знаменателя;

3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:

.

Для того чтобы разложить дробь на сумму аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.

Тогда конечный результат будет таким: .

В современном мире задачи с аликвотными дробями можно встретить и в различной дополнительной литературе по предмету, в олимпиадных заданиях.

Рассмотрим задачи  из журнала «Квант»:

Задача 1.Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) в виде суммы трёх слагаемых:

Б) в виде суммы четырёх слагаемых:

В) в виде суммы пяти слагаемых:

Г) в виде суммы шести слагаемых:

) +

Задача 2: Представьте дробь  в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби  в виде суммы и один — в виде разности аликвотных дробей.

Задача 3: Верно ли равенство?

?

Равенство верно.

Задача 4:Найдите сумму: .

Решение: Для решения воспользуемся уже известным нам способом

и т. д.

т. е. получим .

Задача 5: Найти сумму: 

Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.

, и т. д.

Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ 

Заключение

Таким образом, при исследовании данной темы, я пришла к выводу, что эта тема малоизвестна широкому кругу школьников.

Также выяснила, что первыми дробями были аликвотные дроби.

Узнала, что аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями. 

Научилась решать задачи с использованием аликвотных дробей.  

Решение этих задач занимательное и нестандартное, развивает мышление и логику. 

Выдвинутая гипотеза оказалась верна: Аликвотные дроби часто бывают более удобными при решении задач и применяются в окружающем нас мире в разных областях, а не только в математике.

Литература

• Депман И. Я. Мир чисел. М.: Детская литература,1982
• Кординский Б. А.,Ахадов Л. А.Удивительный мир чисел: книга для учащихся. М.Просвещение,1986
• Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. – М.: Педагогика,1989.
• Яновская, С. А. /К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания/ С. А. Яновская – М.,1947.

Интернет ресурсы:

• http://ru.wikipedia.org/wiki Симметрия — http://slovari.yandex.ru
• https://intolimp.org/publication/alikvotnyie-drobi.html
• https://www.metod-kopilka.ru/issledovatelskaya_rabota_na_temu_alikvotnye_drobiquot-50147.htm
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Египетские_дроби

 МБОУ “Школа №19(25) имени вице-адмирала В. М. Головнина”

    Исследовательская работа на
тему:

             
“Аликвотные дроби”

                                                                                          
Выполнили ученики

                                                                                        
                 7“Л” класса:

                                                                                               
Соломонов Петр

                                                                                                  
Соловов Семён

                                                                                                
Малышев Антон

                                                                                               
Кудрявцев Павел

                              
                                          Руководитель: Денисова В. В.

                                             
г. Рязань

                                             
2019 год

Оглавление

1. Введение                                                                                                                   
      3           

2. Из
истории аликвотных дробей                                                                                
5

2.1. Папирус Ринда                                                                                                            
6

2.2. Глаз Хора                                                                                                                      
8

2.3. Античность и средневековье                                                                                  
9

3. Основные операции с аликвотными дробями                                                      
9

3.1. Алгоритм Фибоначчи                                                                                              
10

4. Задания
исследовательского характера                                                               
11

5. Аликвотные дроби в жизни                                                                                      12

6. Аликвотные дроби в олимпиадных задачах                                                       
13

7. Применение
аликвотных дробей при выполнении задания 19  ЕГЭ             14                                 

8. Авторские задачи, посвященные городу Рязань                                                
15

9.
Заключение                                                                                                                  
16

10.
Список
литературы                                                                                                   
17

1.Введение

Египетская дробь — в математике сумма нескольких
попарно различных дробей вида    (так
называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь
суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий
собой натуральное число.

Пример: 

Актуальность

Современная жизнь делает задачи с использованием в  решении аликвотных
дробей актуальными, так как они составляют обширный класс нестандартных задач. Как
показывает практика, эти задачи являются неотъемлемой частью при подготовке к
олимпиадам и подготовке  заданий 19 ЕГЭ.А это повышает  успешность в учёбе, содействует развитию математических
способностей, внимания, повышению познавательного интереса к математике.

Новизна 

Аликвотные дроби долгое время были единственными
дробями, с которыми умел оперировать человек, а правила действий с дробями
разработаны «сравнительно
недавно».
Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с
египетскими дробями и достигли больших успехов в этом направлении.

Объект исследования: аликвотные дроби
Предмет исследования: разложение аликвотных
дробей

Цель работы:
изучить применение свойства аликвотных дробей в математике.
Задачи:

•      подобрать и изучить литературу по данной теме
и материал в сети Интернет;

•      научиться решать  задачи  с применением
аликвотных дробей;

•      исследовать методы  решения олимпиадных задач
и задач для подготовки к ЕГЭ с помощью аликвотных дробей;

•      составить авторские задачи, посвящённые городу
Рязань, на применение аликвотных дробей;

•      выпустить буклет «Аликвотные дроби».

Нами был проведён опрос  среди учеников 7Л класса.
Было опрошено 27 учащихся.

•      Вопросы анкеты

•      1.Что вы знаете об аликвотных дробях?

•      2. Знаете ли вы о математическом папирусе?

•      3.Хотелось
ли узнать о них больше?

Вывод

Результаты анкетирования показали, что школьники обладают
недостаточными знаниями о дробях и хотят узнать больше.

2. Из истории аликвотных дробей

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем
Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях
является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых
упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный
свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка
Ахмима.

С древних времён людям приходилось не только считать предметы, для чего
требовались натуральные числа, но и измерять длину, время, площадь. Не всегда
результат измерения выражался натуральным числом, приходилось учитывать части и
доли. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при
дележе добычи после охоты. Древние египтяне особое пристрастие питали к дробям,
в  числителе которых стоит единица. В современной математике они именуются
аликвотными (от латинского aliguot- » несколько»).

 Аликвотная дробь-это дробь вида 1/n, где n-натуральное число. Единственной дробью в
обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла 1, была дробь 2/3.
Египтяне уже знали, как два предмета разделить на троих. Первой дробью, с
которой познакомились египтяне, была половина. Следующей дробью была треть. А
вот примеры изображения часто встречающихся дробей.

   В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями,
позднее «ломаными числами».

1/2 — половина, полтина	1/3 – треть
1/4 – четь	1/6 – полтреть
1/8 – полчеть	1/12 – полполтреть
1/16 – полполчеть	1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)	1/5 – пятина
1/7 – седьмина	1/10 – десятина

2.1. Папирус Ринда

В 1858 году в Луксоре Генрихом Риндом найден папирусный свиток,
расшифровка которого позволила узнать, как использовались дроби в Древнем
Египте. Сейчас этот свиток находится в Британском музее в Лондоне. Папирус
Ринда был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 г. до нашей эры. Это
математическая рукопись, составленная учителем для своих учеников, готовившихся
стать придворными писцами. Она включает 84 математические задачи, решения и
ответы. В ней обнаружена специальная таблица для упрощения практических
расчётов, содержащая разложение некоторых дробей в виде суммы аликвотных
дробей. Трудность изучения дробей объяснялась тем, что учеников заставляли
заучивать без понимания.

В папирусе Ахмеса есть задача: «Как разделить 7
хлебов  между 8 людьми?». Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придётся
сделать 49 разрезов. По-египетски эта задача решалась так:⁷/₈ =
¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈.
Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.
Теперь ясно: надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один
хлеб на 8 частей. (всего 17 разрезов). И если нашему школьнику пришлось бы
сделать 49 разрезов, то Ахмесу – всего 17, т.е. египетский способ почти в 3
раза экономичнее.

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21= 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Таблица из папируса Ринда для
разложения некоторых дробей

           

                            
Деревянная
табличка Ахмима

2.2. Глаз Хора

Меры емкости сыпучих тел  были   основаны на иероглифе «Глаз Хора».
Такие дроби были нужны, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в
Древнем Египте.

Для древних людей характерно переплетение образа
Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор,
олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных
сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор
сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает
его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза
в одно целое, создав «здоровый глаз Гора». Изображения частей
разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения
дробей от ¹/₂ до ¹/₆₄._.                                                               

Меньшая часть глаза
¹/₂ (или ³²/₆₄)                                                  Зрачок
¹/₄ (или ¹⁶/₆₄)                                    
Бровь ¹/₈ (или ⁸/₆₄)                            
            Большая часть глаза ¹/₁₆ (или ⁴/₆₄)           
                                                Капля слезы ¹/₃₂
(или ²/₆₄)                                 Знак сокола ¹/₆₄                                             
Уаджет (глаз) в сумме ⁶³/₆₄

2.3 Античность и средневековье

Египетские
дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии
математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним
замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о
неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской
системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл
математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная
тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби,
вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись
дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в
виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были
приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

3. Основные операции с Аликвотными дробями

Задачи
с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс
нестандартных задач. Чтобы представить число в виде суммы аликвотных дробей,
приходилось проявлять незаурядную изобретательность. Поэтому возникла идея
систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если
требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула разложения аликвотной дроби на две аликвотные дроби

Примеры разложения дробей:

3.1.
Алгоритм Фибоначчи

Первый, дошедший до нас общий метод разложения дроби на
аликвотные составляющие описал великий итальянский
математик Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм
можно изложить следующим образом:

Здесь [b/a] — частное от деления b на a, округлённое до целого в
бо́льшую сторону, а (-b) mod a —
(положительный) остаток от деления —b на a.

У
аликвотных дробей есть пара интересных операций: разложение дробей и деление
при помощи аликвотных дробей. Мы уже рассмотрели способы разложения этих дробей.
Теперь рассмотрим деление:

В египетской арифметике основной была операция сложения.
Умножение на целое число и деление без остатка производились с помощью
удвоения, т. е. однократного сложения числа с самим собой. В простейшем случае,
когда делитель является степенью числа 2, египтяне использовали процесс
раздвоения. Когда делитель не есть степень двух, не удается ограничиться
раздвоением. В помощь вычислителю была составлена таблица для представления
дробей n 2 (3 ≤ n ≤ 101) в виде суммы аликвотных дробей:

Историки науки — В. Л.
Ван-дер-Варден, О. Нейгебауер, М. Я. Выгодский — выдвинули ряд гипотез,
объясняющих правила, которыми пользовались ученые древнего Египта при
составлении таблицы. Но вопрос этот до сих пор окончательно не решен. Таблица,
как молчаливый сфинкс, хранит секрет своего составителя. Покажем на простейшем
примере, как египетские математики производили деление с помощью
таблицы:                                                                      
Нужно разделить 54 на 25. Целую часть искомого числа находили с
помощью операции удвоения:    25 + 25 = 50, остаток 4. 4 / 25 = (2 + 2 )
/ 25 =

По таблице египтянин находил:

 И
получал, что:

Также
нужно упомянуть один интересный факт: при сложении, вычитании и делении
аликвотных дробей, как правило, получаются не аликвотные дроби. Но с умножением
дело обстоит иначе – при умножении аликвотных дробей, произведение в любом
случае будет аликвотной дробью.

4. Задания исследовательского характера

Мы посчитали значения следующих выражений,
применив правило сложения дробей с разными знаменателями.

Придумали похожее выражение

Начав приводить дроби к общему
знаменателю, поняли, что это трудно.

Оказывается, если воспользоваться формулой
представления аликвотной дроби  в виде разности аликвотных дробей, всё гораздо
проще.

Если представить дроби: 

Далее аналогично.

Получаем:

Аналогично, в придуманном
выражении получаем:

Таким образом,  для нахождения простого приёма
вычисления суммы таких выражений,  мы составили следующую формулу:

 Мы научились представлять 1 в виде суммы различных
аликвотных дробей.

Воспользовались
Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы
возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные
дроби:. Получим:

Чтобы разложить на 4 слагаемых,
разложим еще одну дробь на две аликвотные дроби:. Получим:

5. Аликвотные дроби в жизни

Дроби в наше время играют незаменимую роль. Иногда
даже не замечая для самих себя, мы пользуемся дробями не только на уроках
математики, но и в повседневной жизни.

В кулинарии, при приготовлении щей требуется ½ пучка зелени и ½ ложки
соли.

В
медицине, врач назначает больному принимать ¼  таблетки перед едой и ½ после.

             

   
В строительстве при изготовлении бетонной смеси используют 1/10  часть цемента,
 ½ часть щебня.

Даже
в спорте встречаются аликвотные дроби! К примеру, 1/8 финала Чемпионата мира по
футболу.

6. Аликвотные дроби в олимпиадных задачах

Наши дроби встречаются не только в учебниках по истории и повседневной
жизни.  Встретить их можно еще и в олимпиадных задачах. Изучая сборник
московских математических олимпиад, мы натолкнулись на пару интересных задач:        

№ 39

№ 41

А в книге Ф.Ф. Нагибина «Математическая шкатулка» мы
встретили  задание, в котором также можно применить полученную нами формулу.
Для  обычного человека  это трудноразрешимая задача.

Вычислите сумму простым приёмом вычисления:

7.
Применение аликвотных дробей при выполнении задания 19  ЕГЭ

Задача 1: Четыре натуральных числа  a,b,c
и d таковы ,что

а) Могут ли все числа быть попарно
различными?

б) Может ли одно из этих чисел равняться
девяти?

в) Может ли одно из этих чисел равняться
семи?

Решение:

                     а) Да,
например,         б) Да, например            в) Да, например

Ответы на все вопросы мы нашли   с помощью
разложения 1  на сумму аликвотных дробей.

Задача 2: Может ли сумма четырёх попарно
различных дробей вида  (где n є N,n>1)   а) Равняться 1,3   б) Равняться
1,001

Решение:
а)

Ответ: не может.

б)

Ответ: может.

8. Авторские задачи, посвященные
городу Рязань

1) Чтобы узнать, в каком году основан город Рязань нужно
сумму дробей

умножить
на 1096.

2) Чтобы узнать площадь города Рязань,  нужно сумму дробей

умножить
на 225.

3) Если сумму дробей

умножить
на 538962, можно узнать население города Рязань.

9. Заключение

В
результате проделанной работы мы узнали, что первыми дробями, которыми
оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных
дробей составляют обширный класс нестандартных задач. В современное время они
тоже с успехом применяются. В ходе выполнения работы  мы узнали, что решение
задач занимательно, развивает мышление и логику.

 Мы
систематизировали  в виде формулы разложение дробей,  преобразовав которую,
легко решать олимпиадные задачи по математике и задачи к ЕГЭ с использованием аликвотных
дробей. Составили авторские задачи в честь нашего города. Проводить
исследование по этой теме нам было очень интересно. А самое главное, мы сделали
для себя вывод, нужно быть внимательным, уметь логически мыслить и, самое
главное, быть уверенным в своих силах. В дальнейшем мы продолжим исследовать
свойства аликвотных дробей.

Результаты
нашего анкетирования показали, что школьники обладают недостаточными знаниями
об аликвотных дробях и хотят узнать больше. Мы решили сделать буклет на тему «
Аликвотные дроби». Это и будет продуктом нашей работы.

Результаты
работы можно использовать для подготовки к ЕГЭ и на факультативных курсах, а
также самостоятельной подготовке учащихся по этой теме.

10. Список литературы

1. Зубелевич Г.И. “Сборник задач
московских математических олимпиад”. — М: Просвещение.1971г.-304стр.

2. Нагибин Ф.Ф. “Математическая шкатулка”. М:
Просвещение,1984г.-160стр

3. Выгодский М.Я. “Арифметика и
алгебра в древнем мире”. М: Просвещение.1967г-.
368стр.

4. Депман И.Я. “История арифметики”. М:
Просвещение,1965г.-265стр.

Городская выставка-конференция школьников

«Юные исследователи — будущее Севера»

Естественные науки и современный мир

Египетские дроби

Автор: Жарко Максим Александрович,

6А класс, МБОУ г. Мурманска СОШ № 36

Научный руководитель: Пономаренко Юлия Андреевна,

учитель математики МБОУ г. Мурманска СОШ № 36

г. Мурманск, 2017

Оглавление.

Введение……………………………………………………………….3

Основная часть

1. История происхождения………………………………………4

2. Аликвотные дроби…………………………………………….9

Заключение……………………………………………………………12

Список литературы…………………………………………………..13

Введение.

«Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне».¹

Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян.

Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Объектом нашего исследования служат египетские или как принято называть их в математике, аликвотные дроби.

Цель нашей работы изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике, создать сборник задач

Основная часть.

История происхождения

Основу математики египтян составляли целые числа и аликвотные дроби. Это такие дроби, когда в числителе всегда единица. Египтянин не понимал дробь . Он представлял её в виде суммы дробей . У всех египетских дробей в числителе всегда были единицы.

Даже к числу Пи, которое египтяне единственные из окружающих их соседей отличали от простой «тройки», добавлялась . То есть число Пи у египтян было или . В нашем десятичном исчислении 3.142857. Вполне достойная точность.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода.

В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра; имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д.; решение одной задачи (79-й) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.

Самый большой математический документ — папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса — найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет — 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца».

Одна из задач этого папируса — разделить 7 хлебов между 8 людьми — решается в характерном для всей египетской математики стиле: каждому проголодавшемуся нужно дать сумму

1/2+1/4+1/8

долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями.

В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида 2/n. Например, зная разложения

2  15

=

1  10

+

1  30

,

2  25

=

1  15

+

1  75

,

2  75

=

1  50

+

1   150

,

дробь 7/25 можно легко представить суммой различных египетских дробей:

7  25

=

1  25

+

2  25

+

4  25

=

1  25

+

1  15

+

1  75

+

2  15

+

2  75

=

=

1  10

+

1  15

+

1  25

+

1  30

+

1  50

+

1  75

+

1   150

.

Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида 2/n для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, дробь 5/12 представлялась египтянами как сумма 1/4 и 1/6, либо как сумма 1/3 и 1/12. Правильным считался второй вариант, так как 1/3 – самая большая из египетских дробей, меньших 5/12

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Египтяне ставили иероглиф:

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию.

К примеру:

{displaystyle ={frac {1}{3}}}

{displaystyle ={frac {1}{10}}}

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

{displaystyle ={frac {1}{2}}}

{displaystyle ={frac {2}{3}}}

{displaystyle ={frac {3}{4}}}

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

{displaystyle ={frac {1}{331}}}

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

В египетской письменности irt означает «глаз», а глагол «wḏȝ» — имеет значение «защищать». Таким образом, общий смысл этого знака: «охраняющий глаз». По-видимому, в начертании данного символа нашли отражение как черты человеческого глаза, так и черты сокола.

Так, в одном элементе уаджета, а именно:

учёные усматривают символическое изображение сокола — воплощение бога Гора.

В арифметике египтян составные части Уаджета использовались для написания дробей от ¹/₂ до ¹/₆₄, а также применялись для измерений емкостей и объемов.

Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: ³²/₆₄ + ¹⁶/₆₄ + ⁸/₆₄ + ⁴/₆₄ + ²/₆₄ + ¹/₆₄ = ⁶³/₆₄

Иероглиф	Значение	Примерная величина
	часть глаза (справа)	1/2 (или 32/64)
	зрачок	1/4 (или 16/64)
	бровь	1/8 (или 8/64)
	часть глаза (слева)	1/16 (или 4/64)
	капля слезы (?)	1/32 (или ²/64)
	знак сокола (?)	1/64
	Уаджет в сумме	63/64

Древние математики высказывали замечания насчет аликвотных дробей. Например, Клавдий Птолемей твердил о неудобстве применения аликвотных дробей в сравнении с системой Вавилона.

Аликвотные дроби

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул

2/n=1/n + 1/n; например, при n = 9 29 = 19 + 19

2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например, при n = 2      2/5=1/3 + 1/15

2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) например, при n = 5        2/11=1/6 + 1/66 . 

Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3

То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные  числа  равные  их  произведению.

Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

Задача 2. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 3. В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?

Решение. , 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.

Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.

Заключение.

В нынешней математике ученые продолжают исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями:

— в конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную

— также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в r0 цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.

На сегодняшний день аликвотные дроби ставят для математиков целый ряд трудных и практически нерушимых математических задач. Решение этих задач занимательное и нестандартное, развивает мышление и логику.

Продолжением работы будет служить сборник задач, позволяющих создать основу для дальнейшего решения задач профильного уровня ЕГЭ.

Список литературы

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов. Алгебра 7кл.

2. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

3. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

4. Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Ваша школа» — К.,1986.

5. Строительство и архитектура в Древнем Египте. Авторы: Сомерс Кларк,Рекс Энгельбах

1 Строительство и архитектура в Древнем Египте. Авторы: Сомерс Кларк,Рекс Энгельбах