Как найти амплитуду силы тока формула

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания.
Условие квазистационарности
Резистор в цепи переменного тока
Конденсатор в цепи переменного тока
Катушка в цепи переменного тока

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания.

Переменный ток — это вынужденные электромагнитные колебания, вызываемые в электрической цепи источником переменного (чаще всего синусоидального) напряжения.

Переменный ток присутствует всюду. Он течёт по проводам наших квартир, в промышленных электросетях, в высоковольтных линиях электропередач. И если вам нужен постоянный ток, чтобы зарядить аккумулятор телефона или ноутбука, вы используете специальный адаптер, выпрямляющий переменный ток из розетки.

Почему переменный ток распространён так широко? Оказывается, он прост в получении и идеально приспособлен для передачи электроэнергии на большие расстояния. Подробнее об этом мы поговорим в листке, посвящённом производству, передаче и потреблению электрической энергии.

А сейчас мы рассмотрим простейшие цепи переменного тока. Будем подключать к источнику переменного напряжения поочерёдно: резистор сопротивлением , конденсатор ёмкости и катушку индуктивности . Изучив поведение этих элементов, мы в следующем листке «Переменный ток. 2» подключим их одновременно и исследуем прохождение переменного тока через колебательный контур, обладающий сопротивлением.

Напряжение на клеммах источника меняется по закону:

(1)

Как видим, напряжение может быть положительным и отрицательным. Каков смысл знака напряжения?

Всегда подразумевается, что выбрано положительное направление обхода контура. Напряжение считается положительным, если электрическое поле зарядов, образующих ток, имеет положительное направление. В противном случае напряжение считается отрицательным.

Начальная фаза напряжения не играет никакой роли, поскольку мы рассматриваем процессы, установившиеся во времени. При желании вместо синуса в выражении (1) можно было бы взять косинус — принципиально от этого ничего не изменится.

Текущее значение напряжения U(t) в момент времени называется мгновенным значением напряжения.

к оглавлению ▴

Условие квазистационарности

В случае переменного тока возникает один тонкий момент. Предположим, что цепь состоит из нескольких последовательно соединённых элементов.

Если напряжение источника меняется по синусоидальному закону, то сила тока не успевает мгновенно принимать одно и то же значение во всей цепи — на передачу взаимодействий между заряженными частицами вдоль цепи требуется некоторое время.

Между тем, как и в случае постоянного тока, нам хотелось бы считать силу тока одинаковой во всех элементах цепи. К счастью, во многих практически важных случаях мы действительно имеем на это право.

Возьмём, к примеру, переменное напряжение частоты nu = 50 Гц (это промышленный стандарт России и многих других стран). Период колебаний напряжения: с.

Взаимодействие между зарядами передаётся со скоростью света: м/с. За время, равное периоду колебаний, это взаимодействие распространится на расстояние:

м = 6000 км.

Поэтому в тех случаях, когда длина цепи на несколько порядков меньше данного расстояния, мы можем пренебречь временем распространения взаимодействия и считать, что сила тока мгновенно принимает одно и то же значение во всей цепи.

Теперь рассмотрим общий случай, когда напряжение колеблется с циклической частотой omega . Период колебаний равен , и за это время взаимодействие между зарядами передаётся на расстояние . Пусть — длина цепи. Мы можем пренебречь временем распространения взаимодействия, если много меньше :

(2)

Неравенство (2) называется условием квазистационарности. При выполнении этого условия можно считать, что сила тока в цепи мгновенно принимает одно и то же значение во всей цепи. Такой ток называется квазистационарным.

В дальнейшем мы подразумеваем, что переменный ток меняется достаточно медленно и его можно считать квазистационарным. Поэтому сила тока во всех последовательно включённых элементах цепи будет принимать одинаковое значение — своё в каждый момент времени. Оно называется мгновенным значением силы тока.

к оглавлению ▴

Резистор в цепи переменного тока

Простейшая цепь переменного тока получится, если к источнику переменного напряжения подключить обычный резистор (мы полагаем, разумеется, что индуктивность этого резистора пренебрежимо мала, так что эффект самоиндукции можно не принимать во внимание) , называемый также активным сопротивлением (рис. 1)

Рис. 1. Резистор в цепи переменного тока

Положительное направление обхода цепи выбираем против часовой стрелки, как показано на рисунке. Напомним, что сила тока считается положительной, если ток течёт в положительном направлении; в противном случае сила тока отрицательна.

Оказывается, мгновенные значения силы тока и напряжения связаны формулой, аналогичной закону Ома для постоянного тока:

$I = frac{displaystyle U}{displaystyle R vphantom{1^a}} = frac{displaystyle U_0}{displaystyle R vphantom{1^a}} sin omega t.$

Таким образом, сила тока в резисторе также меняется по закону синуса:

Амплитуда тока I_0 равна отношению амплитуды напряжения U_0 к сопротивлению :

$I_0 = frac{displaystyle U_0}{displaystyle R vphantom{1^a}}.$

Мы видим, что сила тока через резистор и напряжение на нём меняются «синхронно», точнее говоря — синфазно (рис. 2).

Рис. 2. Ток через резистор совпадает по фазе с напряжением

Фаза тока равна фазе напряжения, то есть сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.

к оглавлению ▴

Конденсатор в цепи переменного тока

Постоянный ток через конденсатор не течёт — для постоянного тока конденсатор является разрывом цепи. Однако переменному току конденсатор не помеха! Протекание переменного тока через конденсатор обеспечивается периодическим изменением заряда на его пластинах.

Рассмотрим конденсатор ёмкости , подключённый к источнику синусоидального напряжения (рис. 3). Активное сопротивление проводов, как всегда, считаем равным нулю. Положительное направление обхода цепи снова выбираем против часовой стрелки.

Рис. 3. Конденсатор в цепи переменного тока

Как и ранее, обозначим через заряд той пластины конденсатора, на которую течёт положительный ток — в данном случае это будет правая пластина. Тогда знак величины совпадает со знаком напряжения . Кроме того, как мы помним из предыдущего листка, при таком согласовании знака заряда и направления тока будет выполнено равенство .

Напряжение на конденсаторе равно напряжению источника:

$frac{displaystyle q}{displaystyle C vphantom{1^a}} = U = U_0 sin omega t.$

Отсюда

Дифференцируя это равенство по времени, находим силу тока через конденсатор:

$I = dot{q} = CU_0 omega cos omega t.$ (3)

Графики тока и напряжения представлены на рис. 4. Мы видим, что сила тока каждый раз достигает максимума на четверть периода раньше, чем напряжение. Это означает, что фаза силы тока на pi/2 больше фазы напряжения (ток опережает по фазе напряжение на pi/2 ).

Рис. 4. Ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на pi/2

Найти сдвиг фаз между током и напряжением можно также с помощью формулы приведения:

$cos varphi = sin left ( varphi + frac{displaystyle pi}{displaystyle 2 vphantom{1^a}} right ).$

Используя её, получим из (3):

$I = CU_0 omegasin left ( omega t + frac{displaystyle pi}{displaystyle 2 vphantom{1^a}} right ).$

И теперь мы чётко видим, что фаза тока больше фазы напряжения на pi/2 .

Для амплитуды силы тока имеем:

$I_0 = CU_0 omega = frac{displaystyle U_0}{displaystyle 1/left ( omega C right ) vphantom{1^a}}.$

Таким образом, амплитуда силы тока связана с амплитудой напряжения соотношением, аналогичным закону Ома:

$I_0 = frac{displaystyle U_0}{displaystyle X_C vphantom{1^a}},$

где

$X_C = frac{displaystyle 1}{displaystyle omega C vphantom{1^a}}.$

Величина X_C называется ёмкостным сопротивлением конденсатора. Чем больше ёмкостное сопротивление конденсатора, тем меньше амплитуда тока, протекающего через него, и наоборот.

Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально циклической частоте колебаний напряжения (тока) и ёмкости конденсатора. Попробуем понять физическую причину такой зависимости.

1. Чем больше частота колебаний (при фиксированной ёмкости ), тем за меньшее время по цепи проходит заряд CU_0 ; тем больше амплитуда силы тока и тем меньше ёмкостное сопротивление. При ёмкостное сопротивление стремится к нулю: . Это означает, что для тока высокой частоты конденсатор фактически является коротким замыканием цепи.

Наоборот, при уменьшении частоты ёмкостное сопротивление увеличивается, и при имеем . Это неудивительно: случай отвечает постоянному току, а конденсатор для постоянного тока представляет собой бесконечное сопротивление (разрыв цепи).

2. Чем больше ёмкость конденсатора (при фиксированной частоте), тем больший заряд CU_0 проходит по цепи за то же время (за ту же четверть периода); тем больше амплитуда силы тока и тем меньше ёмкостное сопротивление.

Подчеркнём, что, в отличие от ситуации с резистором, мгновенные значения тока и напряжения в одни и те же моменты времени уже не будут удовлетворять соотношению, аналогичному закону Ома. Причина заключается в сдвиге фаз: напряжение меняется по закону синуса, а сила тока — по закону косинуса; эти функции не пропорциональны друг другу. Законом Ома связаны лишь амплитудные значения тока и напряжения.

к оглавлению ▴

Катушка в цепи переменного тока

Теперь подключим к нашему источнику переменного напряжения катушку индуктивности (рис. 5). Активное сопротивление катушки считается равным нулю.

Рис. 5. Катушка в цепи переменного тока

Казалось бы, при нулевом активном (или, как ещё говорят, омическом) сопротивлении через катушку должен потечь бесконечный ток. Однако катушка оказывает переменному току сопротивление иного рода.
Магнитное поле тока, меняющееся во времени, порождает в катушке вихревое электрическое поле $vec{E_B}$ , которое, оказывается, в точности уравновешивает кулоновское поле vec{E} движущихся зарядов:

$vec{E} + vec{E_B} = vec{0}.$ (4)

Работа кулоновского поля vec{E} по перемещению единичного положительного заряда по внешней цепи в положительном направлении — это как раз напряжение . Аналогичная работа вихревого поля — это ЭДС индукции .

Поэтому из (4) получаем:

(5)

Равенство (5) можно объяснить и с энергетической точки зрения. Допустим, что оно не выполняется. Тогда при перемещении заряда по цепи совершается ненулевая работа, которая должна превращаться в тепло. Но тепловая мощность I^2R равна нулю при нулевом омическом сопротивлении цепи. Возникшее противоречие показывает, что равенство (5) обязано выполняться.

Вспоминая закон Фарадея $mathcal E_i = -L dot{I}$ , переписываем соотношение (5):

откуда

$dot{I} = frac{displaystyle U}{displaystyle L vphantom{1^a}} = frac{displaystyle U_0}{displaystyle L vphantom{1^a}} sin omega t.$ (6)

Остаётся выяснить, какую функцию, меняющуюся по гармоническому закону, надо продифференцировать, чтобы получить правую часть выражения (6). Сообразить это нетрудно (продифференцируйте и проверьте!):

$I = -frac{displaystyle U_0}{displaystyle omega L vphantom{1^a}} cos omega t.$ (7)

Мы получили выражение для силы тока через катушку. Графики тока и напряжения представлены на рис. 6.

Рис. 6. Ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на pi/2

Как видим, сила тока достигает каждого своего максимума на четверть периода позже, чем напряжение. Это означает, что сила тока отстаёт по фазе от напряжения на pi/2 .

Определить сдвиг фаз можно и с помощью формулы приведения:

$sin left ( varphi -frac{displaystyle pi}{displaystyle 2 vphantom{1^a}} right ) = -cos varphi.$

Получаем:

$I = frac{displaystyle U_0}{displaystyle omega L vphantom{1^a}} sin left ( omega t -frac{displaystyle pi}{displaystyle 2 vphantom{1^a}} right ).$

Непосредственно видим, что фаза силы тока меньше фазы напряжения на pi/2 .

Амплитуда силы тока через катушку равна:

$I_0 = frac{displaystyle U_0}{displaystyle omega L vphantom{1^a}}.$

Это можно записать в виде, аналогичном закону Ома:

$I_0 = frac{displaystyle U_0}{displaystyle X_L vphantom{1^a}},$

где

Величина X_L называется индуктивным сопротивлением катушки. Это и есть то самое сопротивление, которое наша катушка оказывает переменному току (при нулевом омическом сопротивлении).

Индуктивное сопротивление катушки пропорционально её индуктивности и частоте колебаний. Обсудим физический смысл этой зависимости.

1. Чем больше индуктивность катушки, тем большая в ней возникает ЭДС индукции, противодействующая нарастанию тока; тем меньшего амплитудного значения достигнет сила тока. Это и означает, что X_L будет больше.

2. Чем больше частота, тем быстрее меняется ток, тем больше скорость изменения магнитного поля в катушке, и тем большая возникает в ней ЭДС индукции, препятствующая возрастанию тока. При имеем , т. е. высокочастотный ток практически не проходит через катушку.

Наоборот, при имеем X_L = 0 . Для постоянного тока катушка является коротким замыканием цепи.

И снова мы видим, что закону Ома подчиняются лишь амплитудные, но не мгновенные значения тока и напряжения. Причина та же — наличие сдвига фаз.

Резистор, конденсатор и катушка, рассмотренные пока что по отдельности, теперь соберутся вместе в колебательный контур, подключённый к источнику переменного напряжения. Читайте следующий листок — «Переменный ток. 2».

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Переменный ток. 1» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Переменный электрический ток

Переменный ток (AC — Alternating Current) — электрический ток, меняющий свою величину и направление с течением времени.

Часто в технической литературе переменным называют ток, который меняет только величину, но не меняет направление, например, пульсирующий ток.
Необходимо помнить при расчётах, что переменный ток в этом случае является лишь составляющей частью общего тока.
Такой вариант можно представить как переменный ток AC с постоянной составляющей DC.
Либо как постоянный ток с переменной составляющей, в зависимости от того, какая составляющая наиболее важна в контексте.

DC — Direct Current — постоянный ток, не меняющий своей величины и направления.

В реальности постоянный ток не может сохранять свою величину постоянной, поэтому существует условно в тех случаях, где можно пренебречь изменениями его постоянной величины, либо в качестве составляющей (DC) для периодически меняющегося электрического тока любой формы. Тогда величина DC будет равна среднему значению тока за период, и будет являться нулевой линией для переменной составляющей AC.

При синусоидальной форме тока, например в электросети, постоянная составляющая DC равна нулю.

Постоянный ток с переменной составляющей в виде пульсаций показан синей линией на верхнем графике рисунка.
Запись AC+DC в данном случае не является математической суммой, а лишь указывает на две составляющие тока. Суммируются мощности.

Величина тока будет равна квадратному корню из суммы квадратов двух величин — значения постоянной составляющей DC и среднеквадратичного значения переменной составляющей AC.

Термины AC и DC применимы как для тока, так и для напряжения.

Параметры переменного тока и напряжения

Величина переменного тока, как и напряжения, постоянно меняется во времени. Количественными показателями для измерений и расчётов применяются их следующие параметры:

Период T — время, в течении которого происходит один полный цикл изменения тока в оба направления относительно нуля или среднего значения.

Частота f — величина, обратная периоду, равная количеству периодов за одну секунду.

Один период в секунду это один герц (1 Hz). Частота f = 1/T

Циклическая частота ω — угловая частота, равная количеству периодов за 2π секунд.

ω = 2πf = 2π/T

Обычно используется при расчётах тока и напряжения синусоидальной формы. Тогда в пределах периода можно не рассматривать частоту и время, а исчисления производить в радианах или градусах. T = 2π = 360°

Начальная фаза ψ — величина угла от нуля (ωt = 0) до начала периода.
Измеряется в радианах или градусах. Показана на рисунке для синего графика синусоидального тока.

Начальная фаза может быть положительной или отрицательной величиной, соответственно справа или слева от нуля на графике.

Мгновенное значение — величина напряжения или тока измеренная относительно нуля в любой выбранный момент времени t.

i = i(t); u = u(t)

Последовательность всех мгновенных значений в любом интервале времени можно рассмотреть как функцию изменения тока или напряжения во времени.
Например, синусоидальный ток или напряжение можно выразить функцией:

i = I_ampsin(ωt); u = U_ampsin(ωt)

С учётом начальной фазы:

i = I_ampsin(ωt + ψ); u = U_ampsin(ωt + ψ)

Здесь I_amp и U_amp — амплитудные значения тока и напряжения.

Амплитудное значение — максимальное по модулю мгновенное значение за период.

I_amp = max|i(t)|; U_amp = max|u(t)|

Может быть положительным и отрицательным в зависимости от положения относительно нуля.

Часто вместо амплитудного значения применяется термин амплитуда тока (напряжения) — максимальное отклонение от нулевого значения.

Среднее значение (avg) — определяется как среднеарифметическое всех мгновенных значений за период T.

Среднее значение является постоянной составляющей DC напряжения и тока.
Для синусоидального тока (напряжения) среднее значение равно нулю.

Средневыпрямленное значение — среднеарифметическое модулей всех мгновенных значений за период.

Для синусоидального тока или напряжения средневыпрямленное значение равно среднеарифметическому за положительный полупериод.

Среднеквадратичное значение (rms) — определяется как квадратный корень из среднеарифметического квадратов всех
мгновенных значений за период.

Для синусоидального тока и напряжения амплитудой I_amp (U_amp)
среднеквадратичное значение определится из расчёта:

Среднеквадратичное — это действующее, эффективное значение, наиболее удобное для практических измерений и расчётов.
Является объективным количественным показателем для любой формы тока.

В активной нагрузке переменный ток совершает такую же работу за время периода,
что и равный по величине его среднеквадратичному значению постоянный ток.

Коэффициент амплитуды и коэффициент формы

Для удобства расчётов, связанных с измерением действующих значений при искажённых формах тока, используются коэффициенты, которыми связаны между собой
амплитудное, среднеквадратичное и средневыпрямленное значения.

Коэффициент амплитуды — отношение амплитудного значения к среднеквадратичному.

Для синусоидального тока и напряжения коэффициент амплитуды K_A = √2 ≈ 1.414
Для тока и напряжения треугольной или пилообразной формы коэффициент амплитуды K_A = √3 ≈ 1.732
Для переменного тока и напряжения прямоугольной формы коэффициент амплитуды K_A = 1

Коэффициент формы — отношение среднеквадратичного значения к средневыпрямленному.

Для переменного синусоидального тока или напряжения коэффициент формы K_Ф ≈ 1.111
Для тока и напряжения треугольной или пилообразной формы K_Ф ≈ 1.155
Для переменного тока и напряжения прямоугольной формы K_Ф = 1

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник

to continue to Google Sites

Not your computer? Use Guest mode to sign in privately. Learn more

Источник

§ 6 ] Переменный ток 29

Снова принимая во внимание, что частоты ω и ω0 близки друг к

другу (см. (5.7)), проведем замену:
Введем обозначение	ω0 + ω ≈ 2ω0.	(5.10)
	ω
	\|ω0 − ω\| =	,	(5.11)
2
подставим (5.10) и (5.11) в равенство (5.9):
	ω	2
		(2ω0)2 ≈ 4β2ω02.
2
Отсюда окончательно получим
		ω ≈ 2β.	(5.12)
Следовательно, ширина	резонансной кривой	ω приблизительно

равна удвоенному коэффициенту затухания β колебательного контура. Чем меньше коэффициент затухания β, тем уже´ резонансная кривая.

При выводе соотношения (5.12) неоднократно использовалось предположение о том, что резонансная кривая является узкой (см. неравенства (5.7) и (5.8)). Сделанное предположение является оправданным. Действительно, проведенное в настоящем параграфе исследование формы амплитудной резонансной кривой выполнялось в условиях слабого затухания: β ω0 (см. (5.1)). В результате оказалось, что ширина резонансной кривой ω по порядку величины равна коэффициенту затухания β: ω ≈ 2β (см. (5.12)). Тогда из (5.1) и (5.12) следует:

ω ≈ 2β ω0,

что совпадает с (5.7), то есть резонансная кривая является достаточно узкой.

В заключение отметим, что отношение резонансной частоты ω0 к ширине резонансной кривой ω приблизительно равно добротности

контура Q:	ωω0 ≈ 2ωβ0 ≈ Q.	(5.13)

При выводе (5.13) использованы соотношения (5.12) и (5.3).

Переменный ток представляет собой вызванные внешним переменным напряжением вынужденные электрические колебания в цепи, обладающей индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением. Рассматривая переменный ток, удобно использовать понятия индуктивного, емкостного, реактивного и полного сопротивлений электрической цепи или участка цепи. Перечисленные понятия определяются таким образом, чтобы для амплитуды переменного тока Im на рассматриваемом участке цепи и амплитудного значения переменного

Электрические колебания

[ Гл. I

напряжения Um на концах этого участка выполнялось соотношение, по форме совпадающее с законом Ома. Например, так называемое полное сопротивление Z цепи (импеданс) — это величина, удовлетворяющая равенству

Im =	Um	,	(6.1)

	Z

где Im — амплитуда тока в цепи, Um — амплитуда поданного на вход цепи напряжения.

Равенства, подобные (6.1), в соответствии с определением должны выполняться для индуктивного XL, емкостного XC , и реактивного X сопротивлений, если рассматриваемый участок электрической цепи или вся цепь обладает только соответствующим сопротивлением.

Напомним, что если в состав цепи входят последовательно соединенные конденсатор емкости C, катушка индуктивности L и омическое сопротивление R и на вход цепи подано внешнее переменное напряжение U = Um cos ωt, то возникнут вынужденные электрические колебания. При этом сила тока в цепи будет изменяться со временем

по закону

I = Im cos (ωt − ϕ).

Зависимость от циклической частоты ω амплитуды тока Im описывается выражением

R2 + ωL − 1/ωC 2

Разность фаз ϕ между колебаниями внешнего напряжения тока I определяется выражением:

tg ϕ = ωL − 1/ωC . R

Чтобы дать определение индуктивного, емкостного, реактивного и полного сопротивлений участка цепи, рассмотрим закономерности протекания переменного тока в простейших цепях.

Переменный ток в цепи, обладающей только активным сопротивлением. Если на вход це-

U ~	R	пи (рис. 15), обладающей сопротивлением R, пода-
но напряжение U = Um cos ωt, и выполнены условия

			квазистационарности тока, то для вычисления силы
			тока, можно воспользоваться законом Ома:

Рис. 15	U	Um

I = R	=	R cos ωt.	(6.4)

Из (6.4) следует, что амплитуда тока Im связана с амплитудой

напряжения Um и сопротивлением R соотношением:
Im =	Um	.	(6.5)

	R

§ 6 ] Переменный ток 31

Фазовый сдвиг ϕ между током и напряжением равен нулю. Вектор-

	ная диаграмма колебаний тока и напряжения име-
	ет вид, представленный на рис. 16.	m
	Таким образом, при протекании переменного
	m m
	тока в цепи при отсутствии катушек индуктив-

	ности и конденсаторов закон Ома выполняется	Рис. 16
	как для мгновенных (6.4), так и для амплитудных

(6.5) значений тока и напряжения. Сопротивление R в цепи переменного тока называется активным сопротивлением.

Переменный ток в цепи, содержащей только катушку индуктивности. Если переменное напряжение U = Um cos ωt подано на вход

цепи, в состав которой входит только катушка индуктивности L, не обладающая активным сопротивлением (рис. 17), то амплитуду тока можно вычислить по формуле (6.2), полагая в ней R = 0 и 1/C =

=0. Последнее равенство означает, что эффективная емкость цепи,

всоставе которой отсутствуют конденсаторы и в которой не накапливаются электрические заряды, бес-

		конечно велика. Итак, амплитуда тока в рассматри-
U ~	L ваемой идеальной катушке равна
				Im =	Um	.	(6.6)


					ωL

	Рис. 17	При R = 0 и 1/C = 0 из (6.3) следует, что tg ϕ =
	= +∞ и ϕ = π	/	2, то есть колебания напряжения на

катушке опережают колебания текущего в ней тока на величину π/2. Соответствующая векторная диаграмма представлена на рис. 18.

Соотношение (6.6), связывающее амплитуду тока и амплитуду внешнего напряжения, формально можно рассматривать как закон Ома

для участка цепи, содержащего только идеальную
катушку индуктивности. В соответствии с этим вво-		m m

дится понятие индуктивного сопротивления катуш-
ки.

Индуктивное сопротивление XL равно			m


XL = ωL,	(6.7)		Рис. 18

где L — индуктивность катушки, ω — циклическая частота переменного тока. Единица индуктивного сопротивления ом (Ом). Действительно, как следует из определения (6.7):

[XL] =	Гн	=	1	В	= .
с		с	А · с−1

Переменный ток в цепи, содержащей только конденсатор.

Пусть переменный ток течет по цепи, в составе которой имеется только конденсатор емкости C (рис. 19). На вход подается переменное

32 Электрические колебания [ Гл. I

напряжение U = Um cos ωt. Полагая в формуле (6.2) R = 0 и L = 0, найдем амплитуду тока Im:

Im = UmωC.

(6.8)

Используя (6.3) при условии R = 0 и L = 0, определим фазовый

сдвиг ϕ между током и напряжением: tg ϕ = −∞, ϕ = −π

2. Следова-

тельно, колебания тока в цепи,

содержащей

только конденсатор,

опережают

по

фазе

колебания

напряжения

на

конденсаторе на

величину π/2. Соответствующая

векторная диаграмма представле-

на на рис. 20.

Рис. 19

Рис. 20

Рассматривая (6.8) формально

как закон Ома для амплитудных

значений тока и напряжения, можно определить емкостное сопротивление конденсатора.

Емкостное сопротивление XC равно
XC =	1	.	(6.9)

	ωC

Единица емкостного сопротивления ом (Ом). Действительно, в соответствии с определением (6.9)

[XC ] =		1	=			1	=	В	= Ом.
	−1	· Ф		−1	/	А
с		с		· Кл В

Переменный ток в цепи, содержащей индуктивность и емкость.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением (R = 0). На вход цепи подано переменное напряжение

U = Um cos ωt (рис. 21). При R = 0 амплитуда пе-

ременного тока Im, вычисленная по формуле (6.2),

равна

Im =

(6.10)

U ~

R2 + ωL − 1/ωC 2

ωL − 1/ωC

Разность фаз

ϕ между

колебаниями

внешнего

напряжения и тока определяется соотношением (6.3)

Рис. 21

и зависит от циклической частоты ω, а именно: если

/√

LC , то

tg ϕ = ∞

и ϕ = π/2; если

ω < 1

LC , то tg ϕ =

ω > 1

= −∞ и ϕ = −π

2. Таким образом, при достаточно больших значениях

частоты ω колебательный контур по своей фазовой характеристике похож на катушку индуктивности: приложенное напряжение опережает ток на величину π/2. При низких частотах колебательный контур по своей фазовой характеристике похож на конденсатор: ток в контуре опережает внешнее напряжение на величину π/2. На рис. 22 приведен

§ 6 ] Переменный ток 33

пример векторной диаграммы колебаний в контуре при относительно

√

большой частоте ω: ω > 1/ LC .

Рассматривая соотношение (6.10) как закон

Ома, связывающий амплитуды тока и напряже-

ния, можно ввести понятие реактивного сопро-

тивления цепи X.

Реактивным сопротивлением цепи, содер-

жащей конденсатор и катушку индуктивности,

называется величина

X = ωL −

(6.11)

ωC

Единицей реактивного сопротивления явля-

Рис. 22

ется ом (Ом).

Полное сопротивление цепи (импеданс). Если на вход последовательного контура, содержащего индуктивность L, емкость C и активное сопротивление R (рис. 23), подано переменное напряжение U = Um cos ωt, амплитуда колебаний тока в цепи, согласно (6.2), равна

					Um		Um
					Im = R2 + ωL − 1/ωC 2 =		,	(6.12)
					Z
U ~

	C
					где величина Z — так называемое	полное сопротив-



R	L	ление цепи.
					По определению, полным сопротивлением цепи
					(импедансом) называется величина
	Рис. 23
			Z = R2 + (ωL − 1/ωC)2 =		,
			R2 + X2	(6.13)

где X — реактивное сопротивление.

Если известны полное сопротивление Z цепи и амплитуда внешнего напряжения Um, соотношение (6.12) позволяет найти амплитуду переменного тока Im. Разность фаз ϕ между поданным на вход цепи напряжением и током определяется соотношением (6.3). Пример векторной диаграммы колебаний в последовательном контуре показан на рис. 12.

Мощность переменного тока. Рассмотрим цепь переменного тока, которая представляет собой последовательный колебательный контур (рис. 23). На вход цепи подано напряжение U = Um cos ωt, мгновенное значение силы тока равно I = Im cos (ωt − ϕ), где ϕ — разность фаз колебаний напряжения и тока. Мгновенная мощность тока, которую обозначим через Pt, равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:

Pt = IU = Im cos (ωt − ϕ)Um cos ωt =

1 1

= 2 ImUm cos (2ωt − ϕ) + 2 ImUm cos ϕ.

2 А. Н. Леденев

34	Электрические колебания	[ Гл. I
	Практический интерес представляет не мгновенное, а среднее за

достаточно большой промежуток времени значение мощности тока. В полученном выражении для мгновенной мощности тока Pt от времени зависит только первое слагаемое. Среднее по времени значение мощности тока P равно


P =	1	ImUm cos1(2ωt − ϕ) +	1	ImUm cos ϕ 1=
2	2
	=		ImUm cos (2ωt − ϕ) +		ImUm
	2	2

1 1

= 2 ImUm cos (2ωt − ϕ) + 2 ImUm

cos ϕ =

cos ϕ = 2 ImUm cos ϕ.

Здесь было учтено, что среднее за период T = π/ω (а также за большой по сравнению с периодом промежуток времени) значение функции cos (2ωt − ϕ) равно нулю.

Итак, среднее по времени значение мощности переменного тока

равно	1
P =	ImUm cos ϕ,	(6.14)
2

где Im и Um — амплитуды тока и напряжения, ϕ — разность фаз между колебаниями напряжения на входе цепи и текущего по ней тока.

Используя выражение (3.9) для тангенса разности фаз ϕ:

tg ϕ =

ωL − 1/ωC

вычислим cos ϕ:

cos ϕ =

1 + tg2 ϕ

+ ωL −

1/ωC

, (6.15)

R2 + X2

1 + X/R 2

где X — реактивное сопротивление цепи.

Из (6.15) следует, что чем больше реактивное сопротивление X по сравнению с активным сопротивлением R, тем меньше величина cos ϕ и, следовательно, меньше поступающая в цепь мощность тока P (см. (6.14)). Отсюда следует практически важный вывод: чтобы увеличить эффективность передачи электроэнергии от источника к потребителю по проводам на большие расстояния, необходимо стремиться к относительному уменьшению реактивного сопротивления X линий электропередачи.

Учитывая, что произведение Um cos ϕ равно амплитуде напряжения на активном сопротивлении R, а именно: Um cos ϕ = URm = ImR (см. векторную диаграмму на рис. 12), выражение (6.14) для мощности

переменного тока можно представить в следующей форме:

P =	1	I	m	U	m	cos ϕ =	1	I2	R.	(6.16)
2
				2 m

Действующим (эффективным) значением силы тока Iэф называется величина, равная

Мощность переменного тока, выраженная через величину Iэф, равна

Равенство (6.18) формально совпадает с выражением для мощности P постоянного тока силой Iэф на участке цепи, сопротивление которого равно R. Из сравнения (6.16) и (6.18) следует, что действующее значение силы тока Iэф равно силе такого постоянного тока, мощность которого равна мощности переменного тока, причем постоянный ток должен течь по проводнику с сопротивлением R, равным омическому сопротивлению цепи переменного тока.

В электротехнике в общем случае произвольного периодически зависящего от времени тока силой I = I(t), текущего по цепи с сопротивлением R, действующее или эффективное значение силы тока Iэф определяется из соотношения

			1	T
Iэф2 R = I(t)2 срR =		I(t)2Rdt,	(6.19)
T	0
или		T
	1
Iэф2 =	I(t)2dt
T
	0

где T — период колебаний тока. Соотношение (6.19) подразумевает равенство мощности постоянного тока силой Iэф и средней мощности переменного тока силой I(t). В случае синусоидального тока из (6.19) вытекает определенное выше формулой (6.17) действующее значение силы тока.

Действующим (эффективным) значением напряжения в рассматриваемом случае синусоидального внешнего напряжения U = Um cos ωt называется величина, равная:

С учетом определений (6.17) и (6.20) действующих значений силы тока и напряжения среднюю мощность переменного тока (6.16) можно выразить формулой:

В электротехнике в общем случае произвольного периодически зависящего от времени напряжения U = U (t), поданного на вход элек-

Источник

Период, частота, амплитуда и фаза переменного тока

Период и частота переменного тока

Время, в течение которого совершается одно полное изменение ЭДС, то есть один цикл колебания или один полный оборот радиуса-вектора, называется периодом колебания переменного тока (рисунок 1).

Рисунок 1. Период и амплитуда синусоидального колебания. Период — время одного колебания; Аплитуда — его наибольшее мгновенное значение.

Период выражают в секундах и обозначают буквой Т.

Так же используются более мелкие единицы измерения периода это миллисекунда (мс)- одна тысячная секунды и микросекунда (мкс)- одна миллионная секунды.

1 мс =0,001сек =10^-3сек.

1 мкс=0,001 мс = 0,000001сек =10^-6сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число полных изменений ЭДС или число оборотов радиуса-вектора, то есть иначе говоря, число полных циклов колебаний, совершаемых переменным током в течение одной секунды, называется частотой колебаний переменного тока.

Частота обозначается буквой f и выражается в периодах в секунду или в герцах.

Одна тысяча герц называется килогерцом (кГц), а миллион герц — мегагерцом (МГц). Существует так же единица гигагерц (ГГц) равная одной тысячи мегагерц.

1000 Гц = 10³ Гц = 1 кГц;

1000 000 Гц = 10⁶ Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000 000 000 Гц = 10⁹ Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чем быстрее происходит изменение ЭДС, то есть чем быстрее вращается радиус-вектор, тем меньше период колебания Чем быстрее вращается радиус-вектор, тем выше частота. Таким образом, частота и период переменного тока являются величинами, обратно пропорциональными друг другу. Чем больше одна из них, тем меньше другая.

Математическая связь между периодом и частотой переменного тока и напряжения выражается формулами

Например, если частота тока равна 50 Гц, то период будет равен:

Т = 1/f = 1/50 = 0,02 сек.

И наоборот, если известно, что период тока равен 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота будет равна:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота переменного тока, используемого для освещения и промышленных целей, как раз и равна 50 Гц.

Частоты от 20 до 20 000 Гц называются звуковыми частотами. Токи в антеннах радиостанций колеблются с частотами до 1 500 000 000 Гц или, иначе говоря, до 1 500 МГц или 1,5 ГГц. Такие высокие частоты называются радиочастотами или колебаниями высокой частоты.

Наконец, токи в антеннах радиолокационных станций, станций спутниковой связи, других спецсистем (например ГЛАНАСС, GPS) колеблются с частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) и выше.

Амплитуда переменного тока

Наибольшее значение, которого достигает ЭДС или сила тока за один период, называется амплитудой ЭДС или силы переменного тока. Легко заметить, что амплитуда в масштабе равна длине радиуса-вектора. Амплитуды тока, ЭДС и напряжения обозначаются соответственно буквами Im, Em и Um (рисунок 1).

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Скорость вращения радиуса-вектора, т. е. изменение величины угла поворота в течение одной секунды, называется угловой (циклической) частотой переменного тока и обозначается греческой буквой ? (омега). Угол поворота радиуса-вектора в любой данный момент относительно его начального положения измеряется обычно не в градусах, а в особых единицах — радианах.

Радианом называется угловая величина дуги окружности, длина которой равна радиусу этой окружности (рисунок 2). Вся окружность, составляющая 360°, равна 6,28 радиан, то есть 2.

Рисунок 2. Радиан.

Тогда,

1рад = 360°/2

Следовательно, конец радиуса-вектора в течение одного периода пробегают путь, равный 6,28 радиан (2). Так как в течение одной секунды радиус-вектор совершает число оборотов, равное частоте переменного тока f, то за одну секунду его конец пробегает путь, равный 6,28 * f радиан. Это выражение, характеризующее скорость вращения радиуса-вектора, и будет угловой частотой переменного тока — ?.

Итак,

?= 6,28*f = 2f

Фаза переменного тока.

Угол поворота радиуса-вектора в любое данное мгновение относительно его начального положения называется фазой переменного тока. Фаза характеризует величину ЭДС (или тока) в данное мгновение или, как говорят, мгновенное значение ЭДС, ее направление в цепи и направление ее изменения; фаза показывает, убывает ли ЭДС или возрастает.

Рисунок 3. Фаза переменного тока.

Полный оборот радиуса-вектора равен 360°. С началом нового оборота радиуса-вектора изменение ЭДС происходит в том же порядке, что и в течение первого оборота. Следовательно, все фазы ЭДС будут повторяться в прежнем порядке. Например, фаза ЭДС при повороте радиуса-вектора на угол в 370° будет такой же, как и при повороте на 10°. В обоих этих случаях радиус-вектор занимает одинаковое положение, и, следовательно, мгновенные значения ЭДС будут в обоих этих случаях одинаковыми по фазе.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания.

Условие квазистационарности

Резистор в цепи переменного тока

Конденсатор в цепи переменного тока

Катушка в цепи переменного тока

Переменный электрический ток

Параметры переменного тока и напряжения

Коэффициент амплитуды и коэффициент формы

Период, частота, амплитуда и фаза переменного тока

Период и частота переменного тока

Амплитуда переменного тока

Угловая (циклическая) частота переменного тока.

Фаза переменного тока.

Похожие материалы:

Добавить комментарий