Как найти аналитический способ

Синтетический и
аналитический методы решения задач

Необходимое условие решения сложной задачи –
умение решать простые задачи, к которым сводится любая составная задача. При
наличии такого умения вся проблема состоит в том, чтобы найти ту совокупность
простых задач, решение которых приведет к выполнению требования основной
задачи. Здесь возможны два основных пути поиска решения: синтетический и
аналитический (по Н.В. Метельскому).

Часто при решении составной задачи многие
ученики берут любое данное из условия задачи и к нему присоединяют какое-либо
из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают,
если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате
решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя
вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают
вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т. д., до тех
пор, пока не получат такой простой задачи, результат которой является искомым
основной задачи.

Это и есть синтетический метод решения задач.
Если основную задачу условно записать: АÞX, а первую и последнюю из конечной
совокупности простых задач, из которых состоит решение основной задачи,
обозначить соответственно через а1 и аn, то процесс решения задачи
синтетическим методом можно записать в виде:

Синтетический метод широко применяется при
решении задач арифметическим способом.

Основной недостаток синтетического метода –
отсутствие какого бы то ни было критерия в вопросе, с чего, с каких данных
начинать решение и какие вспомогательные величины определять, какие простые
задачи решать в дальнейшем, чтобы решить основную задачу. Этот метод мало
пригоден для отыскания новых решений и слабо способствует научению школьников
самостоятельно решать задачи, логически рассуждать, продуктивно мыслить.
Пользуясь синтетическим методом, учащиеся нередко выполняют лишнюю работу, а
иногда слабый ученик может предложить бессмысленное действие. Единственное, на
что в некоторой степени можно опереться, применяя синтетический метод – это
прошлый опыт ученика в решении задач, аналогии, ассоциации, которые может
вызвать решаемая задача. Некоторую помощь учащимся оказывает здесь и анализ,
проявляющийся в скрытой, неявной форме.

Достоинством синтетического метода является
компактность, достигаемая при изложении готовых решений, полученных в процессе
синтетического или аналитического поиска.

Несмотря на низкую поисковую и дидактическую
эффективность синтетического метода, он пользуется популярностью у школьников и
даже учителей, поскольку весьма прост и не требует большого мыслительного
напряжения.

При аналитическом методе решения отправляются
не от условия задачи, как это делают при синтетическом методе, а от ее
требования, вопроса. Это характерно для всех разновидностей аналитического
метода, применяемых при решении задач.

Решение задач аналитическим методом начинается
с постановки следующего вопроса, связанного с требованием решаемой задачи: «Что
нужно знать, чтобы ответить на вопрос данной задачи (выполнить ее требование)?»
Для правильного ответа на поставленный вопрос необходимо знать данные задачи и
учитывать те зависимости, которые связывают их с искомым числом.

Пусть для вычисления искомого Х основной
задачи требуется знать, например, числа pi и qi, из которых при помощи
некоторого математического действия можно получить X, т. е. решить основную
задачу. Таким образом, сначала основная задача с требованием Х преобразовалась
в первую серию вспомогательных задач с искомыми pi и qi, Обозначим первую серию
вспомогательных задач через В1. Ставим тот же вопрос к каждой из
вспомогательных задач: «Что нужно знать, чтобы найти p1 (q1), и опять при
ответе на этот вопрос используем условие (А) основной задачи, а также
взаимосвязи между этими данными.

Пусть для вычисления p1 требуется знать p2 и
q2, а для вычисления q1, — знать p2’ и q2’. Теперь основная задача
преобразовалась во вторую серию (B2) вспомогательных задач, включающую задачи
по нахождению p2 и q2, p2’ и q2’,

Продолжая процесс преобразования, получаем,
наконец, такую серию (Вn) вспомогательных задач, искомые которых содержатся во
множестве данных основной задачи. Искомое число любой из вспомогательных задач
предыдущих серий также могло оказаться известным, и тогда эта вспомогательная
задача не подвергается преобразованию с помощью аналитического метода.

Таким образом, основная задача решена
аналитическим методом, поскольку этим методом проведен поиск и найден путь
решения задачи, главное здесь именно в этом, а не в оформлении записи уже известного
решения.

Найденное аналитическое решение можно изложить
различными способами, в том числе и синтетическим. В последнем случае пришлось
бы следовать от конца аналитического рассуждения к его началу, не производя при
этом никаких поисков.

Если основную задачу условно записать формулой
АÞX, описанный выше аналитический путь преобразования задачи изобразится
схемой: а первую и последнюю из конечной совокупности простых задач, из Х –В1
–В2 – … – Вn-1 – Bn, где АÞ Bn, BnÞВn-1, …, В1ÞX

Если после внимательного ознакомления ученика
с условием и требованием задачи путь решения ему очевиден или почти очевиден,
поиск решения лучше осуществлять синтетическим методом. Аналитический метод
применяется тогда, когда задача достаточно сложная и прошлый опыт ученика не подсказывает
ему плана решения или примерного направления поиска.

В практике решения задач методы анализа и
синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно
сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза.
Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии
вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования,
возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого
основной задачи.

Хотя путь поиска на основе аналитического
метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более
определенен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический
метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на
определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его
продуктивного, логического и функционального мышления. В результате
систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее
формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи, чем при
пользовании синтетическим методом. Аналитический метод решения задач на
вычисление должен найти достаточно широкое применение и рациональное сочетание
с другими методами.

Способы рассуждений при
разборе задач

На основе аналитического и синтетического
методов решения задач при работе над поиском решения задачи применяются два
основных способа разбора задачи: аналитический (анализ) и синтетический
(синтез). Однако на практике чаще употребляют аналитическо-синтетический разбор
задачи.

Под анализом подразумевают способ рассуждений
от общего к частному (анализировать – разбивать на составляющие), таким образом
при разборе текста задачи от вопроса к данным применяется аналитический способ.

Под синтезом подразумевают способ рассуждений
от частного к общему (синтезировать – получать из частей). В задачах это разбор
от данных к вопросу, однако, назвать этот метод чисто синтетическим нельзя,
т.к. прежде, чем получать метод разбора от данных к вопросу, эти данные нужно
предварительно вычленить из задачи, т.е. проанализировать условие задачи.

Непосредственно сам разбор задачи представляет
собой цепочку рассуждений, основанных на анализе и синтезе. Организуя разбор
задачи вместе с детьми, учитель должен продумать систему специально подобранных
вопросов, при помощи которых организуется выбор решения задачи. Эти вопросы не
должны быть наводящими, должны вести к самостоятельному выбору решения. Разбор
составной задачи заканчивается составлением плана решения. Если вы разбираете
задачу с одновременным составлением схемы разбора, то план решения
прослеживается прямо по схеме.

Проиллюстрируем различные способы разбора
задач на примере следующей задачи: «За день туристы преодолели 100 км. 84 км
они проехали автобусом, а остальной путь прошли пешком за 4 часа. Сколько
километров туристы проходили за 1 час?» [Б3, №716].

В результате анализа содержания задачи
появляется ее краткая запись в виде чертежа:

Направление рассуждений будет следующим:

1) Разбор от вопроса к данным.

Что спрашивается в задаче? (Сколько км туристы
проходили за 1 час?) Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Путь,
который прошли туристы и время, которое они затратили на этот путь). Можно ли
сразу узнать, сколько км туристы проходили за 1 час? (Нельзя, т.к. мы не знаем
путь, который они прошли). Можно ли сразу узнать путь, пройденный пешком?
(Можно). Почему вы думаете, что можно? (Так как мы знаем общий путь и путь,
пройденный пешком). Далее осуществляется наметка плана решения.

Схема разбора задачи появляется одновременно с
самим разбором.

2) Разбор от данных к вопросу.

Выберите два данных в задаче, по которым можно
сразу что-то узнать. (100 км и 84 км). Что можно узнать по этим данным? (Путь,
пройденный туристами пешком). Предположим, что мы узнали этот путь. Что сказано
об этом пути в задаче? (Что он пройден за 4 часа). Что можно было бы узнать,
если известен путь и известно время его прохождения? (Скорость движения на этом
участке пути). Где это можно использовать в решении задачи? (Ответим на вопрос
задачи). Что можно узнать? (Скорость движения туристов пешком).

Далее следует наметка плана решения.

3) Комбинированный разбор.

Что спрашивается в задаче? (Сколько километров
туристы проходили за 1 час?). Можно ли сразу узнать скорость? (Нет). Почему
нельзя? (Не известен путь, пройденный пешком). В задаче еще есть два числа,
какие? (Весь путь 100 км и путь, проделанный на автобусе 84 км). Что можно
узнать по этим данным? (Путь, пройденный туристами пешком). Нам это пригодится?
(Да, мы сможем найти путь, пройденный пешком).

Далее следует наметка плана решения.

Рассмотрим типичные ошибки, которые допускают
студенты, а зачастую и учителя начальных классов при разборе задач. Например:
вернемся к задаче «С первого участка было собрано 5 одинаковых корзин моркови,
а со второго – три такие же корзины, причем с первого участка собрали на 30 кг
моркови больше, чем с первого. Сколько килограммов моркови собрали с каждого
участка?».

а) от вопроса к данным: Каков главный вопрос к
задаче? (Сколько килограммов моркови собрали с каждого участка?) Можем ли мы
сразу на него ответить? (Нет). Почему? (Не знаем массу одной корзины). Как же
найти массу одной корзины? (Нужно знать массу нескольких корзин и их
количество). Почему морковь, собранная с первого участка весила на 30 кг
больше? (Т.к. с этого участка собрали больше корзин). Можно ли узнать, какое
количество корзин весит 30 кг? Каким действием? (Вычитанием). Можно ли теперь
ответить на главный вопрос задачи? (Да. Можем найти массу одной корзины, а
также знаем количество корзин). Каким образом? (Сначала делением найдем массу
одной корзины, потом умножением массу пяти и трех корзин).

б) от данных к вопросу (чаще всего
используется учителями начальной школы): Зная, сколько корзин собрали с 1-го и
2-го участков, что можно найти? (На сколько корзин больше собрали). Каким
действием? (Вычитанием). Теперь, зная, на сколько корзин больше собрали с 1-го
участка, чем со 2-го и на сколько килограммов больше, что можно найти? (Массу
одной корзины). Каким действием? (Делением). Зная массу 1 корзины и количество
корзин, что можно найти? (Общие массы моркови). Каким действием? (Умножением).

Второй способ разбора (б) данной задачи не
дает детям возможности выбора другого способа решения, кроме предложенного
учителем. Получается, что учитель навязывает ученикам способ решения задачи,
лишая их возможности думать и действовать самостоятельно. Первый способ разбора
(а) наиболее полно выделяет основные связи в задаче, однако тоже содержит
подсказку решения.

Рассмотрим еще один способ разбора данной
задачи.

б1) от данных к вопросу (отличается от способа
(б) тем, что не навязывает детям способа решения, а помогает выбрать из всех
возможных связей те, которые нужны для решения данной задачи). Какой главный
вопрос задачи? (Сколько моркови собрали с каждого участка?) Что значит «с
каждого участка»? (Это значит с первого участка и со второго участка). Можем ли
мы сразу ответить, сколько моркови собрали с первого участка? (Нет). А со
второго участка? (Нет). Почему? (У нас недостаточно данных). Какие данные у нас
есть? (Количество корзин, собранных с первого участка и со второго участка, а
также, на сколько килограммов моркови больше собрали с первого участка). Зная,
сколько корзин собрали с 1-го и 2-го участков, что можно найти? (Сколько корзин
собрали всего, с какого участка собрали больше (меньше) корзин и на сколько).
Какими действиями? (Сложением или вычитанием). Подумайте, что мы можем узнать,
если будем знать, сколько корзин всего. (Мы могли бы узнать, сколько
килограммов моркови в одной корзине, но для этого мы не знаем общую массу всех
корзин. Или сколько килограммов моркови всего, но для этого мы не знаем массу
одной корзины. Следовательно, эти данные нельзя будет использовать). А сможем
ли мы использовать при решении знание того, на сколько больше (меньше) корзин
собрали с одного из участков? (Да. Если мы будем знать, на сколько корзин
больше собрали с первого участка и на сколько больше килограммов собрали с
этого участка, мы сможем сделать вывод, что именно на эти корзины и приходятся
30 кг, данные в задаче). Значит, зная, на сколько корзин больше собрали с
одного из участков и сколько килограммов приходится на эти корзины, что можем
найти? (Какова масса одной корзины). Каким действием? (Делением общей массы
корзин на их количество). Теперь, если мы знаем массу одной корзины и
количество корзин, собранных с каждого из участков в отдельности, что можно
найти? (Можно найти массу моркови, собранную с каждого из участков в
отдельности и общую массу всей моркови с двух участков). Какой из вариантов
нужен нам, что бы ответить на вопрос задачи? (Сколько килограммов моркови
собрали с каждого участка в отдельности. Найдем действием умножения).

Многочисленные психологические исследования
показали, что анализ выступает в различных формах: анализ-«фильтр» и анализ
через синтез. При применении анализа-«фильтра» человек, решающий задачу просто
наугад ищет ее решение, пробуя все возможные варианты, отбрасывая ненужные.
Анализ через синтез представляет собой основу любого мыслительного процесса,
поэтому его использование при решении задач предпочтительнее.

Упражнения

1. Дана задача: «Из двух городов, расстояние
между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда.
Один из них проходит это расстояние за 20 часов, другой за 30 часов. Через
сколько часов поезда встретятся?» Рассмотрите схему разбора этой задачи и
подумайте ее разбор с вопроса; с данных; комбинированным способом. Какой способ
разбора кажется вам наиболее удачным? Как вы думаете, от чего зависит выбор
способа разбора задачи?

2. Дана задача: «В один магазин привезли 15
ящиков с фруктами, в другой 10 таких же ящиков. В первый магазин привезли
фруктов на 60 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов фруктов
привезли во второй магазин?» Сделайте разбор задачи разными способами с
использованием схемы разбора. Выберите наиболее удачный способ ее разбора.
Дополните разбор графической иллюстрацией.

3. К задаче из предыдущего задания приготовьте
серию вопросов, предназначенных для: запоминания чисел; отделения известного от
неизвестного; выделения величин и установления связей между ними; разбиения
задачи на смысловые ситуации; прогнозирование ответа. Синтезируйте все
подготовленные вопросы в краткую беседу. Можно сопровождать ее иллюстрацией.
Что дает такого рода работа над задачей?

Решение задачи, способы
записи арифметического решения задачи

Запись арифметического решения задачи может
быть выполнена по-разному:

1.       
по действиям с ответом;

2.       
по действиям с пояснениями после каждого действия;

3.        с
вопросами перед каждым действием;

4.       
по действиям с предварительной записью плана;

5.       
числовым выражением;

6.       
схематической моделью;

7.       
комбинированным способом, включающим в себя несколько вышеперечисленных.

Проиллюстрируем возможные способы записи
арифметического решения задач на примере задачи о корзинах с морковью. Напомним
ее содержание: «С первого участка было собрано 5 одинаковых корзин моркови, а
со второго – три такие же корзины, причем с первого участка собрали на 30 кг
моркови больше, чем с первого. Сколько килограммов моркови собрали с каждого
участка?»

Запись решения по действиям с ответом

1.       
5–3 = 2 (к.)

2.       
30:2 = 15 (кг)

3.       
15×5 = 75 (кг)

4.       
15×3 = 45 (кг)

Ответ: с первого участка собрали 75 кг
моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения по действиям с пояснениями
после каждого действия

1.       
5–3 = 2 (к.) – больше с первого участка;

2.       
30:2 = 15 (кг) – масса одной корзины;

3.       
15×5 = 75 (кг) – собрали с первого участка;

4.       
15×3 = 45 (кг) – собрали со второго участка.

Ответ: с первого участка собрали 75 кг
моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения задачи с вопросом к каждому
действию

1.       
На сколько корзин больше собрали с первого участка?

5–3 = 2 (к.)

2.       
Какова масса одной корзины?

30:2 = 15 (кг)

3.       
Сколько килограммов моркови собрали с первого участка?

15×5 = 75 (кг)

4.       
Сколько килограммов моркови собрали со второго участка?

15×3 = 45 (кг)

Ответ: с первого участка собрали 75 кг моркови,
а со второго – 45 кг.

Запись решения задачи с планом решения

1.       
Узнать, на сколько корзин больше на 1 участке (вычитание).

2.       
Узнать массу 1 корзины (деление).

3.       
Узнать массу моркови, собранной с первого участка (умножение).

4.       
Узнать массу моркови, собранной со второго участка (умножение).

1) 5–3 = 2 (к.)

2) 30:2 = 15 (кг)

3) 15×5 = 75 (кг)

4) 15×3 = 45 (кг)

Ответ: с первого участка собрали 75 кг
моркови, а со второго – 45 кг.

Запись решения задачи при помощи числового выражения

Данная задача в записи решения будет иметь не
одно, а два числовых выражения. Это связано с тем, что в задаче практически два
вопроса, на каждый из которых нужно ответить.

1.       
30:(5–3)×5=75 (кг)

2.       
30:(5–3)×3=45 (кг)

Ответ: с первого участка собрали 75 кг
моркови, а со второго – 45 кг.

Выбор формы записи решения зависит от ситуации
на уроке и навыков письма детей. Например, если дети пишут медленно, на уроке
можно ограничиться записью решения задачи по действиям с ответом или выражением,
а на дом задать задачу и потребовать описать её. Запись решения задачи
выражением более компактна и показывает, что ребенок понимает все связи в
задаче.

Как показывает практика, многие студенты
педагогических факультетов, а иногда и учителя начальных классов не понимают
разницы между различными способами решения и различными формами записи решения
задачи. Один и тот же способ решения текстовой задачи можно записать каждым из
первых пяти перечисленных выше форм.

Рассмотрим возможные варианты обучения детей
записи решения задачи при помощи числового выражения.

На этапе ознакомления с решением задач нового
типа этот способ записи решения задачи могут использовать не все учащиеся, а
лишь единицы. На данном этапе целесообразно использовать запись решения задачи
по действиям с вопросами или пояснениями, либо в соответствии с составленным
планом.

Если же навык решения задач данного вида
отработан, то запись решения числовым выражением имеет ряд преимуществ:
учащемуся требуется гораздо меньше времени на оформление задачи; появляется
возможность решить за урок гораздо больше задач. Ведь не секрет, что младшие
школьники пишут медленно, а запись решения задачи выражением более компактна.
Кроме того, решая задачи составлением выражений, дети лучше готовятся к
обучению в старших классах. Углубляются знания свойств и законов арифметических
действий, представления о числовом выражении и его значении, т.е.
осуществляется алгебраическая пропедевтика. В задачах с буквенными данными
решение записывается только выражением.

Анализ методической литературы по вопросу
обучения детей записи решения задачи составлением выражения и анализ
просмотренных уроков математики в начальной школе позволил нам выделить
следующие подходы к решению данного вопроса: способ последующей работы над
записью решения задачи и способ поэтапной записи выражения в процессе решения
задачи (названия автора).

Приведем примеры организации
учебно-познавательной деятельности учащихся при их обучении записи решения
задач при помощи числового выражения двумя вышеперечисленными способами.

Первый способ – способ последующей работы над записью
решения задачи выражением после ее решения по действиям. Работа над решением
задачи и его записью проводится в такой последовательности: учащиеся сначала
решают задачу по действиям, а потом учитель предлагает составить по полученным
действиям выражение.

Пусть дана задача: «В 5 одинаковых коробок
можно положить 30 кг печенья. Сколько потребуется таких коробок, чтобы
упаковать 54 кг печенья?»

Решение:

1) 30:5=6 (кг) – масса одной коробки.

2) 54:6=9 (к.)

Ответ: потребуется 9 коробок.

Выражение: 54:(30:5)=9 (к.)

Если учитель объясняет, как составлено это
выражение, то это часто выглядит так:

Рассмотрим последнее действие – 54:6. Число 54
дано в условии, а числа 6 в условии нет. Как было получено число 6? (30:5).

Заменим число 6 выражением 30:5. Мы должны
показать, что это первое действие, поэтому нужно поставить скобки. Получилось
выражение 54:(30:5).

Итак, выражение составляют, начиная с
последнего действия и следя за тем, чтобы в нем остались только те числа,
которые даны в условии задачи.

Второй способ – способ поэтапной записи выражения. Детей
учат записывать выражение к задаче, делая это постепенно, с пояснениями.

На примере это может выглядеть так:

Что узнаем сначала? (Массу одной коробки с
печеньем).

Как? (30:5).

Запишем это выражение, но вычислять его
значения не будем.

30:5 (кг) – масса коробки с печеньем.

Что узнаем потом? (Сколько понадобится таких
коробок для 54 кг печенья).

Как? (54 разделим на выражение, полученное в
первом действии, т.е. на массу одной коробки: 54:(30:5) (к.)).

Мы составили к задаче выражение, теперь найдем
его значение.

Многие учащиеся в этом случае говорят, что
если бы сразу нашли ответ первого действия, то задача была бы уже решена. Такая
запись заставляет дважды рассматривать решение задачи. Потеря времени не
нравится детям, многие уже нашли ответ по действиям и не видят смысла другой
записи решения задачи.

Оба эти способа обучения записи решения задачи
выражением являются традиционными.

Мы предлагаем третий способ обучения записи
решения задачи составлением числового выражения – способ одновременного анализа
задачи и составления выражения к ней. При этом можно одновременно научить детей
делать схему разбора задачи, используя ее вместо краткой записи.

Разбор при этом начинают с вопроса:

Что спрашивается в задаче? (Сколько
потребуется коробок для упаковки 54 кг печенья?)

Какие два данных нам нужно знать для ответа на
этот вопрос? (Надо знать, сколько было печенья и сколько его помещается в одну коробку).

Есть у нас эти данные? (Массу печенья знаем, а
массу одной коробки не знаем, знаем только, что она одинакова).

А если бы знали массу одной коробки, то каким
действием нашли бы ответ? (Делением).

Запишем это.

Появляется запись (рис.1).

Рис.1

А можно ли узнать массу одной коробки?
(Можно).

Почему вы так думаете? (Все коробки
одинаковые, знаем, что 30 кг упаковали в 5 коробок).

Каким действием узнаем массу одной коробки?
(Делением).

Получилось выражение (рис.2).

Рис.2

Найдем его значение, надписав промежуточный
результат сверху. Запишем ответ. Окончательно запись выглядит так (рис.3).

Рис.3

Покажем такую же работу на примере более
сложной задачи. Дана задача «Один трактор работал в неделю 50 ч, а другой – 48
ч. Оба трактора при одинаковой норме израсходовали 686 л горючего. Сколько
литров горючего израсходовал за неделю каждый трактор?»

Окончательная запись в тетради при решении
этой задачи в тетради имеет вид (рис.4).

Рис.4

Эта запись возникает постепенно, в процессе
анализа задачи учеником.

Рассмотрим ее появление блоками:

Что означают слова «каждый трактор»? (Это
значит первый и второй трактор в отдельности). Какие данные у нас есть, чтобы
узнать расход горючего первым трактором? (Время работы знаем, а расход горючего
в час не знаем). Если бы знали, то каким действием нашли бы ответ?
(Умножением). Запишем это (рис.5).

Рис.5

Надо узнать расход горючего в час. Что для
этого надо знать? (Общий расход горючего – 686 л и время, за которое это
горючее израсходовано. Это время мы не знаем).

Каким действием мы могли бы узнать расход
горючего в час, если бы знали время? (Делением).

Запись принимает вид (рис.6).

Рис.6

Можно ли узнать это время? (Можно. Есть оба
данных: 50 ч и 48 ч.). Каким действием? (Сложением).

Запись принимает вид (рис.7).

Рис.7

1) 686:(50+48)×50=350 (л)

1)

Что осталось узнать? (Сколько горючего
израсходовал второй трактор).

Можно это узнать? (Можно).

Почему? (Всего израсходовали 686 л, и первый
трактор израсходовал 350 л, значит, остальное горючее израсходовал второй
трактор). Запись приобретает вид (рис.4).

Возможен и другой способ нахождения ответа на
последний вопрос, он нас тоже устроит. Появляется окончательная запись решения.
Письменно дети подсчитывают только то, что не могут сосчитать устно. Наличие
схемы разбора в тетради не обязательно, ее можно делать на черновике. Учитель
может проконтролировать понимание решения различными способами, как прямыми,
так и косвенными (прямые – объяснить устно каждый шаг, написать план решения и
т.д.; косвенные – решить похожую задачу, составить обратную и т.д.).

Предложенный способ позволяет экономить время
записи решения задач. Кроме того, в процессе данной работы дети овладевают
деятельностью схематизации, а затем и моделирования (анализ текста задачи,
математизация, преобразование модели, соотнесение полученной модели с задачей).
Именно такая деятельность помогает детям глубже проникнуть в суть задачи. При
одновременном построении схемы разбора задачи и записи решения виден
развернутый план решения задачи и арифметические действия, которые необходимо
выполнить. Схема разбора выступает в данной ситуации в двух функциях:
абстрактной модели и конкретного отображения содержания, связей и решения
задачи.

Выбор приема ознакомления детей с записью
решения задачи составлением числового выражения, на наш взгляд, должен
осуществляться дифференцированно, в зависимости от состава класса. Можно
применять все три приема последовательно. Например, сначала объяснить материал
третьим способом, затем, по необходимости, применять первый и второй способы в
индивидуальной работе.

Некоторые учителя записи решения задачи
числовым выражением предпочитают запись решения по действиям, мотивируя тем,
что ребенок должен пояснять каждое действие, и это является гарантией того, что
он понимает решение задачи. Но ведь если ребенок записал выражение для решения
задачи, то им уже прослежены все связи, он понимает, как решена задача.

Часто методические объединения учителей
математики школы второй ступени считают, что запись задачи по действиям с
вопросами или пояснениями является пропедевтикой решения задач алгебраическим
способом, и поэтому настоятельно рекомендуют учителям начальной школы требовать
от детей оформлять запись решения задачи только по действиям с вопросами.

На наш взгляд, в пропедевтику решения задач
при помощи уравнения входят две равноправные части:

1.       
запись задачи по действиям (с пояснениями или вопросами), что является
подготовкой непосредственного описания решения задачи;

2.       
запись решения задачи при помощи выражения, что является подготовкой к
составлению и записи самого уравнения.

Ведь чтобы составить уравнение к решению
задачи учащийся должен не только проанализировать и описать каждую связь между
искомым и данными задачи, но и связать их в единое целое – уравнение.
Практически те же навыки и требуются от ребенка при оформлении записи решения
задачи выражением в школе первой ступени: проанализировать задачу, выявить все
связи между искомым и данными, записать выражение.

Проверка решения задачи

Программа по математике для начальных классов
ориентирует на обязательное овладение всеми учащимися различными способами
проверки решения задач. Работа по формированию навыков контроля и самоконтроля
при решении задач очень важна. Ведь проверка решенной задачи позволяет не
только убедиться в правильности решения, но и способствует более глубокому
пониманию и осмыслению ее математического содержания, осознанию связей между
величинами, представленными в задаче. Однако, как правило, при проверке решения
задачи активное участие принимают лишь некоторые ученики, ведущие объяснение.
Остальные же занимают позицию пассивных слушателей, или исполнителей, даже если
задача была решена ими неправильно.

Обучение проверке решения задач представляет
собой полноценный этап в обучении детей решению задач. Оно должно быть
специально организовано, проводиться целенаправленно и систематически. Причем
на первых этапах обучения решению задач, когда у детей еще не достаточно
сформированы навыки контроля и самоконтроля, имеет смысл предлагать учащимся
после решения задачи проверить, правильно ли она решена.

Приведем примеры заданий, которые необходимо
предлагать учащимся для того, чтобы выработать у них внутреннюю потребность
проверять решение задач:

1.       
При решении задачи обязательно объясните себе, почему решаете так, а не иначе.

2.       
После решения задачи прочитайте снова текст задачи и проверьте, все ли
требования задачи выполнены, правильно ли.

3.       
Составьте план решения задачи. Какой пункт в решении задачи будет последним?
(Работа над задачей заканчивается проверкой ее решения).

Учителю необходимо побуждать учащихся
проверять выполнение любого упражнения, задачи в том числе.

Существуют следующие способы проверки решения
задачи:

1.       
анализ ответа и прикидка ответа;

2.       
решение задачи другим способом;

3.       
подстановка результата в условие (установление соответствия между числами из
условия и результатом);

4.       
составление и решение обратных задач;

5.       
сверка результата с ответом, данным в конце учебника (в начальной школе –
сообщенным учителем).

Некоторые методисты относят графический способ
решения задачи к отдельному способу проверки. На наш взгляд, этот способ
относится к решению задачи другим способом.

Ожидаемый ответ задачи должен быть проанализирован,
например, при ответе на вопрос «Сколько квартир на этаже?» явно не должно быть
числа (–159) или 5,7 квартиры.

Прикидка обычно проводится перед решением задачи,
устанавливаются границы значений искомого числа. После получения ответа
проверяют, удовлетворяет ли он выбранным границам. В случае несоответствия
делают вывод о неправильности результата.

Применять этот способ можно как для простых,
так и для составных задач. Данный способ является необходимой частью анализа
задач в косвенной форме, в связи с тем, что еще до решения задачи нужно
выяснить, какое число получится в ответе – больше или меньше данного.
Проиллюстрируем применение этого способа проверки конкретными примерами.

1) «Торт стоит 20 грн., а коробка конфет 8
грн. На сколько гривень коробка конфет дешевле торта?».

Прочитайте задачу. Что в задаче известно?
(Цена торта 20 грн., цена коробки конфет 8 грн.). Значит, в ответе задачи
должно получиться число, меньшее 20 на 8. Выполняя решение задачи, дети получат

20 – 8 = 12 (грн.),
что подтверждает правильность предыдущих рассуждений.

2) «Сыну 8 лет, что на 25 лет меньше, чем
отцу. Сколько лет отцу?».

Прочитайте задачу. Подумайте, какое число
должно получиться в результате? Больше или меньше, чем 8? (Больше, так как отец
старше сына). На сколько больше? (На 25).

3) «В одном бидоне осталось 4 литра молока, а
во втором – 6 литров. Сколько литров молока осталось в двух бидонах?»

Данная задача относится к разряду задач,
трудных для восприятия детьми, поскольку они привыкли, что слово «осталось»
связано с действием вычитания. Для предупреждения ошибки в решении необходимо
использовать прикидку. Дети должны прийти к выводу, что в результате должно
получиться число, большее, чем каждое из чисел условия.

4) «В одном ящике 5 кг помидоров, а в другом 8
кг таких же помидоров. Сколько нужно заплатить за каждый ящик, если вся покупка
стоит 26 грн.?»

Какова стоимость каждого ящика? Больше или
меньше стоимости всей покупки? (В результате должно получиться два числа,
меньших, чем 26). Какой ящик стоит дороже? (Второй). Почему? (Так как в нем
больше помидоров). После выполнения решения задачи, получаем, что первый ящик
стоит 10 грн., а второй – 16 грн. (10<16).

Однако стоит отметить, что данный способ
проверки целесообразно применять не для всех задач.

Решение задачи другим способом можно применять
лишь в том случае, если таковой существует. При совпадении результатов в обоих
способах решения делается вывод о его правильности.

Например:

Из двух сёл, расстояние между которыми 69 км,
навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через какое время они
встретятся, если скорость одного 11 км/ч, а другого – 12км/ч.

Решение:

1 способ:

1) Какова скорость сближения?

11 км/ч + 12 км/ч = 23 км/ч

2) Через сколько часов они встретятся?

69 км : 23 км/ч = 3 ч.

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

2 способ:

Пусть х часов – время движения до встречи.
Тогда один из велосипедистов до встречи проехал 11х (км), а второй – 12х (км).
Учитывая общее расстояние, пройденное ими, составим уравнение:

11х + 12х = 69

23х = 69

х = 3 (ч).

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

Вывод: при различных способах решения получены
одинаковые ответы, следовательно, задача решена верно.

Проверим решение этой задачи подстановкой.
Действительно, если оба велосипедиста находились в пути до встречи 3 часа, то:

11·3 = 33 (км) – прошел первый до встречи;

12·3 = 36 (км) – прошел второй;

33+36 = 69 (км) они прошли вместе.

Вывод: задача решена верно.

Составление и решение обратных задач – один из интереснейших способов проверки
задачи. Традиционная методика рекомендует вводить его лишь во втором классе,
однако, работая в системе укрупнения дидактических единиц, составлять и решать
обратные задачи начинают в первом классе при изучении обратных действий
сложения и вычитания [18]. При этом дети наиболее полно понимают связи между
величинами и наблюдают обратные по отношению друг к другу действия. Часто
обратная задача бывает сложнее прямой. Работа над обратными задачами не будет
сложной, если начать её как можно раньше. Дети всегда с удовольствием
составляют и решают задачи, обратные данной.

Обратной задачей к данной является та, которая
содержит искомое число в качестве известного, а какое-либо из известных чисел
прямой задачи становится неизвестным.

Например, эти задачи являются обратными:

1.       
Из двух сёл, расстояние между которыми 69 км навстречу друг другу выехали два
велосипедиста. Через какое время они встретятся, если скорость одного 11 км/ч,
а другого – 12км/ч.

2.       
Из двух сел навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста и
встретились через 3 часа. Каково расстояние между селами, если их скорости 11
км/ч и 12 км/ч соответственно.

К данной задаче можно составить ещё 2 обратные
задачи, где искомыми будут являться скорости велосипедистов. Составьте их и
решите все задачи.

Рассмотрим традиционную методику работы над
обратными задачами. Многие методисты отмечают проявление некоторого формального
отношения к использованию этого приема работы.

В учебнике математики для II класса предложено
несколько заданий, требующих составления обратных задач. Этот вид упражнений
является полезным и эффективным средством при овладении учащимися умением
решать арифметические задачи. В процессе этой работы учащиеся осмысливают и
углубляют знания связей между различными величинами, например:
«цена – количество – стоимость» или «расход чего-либо на
единицу – количество единиц – общий расход» и другими.

Составление обратных задач также
рассматривается методистами как один из видов творческих упражнений,
направленных на преобразование одной задачи в другую, на сравнение их условия,
решении, ответов. Однако, М.В. Богданович отмечает, что «составление
обратной задачи как способ проверки можно использовать для любой задачи, но он
громоздкий и его следует применять, преследуя одновременно и другие цели работы
над задачей» [3, с.47].

К сожалению, составление обратных задач
учителя не всегда связывают с проверкой решения задач. Причина может быть не
только в громоздкости, но и в невладении методикой данной работы. Это не
позволяет учителю полностью использовать возможности обратных задач, либо ведет
лишь к формальному выполнению проверки.

Для выполнения проверки решения прямой задачи
способом составлением обратной задачи и ее решения, дети должны овладеть
следующим алгоритмом:

1.       
решить исходную задачу;

2.       
подставить результат в текст исходной задачи в качестве известного данного;

3.       
обозначить новое неизвестное в задаче;

4.       
составить новую задачу по отношению к данной;

5.       
решить составленную задачу;

6.       
сравнить полученный результат с тем данным, которое сделали неизвестным;

7.       
сделать соответствующий вывод (если числовые значения совпадут, то задача
решена верно).

Осознанное выполнение полного состава действий
данного алгоритма является обязательным дидактическим условием. Проверка
считается выполненной, если сделаны выводы на основе сравнения числа,
полученного при решении обратной задачи с данным числом прямой задачи.
Выполнение этого действия позволяет сделать вывод о правильности или
неправильности решения задачи.

Рассмотрим фрагмент урока во втором классе по
теме «Знакомство с обратными задачами».

К учебным целям урока относятся:

а) познакомить детей с понятиями «прямая
задача», «обратная задача»;

б) раскрыть прием составления задачи, обратной
данной;

в) показать, что составление обратной данной
задачи и ее решение можно рассматривать как один из способов проверки решения
задачи;

г) познакомить детей с алгоритмом проверки
прямой задачи путем составления и решения обратной.

Ход урока:

Дети самостоятельно решают задачу: «Коробка
конфет и торт вместе стоят 19 грн. Конфеты стоят 8 грн. Сколько стоит торт?»

Дети решают задачу, записывают решение

19 – 8 = 11 (грн.).

Далее работу можно организовать так: О чем
решали задачу? (О конфетах и торте). На доске появляется иллюстрация задачи.

Что было известно в задаче? (За всю покупку
уплатили 19 грн., а за конфеты 8 грн.). Что узнавали в задаче? (Сколько стоит
торт. Он стоит 11 грн.). Все числовые значения учитель подписывает под
рисунками на иллюстрации задачи. Как узнали цену торта? (От 19 грн. отняли 8
грн.). Почему выбрали действие вычитания? (19 грн. стоят торт и конфеты,
следовательно, торт стоит меньше 19 грн. на 8 грн.).

Далее учитель закрывает запись общей стоимости
покупки знаком вопроса, знак вопроса – записью цены торта. Что теперь известно
в задаче? (Купили торт за 11 грн. и коробку конфет за 8 грн.). Что нужно
узнать? (Сколько заплатили за всю покупку). Мы получили новую задачу.
Сформулируйте условие задачи по этим данным. (Купили торт за 11 грн. и коробку
конфет за 8 грн. Сколько стоит вся покупка?).

После анализа нового условия задачи дети ее
решают и записывают решение в тетрадь.

11 + 8 = 19 (грн.).

Какой ответ получили? (Вся покупка стоит 19
грн.). Чему была равна стоимость всей покупки в первой задаче? (Тоже 19 грн.).
Можем ли мы сказать, что при решении первой задачи цена торта найдена
правильно? Почему вы так думаете? (В решении новой задачи получили 19 грн. –
это стоимость всей покупки. В первой задаче дано было 19 грн. Значит, цену
торта мы нашли правильно, потому, что 11 грн. и 8 грн. – это 19 грн.). Итак, мы
проверили решение первой задачи.

Что мы для этого делали? (Составили новую
задачу и ее решили). Подумайте, когда мы точно можем сказать, задача решена
правильно. (Если мы составим и решим новую задачу и в ответе получим число,
которое было дано в первой задаче, значит, первая задача решена правильно).

Запомните: исходная задача, которую мы решали
первой называется прямой задачей, а новая задача, которую мы составили для
проверки решения прямой задачи, называется обратной задачей. С помощью решения
обратной задачи мы проверили решение данной задачи.

Что же мы делали, чтобы составить обратную
задачу. (Число, которое было известным в условии задачи, мы сделали
неизвестным, а неизвестное — известным).

Подумайте, можно ли еще составить задачу,
обратную данной прямой задаче. (Можно, если принять за неизвестное цену коробки
конфет).

Составьте вторую обратную задачу, решите ее и
докажите, что решение обратной задачи позволяет проверить решение данной задачи.

Далее понятие обратной задачи и способа
проверки с ее помощью закрепляется по учебнику.

В результате проделанной работы учащиеся
должны усвоить, что для составления обратной задачи необходимо преобразовать
предложенную задачу так, чтобы ее искомое стало известным числом, а одно из
данных чисел стало искомым. Кроме этого, если при решении обратной задачи в
результате получили число, которое было известное прямой задаче, то можно с
уверенностью сказать, что предложенная задача была решена правильно.

При составлении обратных задач к задачам, в
основе решения которых лежат знания конкретного смысла арифметических действий,
учащиеся обычно не допускают ошибок. Однако часто ошибаются в составлении
обратных задач к задачам, содержащих отношения «больше» и «меньше», заменяя не
полученные числа, а само отношение. Это говорит о том, что у учащегося, который
допускает такую ошибку, не сформировалось понятие «обратная задача».

Рассмотрим конкретный пример: учащиеся,
составляя обратную задачу к задаче: «В одной коробке 15 карандашей, а в другой
на 5 карандашей меньше. Сколько карандашей во второй коробке?», составили такую
задачу: «В одной коробке 15 карандашей, а в другой на 5 карандашей больше.
Сколько карандашей во второй коробке?». Причина ошибки может быть в том, что
ученики, считая, что обратная задача должна решаться действием, обратным
прямой, составляют задачу, которая решается действием сложения, которое обратно
действию вычитания. Это показывает на формальное усвоение знаний этими
учениками. Действительно, составленная учащимися задача решается действием
сложения, являющимся обратным к действию вычитания. Однако, эту задачу нельзя
рассматривать как обратную к исходной, так как при ее составлении было заменено
отношение между данными, а не числовые значения и вопрос.

Для устранения этой типичной ошибки полезно
использовать в сравнении краткие записи условий как прямой, так и обратных
задач.

Прямая задача	Обратные задачи
I – 15 кар. II – ?, на 5 кар. меньше	I – 15 кар. II – 10 кар., на ? меньше	I – ? кар. II – 10 кар., на 5 меньше

Схематическое изображение задачи позволяет
учащимся пронаблюдать, что при составлении обратной задачи изменяются только
числовые значения, отношения в задаче остаются неизменными.

С другой стороны, если бы обратная задача
составлялась с целью проверки решения предложенной задачи, то учащиеся могли бы
сами обнаружить свою ошибку. Ведь они при решении обратной задачи получили
число, которое не соответствует ни одному из числовых значений прямой задачи.

Часто случается так: ученик решает задачу, а
затем проверяет ее решение действием, обратным к выполненному, не составляя
текст обратной задачи. Такая «проверка» не всегда позволяет убедиться в
правильности решения прямой задачи, а проверяется лишь правильность вычисления,
а не правильность выбора арифметического действия. Часто дети, у которых еще не
сформирован конкретный смысл арифметических действий, вне зависимости от
контекста задачи, решают задачи, в которых содержатся слова «улетели», «вышли в
море», «съели», «уехали» и т.д. действием вычитания, хотя в задаче может
спрашиваться сколько всего выехало, улетело, ушло и т.д. Рассмотрим конкретную
задачу. «В море вышли 5 сейнеров и 4 катера. Сколько кораблей вышло в море?»
Ученик, ориентируясь на слово «вышли» ассоциирующееся с процессом уменьшения,
выбирает действие вычитания: 5–4=1. Составленное обратное действие (4+1) не
позволяет ему выявить ошибочность выбора арифметического действия, так как
работа идет в отрыве от математического содержания задачи. Ученик при решении
получает в ответе числе 5 и успокаивается, хотя проверил лишь вычисление. А
ведь в предложенной задаче необходимо было найти сумму двух слагаемых (все
корабли – это сейнеры, их 5, и катера, их 4). Если бы ученик при проверке
решения задачи составил условие обратной задачи, а не ограничился только
составлением обратного действия, он получил бы следующее: «В море вышел
1 корабль. Из них 4 катера и несколько сейнеров. Сколько сейнеров вышло в
море?» Полученное условие задачи противоречиво, поэтому можно было бы сделать вывод
об ошибке в решении.

Чаще всего причина такого роди ошибок в том,
что у учащегося не сформирован алгоритм проверки решения задачи. Раскрытие
алгоритма проверки решения арифметических задач должно стать предметом
специального рассмотрения, когда раскрывается содержание каждого действия,
входящего в процесс проверки, обосновывается последовательность их выполнения,
что приводит к пониманию и осознанию самого приема работы.

Как же можно организовать работу над обратными
задачами с первого класса? Рассмотрим методику, предложенную П.М. Эрдниевым. В
методике УДЕ применяются укрупненные задания, которые, как правило, состоят из
выполнения трех последовательных пунктов:

При таком подходе к работе над обратными
задачами (и в качестве способа проверки решения и в качестве творческой работы
над задачей) учащиеся при составлении обратных задач не допускают ошибок,
описанных ранее.

Рассмотрим конкретные примеры.

Дети рассматривают картинку, на которой
мальчик с 5 марками в альбоме и девочка с 2 марками [18].

Учитель предлагает составить задачу по
картинке.

«У мальчика было 5 марок, а у девочки 2 марки.
Сколько марок у детей вместе?»

Учитель делит доску на три части вертикальными
линиями (в задаче три числа, значит, кроме прямой задачи можно будет составить
еще две обратных задачи). Дети делают то же самое в тетради. Квадратик
неизвестного числа можно рисовать и ручкой и карандашом, после решения
полученный результат заносить в этот квадратик. В верхней строке таблицы
записывается так называемая «схема задачи» (термин П.М. Эрдниева), т.е. сначала
по порядку записываются числа, которые даны в задаче, а затем ставится
«окошечко» для записи неизвестного числа.

В первую колонку заносится решение первой
задачи.

Учитель говорит, что решена прямая задача, но
к данной прямой задаче можно составить две обратных. В первой задаче
предлагается сделать неизвестным число 5. Запись приобретает вид:

Учитель предлагает составить задачу по данной
схеме.

«У мальчика и девочки всего было 7 марок. Из
них 2 марки было у девочки. Сколько марок было у мальчика?»

Учитель спрашивает, как решить задачу. Дети
говорят, что от 7 марок отнять 2 марки останется 5 марок. Запись будет такая:

Аналогичная работа проводится по составлению и
решению второй обратной задачи.

«У мальчика и девочки всего было 7 марок.
Сколько марок было у девочки, если у мальчика было 5 марок?»

Окончательная запись в тетради учащегося будет
такая:

Дети записывают решения трех взаимообратных
задач в трех колонках, вверху схема задачи, внизу – решение задачи.

И при введении задач обратных задач по
методике УДЕ и по традиционной методике обратите внимание на трудности, которые
возникают у учащихся при составлении текста обратных задач. Дети часто пытаются
составить обратную задачу по аналогии с прямой задачей. Например: «Дети
собирали марки. У мальчика было неизвестно сколько марок, а у девочки 2. А
вместе марок у детей 7». Полученная формулировка, конечно, может быть
использована. Однако детям стоит показывать различные образцы формулировок
задач, убеждать в том, что текст задачи должен быть сформулирован таким
образом, чтобы она была понятна всем, кто ее будет решать, чтобы задача была
«красивой», «благозвучной», при этом четкой и без лишней информации (первая
фраза в задаче «Дети собирали марки»).

Составление и решение обратных задач не только
является интересным способом проверки решения задачи, но и творческой работой
над задачей. Кроме того, решение обратных задач является одним из приемов
насыщения урока задачами.

Если вам удобно работать над задачей с
учащимися по другой краткой записи (дети привыкли использовать именно такую
форму или другие причины):

Мальчик – 5 м.

Девочка – 2 м.

Всего – 7 м.,

то схему для работы по составлению обратных
задач можно, на наш взгляд, записывать после решения прямой задачи, при этом,
не заполняя вторую строчку предложенной таблицы. Запись задачи может выглядеть
так:

Задача.

Решение:

1) 5 + 2 = 7 (м.)

Ответ: у детей 7 марок.

Если же в своей работе вы используете
мобильные схемы, похожие на схемы С.Н. Лысенковой, то можно просто менять
числа и знаки вопроса в соответствующих кармашках на демонстрационной схеме и
на индивидуальных схемах у детей.

Прямая задача:

I обратная

II обратная

Упражнения

1.       
Какие способы решения использовались для решения данной задачи о шишках и
желудях? Предложите еще несколько способов решения данной задачи. Какой способ,
на ваш взгляд, более понятен детям начальных классов? Какой предпочли бы Вы?
Почему?

2.       
Дана задача: «8 одинаковых мячей стоят 48 грн. Сколько стоят 12 таких мячей?»
Решите задачу любым способом. Запишите решение задачи всеми возможными
способами.

3.       
Дана задача: «На ткацкой фабрике за 10 дней выпущено 80000 м ткани, причем
каждый день выпускали одинаковое количество ткани. Сколько ткани будет выпущено
за 100 дней при той же дневной норме?» Решите задачу любым способом. Покажите
возможные варианты проверки решения задачи:

4.       
Составьте к данной задаче все возможные обратные: «В 5 одинаковых клетках
помещается 15 кроликов. Сколько нужно таких клеток, чтобы поместить в них 42
кролика?»

5.       
Дана задача: «Из города к зимовке, расстояние между которыми 150 км, выехали
аэросани со скоростью 60 км/ч. В то же время навстречу им из зимовки вышел
лыжник и встретил аэросани через 2 часа. Найди скорость лыжника».

Перед решением этой задачи дети решали устные
упражнения:

а) Два пешехода вышли одновременно навстречу
друг другу и встретились через 2 часа. Сколько времени был в пути первый
пешеход?

б) Два пешехода сближаются со скоростью 9
км/ч. Скорость первого пешехода 4 км/ч. Какова скорость второго пешехода?

в) Расстояние 150 км пройдено за 3 часа. Что
можно узнать по этим данным?

Установите цель каждого упражнения. Составьте
еще 2 упражнения, подготавливающие учащихся к решению этой задачи.

6.       
Дана задача: «За одно и то же время теплоход прошел 216 км, а моторная лодка 72
км. Чему равна скорость теплохода, если скорость моторной лодки 24 км/ч?»
Проанализируйте задачу. Оцените, с какими трудностями может встретиться ребенок
при ее решении. Создайте серию подготовительных упражнений к этой задаче.
Позаботьтесь при этом, чтобы дети нашли все способы ее решения.

7.       
Задачу из предыдущего упражнения переделайте в задачу на пропорциональное
деление. Смогут ли дети решить такую задачу в начальных классах? Обоснуйте
ответ. Предусмотрено ли решение таких задач программой?

8.       
Дети самостоятельно решили задачу: «За два дня самолет пролетел с одинаковой
скоростью 10240 км. В первый день он был в полете 10 ч, во второй – 6 ч. Сколько
километров пролетал самолет каждый день?»

После этого учитель предложил детям такие
упражнения: «Переделать эту задачу в задачу на нахождение четвертого
пропорционального и сформулировать ее текст. Переделать в задачу на нахождение
неизвестного по двум разностям и сформулировать ее текст. Изменить задачу так,
чтобы ее решение сохранилось, но вместо величин скорость, время и расстояние в
ней была другая тройка величин». Как вы думаете, каковы цели подобной работы?
Какие у нее достоинства и недостатки? Подберите к этой задаче еще два
упражнения с той же целью.

9.       
Предложите не менее трех различных способов проверки правильности решения
задачи, данной в предыдущем упражнении, которыми могут воспользоваться дети.
Нужно ли учить детей проверять задачи? Почему?

10.    Учащимся на дом была
задана задача: «Для школы купили 10 портретов по 3 грн. и 2 портрета по 5 грн.
Сколько денег уплатили за все портреты?» Предложите косвенный способ проверки
домашней задачи, приводящий детей к правилу умножения суммы на число. В чем
преимущества такого способа проверки домашнего задания?

11.    Дана задача: «В магазин
привезли игрушки в пакетах: 90 кубиков по 10 штук в пакете и 60 кеглей по 6
штук в пакете. Сколько всего пакетов с игрушками привезли в магазин?» Детям
дано упражнение на полное обращение этой задачи (составить и решить все
обратные задачи). Выполните это упражнение, применив оптимальный вариант его
записи.

Последующая и творческая
работа над задачами

Сразу отметим, что многие методисты считают
последующую и творческую работу над задачами аналогичными. На наш взгляд, это
не верно. Во время последующей решению работы над задачей можно выполнять
творческие задания, однако не всякая творческая работа над задачей является
последующей решению.

При организации деятельности учащихся над
задачей после ее решения (последующей) можно использовать следующие виды
работы:

§   элементарное исследование
решения задачи (при каких условиях задача имеет одно или несколько решений и не
имеет решения; как будет изменяться ответ задачи, если изменять данные и т.д.);

§   сравнить решения обратных задач,
пронаблюдать зависимости и т.д.;

§   изменить требование задачи так,
чтобы задача решалась иначе;

§   составить другую задачу по
вопросу данной;

§   составить аналогичную задачу, но
с другими числами и другим сюжетом;

§   изменить требование задачи, но
решение задачи осталось бы неизменным;

§   составить все возможные
требования, которые можно поставить к данному условию и т.д.

При отработке навыков решения задач данного вида
можно идти двумя путями: экстенсивным (количество) и интенсивным (качество). К
сожалению, часто учителя жалеют время на последующую работу над задачей,
решение обратных задач, работу над деформированными задачами, предпочитая
отработку навыков решения задач программного минимума, т.е. идут экстенсивным
путем. Выбор пути (интенсивный – экстенсивный) должен определяться
типологическими особенностями учащихся и варьироваться для каждой группы (см.
«Дифференцированная работа над задачами»).

Однако основным ориентиром в работе должен
быть интенсивный путь. Можно привести такой пример: для того, чтобы ребенок
понял, что такое «книга», можно много рассказывать о книгах, показывать их
изображения и т.д. А можно просто дать ему книгу, чтобы он подержал в руках, полистал,
подробно рассмотрел ее элементы и т.д. Во втором случае, понятие «книга» будет
сформировано. А вот в перовом – проблематично. Также и с задачами. Решим
большое количество задач одного вида – хорошо, но это совсем не означает, что у
ребенка сформировался обобщенный способ решения этой задачи. А при решении
обратных задач, деформированных задач, трансформации задач ученик как бы
рассматривает задачу со всех точек зрения, преобразует ее, анализирует и
синтезирует.

Приведем примеры творческих заданий, которые
можно использовать на разных этапах работы над задачами.

1. Дано условие «Мальчик купил 10 марок, а
девочка – 15». Какой из вопросов можно поставить к этой задаче: а) Сколько
марок купили дети вместе? б) На сколько марок больше купила девочка? в) На
сколько марок меньше купил мальчик? г) Сколько стоит одна марка?

2. Учащимся предлагаются несколько текстов
задач, несколько кратких записей и решений. Задание следующее «К каждой задаче
подберите ее краткую запись и решение. Реши оставшиеся задачи. Если осталась
краткая запись, составь по ней задачу и реши ее». Количество задач, кратких
записей и решений не должно совпадать. Это позволит исключить «остаточный
принцип» выбора.

Например:

Задача 1. На площадке играли 5 мальчиков и 3 девочки.
Сколько детей играли на площадке?

Задача 2. На площадке играли 5 мальчиков и 3 девочки. На
сколько мальчиков больше, чем девочек?

Задача 3. На площадке играли 5 детей. 3 из них ушли.
Сколько детей осталось на площадке?

Краткая запись 1

Было – 5

Ушли – 3

Осталось – ?

Краткая запись 2

Краткая запись 3

Краткая запись 4

Решение 1

5+3=8 (д.)

Решение 2

5–3=2 (р.)

3. На карточке записывается текст задачи и
числовые выражения, составленные из числовых данных задачи. Детям предлагается
выбрать те выражения или их комбинации, которые являются решением данной
задачи.

Например:

Задача: «Три группы детей сделали к празднику
каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети?»

Выбери из предложенных все возможные решения
данной задачи и вычисли значения.

(6+4)·3

6·4 + 3

6·3 + 4·3

Данная задача решается двумя способами,
учащийся должен увидеть оба из них и отбросить неподходящее выражение. Также
можно добавить и такое задание: «По выражению, не являющемуся решением, составь
задачу и реши ее».

Выделяются следующие методические приемы
работы над задачами (М.В. Богданович, Н.Б. Истомина), которые, на наш
взгляд, можно использовать для творческой работы над задачами.

1.       
Сравнение текстов, выявление структуры задач (неполные данные, избыточные
данные).

2.       
Выбор схемы (по заданной схеме из нескольких задач выбрать соответствующую
схеме задачу).

3.       
Выбор вопроса к задаче (дано условие, нужно выбрать из предложенных вопросов
подходящий) или поставить собственный.

4.       
Выбор выражений для решения данной задачи (из предложенных выражений выбирают
соответствующее решению).

5.       
Выбор или составление условия к заданному вопросу (дается вопрос задачи,
учащимся предлагается или выбрать из приведенных условие или составить его
самостоятельно).

6.       
Выбор данных (приводится текст неполной задачи, предлагается выбрать данные из
предложенных или самостоятельно составить).

7.       
Изменение задачи для ее соответствия приведенному решению.

8.       
Постановка вопроса к готовому условию задачи в соответствии с приведенной
схемой задачи.

9.       
Объяснение выражений, составленных по условию задачи (дается условие задачи и
числовые выражения, составленные по условию, детям предлагается объяснить, что
можно найти каждым из этих выражений).

10.    Выбор решения задачи
(дается текст задачи и решения, из которых нужно выбрать правильное).

Развивающие функции задач в обучении математике в
начальных классах

Как было сказано выше, задачи в начальном
курсе математики выполняют разнообразные функции – обучающие, воспитывающие,
развивающие, контролирующие и т.п.

Рассмотрим развивающие функции задач.

Как известно, усвоение основного курса
начальной математики не влечет за собой ни математического, ни общего развития.
К сожалению, современные учителя часто уравнивают или подменяют одно другим
понятия «развитие» и «информированность». Еще Л.С. Выготский на вопрос «Чем
отличается в умственном развитии ребенок, которого мы научили читать, от
ребенка, который читать не умеет?» отвечал, что только одним – он умеет читать.
В умственном же развитии этого ребенка ничего не прибавляется, «это тот же
самый ребенок, только грамотный».

Как же усилить развивающую функцию задач, не
ослабляя при этом других функций?

В начальных классах изучается достаточное
количество задач обучающего характера, усиление развивающих функций которых
можно осуществлять по следующим направлениям:

§   решение нестандартных задач;

§   решение задач с логической
нагрузкой;

§   организация работы над задачей
после ее решения (последующей работы) при помощи специально подобранной системы
вопросов;

§   работа над системами
целесообразно подобранных задач;

§   работа над задачами по системе
УДЕ (П.М. Эрдниев);

§   работа над задачами по
технологии обучения математике на основе решения задач (Р.Г. Хазанкин);

§   использование технологии
свободного выбора учебных заданий на уроках математики (В.В. Зайцев) и т.д.

Таким образом, в обычном уроке математики в
начальных классах при работе над обучающими задачами можно целенаправленно усиливать
их развивающие функции.

Рассмотрим, как можно провести работу над
задачей при помощи различных групп специально подобранных вопросов. Вопросы
должны адресовываться не только к памяти учащихся, их знанию фактического
материала, но и к мышлению учащихся, должны заставлять учащихся в процессе
поиска ответа использовать различные мыслительные операции.

1) Группа вопросов на сравнение.

Вопросы на сравнение	Полное сравнение	Сравни задачи (данные в задачах и т.д.). Чем они похожи? Чем отличаются?
Неполное сравнение	Сравни. В чем только сходство (или только отличие)?

Часто в учебниках начальной школы используются
задачи, которые приводятся в парах. Рассмотрим некоторые из них.

Реши и сравни задачи:

1.        У
Гали было 15 открыток. На переписку она израсходовала 10 открыток. Сколько
открыток осталось у Гали?

2.       
На переписку Галя израсходовала 10 открыток. У нее осталось еще 5 открыток.
Сколько открыток было у Гали? (СНОСКА: [Б1, С. 79])

В сравнении приводятся задачи на нахождение остатка
и нахождение неизвестного уменьшаемого. Первая задача решается действием
вычитания, а вторая – действием сложения.

При работе над данными задачами можно просто
ограничиться одним из вариантов неполного сравнения каких-либо ее составляющих
(условия, сюжет, числовые данные, решения), однако, лучше использовать
возможность провести полное сравнение. Сначала прочитать задачи, сравнить их
тексты, затем решить задачи, сравнить решения.

Приему сравнения (полного и неполного) детей
необходимо целенаправленно обучать. (СНОСКА: Подробнее [8, c. 169-173])

Применение приема сравнения при работе над
задачами, приведенными в группе, позволяет также предупреждать наиболее часто
встречающиеся ошибки учащихся (см. методику УДЕ).

2) Группа вопросов, требующих установления
основных характерных черт, признаков понятий и предметов, рассматриваемых в
задачах.

Например, рассмотрим задачи: «Найти периметр
прямоугольника, если его стороны равны 15 см и 6 см» и «Чему равен периметр
квадрата со стороной 7 см?» Если в задаче идет речь о данных геометрических
фигурах, то в последующей работе над этой парой задач можно спросить у детей:
«Всякий ли квадрат является прямоугольником?», затем «Всякий ли прямоугольник
является квадратом?». В данной ситуации используется прием подведения под
понятие «прямоугольник» и «квадрат».

3) Группа вопросов, направленных на
установление причинно-следственных связей.

§   Установление причины по данному
следствию.

Рассмотрим деформированную задачу: «Мама
принесла c яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько яблок
осталось?»

Из данной задачи можно получить задачи,
которые решаются, а также задачи с какими-либо несоответствиями, нестыковками
данных. Например: «Мама принесла 18 яблок, 8 отдала детям, а из 8 сварила
компот. Сколько яблок осталось?» или «Мама принесла 15 яблок, 8 отдала детям, а
из 8 сварила компот. Сколько яблок осталось?» Вопрос: «Как вы думаете, можно ли
решить каждую из этих задач?» Вторая из задач требует тщательного анализа
условия. Если она сформулирована таким образом, то точно не ясно, какие яблоки
использовала мама – только те что, принесла, или еще те, которые уже были у нее
дома. Т.е. условие задачи требует уточнения. В данном случае мы можем получить
задачу, которая не решается или задача может быть и задачей с недостающими
данными.

Если эту задачу сформулировать точнее «Мама
принесла 15 яблок. Из них 8 яблок отдала детям, а из 8 сварила компот. Сколько
яблок осталось?» Вопрос: «Как вы думаете, почему нельзя решить эту задачу?»
(Нельзя использовать из 15 яблок больше, чем их есть в наличии). Взяли 16 яблок
– причина, нельзя решить задачу – следствие.

3) По выражению 7×4+12:3 составьте задачу на
нахождение стоимости.

Выполните это задание. Проанализируйте, какие
трудности встречают дети при его выполнении. В чем ценность таких упражнений?
Составьте еще 3 упражнения, преследующие те же цели.

Задачи с недостающими или избыточными данными,
нереальные задачи

Введем понятие задач с достаточным количеством
данных, с недостающими данными и избыточными данными (по Н.В. Метельскому).

Если между условием задачи (А) и ее
требованием (Х) установлено соотношение, определяющее одно или несколько
определенных решений, то задачу считают определенной. Этот тип задачи можно
условно изобразить формулой импликации: AÞX, которую будем понимать так:
условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения
требования Х.

Если из условия А опустить какое-либо данное
ak, то получим задачу неопределенную (с недостающими денными), которая имеет
бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той
величины (параметра), которой принадлежало значение ak.

В случае, если условие, кроме А содержит еще
некоторые данные an+1, то задачу называют переопределенной (с избыточными
данными). Переопределенные задачи могут иметь решения в случае, если лишние
данные не противоречат друг другу [19, c.176-177].

Нереальными задачами будем называть задачи,
числовые данные которых делают их лишенными смысла (по В.А. Крутецкому).
Каждая из этих задач является типовой, но числовые данные делают ее нереальной.
Например:

1.       
Периметр прямоугольника 8 см, а сумма двух его сторон 6 см. Найти длину
стороны.

2.       
Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на
три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше – Андрей
или Иван? [19, c.151].

Применение при обучении решению задач с
недостающими и избыточными данными, нереальных задач имеет большое значение.
При помощи этих задач можно не только выяснить насколько дети понимают связи в
задаче, но и при работе над одной задачей с избыточными данными иногда удается
составить и решить еще несколько задач, что является одним из приемов насыщения
уроков задачами.

Например:

1.       
Маша отдала несколько открыток подруге, после чего у нее осталось 5 открыток.
Сколько открыток отдала Маша подруге?

После выяснения, какого данного не хватает для
возможности решения задачи, ученикам можно предложить самостоятельно подобрать,
сколько открыток было у Маши, и решить при этом несколько задач вместо одной.

2.        К
чаю подали 9 пирожных «эклер», 6 пирожных «корзиночек» и 12 шоколадных конфет.
Съели 11 пирожных. Сколько пирожных осталось?

Следует выяснить, какие данные лишние, как
изменить вопрос или что изменить в условии, чтобы использовать все данные.
Опять решается не одна, а несколько задач.

Задачи с избыточными данными могут быть
противоречивыми и непротиворечивыми. На наш взгляд, детям обязательно нужно
показывать такие задачи.

Рассмотрим работу над задачами такого вида на
конкретных примерах. Даны задачи: а) «Дети сорвали 24 яблока. 8 яблок они
съели, а остальные поделили поровну. Сколько яблок получил каждый ребенок?»; б)
«Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня сорвала 6 яблок, а Сережа в 2 раза
больше. Сколько яблок сорвал Сережа?»; в) «Таня и Сережа сорвали 18 яблок. Таня
сорвала 6 яблок, а Сережа в 3 раза больше. Сколько яблок сорвал Сережа?».
Составим схемы разбора каждой из предложенных задач.

Задача а)

Задача (а) является задачей с недостающими
данными. Она напоминает деформированную задачу, однако, в отличие от
деформированной задачи, не имеет «окошка», т.е. конкретного указания на то, что
пропущено данное. Эту задачу можно использовать для составления каскада задач.

Задачи (б) и (в) являются задачами с
избыточными (лишними) данными. Однако одна из них может быть решена и
непротиворечива, а другая не имеет однозначного решения, данные в ней
противоречат друг другу.

Задача б)

Данная задача, решенная с использованием
каждой пары данных, дает одинаковый ответ (12 яблок сорвал Сережа). Таким
образом, эта задача не содержит противоречивых данных.

Задача в)

Эта задача, решенная с использованием каждой
пары данных, дает разные ответы, которые противоречат друг другу: Сережа сорвал
12 яблок, и Сережа сорвал 18 яблок. Таким образом, задача не имеет однозначного
решения.

Однако, иногда случается так, что дети
принимают полную задачу за задачу либо с лишними, либо недостающими данными.

Например:

1.       
Турист 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, потом 4 ч ехал на поезде, скорость
которого в 12 раз больше, а оставшийся путь он проехал на автобусе за 8 ч. С
какой средней скоростью двигался турист, если скорость автобуса равна 3/4
скорости поезда?

В этой задаче нужно найти скорости движения
туриста на каждом из этапов пути, найти все расстояние, пройденное туристом, и
разделить это расстояние на общее время в пути.

Однако, дети, видя скорость движения на каждом
этапе, часто хотят найти не среднюю скорость за все время движения, а среднюю
скорость на трех этапах, ища среднее арифметическое трех скоростей, т.е., по
представлению детей данная задача является как бы задачей с избыточными
(лишними) данными.

2.       
Через один кран бассейн заполняется за 15 часов, а через другой – за 10 часов.
За сколько часов заполнится бассейн, если краны будут работать вместе?

При решении этой задачи нужно обозначить объем
бассейна за 1, потом найти производительность 1-го крана и 2-го крана, потом
результаты сложить. Но учащиеся начальной школы, не знакомые с обыкновенными
дробями, посчитают эту задачу как задачу с недостающими данными.

Включение задач с лишними и недостающими
данными в курс математики в начальных классах является и одной из составляющих
формирования навыков контроля и самоконтроля младших школьников, на основе
которых у учащихся в дальнейшем формируются критерии, позволяющие учащимся
самостоятельно находить ошибки в решениях заданий (не только текстовых задач).
К ним можно отнести следующие критерии:

§   соотношение результата с
действительностью;

§   соотнесение полученного
результата с данными задачи и сравнение с первоначально ожидаемым результатом;

§   проведение операций в обратном
порядке;

§   исследование ответа в предельных
ситуациях (что будет, если….);

§   решение задания другим способом
и сверка результатов;

§   проверка хода решения с
обращением внимания на следующее: а) все ли данные использованы; б) достаточно
ли данных для решения; в) не нарушена ли логика решения; г) не используются ли
в решении те сведения, которые не вытекают непосредственно из условия задачи;
д) прослеживается ли логика решения.

Также можно предложить детям задачи с
вопросом, в котором спрашивается то, что уже известно в задаче. Например: «На
грядку высадили 15 кустов смородины и 5 кустов крыжовника. Сколько кустов
крыжовника высадили?» Применение задач такого рода также позволяет ученикам
глубже осмыслить понятие задачи, ее структуры.

Упражнения

1.       
Найдите в действующих учебниках математики задачи с недостающими данными. Как
вы думаете, почему они расположены именно в разделе «Занимательные задачи»?

2.       
Дана задача: «Пальто, костюм и ботинки стоят 100 грн. Пальто стоит 50 грн.,
костюм 38 грн. Сколько стоят ботинки?» Сделайте схему разбора этой задачи.
Переделайте эту задачу в задачу с недостающими данными; в задачу с лишними
данными; в противоречивую задачу. Как все это отражается на схеме разбора
задачи? В чем ценность таких задач? Какая из переделанных задач способна дать
серию задач при работе с ней?

Работа над деформированными задачами

Под деформированной задачей будем понимать
задачу, в которой вместо числовых данных или ключевых слов стоят «окошки». В
«окошки» нужно вставить недостающие числовые данные либо слова и решить
полученную задачу.

Например:

1.       
Сын c отца на 25 лет. Сколько лет сыну, если отцу 45 лет?

2.        В
вазе стояло c белых роз и 14 красных. Сколько всего роз в вазе?

3.       
Мише надо решить 15 примеров. Он уже решил c примеров. Сколько примеров ему
осталось решить?

Использовать деформированные задачи можно с
различными целями: как подготовительную работу к чему-либо (введению составных
задач и др.), для иллюстрации и закрепления свойств арифметических действий,
как самостоятельный объект изучения, как творческую работу над задачей и т.д.

Работа над деформированными задачами содержит
в себе большие возможности для учителя. П.М. Эрдниев и Б.П. Эрдниев
отмечают, что «где выполняется деформированное упражнение, там срабатывает
механизм обратной связи, а там, где есть непрерывная подсознательная коррекция
и исправление ошибок, там и достигается прочность знаний» [22, с. 94].

Анализ условия деформированной задачи
позволяет детям наиболее полно осмысливать связи в задачах, определение границ
числа, которое можно подставить в «окошечко» или аргументация выбора
соответствующего слова заставляет детей представлять реальную ситуацию, моделью
которой является задача.

Рассмотрим функции деформированных задач.

Деформированные задачи можно использовать в
качестве подготовительных для введения составных задач (М.И. Моро):

1.        В
одном цехе 10 станков, а в другом на 4 станка меньше. Сколько станков во втором
цехе?

2.        В
одном цехе 10 станков, а в другом c станков. Сколько станков в двух цехах?

После решения первой задачи, учитель
предлагает детям прочитать вторую задачу. Дети замечают, что вторую задачу
решить нельзя, так как нет конкретного числа станков во втором цехе. Тогда
учитель предлагает ответ первой задачи использовать в условии второй задачи
вместо «окошечка». Дети формулируют новую задачу и решают ее.

При помощи деформированных задач также
осуществляется функциональная пропедевтика в начальной школе
(М.В. Богданович, М.И. Моро). Например: «На грядке росло 12
тюльпанов. Для букета срезали c тюльпанов. Сколько тюльпанов осталось на
грядке?» (СНОСКА: [Б1, С.64.])

При работе над этой задачей дети должны
подобрать числа, которые можно подставить в «окошко» (пропедевтика понятия
переменной величины), а также определить границы данного числа (пропедевтика
понятия области допустимых значений переменной). Через урок вводится понятие
переменной (буквы) в выражении.

Однако, далее деформированные задачи в
учебниках почти не встречаются, хотя их можно использовать как один из приемов
насыщения урока задачами, а также в творческой работе над задачей.

На примере конкретной задачи рассмотрим
методические проблемы и возможности, возникающие при деформации задач. Дано
задание: «На одном тракторе работали в течение недели 60 ч, а на другом – 55 ч.
На втором тракторе при одинаковой норме расхода за неделю израсходовали
горючего на c, чем на первом. Сколько литров горючего израсходовали на каждом
тракторе за неделю? Текст задачи испорчен, надо восстановить и решить задачу.
Как вы думаете, какие данные в тексте испорчены?» В данной задаче пропущено не
только число, но и отношение «меньше на». Пытаясь восстановить текст задачи,
дети активно и самостоятельно анализируют ее содержание. Для того, чтобы
подобрать нужные данные, они должны понять, о чем идет речь в задаче,
установить смысловые, причинно-следственные связи, догадаться о наличии
конкретной связи и проверить правильность предположения. Анализ содержания
задачи становится активным и более быстрым, так как сознание детей направлено
не на сам анализ, а на восстановление текста. Это значит, что большая часть
работы по анализу содержания задачи проходит в блочных, свернутых формах (законы
УДЕ). Для того, чтобы восстановить текст, ребенок должен рассуждать и делать
выводы. Дети догадались, что пропущено число и слово. Но какое слово? Раз
написано «на», то это слово либо «больше», либо «меньше». И тут самые
догадливые понимают, что не может быть слова «больше», только «меньше». Почему?
Потому, что второй трактор работал меньше времени, значит и горючего
израсходовал меньше. А разве это правильное рассуждение? Ну и что, что он
работал 55 часов, а не 60 часов. Ведь может у него такой мощный мотор, что он
за это время горючего больше потратил. И дети должны заметить, что норма
расхода горючего у обоих тракторов одинакова. Значит, действительно, второй
трактор потратил горючего меньше. Нужное слово найдено «меньше». Что полезного
в проделанной работе? Дети рассуждали, спорили, отстаивали свою правоту. Значит
шел активный анализ связей в задаче. Дети выделили прямо пропорциональную
зависимость между временем работы и расходом горючего при постоянной норме
расхода горючего.

Теперь надо подобрать число. На сколько литров
горючего меньше мог израсходовать за неделю второй трактор? Возникает проблема:
для того, чтобы подобрать число, нужно иметь жизненный опыт, нужно хотя бы
примерно знать нормы расхода горючего в неделю. Если дети подбирают большие числа,
можно рассказать о цене литра горючего для трактора, что, допустим, если
недельные расходы каждого трактора отличаются на 1000 л, то это очень дорого и
т.д. Мальчишки, обычно, интересуются техникой, и могут знать приблизительно
недельную норму расхода горючего для трактора. Если знатоком по нормам расхода
окажется ученик, которого до этого в классе не замечали, то его заметят, а он,
в свою очередь, поймет, что задачи – это интересно. Если никто так и не
подберет числа, – предлагайте сами. Итак, дети предлагают числа, и решают
задачи, которые получились. Можно использовать такие варианты краткой записи:

Таблицей

	Норма расхода	Время	Расход горючего
I	?	60 ч	?
	Одинаковая
II	?	55 ч	?, на … л меньше

Отрезками

Дальше дети видят, что разница в расходе
горючего приходится на 5 часов работы трактора, значит, для того, чтобы задача
решалась, нужно подобрать число, которое делится на 5. В результате в неявном
виде повторяется таблица деления на 5, подбираются внетабличные случаи деления
на 5, таким образом, решается целая серия примеров. Если записывать решение
задач выражением, то при различных данных будет получена серия задач и
выражений к ним:

35 л	35: (60–55)× 60=420 (л)	420–35=385 (л)
30 л	30: (60–55)× 60=360 (л)	360–30=330 (л)
25 л	35: (60–55)× 60=300 (л)	300–25=275 (л) и т.д.

Таким образом, решена не одна задача, а целая
серия задач, на которую потрачено меньше времени, чем при решении каждой задачи
отдельно на другом уроке.

Теперь можно предложить детям пронаблюдать,
как изменялись ответы при изменении данного, предложить подобрать данные так,
чтобы оба ответа увеличились (40 л.), чтобы оба ответа уменьшились (20 л) и
т.д. таки образом проводится функциональная пропедевтика.

А если ребенок предложил число 28 л? Нужно
объяснить детям, что задача будет решаться, но только числа будут дробными.

28 л

28: (60–55)× 60=… (л)

…–28=… (л) и т.д.

Например: «Если бы мы умели выполнять действия
с дробями, то получили бы ответы 336 л и 308 л. Действия с дробями будут
изучаться позже, но если кому-то интересно как они выполняются уже сейчас,
пусть подойдут ко мне после уроков». Так вы заинтересовываете детей математикой
и проводите опережающее обучение.

Деформированные задачи можно использовать в
организации устного счета, в организации парной, групповой работы. Дети с
удовольствием решают задачи, составленные их товарищами. При этом составляющий
задачу должен подумать, будет ли данная задача решаться, т.е. еще и еще раз
проанализировать связи в задаче.

Подведем некоторые итоги работы над данной
конкретной деформированной задачей:

1.       
Деформация позволила сделать активным анализ содержания задачи.

2.       
Анализ связей в задаче также активен и происходит в неявных формах.

3.       
Осуществляется связь с практикой, с жизнью, опора на личный опыт.

4.       
Возникают возможности уплотнения материала, укрупнения дидактических единиц
обучения, так как возникает серия примеров задач, решенных за короткое время.

5.       
Идет активное развитие мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез и т.д.

6.       
Открываются возможности повторения материала на качественно новом уровне, а
также пропедевтической работы к изучению математики в старших классах.

7.       
Обобщается способ решения задачи.

8.       
Детям интересно работать.

Рассмотрим другие возможные варианты методики
работы над деформированными задачами.

Пусть дана задача: «У мальчика 5 серых
кроликов и 4 черных. Сколько кроликов у мальчика?» (СНОСКА: [Б1, С.33]) Эта задача рассматривается при
изучении табличного сложения и вычитания 4 без перехода через десяток. На доске
записываем краткую запись:

Решение: 5+4=9 (к.)

После решения задачи можно провести следующую
работу.

Видоизменить краткую запись всеми возможными
способами:

1)

2)

3)

Первый вид деформации позволяет тут же закрепить
только что составленную таблицу прибавления 4. (Какой ответ получится, если
серых кроликов 1, 2, 3, 4? Ни одного?) При подстановке других чисел, если дети
еще не умеют их складывать, можно использовать предметные действия. Деформация
по второму числу позволяет повторить табличное сложение с 1,2, 3. Деформация по
двум числам дает возможность вспомнить все возможные случаи табличного сложения
(и не только), известные детям.

Если задачу такого вида рассмотреть после
изучения табличного сложения, то можно работать с серией задач при
фиксированном первом или втором слагаемом, еще раз пронаблюдать свойство
монотонности суммы.

В задаче «Сын c отца на 25 лет. Сколько лет
сыну, если отцу 45 лет?» детям вместо «окошка» (или многоточия) поставить
подходящее слово. Для того чтобы выбрать требуемое слово (моложе), ребенок
должен проанализировать условие задачи и жизненную ситуацию, о которой идет
речь в задаче.

В случае, когда в задаче предлагается заменить
ключевые слова, появляется возможность работать не только с разными числовыми
данными, но и с разными видами задач.

Например: «Из одного пункта выехали две машины
в противоположном направлении. Скорость одной машины 60 км/ч. Скорость второй –
80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?»

Если эту задачу деформировать так: «Из одного
пункта выехали две машины в c направлении. Скорость одной машины 60 км/ч.
Скорость второй – 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?»,
появляется возможность решить две задачи (движение в одном и различных
направлениях).

Если деформировать задачу так «Из одного
пункта выехали две машины в противоположном направлении. Скорость одной машины
60 км/ч. Скорость второй – 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через c
часа?», то будет возможность решить каскад задач.

Деформированные задачи можно рассматривать как
частный случай задач обобщенного вида (вместо частных числовых данных вводятся
символы переменных – «окошки», буквы или другие символы). Их можно использовать
для проверки сформированности у учащихся умения решать задачи данного вида.

Например, рассмотрим деформированную задачу
(фигурами Ñ, ∆, c обозначены числа): «На тарелке лежало c груш и Ñ яблок.
Сколько фруктов осталось на тарелке, если с нее взяли ∆ фруктов?».

Задания по данной задаче могут быть такими:

1.       
Составьте выражение-схему для решения задачи, используя символы задачи.

2.       
Подставьте вместо символов числа, решите задачу. Какими должны быть числа Ñ, ∆,
c, чтобы задачу можно было решить только одним способом, двумя способами, тремя
способами? И т.д.

Данное задание покажет, сформированы ли у
детей навык решения задач данного вида, а также обобщенные знания о свойствах
действий. Чтобы выполнить данные задания, учащиеся должны будут рассуждать, что
способствует формированию логического мышления.

Рассмотрим применение деформированных задач
при работе над обратными задачами.

Дана краткая запись задачи и несколько кратких
записей задач, среди которых есть задачи, обратные данной. Например, прямая
задача может выглядеть так:

Задание можно сформулировать так: «По
приведенным кратким записям выбери задачи, обратные данной, если ее ответ
обозначен ∆». Обратными данной будут те задачи, в которых вместо одного из
данных символов исходной задачи будет стоять знак вопроса, а вместо искомого исходной
задачи стоит ее ответ. Далее можно предложить еще задание: «Можно ли среди
данных задач выбрать взаимообратные между собой задачи? Ответ объясни» и т.д.

Даны числа D,Ñ, ÿ. Числа D,Ñ входят в условие
задачи, ÿ – искомое число. Чем будут являться эти числа для задач, обратных к
данной задаче? (К любой простой задаче можно составить две обратные. В одной из
них искомым будет число D, данными будут числа Ñ, ÿ. В другой искомое число Ñ,
данные числа D, ÿ).

Задача решается так: D–Ñ=ÿ. Как будут решаться
обратные задачи? (В задаче данными являются числа D,Ñ, а искомым числом ÿ. Для
обратных задач записи решений будут такими: D–ÿ=Ñ и Ñ+ÿ=D).

Выполнение приведенных упражнений поможет
выявить уровень сформированности у учащихся понятия «обратная задача», а также
умения выбирать действия по решению простых задач и обосновать свой выбор.

Упражнения

1. Рассмотрите деформированную задачу: «Брат c
(старше, моложе) сестры c (в, на) c лет. Сколько лет сестре, если брату c лет?»
Составьте различные задачи на основе этой. Какие трудности могут возникнуть в
процессе работы над такой задачей?

2. Найдите в учебниках [Б1], [Б2], [Б3], [М1],
[М2], [М3] деформированные задачи (если они есть). Проанализируйте цели их
применения.

3. Дана задача: «В швейной мастерской было 90
м шелка. Когда сшили несколько платьев, расходуя по 3 м на каждое, то осталось
еще 60 м. Сколько платьев сшили?» (СНОСКА: [Б2, С.171]) Деформируйте задачу различными
способами. Продумайте, как организовать работу с детьми над этой задачей.

Вопросы и указания для самостоятельной работы

(СНОСКА: Составлено совместно с Виноградовой
Т.Н. и Бажан З.И)

1.       
Дайте (если это возможно), определение текстовой задачи. Какие составные части
ее содержания вы знаете? Особенности содержания некоторых задач. Как неформально
отделить условие от требования? Как разбить задачу на смысловые ситуации? [15]
п. 17, № 1–4.

2.       
Какие приемы ознакомления с содержанием задачи вы знаете?

Какие приемы считаются «активными» и почему?

1) ознакомление по тексту:

§   рассказывает учитель;

§   читает учитель;

§   читает ученик;

§   читают все дети.

2) дети сами составляют задачу:

§   по зрительной опоре;

§   по словесным указаниям;

§   переделывая из знакомой задачи.

Предложите еще приемы ознакомления, если они
есть.

[1] с. 236–237, 284; [6] с.94; [3] с. 22–24.

3.       
Анализ содержания задачи и его значение. Приемы анализа содержания, их
раздельное и комплексное применение. [15] п.19 №1,2.

4.       
Способы иллюстрации содержания задачи. Их роль и место в анализе содержания
задачи. Как их применение может быть связано с типом математических
способностей ребенка? Как учитель может учесть эти связи в своей работе? [3]
с.29–31; [9] с.334–362.

5.       
Поиск решения задачи (разбор), его определение. Схема разбора задачи. Виды
разбора и их отражение на схеме разбора. Неразрывность анализа и синтеза в
мышлении. Виды разбора:

а) от вопроса (аналитический);

б) от данных (синтетический);

в) комбинированный.

Критерии выбора способа разбора данной задачи.

[15] с.56 №4, с.57 № 5; [3] с.134-136,
с.25-29.

6.       
Способы решения текстовой задачи:

а) арифметический;

б) алгебраический;

в) графический;

г) практический;

д) подбором;

е) в виде схематической модели.

Применимость данных способов в начальных
классах. Отличие способа решения от способа записи решения. [15] n.18 №1,2,3,4;
[6] с.92–112.

7.       
Для каждого способа решения укажите возможные способы записи решения и оцените
их применимость в начальной школе. [15] с.55–56 №2, с.57 № 6; [3] с.21–43; [1]
с.191–192; [4] с.177–179.

8.       
Последующая работа над решенной задачей. Ее цели:

а) проверка правильности решения (рассмотрите
способы проверки решения и условия их применимости);

б) формирование умения решать задачи данного
вида;

в) подготовка к изучению нового материала с
использованием данной задачи.

Изучите виды последующей работы над задачей и
попробуйте их использовать, учитывая их особую ценность при формировании умения
решать задачи.

[15] n.21 № 1,2; [1] с.192–204; [3] с.43-48,
гл.II, §3.

9.       
Подготовительная работа к задаче. Ее связь со схемой разбора задачи. Роль
подготовительной работы в анализе задачи. Рассмотрите фрагменты
подготовительной работы к задаче в методической литературе и попробуйте
планировать такую работу в своих уроках. [1] с.27, с.223–224, с.231–233.

10.    Формирование умения
решать текстовые задачи.

Цели, которые обычно ставятся:

а) ученик должен уметь самостоятельно решить
любую задачу, входящую в программный минимум;

б) ученик должен уметь правильно записать
решение в соответствии с требованиями;

в) ученик должен уметь объяснить решение.

Методы и приемы, применяемые для обучения
детей решению задач и цели, которые достигаются при этом:

а) алгоритмизация процесса работы над задачей;
памятка и методика работы с ней, сроки такой работы и достигаемые цели;

б) последующая и творческая работа над
задачей, ее возможные формы и условия применения, цели;

в) приемы, сводящиеся к тому, что ученик
исполняет роль учителя, давшего образец работы (метод В.Ф. Шаталова, метод
С.Н. Лысенковой), метод обучения актеров в китайском театре; правила
применения и достигаемые цели;

г) метод противопоставления и сравнения задач,
методика УДЕ, ее основы, применение и достигаемые цели.

[1] с.192–204, с.227–229; [6] с.93–94; [3] гл.
II §3; [18] с.28, §§ 24,25

11.    Сколько текстовых задач
целесообразно решить на уроке? Сколько возможно решить? Роль текстовых задач в
обучении.

Приемы насыщения урока текстовыми задачами:

а) специальные пособия для насыщения урока
задачами;

б) цепочки и каскады задач;

в) преобразование и деформация задач с
последующим их решением;

г) применение методики УДЕ.

Каждый из примеров использует особенности
человеческого мышления, его резервы. Какие? Изучите эти приемы и их основу,
многообразие достигаемых при их применении целей. Попробуйте их применить на
уроках. [7] с.48–56; [3] с.62–68, с.48–50; [18] с.28 §§24,25.

12.    Умение решать задачи
формируется у разных детей по-разному и в различные сроки. От чего это зависит?
Именно с этим связан тот факт, что работу по обучению детей решению задач надо
вести дифференцированно. Что такое дифференцированная работа над задачей, и
каковы ее формы? Дифференцированная устная фронтальная работа над задачей;
дифференцированная работа с памяткой на уроках; приемы дифференцированной
помощи при самостоятельной работе над текстовой задачей; дифференцированная
работа над задачей при проверке домашнего задания; дифференцированная
дополнительная работа над задачами. [3] с.10–22, с.87–94; [7] с.49,57; [1]
с.227–229.

13.    Что такое задачи
программного минимума? Рассмотрите их кл

14.   
Задачи, не входящие в программный минимум, задачи с логической нагрузкой или
усложненные в начальном курсе. Изучите их классификацию, найдите их в
учебниках, решите. Какие роли отведены им в процессе обучения детей решению
задач? [3] c.118–126.

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.
консультация по алгебре (11 класс) на тему

В работа рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами.

Скачать:

Вложение	Размер
parametry.docx	31.82 КБ

Предварительный просмотр:

Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.

В работе рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами. Данная тема необходима учащимся для первичного ознакомления с методами решения уравнений с параметрами, которая является опорным пунктом подготовки к ЕГЭ (решение заданий части «С5»).

1. Понятие уравнений с параметрами.
2. Различные виды и методы решений линейных уравнений с параметрами.
3. Задания для самостоятельной работы.

Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

Алгоритм решения уравнений с параметрами примерно таков:

• Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).
• Отдельно на каждом промежутке находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.
• Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

Основные методы решения уравнений с параметрами.

1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида: ax =b (1)

1. а 0, b R, то уравнение (1) имеет единственный корень х= .
2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. х R.
3. а 0, 0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1: ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,

тогда х , при а 0 х= .

Пример №2: 0х=а; при а=0 получим 0х=0 х R, при а 0 х .

Пример №3 : Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0 х= а, при а х .

Приведем уравнение к виду: х(а-1)=6;

если а=1, то 0х=6, нет решений;

Ответ: при а 1 х = ; при а=1 нет решений.

1. Более сложные линейные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ.
2. Решить уравнение относительно х.
3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)
4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

1. ОДЗ: х 2
2. К.з.п. а=0.
3. Решим уравнение относительно х:

• При а=0 уравнение имеет вид =3. Уравнение корней не имеет.
• При а 0 уравнение имеет вид а=3(х-2), отсюда х=

1. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при а 0 х= ; при а=0 нет решений.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на а 0: 2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

1. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

• Если а=2, то 0х=3, нет решений;
• Если а 2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а 2 и при а 0 х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а 0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а 0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1 Решить уравнение: m = +

1. ОДЗ: т 0, х 1.
2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1) 0, получим т 2 (х-1) = х – 1 + т – 1;

Х( т 2 – 1) = т 2 + т – 2;

1. К.з.п. т= 1

• Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.
• Если т=-1, то 0х=-2, нет решений.
• Если т 1 и т то х= .
• Если т = 0, то нет решений.

1. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

= 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1 х (-∞;1) (1;+∞); при т 1 и

Пример №2 Решить уравнение: = .

2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = a – b.

3) К.з.п.: a+b = 0, a = -b.

• Если a = -b, то нет решений.
• Если a -b, то х = .

1. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при b = 0 нет решений.

Ответ: при a -b и b 0 х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b 2 – (2 — )b — 2 = b 4 х – b 2 (b + ) не имеет корней?

1. ОДЗ: х .
2. Решим уравнение относительно х:

(b 4 – 9)х = b 3 + (1+ ) b 2 – (2 — )b -2 ,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

Первое уравнение системы имеет два корня: b 1 = , b 2 = — .

1. Подставим во второе уравнение системы b 1 = , получим: 2 +6 ;

b 2 = — , получим 0=0. Т.е. второму условию удовлетворяет b 1 = .

Ответ: при b= уравнение корней не имеет.

Решить самостоятельно уравнения

1) (а+5)(а-3)х=а 2 — 25 ( при а и а х= ; при а=3 ; при а=-5 х ∊ R)

2) а 2 х = а(х+2) – 2 ( при а и а х= ; при а=0 ∅ ; при а=1 х ∊ R)

3) = — ( при а=-3, а=-2, а=1/2 ∅ ; при а и а х= )

4)1+ = — ( при а и а х= ; при а=-3, а=0, а=1 ∅ )

5) Для каких значений а решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

• Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.
• А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.
• М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа элективного курса по математике 10 класс «Методы решения задач с параметром».

Предлагаемый курс «Методы решения задач с параметром» предназначен для реализации в 10 классах для расширения теоретичес.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Решение задач с параметрами систематизирует знание основных разделов школьной математики, повышает уровень математического и логического мышления, формирует первоначальные навыки исследовательской дея.

Аналитические методы решения задач с параметрами Составитель: Е.М .Чернова МКОУ КГ№ 1

Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики — это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной сторон.

Графические методы решения уравнений с параметрами

урок в 11 классе.

Применение различных способов и методов решения задач с параметрами

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, ч.

Основные методы решения задач с параметрами

В действующем формате ЕГЭ по математике (профильный уровень) задания №18 содержат параметры и предполагают исследование свойств различных элементарных функций. Поэтому подготовку к и.

Аналитический способ решения задач с параметром.

Данный материал предназначен для обучающихся 10-11 классов и содержит задания для подготовки к ЕГЭ по теме «Задание №18. Решение задач с параметром». Он направлен на совершенствование умений.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Кафедра информатики и вычислительной техники

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор работы _____________________________________И. Ю. Добрынькина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Информатика. Математика

Руководитель работы_______________________________ Т. В. Кормилицына

Введение

Одним из факторов, определяющих уровень развития современного общества и его интеллектуальные возможности, является оснащенность его средствами вычислительной техники. Сфера использования ЭВМ в настоящее время настолько широка, что нет такой области, где ее применение было бы нецелесообразным.

Развитие вычислительной техники повлекло за собой создание и совершенствование языков программирования, а вследствие этого и программного обеспечения. Однако совершенствование программного обеспечения связано с увеличением его сложности. Поэтому процесс разработки программ становится трудоемким, а их модификация и сопровождение затруднительным.

Традиционная инженерная деятельность связана с решением совокупности разнообразных задач расчета, проведением экспериментов, оформление документации. Развитие современных методов и компьютерной технологии существенно изменяет деятельность специалиста.

В начале 90-х гг. на смену универсальным языкам программирования пришли специализированные системы компьютерной математики (СКМ). Среди них наибольшую известность получили системы Eureka, Mercury, Mathcad, Derive, Mathematica 2/3/4, Maple V R3/R4/R5 и Maple 6 и др.

Научное программное обеспечение и математические пакеты играют важную роль в современном естествознании и технике. Такие пакеты как Axiom, Derive, Maсsyma, Maple, MatLab, MathCAD, Mathematica широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран. Владение одним или несколькими математическими пакетами и регулярное использование их в работе будь то исследовательская или преподавательская задача быстро становится нормой для специалиста.

1. Mathematica . Решение простейших дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений в аналитической форме в пакете Mathematica используется функция DSolve, дифференциальное уравнение 29 относительно функции y(x). Функция y и все ее производные должны быть записаны с аргументом, заключенным в квадратные скобки: y[x], y’[x]

Функция DSolve стремится найти общее решение ДУ в явном виде и выдает результат в виде списка правил замены, причем каждое решение заключается в фигурные скобки. Для ДУ порядка n общее решение содержит n произвольных констант, которые обозначаются C[1], C[2],…,C[n]. Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных или граничных условий:

Найденные с помощью DSolve решения можно подставить в любое выражение, содержащее y(x). Однако это решение не определяет правил замены производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:

Чтобы получить решение, не имеющее этого недостатка, нужно в качестве второго аргумента функции DSolve записать только имя искомой функции, не указывая ее аргумент. В этом случае решение представляется в виде чистой функции («purefunction»-объекта), в котором роль аргумента x, в некоторых случаях, играет символ «#1», а признаком этого объекта является символ «&». Полученное решение можно подставить в любое выражение, содержащее как функцию y(x), так и ее производные:

Для решения систем уравнений в качестве первого аргумента функции указывается список уравнений, а в качестве второго аргумента – список искомых функций:

Если в список уравнений включить необходимое количество начальных или граничных условий, то будет найдено частное решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:

Для некоторых уравнений решение может быть выражено через спецфункции, встроенные в пакет Mathematica. Если же DSolve не может найти аналитического решения ДУ, то Mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:

В этом случае нужно преобразовать ДУ к более простому виду, используя правила, известные из теории дифференциальных уравнений. Если же аналитически решить уравнение не удается, можно попробовать решить его численно.

1.2 Примеры из математического анализа

Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .

В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).

Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:

Здесь специальные функции получаются в результате вычисления суммы, символьного интегрирования и решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.

DSolve [Derivative [1] [у] [х] ==2*а*х^3, у[х], х]

DSolve [у» [х] — у’ [х] — 6 у [х] == 0, у [х] , х] <<У[х] ->| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]>>

DSolve [у» [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]

DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]

DSolvefz2 w»[z] +zw'[z] — (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]

<BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] >>

Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.

1. 3 Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options),где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y»+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

eq:=<2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2, 2*x-3*y-11*z-15*t=1>: > s:=solve(eq,); s:= < z=-11/8 t , y=y , x=3/2 y — 1/16 t+1/2 >Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs: > subs(,s); < z=(-11)/8, x=31/16 , 1=1>»>

2. Аналитические вычисления в Mathcad

С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Символика (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов.

Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand).

В меню Символика (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:

Другие возможности использования этого меню включают:

аналитическое дифференцирование и интегрирование: Символика > Переменная > Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);

замена переменной: Символика > Переменная > Подставить (Symbolics > Variable > Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме. В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.

Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.

Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов

3. Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MATLAB

Для решения дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).

По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.

Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y — независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2 (сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков.

Заключение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернет, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета TeX и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.

Математические пакеты Maple и MATLAB — интеллектуальные лидеры в своих классах и образцы, определяющие развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов, численный анализ от MATLAB и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Сами пакеты постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple и вычислительная среда MATLAB — мощные и хорошо организованные системы, надежные и простые в работе. Освоение даже части их возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ними.

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

Список литературы

1. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. — М.: «Физматлит» , 1993. — С. 112. — ISBN 5-02-015101-7

2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. — СПб: «Питер» , 1999, 2001. — С. 1296. — ISBN 5-89251-065-4

3. Дьяконов В.П. MATLAB 5 — система символьной математики. — М.: «Нолидж» , 1999. — С. 640. — ISBN 5-89251-069-7

4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 608. — ISBN 5-318-00667-608

5. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 448. — ISBN 5-318-00359-1

6. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 528. — ISBN 5-318-00551-9

7. Дьяконов В . П . MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2002. — С. 768. — ISBN 5-98003-007-7

8. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2003. — С. 576. — ISBN 5-93455-177-9

9. Дьяконов В . П . MATLAB 6.0/6.1/6.5/6.5+SP1 + Simulink 4/5. Обработка сигналов и изображений. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 592. — ISBN 5-93003-158-8

10. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Основы применения. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 800. — ISBN 5-98003-181-2

11. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-209-6

12. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-206-1

13. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1 + Simulink 5/6. Работа с изображениями и видеопотоками. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 400. — ISBN 5-98003-205-3

14. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 456. — ISBN 5-98003-255-X

15. Дьяконов В . П . MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. Изд-е 2-е, переработанное и дополненное. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2008. — С. 800. — ISBN 978-5-91359-042-8

16. Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/2007. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 768. — ISBN 978-5-94074-424-5

17. Дьяконов В.П. SIMULINK 5/6/7. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 784. — ISBN 978-5-94074-423-8

18. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Полное руководство пользователя. Изд-е 2-е переработанное и дополненное. — Москва: «СОЛОН-Пресс» , 2004. — С. 400. — ISBN 5-98003-171-5

19. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7

20. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В MATLAB 7. Самоучитель.. — Пресс , 2005. — С. 464.

21. Курбатова Екатерина Анатольевна MATLAB 7. Самоучитель. — М.: «Диалектика» , 2005. — С. 256. — ISBN 5-8459-0904-X

22. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Численные методы. Использование MATLAB = Numerical Methods: Using MATLAB. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2001. — С . 720. — ISBN 0-13-270042-5 u

Аналитические методы решения уравнений в частных производных

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К курсовой работе по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Рецензент – доцент В.В. Луценко

Составитель Бондаренко А.И.

Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Численные методы»/ Сост. А.И. Бондаренко; Шахтинский ин-т (филиал) ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008. — 12 с.

Методические указания содержат теоретический материал, примеры выполнения и требования к оформлению курсовой работы по дисциплине «Численные методы».

Предназначены для студентов второго курса специальностей 230201«Информационные системы и технологии» и 0808001 «Прикладная информатика».

© Шахтинский институт ЮРГТУ, 2008

© Бондаренко А.И., 2008

ВВЕДЕНИЕ

Изучение различных процессов требует наряду с глубоким пониманием физики происходящих явлений совершенного владения современными методами вычислительной математики.

Обычно математическая модель записывается в форме как угодно сложных математических структур и, как правило, получить аналитическое решение такой задачи не удаётся. Приходится использовать численные методы вычислительной математики, реализация которых на ЭВМ требует соответствующего программного обеспечения. Результаты моделирования объекта на ЭВМ позволяют “проиграть” его поведение в самых разных, под­час экстремальных условиях. Значение такого вычислительного экспери­мента трудно переоценить, особенно если натурный эксперимент опасен, дорог или просто невозможен.

Большинство физических процессов можно сформулировать на языке дифференциальных уравнений с частными производными. Производные в этих уравнениях описывают важнейшие физические величины: скорость, ускорение, силу, температуру, трение, ток, потенциал и т.д.). Многие из таких уравнений не имеют аналитического решения и, чтобы их решить, приходится прибегать к численным методам.

В курсовой работе рассматривается одно из самых важных уравнений математической физики — уравнение Лапласа на примере решения задачи Дирихле в заданной плоской области. Отсутствие аналитического решения поставленной задачи требует выбора численного метода и его реализации на ЭВМ.

Курсовая работа является завершающим этапом изучения курса “Численные методы”. Цель курсовой работы:

· систематизация, закрепление и расширение теоретических и практических знаний по компьютерному моделированию типовых вычислительных алгоритмов и анализа полученной информации;

· выявление степени подготовленности студентов к самостоятельной работе в ходе решения поставленных задач.

Аналитические методы решения уравнений в частных производных

Существует целый арсенал методов для решения уравнений в частных производных. Перечислим некоторые аналитические методы решения таких уравнений.

Метод разделения переменных. Уравнение с частными производными с n независимыми переменными сводится к n обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных (методом Фурье) лишь для простейших областей (круг, прямоугольник, шар цилиндр и др.).

Метод преобразования координат. Исходное уравнение с частными производными сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению или к другому, более простому уравнению с частными производными с помощью соответствующего преобразования координат (например, поворота координатных осей и т.п.).

Введение новых переменных. Исходное уравнение с частными производными преобразуется к такому уравнению с частными производными для другой неизвестной функции, которое решается легче, чем исходное.

Метод интегральных уравнений. Уравнение с частными производными сводится к интегральному уравнению (уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла).

Вариационные методы. Вместо уравнения с частными производными решается некоторая задача минимизации. Оказывается, что функция, доставляющая минимум некоторому выражению, является решением исходного уравнения.

Метод разложения по собственным функциям. Эти собственные функции находятся как решения так называемой задачи на собственные значения, которые соответствуют исходной задаче для уравнения с частными производными.

Метод функций Грина. Начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего источника. Полное решение исходной задачи получается в результате суммирования решений для элементарных источников.

Если граница
какой-либо территории наложена на план
по координатам, то можно по ним вычислить
ее площадь, заключенную в многоугольник.
Вычисление производится по формуле
,
т.е. площадь многоугольника равна
полусумме произведений каждой абсциссы
на разность ординат последующей и
предыдущей вершин многоугольника.

Контролем служит
формула
,
т.е. площадьP
многоугольника равна полусумме
произведений каждой ординаты y
на разность абсцисс x
предыдущей и последующей вершин.
Расхождение между P₁
и P₂
не должно превышать 0.1
м².

Для вычисления
площади треугольника и четырехугольника
пользуются формулами, состоящими из
двух произведений.

Для треугольника:

,
или
.

Для четырехугольника:

,
или
.

Значение координат
для площадей
менее 200
га округляют
до 0.1
м, для больших площадей –
до 1.0
м.

Относительная
погрешность определения площади
аналитическим способом несколько больше
относительной погрешности измерений
линий, но относительные погрешности
вычисления площадей полигонов, включенных
в геодезическую сеть, значительно меньше
1/2000 (т.е. погрешности измерения линии).

4.3. Графический способ

Вычисление площадей
графическим способом состоит в том, что
участки, изображенные на плане, разбивают
на простейшие геометрические фигуры –
преимущественно на треугольники, реже
–
на трапеции.
В каждой фигуре на плане измеряют высоту
и основание, по которым вычисляют
площадь. Сумма площадей фигур дает
площадь участка.

Чем больше углов
имеет граница участка, тем меньше
эффективность этого способа. Следовательно,
для определения площадей участков,
имеющих большое количество углов,
целесообразно вычислять площадь по
графическим координатам точек, т.е.
координатам,
измеренным
на плане при помощи измерителя или
координатографа, координатометра и др.

Наилучшим вариантом
разбивки участка на треугольники будет
тот, при котором треугольники близки к
равносторонним (вернее, их высоты близки
по величине к основаниям). Если высоты
или основания, по которым определяют
площади фигур, представляют линии,
измеренные на местности, например,
стороны теодолитного полигона, то для
повышения точности определения площадей
на плане длины этих линий не измеряют,
а принимают величины, полученные на
местности.

Точность вычисления
площади неравностороннего треугольника
будет выше, если короткое основание
(или высота) измерено на местности, а
длинная высота (или основание)
определена
по плану.

Для контроля и
повышения точности площадь каждого
треугольника определяют дважды: по двум
различным основаниям и двум высотам.
Если расхождение допустимо, то из двух
значений площади вычисляют среднее.
Допустимость расхождения между двумя
значениями площади определяют по формуле

,

где M
– знаменатель численного масштаба
плана.

Для обеспечения
контроля вычислений и повышения точности
при выборе высот и оснований не следует
стремиться к тому, чтобы в смежных
треугольниках они повторялись, так как
это ведет к зависимости результатов
вычислений, и могут оказаться незамеченными
грубые ошибки.

Пример вычисления
графическим способом площади полигона
(рис. 12) приведен в табл. 1.

Рис. 12

Т а б л и ц а 1

Номер треугольника с вершинами	Номер измерения	Основанием,	Высота, м	Удвоенная площадь, га	Среднее значе-ние удвоенной площади, га
1 1 – 2 – 7 2 2 – 5 – 7 3 2 – 4 – 5 4 2 – 3 – 4 5 5 – 6 – 7 6 7 – 8 – 1	I II I II I II I II I II I II	462.7 728 458 674 284.3 571 386.4 301.6 391.9 276.1 360 434.8	580 369 657 448 566 281 280 361 275 390 435 360	26.84 26.86 30.09 30.20 16.09 16.05 10.82 10.89 10.78 10.77 15.66 15.65	26.85 30.14 16.07 10.86 10.78 15.66
ИТОГО:	220.71	110.36
		P = 55.18 га

Вы можете быть заинтересованы