Рассмотрим, как можно найти котангенс арктангенса ctg (arctg x) с помощью определений тангенса, котангенса и арктангенса.
Арктангенс икса — это такое число альфа, тангенс которого равен иксу:
arctg x=α, => tg α =x.
В прямоугольном треугольнике тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, в нашем случае tg α = b/a. А нам нужно найти котангенс этого же угла. Поскольку котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему, то ctgα= a/b.
Значит, ctg (arctg x)=a/b, где x=b/a.
Пример.
Найти ctg (arctg 2/5).
Решение:
Рассуждаем аналогично. arctg 2/5=α, => tg α=2/5. А так как тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то в нашем случае противолежащий катет a=2, прилежащий b=5.
А нам нужно найти котангенс этого же угла альфа. Поскольку котангенс равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то ctg (arctg 2/5)=5/2.
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
|
|
Арктангенс котангенса…
|
|
09/03/06 |
Здравствуйте! Помогите пожалуйста упростить выражение: arctg(ctg(x)) смотрю в справочниках — пока решения не нашел…
|
|
|
|
 |
05.06.2008, 09:12 
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
сделайте по формуле приведения из котангенса тангенс. Только аккуратно: для каждого икса надо выбирать тот вариант формулы приведения, который приводит аргумент к области возможных значений арктангенса. И не забывайте, что функция, которая должна получиться — в любом случае периодическая.
|
||
|
|
|||
|
|
ИСН |
|
||
18/05/06 |
А тут нечего смотреть в справочниках, а надо котангенс сделать тангенсом.
|
||
|
|
|||
|
|
Архипов |
|
||
16/03/06 |
|||
|
|
|||
|
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
Архипов писал(а):
|
||
|
|
|||
|
— главное значение угла (0-90). Если 
принято записывать как 
|
T-Mac |
|
|
19/03/08 |
Формула:
|
|
|
|
|
|
AKazak |
|
|
09/03/06 |
Вот решение:
arctg(ctg(x)) = pi/2 — x; Верно, как думаете?
|
|
|
|
|
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
AKazak писал(а): Вот решение: arctg(ctg(x)) = pi/2 — x; Верно, как думаете? У Вас во второй строчке перебираются разные эн (и совершенно правильно), а вот в первой почему-то никаких следов этого эн не наблюдается. Не находите странным? Да, кстати: почему от нуля-то?
|
||
|
|
|||
|
|
AKazak |
|
|
09/03/06 |
ewert По поводу нуля — вы правы: А про первую строчку думаю как лучше… Off topic: почему формулы нормально не отображаются???
|
|
|
|
|
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
AKazak писал(а): Off topic: почему формулы нормально не отображаются??? Потому, что Вы их даже и не пытаетесь отобразить. Окружайте значками доллара — для начала.
|
||
|
|
|||
|
|
TOTAL |
|
||
23/08/07 |
AKazak писал(а): Вот решение: arctg(ctg(x)) = pi/2 — x; Верно, как думаете?
Арктангенс это определённое число, поэтому различные
|
||
|
|
|||
|
здесь лучше убрать и записать как-нибудь так:![$arctg(ctg(x)) = pi/2 - x+left[x/piright]pi; $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/d/1cddb57cf591c981c062d0e0a5c01b0282.png "$arctg(ctg(x)) = pi/2 - x+left[x/piright]pi; $")
|
AKazak |
|
|
09/03/06 |
ewert у меня все ваши формулы отображаются простым текстом, окруженным значками $$… Пробовал смотреть на двух разных браузерах. Я не вижу картинок с формулами… Это нормально? По поводу первой строчки ответа я нашел решение, но оно включает в себя вычисление целой части от деления…
|
|
|
|
|
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
TOTAL писал(а):
Хм. А в каком смысле здесь понимается «целая часть»?
|
||
|
|
|||
|
|
TOTAL |
|
||
23/08/07 |
Целую часть я считаю так
|
||
|
|
|||
|
![$[1.8]=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/617e1c3c691dc57dcb0c43efec666b2382.png "$[1.8]=1$")
![$[-1.8]=-2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4eb63377f0a98f74f912b6bedbea989d82.png "$[-1.8]=-2$")
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
AKazak писал(а): ewert у меня все ваши формулы отображаются простым текстом, окруженным значками $$… Пробовал смотреть на двух разных браузерах. Я не вижу картинок с формулами… Это нормально? Нет, это ненормально. У меня правильно отображаются и в Эксплорере, и в Опере, и в Мозилле. Не знаю, в чём тут дело. Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд: TOTAL писал(а): Целую часть я считаю так Ну да, наверное, это стандарт. Но ведь можно понять и как округление к нулю. Не люблю я использовать антье без необходимости.
(И, кстати, тогда уж лучше
|
||
|
|
|||
|
)Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
- Понятие арктангенса
- График и свойства функции y=arctgx
- Уравнение tgx=a
- Понятие арккотангенса
- График и свойства функции y=arcctgx
- Уравнение ctgx=a
- Формулы преобразований аркфункци
- Примеры
Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb{R}) — см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb{R}) — см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций — см. §2 справочника для 9 класса.
п.1. Понятие арктангенса
В записи (y=tgx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb{Z}); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).
Арктангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), тангенс которого равен (a). $$ arctg a=x Leftrightarrow begin{cases} tgx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$
Например:
(arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6, arctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{3}, arctg1=fracpi4).
п.2. График и свойства функции y=arctgx
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2).
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=fracpi2 text{при} xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=-fracpi2 text{при} xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)).
п.3. Уравнение tgx=a
 |
На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале (-fracpi2leq xleq fracpi2) соответствует одно действительное число.
Например: |
 |
2) Решим уравнение (tgx=2) Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (arctg2) на числовой окружности. Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ: (x=arctg2+pi k) |
В общем случае:
Уравнение (tgx=a) имеет решения $$ x=arctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$
п.4. Понятие арккотангенса
По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).
Арккотангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin(0;pi)), котангенс которого равен (a). $$ arcctg a=x Leftrightarrow begin{cases} ctgx=a\ 0lt xlt pi end{cases} $$
Например:
(arcctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi3, arcctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{6}, arcctg1=fracpi4).
п.5. График и свойства функции y=arcctgx
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi).
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=pi text{при} xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=0 text{при} xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text{и} y=pi).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.
п.6. Уравнение ctgx=a
В общем случае:
Уравнение (ctgx=a) имеет решения $$ x=arcctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$
Часто уравнение (ctgx=a) преобразуют в уравнение (tgx=frac{1}{a}), и ищут его корни.
Например:
1) (ctgx=sqrt{3})
(x=fracpi6+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{sqrt{3}})
Получаем тот же ответ: (x=fracpi6+pi k)
2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{2})
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac{1}{2}) (см. ниже формулы для аркфункций).
п.7. Формулы преобразования аркфункций
begin{gather*} arcsin(sinalpha)=alpha, alphainleft[-fracpi2;fracpi2right], arccos(cosalpha)=alpha, alphain[0;pi]\ arctg(tgalpha)=alpha, alphainleft(-fracpi2;fracpi2right), arcctg(ctgalpha)=alpha, alphain(0;pi) end{gather*}
begin{gather*} arcsin(-alpha)=-arcsinalpha, arccos(-alpha)=pi-arccosalpha\ arctg(-alpha)=-arctgalpha, arcctg(-alpha)=pi-arcctgalpha end{gather*}
begin{gather*} arcsinalpha+arccosalpha=fracpi2, arctgalpha+arcctgalpha=fracpi2 end{gather*}
Сводная таблица тригонометрических функций от аркфункций
| arcsin | arccos | arctg | arcctg | |
| sin | begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} |
| cos | begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} |
| tg | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} | begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} |
| ctg | begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} | begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} |
Аркфункции, выраженные через другие аркфункции
| arcsin | |
| arccos | $$ arcsina= begin{cases} arccossqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ -arccossqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arctg | $$ arcsina=arctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$ |
| arcctg | $$ arcsina= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ -arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}-pi, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arccos | |
| arcsin | $$ arccosa= begin{cases} arcsinsqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ pi-arcsinsqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arctg | $$ arccosa= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ pi+arctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arccosa=arcctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$ |
| arctg | |
| arcsin | $$ arctga=arcsinfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$ |
| arccos | $$ arctga= begin{cases} arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ -arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arctga=arcctgfrac{1}{a}, ane 0 $$ |
| arcctg | |
| arcsin | $$ arcctga= begin{cases} arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ pi-arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$ |
| arccos | $$ arcctga=arccosfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$ |
| arctg | $$ arcctga=arctgfrac{1}{a}, ane 0 $$ |
п.8. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.
Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb{R}), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb{R}).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
| a) (tg x=-1) (x=fracpi4+pi k) |
б) (ctgx=-1) (x=frac{3pi}{4}+pi k) Если решать через (tgx=-1) |
| в) (tg x=-5) (x=arctg(-5)+pi k=-arctg5+pi k) |
г) (ctgx=3) (x=arcctg3+pi k) Если решать через (tgx=frac13) |
Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}=2cdotfrac{2pi}{3}-fracpi4+fracpi4=frac{4pi}{3})
б) (arcsin1-arccosfrac{sqrt{3}}{2}-arctg(sqrt{-3})=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+3arccosfrac{sqrt{2}}{2}=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)
Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin{gather*} -1leq frac{1}{x}leq 1Rightarrow 0leq frac{1}{x}+1leq 2Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x+1}{x}leq 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{-x+1}{x}leq 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x-1}{x}geq 0 end{cases} Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ xgeq 1 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ xleq -1 end{cases} end{array} right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac{1}{x}leq 1Leftrightarrow |frac{1}{x}|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xnotin (-1;1) end{cases} $$ Строим график:
(б) y=arcctg(sqrt{x})+arcctg(-sqrt{x}))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb{R})
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrt{x}right)+arcctgleft(-sqrt{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xgeq 0 end{cases} $$ Строим график:
Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$
 |
Способ 1. С помощью числовой окружности.
Отмечаем точку (fracpi4) на оси синусов (ось OY) и точки (fracpi4) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности). |
| Способ 2. Аналитический Арктангенс – функция возрастающая: (fracpi4approx 0,79lt 1Rightarrow arctgleft(fracpi4right)lt arctg 1) Сравним (arctg1=fracpi4=arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)) и (arcsinleft(fracpi4right)) (frac{sqrt{2}}{2} ? fracpi4) — возведем в квадрат обе части (frac12 ? frac{pi^2}{16}Leftrightarrow 8 ? pi^2) (8ltpi^2Rightarrowfrac{sqrt{2}}{2}ltfracpi4 Rightarrow arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)lt arcsinleft(fracpi4right)Rightarrow 1lt arcsinleft(fracpi4right)) Получаем: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$ |
Пример 6*. Решите уравнения:
a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt{frac{1}{1+tg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt{frac{1}{1+x^2}}Rightarrow x^2=frac{1}{1+x^2}Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac{-1pmsqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac{sqrt{5}-1}{2})
Откуда (x=pmsqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
Ответ: (sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac{5pi^2}{36})
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin{gather*} arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac{5pi^2}{36}\ arccos^2x+frac{pi^2}{4}-pi arccosx+arccos^2x=frac{5pi^2}{36}\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac{pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac{pi^2}{9}=pi^2-frac89pi^2=frac{pi^2}{9}\ arccosx=frac{pipmfracpi3}{4}Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosfracpi6=frac{sqrt{3}}{2}\ x_2=cosfracpi3=frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{frac12; frac{sqrt{3}}{2}right})
в) (arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}})
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2). begin{gather*} arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{2}lt 1\ 0leq sqrt{frac{2}{x+1}} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{4}lt 1\ frac{4}{x+1}geq 0 end{cases} end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ begin{cases} 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end{cases} Rightarrow begin{cases} -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end{cases} Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt{frac{1}{1+ctg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}})
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)= sqrt{frac{1}{1+left(sqrt{frac{2}{x+1}}right)}}= sqrt{frac{1}{1+frac{2}{x+1}}}=sqrt{frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: begin{gather*} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sqrt{frac{x+1}{x+3}}Rightarrow frac{3x+2}{4}=frac{x+1}{x+3}Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac{-7pm5}{6}Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=-2 — text{ не подходит по ОДЗ}\ x_2=-frac13 end{array} right. end{gather*} Ответ: (-frac13)
- Определение
- График арккотангенса
- Свойства арккотангенса
- Таблица арккотангенсов
Определение
Арккотангенс (arcctg или arccot) – это обратная тригонометрическая функция.
Арккотангенс x определяется как функция, обратная к котангенсу x.
Если котангенс угла у равен х (ctg y = x), значит арккотангенс x равняется y:
arcctg x = ctg-1 x = y
Примечание: ctg-1x означает обратный котангенс, а не котангенс в степени -1.
Например:
arctg 1 = ctg-1 1 = 45° = π/4 рад
График арккотангенса
Функция арккотангенса пишется как y = arcctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом (0 < y < π, –∞ < x < +∞):
Свойства арккотангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арккотангенса с формулами.
Таблица арккотангенсов
| arcctg x (°) | arcctg x (рад) | x |
| 180° | π | -∞ |
| 150° | 5π/6 | -√3 |
| 135° | 3π/4 | -1 |
| 120° | 2π/3 | -1/√3 |
| 90 | π/2 | 0 |
| 60 | π/3 | 1/√3 |
| 45 | π/4 | 1 |
| 30 | π/6 | √3 |
| 0 | 0 | ∞ |
microexcel.ru