Как найти arctg отрицательного числа

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

• sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
• cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; — 1 ;
• t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ ;
• c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ — ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа — это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от — 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos — 3 2 = — 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка — 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса — от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи — ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

• a r c sin — a = — a r c sin a , a ∈ — 1 , 1 ;
• a r c cos — a = π — a r c cos a , a ∈ — 1 , 1 ;
• a r c t g — a = — a r c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ ;
• a r c c t g — a = π — a r c c t g a , a ∈ — ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При — 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin — a = — a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( — a ) — это угол (число) в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен — a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что — a r c sin a лежит в тех же пределах от — π 2 до π 2 , что и a r c sin ( — a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( — a r c sin a ) = — a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство — π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на — 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ — a r c sin a ≥ — π 2 . Переписав его, получим — π 2 ≤ — a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( — a r c sin a ) = — a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin — a r c sin a = — sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin — a r c sin a = — sin a r c sin a = — a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos — a = π — a r c cos a при a ∈ — 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на — 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ — a r c cos a ≥ — π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π — a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π — a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π — arccos a = — a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π — arccos a = — cos ( a r c cos a ) = — a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства — возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin — 1 2 = — a r c sin 1 2 a r c cos — 5 5 7 = π — arccos 5 5 7 arctg — 1 = — arctg 1 arcctg ( — 3 ) = π — arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ — 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ — ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 — a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус — это число (угол), лежащее в пределах от — π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на — 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ — arccos a ≥ — π π 2 ≥ π 2 — arccos a ≥ — π 2 — π 2 ≤ π 2 — arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 — a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 — a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 — 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 — 2 2 + a r c cos 6 — 2 2 = π 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — a r c sin 6 — 2 2 a r c cos 6 — 2 2 = π 2 — π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

• a r c sin ( sin α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
• a r c t g ( t g α ) = α , — π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
• a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a — число, лежащее в интервале от — 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от — π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия — π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

• Определение

• График арктангенса

• Свойства арктангенса

• Таблица арктангенсов

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg^-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg^-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg^-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов

arctg x (°)	arctg x (рад)	x
-90°	-π/2	-∞
-71.565°	-1.2490	-3
-63.435°	-1.1071	-2
-60°	-π/3	-√3
-45°	-π/4	-1
-30°	-π/6	-1/√3
-26.565°	-0.4636	-0.5
0°	0	0
26.565°	0.4636	0.5
30°	π/6	1/√3
45°	π/4	1
60°	π/3	√3
63.435°	1.1071	2
71.565°	1.2490	3
90°	π/2	∞

microexcel.ru

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Функции с приставкой arc — это функции, обратные тригонометрическим. Например, для функции $sinα$ обратной функцией является её арксинус, записывается как $arcsinα$, а для функции косинуса обратной будет функция арккосинус, записывается как $arccosα$. Проще говоря, обратные тригонометрическим функции с приставкой $arc$ являются множеством значений углов $α$, от которых берётся какая-либо обычная тригонометрическая функция, также иногда функции с приставкой $arc$ используют как меру длины дуги, ограничивающей угол $α$.

Рассмотрим теперь непосредственно определения для функций арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс по отдельности.

Арксинус числа

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображена окружность с радиусом, равным единице. Как мы помним, $sinα$ — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, численно он равен длине стороны $AC$. Так как арксинус его обратная функция и есть не что иное как угол, от которого берётся синус, свойства арксинуса очень похожи на свойства синуса:

• Область определения функции арксинуса $D(y)= [-1;1 ]$, для синуса $D(y)= [-frac{π}{2};frac{π}{2} ]$;
• Область значения для арксинуса $E = [-frac{π}{2};frac{π}{2} ]$, для синуса $E = [-1;1 ]$
• Функции синуса и арксинуса обе возрастающие;
• Функции арксинуса и синуса обе нечётные, то есть: $arcsin(-x)= -arcsinx$;
• Функция $y=arcsin(x)$ равна нулю при $x=0$.

«Арксинус, арккосинус и арктангенс числа» 👇

График арксинуса выглядит следующим образом:

Арккосинус числа

Свойства арккосинуса в сравнении с косинусом:

• Область определения функции арккосинуса $D(y)= [-1;1 ]$, для косинуса $D(y)= [0; π ]$;
• Область значения для арккосинуса $E = [0; π ]$, для косинуса $E = [-1;1 ]$;
• График функции арккосинуса симметричен относительно точки $(0; frac{ π}{2})$, следовательно, он не является ни чётным, ни нечётным, в отличии от функции косинуса, которая является чётной;
• График функции арккосинуса $y= arccos(x)$ является убывающим, это происходит на всей его области определения, так же, как и c графиком косинуса.
• Функция $y=arccos(x)$ равна нулю при $x=1$.

Арктангенс числа

Свойства арктангенса:

• $D(y)= [-infty;1 ]$;
• $E = [-frac{π}{2};frac{π}{2} ]$;
• Данная функция нечётная;
• Функция $y= arctgx$ возрастающая на всей области определения;
• Функция $y= arctgx$ равна нулю при $x=0$.

Арккотангенс

Свойства функции арккотангенса:

• $D(y)= [-infty;1 ]$;
• $E = [0; π ]$;
• Данная функция не является ни чётной, ни нечётной;
• Функция $y= arcсtgx$ убывает на всей области определения;