Как найти arg комплексные числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула

Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула

Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:

$ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $
$ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$
$ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$

Введите комплексное число

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Пример 1

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 — 4i $.

Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Применяя формулу вычисления модуля получаем:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$

Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:

$$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$

Ответ

$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $

Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

Вычисляем модуль по уже известной формуле:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$

А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$

Ответ

$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$

Пример 3

Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$

Решение

Выписываем действительную и мнимую часть:

$$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$

Так как $ a > 0 $, то аргумент равен

$$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$

Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$

Пример 4

Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$

Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$

Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$

Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:

$$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$

$$ = pi — arctg(sqrt{3}) = pi — frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$

Ответ

$$ varphi = frac{2pi}{3} $$

Источник

Определение.
Модулем
комплексного числа
называется длина вектора, изображающего
это число, и обозначается
.

Модуль
числа z
= x
+ iy
определяется однозначно и может быть
найден по формуле
=

Нетрудно
видеть, что z
∙
=

и
.

Если
z
= 0 , то
.

Определение.
Аргументом
комплексного числа
z
≠ 0 называется любой угол ,
отсчитываемый от положительного луча
оси ОХ до радиус-вектора z.
Этот угол считается положительным, если
отсчет производится против часовой
стрелки, и отрицательным – в противоположном
случае. Для числа z
= 0 аргумент не определен.

В
отличие от модуля, аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно.

Пример
6.1 Найти
аргумент комплексного числа 1 + i.

Решение.

Аргументами
числа 1 + i
являются углы

(рисунок 4),

(рисунок 5),

(рисунок 6) и, вообще, любой из углов.

,
k

Z.

Рисунок
4 Рисунок 5
Рисунок
6

Все
множество аргументов числа z
обозначается Arg
z,
(фр. Ar-gument
– аргумент). Такое значение 

Arg
z,
которое принадлежит промежутку –
< 
≤ 
либо 0 ≤ 
< 2
и называется главным
аргументом.
Он обозначается arg
z
и определяется однозначно

Arg
z = arg z + 2k,
k 
Z,
– 
< arg z ≤ .

Упражнения

7 Отметить на
плоскости точки, изображающие следующие
комплексные числа:

а)
2i
– 3; б)
;
в)
–6 + 2i;

г)
–2 – 2i; д)
(1 – i)⁴;
е)

8 Найти модуль и
аргумент комплексного числа:

а)
–
;
б)
;
в) 3 – 2;

г)
(i + 1)(i – 2); д)

§ 7 Тригонометрическая (полярная) форма

комплексного
числа

Модуль

и аргумент 
комплексного числа z
= x
+ iy
≠ 0 – это, по существу, полярные координаты
(r;
)
точки М(х; у) – рису- нок 7.

Используя
связь между декартовыми и полярными
координатами точки М (рисунок

,

можно
любое комплексное число z
≠ 0 представить в виде:

z
= x + iy = r ∙ cos 
+ ir ∙ sin 
= r(cos 
+ i sin ).

Рисунок
7 Рисунок 8

Запись
z
= r(cos

+ i
sin
)
называется тригонометрической
или полярной
формой
комплексного числа.

Чтобы
записать число z
= x
+ iy
≠ 0 в тригонометрической форме, следует
найти его модуль по формуле

и один из аргументов, решив систему
.

Аргумент
комплексного числа можно определить
из соотношения
,
являющегося следствием последней
системы. Откуда 

Однако
не все решения этого соотношения являются
решением системы. Напомним, что период
функции y
= tg
x равен .
При с 
R
одно из решений уравнения tg

= c,
удовлетворяющее условию
,
обозначается arctg
c.
Таким образом, в промежутке (– ;
]
имеются два угла, тангенсы которых равны

.
Для определения четверти, в которой
лежит угол ,
нужно еще учесть знаки х, у – координат
точки z:

если
точка z
лежит в I
и IV
четверти, x
> 0, то

 =
arg
z
=
(рисунок 9);

2)
если точка z
лежит во II
четверти, т.е. x
< 0, y
> 0, то
и
arg
z
=
(рисунок 10);

3)
Если точка z
лежит в III
четверти, т.е. x
< 0, y
< 0, то

и

(рисунок
11).

Рисунок 9
Рисунок 10

Рисунок 11

Для главного
аргумента справедливы формулы:

Пример
7.1 Записать
числа в тригонометрической форме:

1)
z = 4 + 4i.

Решение.

x
= 4, y
= 4 (I
четверть);
.

Так
как arg
z
=

,
то

z
= 4 + 4i =

2)
z =
–
i.

Решение.

x
=,
y
= –1 (IVчетверть);

Так
как x
> 0, 
= arg
z
= arctg

Поэтому

– i
= 2

3)
z = – 2 –
i.

Решение.

x
= –2, y = –

(III четверть);

Так
как x
< 0 и y
< 0, 
= arg
z
= –

–2
–
i
=

4)
z = –+
i.

Решение.

x
= –,
y
= 1 (II
четверть);

.
Так как x
< 0, y
> 0,

 =
arg z =

–+
i =

5)
z = 5.

Решение.

Так
как число z
= 5 действительное и 5 > 0, то


= 0.

6)
z = –.

Решение.

,

= 
(так как –<
0).

7)
z = 3i.

Решение.

Так
как число z
= 3i
– мнимое (х = 0, у = 3), причем y
= Im
z
=

=
3 > 0, то
,

= arg
z
=.

z = –i.

Решение.

x
= 0, y = –<
0;
,

= arg
z
= –
.

9)
z = cos
– isin
.

Решение.

Данная
запись числа не является тригонометрической.
Это чис-ло записано в алгебраической
форме, где

, у = –
.

Искомая
запись имеет вид z
= cos

+ isin
.

;

;
arg z = –.

–

Данное представление
могло быть получено, учитывая чет-ность
функции y = cos x и нечетность функции y =
sin x.

10)
z = –

Решение.

,
поэтому искомая запись имеет вид: z
= cos 
+ i sin .

Так
как
,
то –

– sin

Соседние файлы в папке КЧ

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Arg (mathematics)» redirects here. For argument of a function, see Argument of a function.

In mathematics (particularly in complex analysis), the argument of a complex number z, denoted arg(z), is the angle between the positive real axis and the line joining the origin and z, represented as a point in the complex plane, shown as varphi in Figure 1.
It is a multivalued function operating on the nonzero complex numbers.
To define a single-valued function, the principal value of the argument (sometimes denoted Arg z) is used. It is often chosen to be the unique value of the argument that lies within the interval (−π, π].^[1]^[2]

Definition[edit]

Figure 2. Two choices for the argument varphi

An argument of the complex number z = x + iy, denoted arg(z), is defined in two equivalent ways:

Geometrically, in the complex plane, as the 2D polar angle from the positive real axis to the vector representing z. The numeric value is given by the angle in radians, and is positive if measured counterclockwise.
Algebraically, as any real quantity such that

${displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi )=re^{ivarphi }}$

for some positive real r (see Euler’s formula). The quantity r is the modulus (or absolute value) of z, denoted |z|:

${displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

The names magnitude, for the modulus, and phase,^[3]^[1] for the argument, are sometimes used equivalently.

Under both definitions, it can be seen that the argument of any non-zero complex number has many possible values: firstly, as a geometrical angle, it is clear that whole circle rotations do not change the point, so angles differing by an integer multiple of 2π radians (a complete circle) are the same, as reflected by figure 2 on the right. Similarly, from the periodicity of sin and cos, the second definition also has this property. The argument of zero is usually left undefined.

Alternative definition[edit]

The complex argument can also be defined algebraically in terms of complex roots as:

${displaystyle arg(z)=lim _{nto infty }ncdot operatorname {Im} {sqrt[{n}]{z/|z|}}}$

This definition removes reliance on other difficult-to-compute functions such as arctangent as well as eliminating the need for the piecewise definition. Because it’s defined in terms of roots, it also inherits the principal branch of square root as its own principal branch. The normalization of by dividing by |z| isn’t necessary for convergence to the correct value, but it does speed up convergence and ensures that is left undefined.

Principal value[edit]

Figure 3. The principal value Arg of the blue point at 1 + i is π/4. The red line here is the branch cut and corresponds to the two red lines in figure 4 seen vertically above each other).

Because a complete rotation around the origin leaves a complex number unchanged, there are many choices which could be made for varphi by circling the origin any number of times. This is shown in figure 2, a representation of the multi-valued (set-valued) function , where a vertical line (not shown in the figure) cuts the surface at heights representing all the possible choices of angle for that point.

When a well-defined function is required, then the usual choice, known as the principal value, is the value in the open-closed interval (−π rad, π rad], that is from −π to π radians, excluding −π rad itself (equiv., from −180 to +180 degrees, excluding −180° itself). This represents an angle of up to half a complete circle from the positive real axis in either direction.

Some authors define the range of the principal value as being in the closed-open interval [0, 2π).

Notation[edit]

The principal value sometimes has the initial letter capitalized, as in Arg z, especially when a general version of the argument is also being considered. Note that notation varies, so arg and Arg may be interchanged in different texts.

The set of all possible values of the argument can be written in terms of Arg as:

{displaystyle arg(z)={operatorname {Arg} (z)+2pi nmid nin mathbb {Z} }.}

Computing from the real and imaginary part[edit]

If a complex number is known in terms of its real and imaginary parts, then the function that calculates the principal value Arg is called the two-argument arctangent function atan2:

{displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)=operatorname {atan2} (y,,x)}

The atan2 function (also called arctan2 or other synonyms) is available in the math libraries of many programming languages, and usually returns a value in the range (−π, π].^[1]

Many texts say the value is given by arctan(y/x), as y/x is slope, and arctan converts slope to angle. This is correct only when x > 0, so the quotient is defined and the angle lies between −π/2 and π/2, but extending this definition to cases where x is not positive is relatively involved. Specifically, one may define the principal value of the argument separately on the two half-planes x > 0 and x < 0 (separated into two quadrants if one wishes a branch cut on the negative x-axis), y > 0, y < 0, and then patch together.

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)=operatorname {atan2} (y,,x)={begin{cases}arctan left({frac {y}{x}}right)&{text{if }}x>0,\arctan left({frac {y}{x}}right)+pi &{text{if }}x<0{text{ and }}ygeq 0,\arctan left({frac {y}{x}}right)-pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y<0,\+{frac {pi }{2}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y>0,\-{frac {pi }{2}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y<0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

A compact expression with 4 overlapping half-planes is

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)=operatorname {atan2} (y,,x)={begin{cases}arctan left({frac {y}{x}}right)&{text{if }}x>0,\{frac {pi }{2}}-arctan left({frac {x}{y}}right)&{text{if }}y>0,\-{frac {pi }{2}}-arctan left({frac {x}{y}}right)&{text{if }}y<0,\arctan left({frac {y}{x}}right)pm pi &{text{if }}x<0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

It’s also possible to use arccotangent for the definition:

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)={begin{cases}operatorname {arccot} left({frac {x}{y}}right)&{text{if }}y>0,\operatorname {arccot} left({frac {x}{y}}right)-pi &{text{if }}y<0,\0&{text{if }}y=0{text{ and }}x>0\pi &{text{if }}y=0{text{ and }}x<0\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

For the variant where Arg is defined to lie in the interval [0, 2π), the value can be found by adding 2π to the value above when it is negative (when y<0).

Alternatively, the principal value can be calculated in a uniform way using the tangent half-angle formula, the function being defined over the complex plane but excluding the origin:

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)={begin{cases}displaystyle 2arctan left({frac {y}{{sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}right)&{text{if }}x>0{text{ or }}yneq 0,\pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y=0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

This is based on a parametrization of the circle (except for the negative x-axis) by rational functions. This version of Arg is not stable enough for floating point computational use (as it may overflow near the region x < 0, y = 0), but can be used in symbolic calculation.

A variant of the last formula which avoids overflow is sometimes used in high precision computation:

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)={begin{cases}displaystyle 2arctan left({frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}right)&{text{if }}yneq 0,\0&{text{if }}x>0{text{ and }}y=0,\pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y=0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

Identities[edit]

One of the main motivations for defining the principal value Arg is to be able to write complex numbers in modulus-argument form. Hence for any complex number z,

$z=left|zright|e^{{ioperatorname {Arg}z}}.$

This is only really valid if z is non-zero, but can be considered valid for z = 0 if Arg(0) is considered as an indeterminate form—rather than as being undefined.

Some further identities follow. If z₁ and z₂ are two non-zero complex numbers, then

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&equiv operatorname {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2}){pmod {mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }},\operatorname {Arg} left({frac {z_{1}}{z_{2}}}right)&equiv operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2}){pmod {mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }}.end{aligned}}}$

If z ≠ 0 and n is any integer, then^[1]

${displaystyle operatorname {Arg} left(z^{n}right)equiv noperatorname {Arg} (z){pmod {mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }}.}$

Example[edit]

${displaystyle operatorname {Arg} {biggl (}{frac {-1-i}{i}}{biggr )}=operatorname {Arg} (-1-i)-operatorname {Arg} (i)=-{frac {3pi }{4}}-{frac {pi }{2}}=-{frac {5pi }{4}}}$

Using the complex logarithm[edit]

From ${displaystyle z=|z|e^{ioperatorname {Arg} (z)}}$ , it easily follows that ${displaystyle operatorname {Arg} (z)=-iln {frac {z}{|z|}}}$ . This is useful when one has the complex logarithm available.

Extended argument[edit]

The extended argument of a number z (denoted as ) is the set of all real numbers congruent to modulo 2.^[4]

References[edit]

^ ^a ^b ^c ^d Weisstein, Eric W. «Complex Argument». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-31.
^ «Pure Maths». internal.ncl.ac.uk. Retrieved 2020-08-31.
^ Dictionary of Mathematics (2002). phase.
^ «Algebraic Structure of Complex Numbers». www.cut-the-knot.org. Retrieved 2021-08-29.

Bibliography[edit]

Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology. Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. Mathematics. Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins. ISBN 0-00-710295-X.

External links[edit]

Argument at Encyclopedia of Mathematics.

Источник

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

[r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } .]

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,, , z_{2} =4i,, , , z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=sqrt{13^{2} +0^{2} } =sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=sqrt{0^{2} +4^{2} } =sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=sqrt{4^{2} +3^{2} } =sqrt{16+9} =sqrt{25} =5$

Определение 2

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

$z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ — тригонометрическая форма;
$z=rcdot e^{ivarphi } $ — показательная форма.

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $.

«Модуль и аргумент комплексного числа» 👇

Решение:

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ — тригонометрическая форма

$z=3cdot e^{ipi } $ — показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac{3pi }{4} +isin frac{3pi }{4} )$ — тригонометрическая форма

$z=13cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ — показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$; 2) $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$; 3) $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $; 4) $z=13cdot e^{ipi } $.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^{ivarphi } .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt{2} ;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$ получим $r=frac{5}{3} ;varphi =frac{2pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ получим $r=sqrt{13} ;varphi =frac{3pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^{ipi } $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

[varphi =tgfrac{b}{a} ;cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } .]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$varphi =arg z=left{begin{array}{c} {arctgfrac{b}{a} ,age 0} \ {arctgfrac{b}{a} +pi ,a

или решают систему уравнений

$left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \ {sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } end{array}right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{3} =arctg0=0.]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{4}{0} =arctg(infty )=frac{pi }{2} .]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

[left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } \ {sin varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } end{array}right. .]

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac{sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac{pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{-5} +pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{-2}{0} =arctg(-infty )=frac{3pi }{2} .]

Примечание 3

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

$frac{pi }{2} $ с положительной мнимой частью;
$frac{3pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{3pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt{2^{2} +2^{2} } =sqrt{4+4} =sqrt{8} =2sqrt{2} $, т.е. $r=2sqrt{2} $, а аргумент $varphi =frac{pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Комплексные числа

Комплексное число в тригонометрической форме:

z=|z|[cos(φ+2πk)+i·sin(φ+2πk)]

Комплексное число в показательной форме: z=|z|e^iφ

Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).

Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Правила ввода функции

Все математические операции выражаются через общепринятые символы +, -, *, /.

Примеры

≡ 1/2+sqrt(3)*I

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π:

см. также Как извлечь корень из комплексного числа

Действия с комплексными числами

z₂=-1-i

Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)

Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂)

Тогда

z₁ · z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂)+ i sin(φ₁ + φ₂)]

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:

Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).

Возведение в степень. Формула Муавра

При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти

Решение.

=2¹⁸(cos6π + i*sin6π)=2¹⁸=262144

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)⁹⁸⁸. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:

(1+i)² = 2i, а затем 2i^988/2 = 2i⁴⁹⁴ = 2⁴⁹⁴i⁴⁹⁴ = 2⁴⁹⁴(-1)²⁴⁷ = -2⁴⁹⁴

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме.

Примечание:

abs — модуль комплексного числа |z|. Пример: abs(-5.5-6.6i)
arg — аргумент комплексного числа φ. Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

z=-1-4i

Базовая формула:

z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]

где φ=arctg((-4)/(-1));

Алгоритм

находим угол φ.
находим модуль |z| = sqrt(x² + y²).

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z=-1-4i

Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1

Мнимая часть: y = Im(z) = -4

Модуль комплексного числа равен:

Поскольку x<0, y<0, то arg(z) находим как:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или x²+y²=4

Аргумент комплексного числа

или

Получаем систему из двух уравнений:

x²+y²=4

Выразим и подставим в первое выражение:

Поскольку , то получаем:

или или .

Таким образом, из выражения можно сразу было получить:

,

Источник