Как найти аргумент в математике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула

Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула

Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:

$ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $
$ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$
$ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$

Введите комплексное число

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Пример 1

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 — 4i $.

Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Применяя формулу вычисления модуля получаем:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$

Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:

$$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$

Ответ

$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $

Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

Вычисляем модуль по уже известной формуле:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$

А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$

Ответ

$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$

Пример 3

Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$

Решение

Выписываем действительную и мнимую часть:

$$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$

Так как $ a > 0 $, то аргумент равен

$$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$

Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$

Пример 4

Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$

Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$

Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$

Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:

$$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$

$$ = pi — arctg(sqrt{3}) = pi — frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$

Ответ

$$ varphi = frac{2pi}{3} $$

Источник

Что такое аргумент функции? Как найти аргумент функции?

Рассмотрим аргумент функции в математике на примере.

Аргумент функции в математике

Аргумент функции – это независимая переменная.

Часто функцию в общем виде записывают как

y = f(x)

здесь икс есть аргумент функции.

Примеры аргументов функции

Простой пример аргумента функции:

y = x + 5

Что такое аргумент в этой функции?

Аргумент в этой функции есть икс.

Как узнать, что именно икс, а не игрек и не число пять, в этой функции есть аргумент?

Аргумент функции есть переменная.

Аргумент функции есть переменная, над которой совершается математическое действие.

В нашем случае к переменной икс прибавляется 5. Значит икс и есть аргумент.

Игрек же получается в результате данного математического действия. Игрек есть функция.

Рассмотрим другой пример.

Имеется функция:

y = 2x – 1

икс в данном примере называется аргументом функции или независимой перемнной.

А где аргумент в такой функции:

S = 20 / t

здесь аргумент – это t. А функция – это S.

Итак, аргумент функции это х или у? Аргумент функции это х.

Источник

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

[r=|z|=|a+bi|=sqrt{a^{2} +b^{2} } .]

Пример 1

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,, , z_{2} =4i,, , , z_{3} =4+3i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt{a^{2} +b^{2} } $.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=sqrt{13^{2} +0^{2} } =sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=sqrt{0^{2} +4^{2} } =sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=sqrt{4^{2} +3^{2} } =sqrt{16+9} =sqrt{25} =5$

Определение 2

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Примечание 1

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

$z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ — тригонометрическая форма;
$z=rcdot e^{ivarphi } $ — показательная форма.

Пример 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $.

«Модуль и аргумент комплексного числа» 👇

Решение:

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ — тригонометрическая форма

$z=3cdot e^{ipi } $ — показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac{3pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac{3pi }{4} +isin frac{3pi }{4} )$ — тригонометрическая форма

$z=13cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ — показательная форма.

Пример 3

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$; 2) $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$; 3) $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $; 4) $z=13cdot e^{ipi } $.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^{ivarphi } .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{2} cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt{2} ;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac{5}{3} cdot (cos frac{2pi }{3} +isin frac{2pi }{3} )$ получим $r=frac{5}{3} ;varphi =frac{2pi }{3} $.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt{13} cdot e^{ifrac{3pi }{4} } $ получим $r=sqrt{13} ;varphi =frac{3pi }{4} $.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^{ipi } $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

[varphi =tgfrac{b}{a} ;cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } .]

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$varphi =arg z=left{begin{array}{c} {arctgfrac{b}{a} ,age 0} \ {arctgfrac{b}{a} +pi ,a

или решают систему уравнений

$left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{a}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \ {sin varphi =frac{b}{sqrt{a^{2} +b^{2} } } } end{array}right. $. (**)

Пример 4

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{3} =arctg0=0.]

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{4}{0} =arctg(infty )=frac{pi }{2} .]

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

[left{begin{array}{c} {cos varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } \ {sin varphi =frac{1}{sqrt{1^{2} +1^{2} } } =frac{1}{sqrt{2} } =frac{sqrt{2} }{2} } end{array}right. .]

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac{sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac{pi }{4} $.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{0}{-5} +pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac{-2}{0} =arctg(-infty )=frac{3pi }{2} .]

Примечание 3

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

$frac{pi }{2} $ с положительной мнимой частью;
$frac{3pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.

Решение:

Число $z_{1} $ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2} $ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac{3pi }{2} $ по примечанию 3.

Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt{2^{2} +2^{2} } =sqrt{4+4} =sqrt{8} =2sqrt{2} $, т.е. $r=2sqrt{2} $, а аргумент $varphi =frac{pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Что такое комплексное число

Комплексное число — это выражение типа (z;=;a;+;ib). Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как (a;=;RE;z ), а мнимая часть — (b;=;Im;z).

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

(z;=;left|zright|;cdot;(cosleft(varphiright);+;isinleft(varphiright)))

В этом виде (left|zright|) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r.

Если (left|zright|;=;r,) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

(left|zright|;=;sqrt{x^2;+;y^2})

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

Модуль не отрицателен — (left|xright|;geq;0). (left|xright|;=;0) только в том случае, если z = 0.
Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: (left|z_1;+;z_2right|;leq;left|z_1right|;+;left|z_2right|.)
Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: (left|z_1;cdot;z_2right|;=;left|z_1right|;cdot;left|z_2right|.)
Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: (left|z_1;div;z_2right|;=;left|z_1right|;div;left|z_2right|.)
Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: (left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{left(x_1;-;x_2right)^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2}).

Что такое аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа — это угол (varphi) радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу (z;:;varphi;=;arg;z) на комплексной плоскости. Этот угол измеряется в радианах.

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — (360^circ;cdot;k) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

(tanleft(varphiright);=;frac ba)

(cosleft(varphiright);=;frac a{sqrt{a^2;+;b^2}})

(sinleft(varphiright);=;frac b{sqrt{a^2;+;b^2}})

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Аргумент может быть записан в тригонометрической форме. Для комплексного числа (z = x + iy), это будет выглядеть следующим образом:

(z;=;r;(cosleft(varphiright);+;i;sinleft(varphiright)))

Здесь (r) будет модулем комплексного числа (z), а (varphi) — arg z.

Важно отметить, arg z имеет смысл лишь при (z neq 0), комплексное число ноль не имеет аргумента.

Как вывести формулу модуля

В соответствии с теоремой Пифагора длина вектора с координатами a и b равна (sqrt{a^2;+;b^2}).

Так как именно эта величина называется модулем комплексного числа (z = a + bi), тогда (left|xright|;=;sqrt{a^2;+;b^2}).

Примеры решения задач

Задача

Найти модуль числа (z;=;-5;+;15i)

Решение

(x;=;Re;z;=;-15) — действительная часть, а (y;=;Im;z;=;15) — мнимая часть комплексного числа (z;=;-5;+;15i.)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=sqrt{{(-5)}^2;+;15^2};=;sqrt{25;+;225};=;sqrt{250} )

Ответ: (r;=;sqrt{250})

Задача

Найти расстояние между числами (z_1;=;1;-;3i,;z_2;=;-2;+;2i) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

(left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{{(x_1;-;x_2)}^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2};=;sqrt{(1;-;{(-2))}^2;+;{(-2;-;2)}^2};=;sqrt{34})

Ответ: (sqrt{34})

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа (sqrt{34}) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Если действительно частью комплексного числа (z;=;1;+;sqrt{3i}) является число (x = Re z = 1), а мнимой частью является (y = Im z;=sqrt3), то аргумент можно вычислить по формуле:

(varphi;=;arg;z;=;arctg;frac yx;=;arctg;frac{sqrt3}1;=;arctg;sqrt3;=;frac{mathrmpi}3)

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль.

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=;sqrt{1^2;+;{(sqrt3)}^2};=;sqrt{1+3};=;sqrt4;=;2)

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

(z;=;2;(cosleft(frac{mathrmpi}3right);+;i;sinleft(frac{mathrmpi}3right)))

Ответ: аргумент равен (frac{mathrmpi}3). Тригонометрическая форма записана выше.

Задача

Найти модуль и аргумент числа (z = 2 — i)

Решение

Найдем (left|zright|;=;sqrt{2^2;+;{(-;1)}^2};=;sqrt5.)

Так как (Re z = 2 > 0), (Im z = -1 < 0), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства (tanleft(varphiright);=;-frac12) следует:

(varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Ответ: (varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Источник

Определение.
Модулем
комплексного числа
называется длина вектора, изображающего
это число, и обозначается
.

Модуль
числа z
= x
+ iy
определяется однозначно и может быть
найден по формуле
=

Нетрудно
видеть, что z
∙
=

и
.

Если
z
= 0 , то
.

Определение.
Аргументом
комплексного числа
z
≠ 0 называется любой угол ,
отсчитываемый от положительного луча
оси ОХ до радиус-вектора z.
Этот угол считается положительным, если
отсчет производится против часовой
стрелки, и отрицательным – в противоположном
случае. Для числа z
= 0 аргумент не определен.

В
отличие от модуля, аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно.

Пример
6.1 Найти
аргумент комплексного числа 1 + i.

Решение.

Аргументами
числа 1 + i
являются углы

(рисунок 4),

(рисунок 5),

(рисунок 6) и, вообще, любой из углов.

,
k

Z.

Рисунок
4 Рисунок 5
Рисунок
6

Все
множество аргументов числа z
обозначается Arg
z,
(фр. Ar-gument
– аргумент). Такое значение 

Arg
z,
которое принадлежит промежутку –
< 
≤ 
либо 0 ≤ 
< 2
и называется главным
аргументом.
Он обозначается arg
z
и определяется однозначно

Arg
z = arg z + 2k,
k 
Z,
– 
< arg z ≤ .

Упражнения

7 Отметить на
плоскости точки, изображающие следующие
комплексные числа:

а)
2i
– 3; б)
;
в)
–6 + 2i;

г)
–2 – 2i; д)
(1 – i)⁴;
е)

8 Найти модуль и
аргумент комплексного числа:

а)
–
;
б)
;
в) 3 – 2;

г)
(i + 1)(i – 2); д)

§ 7 Тригонометрическая (полярная) форма

комплексного
числа

Модуль

и аргумент 
комплексного числа z
= x
+ iy
≠ 0 – это, по существу, полярные координаты
(r;
)
точки М(х; у) – рису- нок 7.

Используя
связь между декартовыми и полярными
координатами точки М (рисунок

,

можно
любое комплексное число z
≠ 0 представить в виде:

z
= x + iy = r ∙ cos 
+ ir ∙ sin 
= r(cos 
+ i sin ).

Рисунок
7 Рисунок 8

Запись
z
= r(cos

+ i
sin
)
называется тригонометрической
или полярной
формой
комплексного числа.

Чтобы
записать число z
= x
+ iy
≠ 0 в тригонометрической форме, следует
найти его модуль по формуле

и один из аргументов, решив систему
.

Аргумент
комплексного числа можно определить
из соотношения
,
являющегося следствием последней
системы. Откуда 

Однако
не все решения этого соотношения являются
решением системы. Напомним, что период
функции y
= tg
x равен .
При с 
R
одно из решений уравнения tg

= c,
удовлетворяющее условию
,
обозначается arctg
c.
Таким образом, в промежутке (– ;
]
имеются два угла, тангенсы которых равны