Как найти аргументы алгебра 7 класс

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

---

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

---

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

---

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Функции

Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.

Функция — это зависимая переменная величина. Аргумент — это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется функциональной зависимостью.

Если нужно указать на тот факт, что  y  функция от  x,  не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:

y = f(x),

где  f  (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция,  y  — это функция, а  x  — аргумент.

Иногда, чтобы показать, что  y  зависит от  x,  пишут просто:

y(x).

Обратите внимание, что вместо  y  и  x  могут использоваться любые другие буквы.

Значение  y,  соответствующее заданному значению  x,  называют значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции  f  приняты следующие обозначения:

D(f)  — область определения функции
(множество значений аргумента).

E(f)  — множество значений функции.

f(x₀)  — значение функции в точке  x₀.

Вокруг нас происходит множество событий или процессов, которые можно измерить. При этом величина одних зависит от величины каких-либо других.

Так, например, от того, сколько мы испишем страниц в тетради, зависит количество оставшихся в стержне чернил. Чем больше кружек наполнено компотом, тем меньше его останется в кастрюле. Чем больше мама оставит денег на обеды, тем больше можно на них купить мороженого. А чем сильнее велосипедист крутит педали, тем больше километров он проедет. Придумайте свои примеры?

В наших описанных выше примерах первые два имеют обратную зависимость, то есть при увеличении одной величины (количество страниц и кружек в наших случаях), уменьшается вторая (количество чернил и компота в кастрюле).

Примеры с велосипедистом и мороженым имеют прямую зависимость, то есть при увеличении одной величины (скорость движения педалями и количество оставленных мамой денег) увеличивается и другая (пройденное расстояние и количество мороженого).

Зависимость, которая показывает как одна величина связана с другой величиной, как раз и называется функцией. 

Аргумент и функция

Если одна величина меняется независимо от другой (например, оставленные мамой деньги, исписанные страницы), то она называется независимой или аргументом и обозначается обычно $x$

Если же величина зависит от другой, то ее называют зависимой переменной или функцией и обычно обозначают как $y$ или $f(x)$. То есть $y=f(x)$.

Зависимые и независимые переменные могут обозначаться и любыми другими буквами (латинскими или греческими).

Примеры аргумента и функции

• Чем старше дерево, тем оно выше. Возраст дерева — аргумент, рост — функция
• Чем дольше машина едет с одной скоростью, тем большее расстояние она проедет. Время — аргумент, скорость — неизменяемая величина, расстояние — функция
• Чем меньше цена мороженого, тем больше можно купить за 100 рублей. Цена мороженого — аргумент, количество мороженого — функция, 100 рублей — неизменяемая величина
• Чем меньше мы вычтем из числа, тем больше результат. Вычитатель — аргумент, результат — функция

Запись функции

Посмотрим как можно записать функциональную зависимость купленного мороженого от оставленных денег на обед. Допустим мороженое стоит $20$ рублей. Тогда:

• если мама оставит $20$ рублей, мы купим только одно мороженое;
• если $40$ рублей – два мороженых;
• если $100$ рублей – целых пять мороженых.

Таким образом, количество порций мороженого обозначим $у$, а количество оставленных денег $x$. Функция будет выглядеть следующим образом:

$$y = frac {x}{20}$$

или

$$f(x) = frac {x}{20}$$

Слово «функция» произошло от латинского слова functio – исполнение, осуществление. Это одно из главных понятий в математике, показывающее зависимость одних переменных величин от других. Понятие «величина» в данном случае может включать в себя совершенно любое число. 

Переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Важно: во всех случаях, когда употребляется термин «функция», подразумевается однозначная зависимость величин, при которой каждому значению аргумента $х$ соответствует только одно единственное значение зависимой переменной $y$.

Учитель
математики МБОУ СШ №5 

пгт. Яблоновский  Барчо Ф.Т. Урок. 7
класс

Тема:   Вычисление значений функции по формуле.

Цели:

§ 
изучить аналитический способ задания функции;

§ 
формировать умения и навыки находить значения аргумента и
значения функции.

Задачи:

 воспитательные:
воспитание интереса к математике и еѐ приложениям;      обучающие:

o   
вычисление значения функциипо заданному значению аргумента и
нахождение значения аргумента по заданному значению функции;

o   
совершенствование вычислительные навыки;              развивающие:

o   
формирование умений применять приѐмы наблюдения, сравнения,
анализа; o           развитие
общего и математического кругозора, мышления и речи.

Тип урока: урок
ознакомления с новым материалом.

Девиз урока:

Расскажи — и я забуду

Покажи — и я запомню Вовлеки — и я пойму.

Оборудование: учебник,
карточки, интернет ресурсы, проектор.

План урока:

1.      Организационный
момент

2.      Проверка
домашней работы

3.      Устный
опрос. (Актуализация опорных знаний)

4.      Изучение
нового материала (Введение в тему. Постановка учебных задач.)

5.      Закрепление
изученного материала

6.      Самостоятельная
работа

7.      Подведение
итогов урока

8.     
Сообщение домашнего задания, рефлексия. Ход урока

1. Организационный момент

(Обеспечить рабочую обстановку на
уроке. Учитель приветствует учащихся, проводит проверку готовности класса к
уроку).

—  
Здравствуйте, ребята, садитесь. Я рада видеть вас в хорошем
настроении.

Наш девиз сегодня:

Расскажи — и я забуду

Покажи — и я запомню Вовлеки — и я пойму.

Мы вместе активно включаемся в
учебный процесс. Будем внимательными, дружными и доброжелательными.

—   Откройте
рабочие тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

2. Проверка домашней работы

— Проверка решения текстовой задачи
домашнего задания на доске (1 уч) (сверка с образцом)

Задача. В рамках акции
«Посади дерево» шестиклассники и семиклассники посадили вместе 210 саженцев.
Сколько саженцев посадили семиклассники, если известно, что они посадили на 10%
саженцев больше, чем шестиклассники?

Решение:

Пусть 6-классники посадили х
саженцев, то 7-классники посадили х+0,1х=1,1х саженцев.

х+1,1х=210 2,1х=210 х=210:2,1 х=100

1,1х=1,1*100=110(саж.) Ответ:
110 саженцев.

Дополнительные вопросы:

—  
При решении уравнения какими свойствами пользовались?

—  
Для чего проводятся такие акции?

—  
Чтобы сохранять природу

—  
Как связан с экологией 2017 год?

(- Каким годом был объявлен
2017-й год Президентом РФ Путиным В.В.?)

(2017-й год Президентом
РФ Путиным В.В.был объявлен Годом экологии.)

3. Устный опрос

1. Дайте определение функции.

— Функцией называют такую зависимость одной переменной
(зависимой) от другой (независимой), при которой каждому значению независимой
переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.)

1.      Какая
переменная называется независимой переменной, а какая — зависимой? Что называют
аргументом?(Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой
переменной. Переменную, значения которой определяются выбранными значениями а,
называют зависимой переменной. Независимую переменную иначе называют аргументом).

2.      Дана
функция y=2,7x — 15. Укажите независимую и зависимую переменные.

3.      Что
называется областью определения и областью значений функции?

4.      При
каких значениях переменной имеет смысл выражение:

 

4. Изучение нового материала

На прошлом уроке мы начали важную
тему для математики. Начиная с XVII века понятие функции — одно из основных в
математике. Оно играет большую роль в познании реального мира. На уроках
математики вы часто будете слышать это слово.

—  
Какие способы задания функции рассмотрели на прошлом уроке?

—   На предыдущем
уроке мы рассматривали различные способы задания функции: с помощью формулы,
графика, таблицы. 

Наиболее распространенным
способом является задание функции с помощью формулы (аналитический способ).
Формула позволяет для значения аргумента находить соответствующее значение
функции путем вычислений. (На примере функции y=2,7x — 15). Что же мы будем
сегодня изучать?

Сформулируйте тему урока. Запишем
тему в тетрадь.

А теперь поставим перед собой
цель сегодняшнего урока. Какой она будет?

Ответы детей:
научиться находить значение функции.

—  
Но и обратную задачу будем решать — находить значение аргумента.

Цель: научить для каждого
значения аргумента находить соответствующее значение функции и наоборот.

Пример 1. 

Пусть функция задана формулой у =
5х — 1, где -2< х<2.

Найдем значение функции, соответствующее целым значениям
аргумента х:

если х = -2, то у = 5*(-2)-1=-11; если
х = -1, то у = 5 * (-1) -1 = -6; если х = 0, то у = 5*0-1=-1; если х = 1, то у
= 5 * 1-1=4; если х = 2, то у = 5 * 2-1=9.

Результаты вычислений удобно записать в виде таблицы,
поместив в верхней строке значения аргумента, а в нижней строке —
соответствующие значения функции:

Класс делю на три группы

1группа	2группа	3группа
Нахождение значения функции по формуле при заданном значении аргумента.	Составление таблицы значений некоторой функции.	Нахождение области определения функции.
1.№267	1. №270	Найдите область определения функции, заданной формулой: а)у=3х-2; б)у=       ; в)у=х5+2х -3;  г)у= ;  д) у=   ;е)  у=
2.Вычислить значения следующих функций при  х равном  -2, -1,0, 1,2. а) у=3х; б) у= -2х; в) у=-х -3; г)у=20х +4	2.№271

Каждая группа представляет  своѐ решение (готовят ответы на
обратной стороне доски),работу каждого в группе оценивают  сами  и ставят
оценку в рабочую карточку.

Работа с учебником (пример 2 на стр.60). Разберем
решение.

На этой же странице видим портрет немецкого математика,
философа, физика и языковеда 17-18 вв. Лейбниц Готфрид Вильгельма. Именно им
был введен термин «Функция».

(Задание на дом одному уч. подготовить исследовательскую
работу о Лейбнице.)

 

Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий
философ, математик, логик, физик, изобретатель, богослов, историк, юрист,
языковед, дипломат. В частности им введен термин «Функция».

— Сделаем вывод: Как найти
значение аргумента по заданному значению функции?

Физкультминутка

5.  Закрепление
изученного материала

а) Решение упражнений по
учебнику: №267, 269, 273, 272(а,в).

№267 — (1-й пример ученик на
доске, ост в тетрадях, затем обучающиеся решают с комментариями в тетрадях, без
записи на доске);

№269 — (обучающиеся решают устно,
заполняется таблица на слайде);

№273
(подробно на доске и в тетрадях обучающихся).

б) решение тренировочных упражнений из ЦОР (практика,
групповая работа)

6.  Самостоятельная
работа

(В тетрадях для СР, которые после
самопроверки через проектор собираются) B-I

1.  Функция
задана формулой у = 0,2х — 4.

Найдите значение функции,
соответствующее значению аргумента, равному 15.

2.  Функция
задана формулой у = 2х — 1.

При каком значении аргумента значение функции равно 8.

B-2

1.Функция задана формулой у =
0,5х + 3.

Найдите значение функции,
соответствующее значению аргумента, равному-12.

2.Функция задана формулой у = 4х
+ 12.

При каком значении аргумента значение функции равно 30

B-3

1.Функция задана формулой у = х +
3.

Найдите значение функции,
соответствующее значению аргумента, равному — 12.

2.Функция задана формулой у = х +
12.

При каком значении аргумента
значение функции равно 30.

Ответы

	1	2
I вариант	-1	4,5
II вариант	-3	4,5
III вариант	-9	18

7. Подведение итогов урока — Какую
тему мы сегодня изучили ?

— Чему вы научились?

8. Домашнее задание

№268, 270, 277.

Творческие задания 

1.  Объясните, почему
перечисленные формулы не задают функцию:

 

Как надо записать эти формулы,
чтобы они определили функцию?

2.  Вспомнить пословицы,
отражающие функциональную зависимость. (например: Чем дальше в лес, тем больше
дров. Кто не работает — тот не ест.)

9. Рефлексия

Предлагаю высказаться одним предложением, выбирая начало
фразы из предложенных (на доске).

•      
Было интересно… (узнать про Лейбниц)

•      
Теперь я могу… (вычислять значения функции)

•      
Я смог… (решить правильно СР)

•      
Мне захотелось… (еще больше узнать о функциях)

Во время урока я чувствовал себя:

•      
комфортно;            неуверенно;             превосходно.