Как найти аргументы в математике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Что такое аргумент функции? Как найти аргумент функции?

Рассмотрим аргумент функции в математике на примере.

Аргумент функции в математике

Аргумент функции – это независимая переменная.

Часто функцию в общем виде записывают как

y = f(x)

здесь икс есть аргумент функции.

Примеры аргументов функции

Простой пример аргумента функции:

y = x + 5

Что такое аргумент в этой функции?

Аргумент в этой функции есть икс.

Как узнать, что именно икс, а не игрек и не число пять, в этой функции есть аргумент?

Аргумент функции есть переменная.

Аргумент функции есть переменная, над которой совершается математическое действие.

В нашем случае к переменной икс прибавляется 5. Значит икс и есть аргумент.

Игрек же получается в результате данного математического действия. Игрек есть функция.

Рассмотрим другой пример.

Имеется функция:

y = 2x – 1

икс в данном примере называется аргументом функции или независимой перемнной.

А где аргумент в такой функции:

S = 20 / t

здесь аргумент – это t. А функция – это S.

Итак, аргумент функции это х или у? Аргумент функции это х.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Arg (mathematics)» redirects here. For argument of a function, see Argument of a function.

In mathematics (particularly in complex analysis), the argument of a complex number z, denoted arg(z), is the angle between the positive real axis and the line joining the origin and z, represented as a point in the complex plane, shown as varphi in Figure 1.
It is a multivalued function operating on the nonzero complex numbers.
To define a single-valued function, the principal value of the argument (sometimes denoted Arg z) is used. It is often chosen to be the unique value of the argument that lies within the interval (−π, π].^[1]^[2]

Definition[edit]

Figure 2. Two choices for the argument varphi

An argument of the complex number z = x + iy, denoted arg(z), is defined in two equivalent ways:

Geometrically, in the complex plane, as the 2D polar angle from the positive real axis to the vector representing z. The numeric value is given by the angle in radians, and is positive if measured counterclockwise.
Algebraically, as any real quantity such that

${displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi )=re^{ivarphi }}$

for some positive real r (see Euler’s formula). The quantity r is the modulus (or absolute value) of z, denoted |z|:

${displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

The names magnitude, for the modulus, and phase,^[3]^[1] for the argument, are sometimes used equivalently.

Under both definitions, it can be seen that the argument of any non-zero complex number has many possible values: firstly, as a geometrical angle, it is clear that whole circle rotations do not change the point, so angles differing by an integer multiple of 2π radians (a complete circle) are the same, as reflected by figure 2 on the right. Similarly, from the periodicity of sin and cos, the second definition also has this property. The argument of zero is usually left undefined.

Alternative definition[edit]

The complex argument can also be defined algebraically in terms of complex roots as:

${displaystyle arg(z)=lim _{nto infty }ncdot operatorname {Im} {sqrt[{n}]{z/|z|}}}$

This definition removes reliance on other difficult-to-compute functions such as arctangent as well as eliminating the need for the piecewise definition. Because it’s defined in terms of roots, it also inherits the principal branch of square root as its own principal branch. The normalization of by dividing by |z| isn’t necessary for convergence to the correct value, but it does speed up convergence and ensures that is left undefined.

Principal value[edit]

Figure 3. The principal value Arg of the blue point at 1 + i is π/4. The red line here is the branch cut and corresponds to the two red lines in figure 4 seen vertically above each other).

Because a complete rotation around the origin leaves a complex number unchanged, there are many choices which could be made for varphi by circling the origin any number of times. This is shown in figure 2, a representation of the multi-valued (set-valued) function , where a vertical line (not shown in the figure) cuts the surface at heights representing all the possible choices of angle for that point.

When a well-defined function is required, then the usual choice, known as the principal value, is the value in the open-closed interval (−π rad, π rad], that is from −π to π radians, excluding −π rad itself (equiv., from −180 to +180 degrees, excluding −180° itself). This represents an angle of up to half a complete circle from the positive real axis in either direction.

Some authors define the range of the principal value as being in the closed-open interval [0, 2π).

Notation[edit]

The principal value sometimes has the initial letter capitalized, as in Arg z, especially when a general version of the argument is also being considered. Note that notation varies, so arg and Arg may be interchanged in different texts.

The set of all possible values of the argument can be written in terms of Arg as:

{displaystyle arg(z)={operatorname {Arg} (z)+2pi nmid nin mathbb {Z} }.}

Computing from the real and imaginary part[edit]

If a complex number is known in terms of its real and imaginary parts, then the function that calculates the principal value Arg is called the two-argument arctangent function atan2:

{displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)=operatorname {atan2} (y,,x)}

The atan2 function (also called arctan2 or other synonyms) is available in the math libraries of many programming languages, and usually returns a value in the range (−π, π].^[1]

Many texts say the value is given by arctan(y/x), as y/x is slope, and arctan converts slope to angle. This is correct only when x > 0, so the quotient is defined and the angle lies between −π/2 and π/2, but extending this definition to cases where x is not positive is relatively involved. Specifically, one may define the principal value of the argument separately on the two half-planes x > 0 and x < 0 (separated into two quadrants if one wishes a branch cut on the negative x-axis), y > 0, y < 0, and then patch together.

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)=operatorname {atan2} (y,,x)={begin{cases}arctan left({frac {y}{x}}right)&{text{if }}x>0,\arctan left({frac {y}{x}}right)+pi &{text{if }}x<0{text{ and }}ygeq 0,\arctan left({frac {y}{x}}right)-pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y<0,\+{frac {pi }{2}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y>0,\-{frac {pi }{2}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y<0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

A compact expression with 4 overlapping half-planes is

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)=operatorname {atan2} (y,,x)={begin{cases}arctan left({frac {y}{x}}right)&{text{if }}x>0,\{frac {pi }{2}}-arctan left({frac {x}{y}}right)&{text{if }}y>0,\-{frac {pi }{2}}-arctan left({frac {x}{y}}right)&{text{if }}y<0,\arctan left({frac {y}{x}}right)pm pi &{text{if }}x<0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

It’s also possible to use arccotangent for the definition:

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)={begin{cases}operatorname {arccot} left({frac {x}{y}}right)&{text{if }}y>0,\operatorname {arccot} left({frac {x}{y}}right)-pi &{text{if }}y<0,\0&{text{if }}y=0{text{ and }}x>0\pi &{text{if }}y=0{text{ and }}x<0\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

For the variant where Arg is defined to lie in the interval [0, 2π), the value can be found by adding 2π to the value above when it is negative (when y<0).

Alternatively, the principal value can be calculated in a uniform way using the tangent half-angle formula, the function being defined over the complex plane but excluding the origin:

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)={begin{cases}displaystyle 2arctan left({frac {y}{{sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}right)&{text{if }}x>0{text{ or }}yneq 0,\pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y=0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

This is based on a parametrization of the circle (except for the negative x-axis) by rational functions. This version of Arg is not stable enough for floating point computational use (as it may overflow near the region x < 0, y = 0), but can be used in symbolic calculation.

A variant of the last formula which avoids overflow is sometimes used in high precision computation:

${displaystyle operatorname {Arg} (x+iy)={begin{cases}displaystyle 2arctan left({frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}right)&{text{if }}yneq 0,\0&{text{if }}x>0{text{ and }}y=0,\pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y=0,\{text{undefined}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y=0.end{cases}}}$

Identities[edit]

One of the main motivations for defining the principal value Arg is to be able to write complex numbers in modulus-argument form. Hence for any complex number z,

$z=left|zright|e^{{ioperatorname {Arg}z}}.$

This is only really valid if z is non-zero, but can be considered valid for z = 0 if Arg(0) is considered as an indeterminate form—rather than as being undefined.

Some further identities follow. If z₁ and z₂ are two non-zero complex numbers, then

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&equiv operatorname {Arg} (z_{1})+operatorname {Arg} (z_{2}){pmod {mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }},\operatorname {Arg} left({frac {z_{1}}{z_{2}}}right)&equiv operatorname {Arg} (z_{1})-operatorname {Arg} (z_{2}){pmod {mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }}.end{aligned}}}$

If z ≠ 0 and n is any integer, then^[1]

${displaystyle operatorname {Arg} left(z^{n}right)equiv noperatorname {Arg} (z){pmod {mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }}.}$

Example[edit]

${displaystyle operatorname {Arg} {biggl (}{frac {-1-i}{i}}{biggr )}=operatorname {Arg} (-1-i)-operatorname {Arg} (i)=-{frac {3pi }{4}}-{frac {pi }{2}}=-{frac {5pi }{4}}}$

Using the complex logarithm[edit]

From ${displaystyle z=|z|e^{ioperatorname {Arg} (z)}}$ , it easily follows that ${displaystyle operatorname {Arg} (z)=-iln {frac {z}{|z|}}}$ . This is useful when one has the complex logarithm available.

Extended argument[edit]

The extended argument of a number z (denoted as ) is the set of all real numbers congruent to modulo 2.^[4]

References[edit]

^ ^a ^b ^c ^d Weisstein, Eric W. «Complex Argument». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-31.
^ «Pure Maths». internal.ncl.ac.uk. Retrieved 2020-08-31.
^ Dictionary of Mathematics (2002). phase.
^ «Algebraic Structure of Complex Numbers». www.cut-the-knot.org. Retrieved 2021-08-29.

Bibliography[edit]

Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology. Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. Mathematics. Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins. ISBN 0-00-710295-X.

External links[edit]

Argument at Encyclopedia of Mathematics.

Источник

Модуль и аргумент комплексного числа

Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $.

Формула

Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} $$

Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.

Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.

Формула

Аргумент комплексного числа обозначается $ varphi = arg z $ и зависит от полуплоскости, в которой лежат числа $a,b$:

$ a > 0 $, тогда $ varphi = arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b ge 0 $, тогда $ varphi = pi + arctg frac{b}{a} $
$ a < 0, b < 0 $, тогда $ varphi = -pi + arctg frac{b}{a} $
$ a = 0, b > 0 $, тогда $varphi = frac{pi}{2}$
$ a = 0, b < 0 $, тогда $varphi = -frac{pi}{2}$

Введите комплексное число

Пример 1 Пример 2 Правила ввода

Пример 1

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3 — 4i $.

Решение

Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:

$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$

Применяя формулу вычисления модуля получаем:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9+16} = 5 $$

Теперь вычисляем аргумент. Так как $a = 3 > 0$, то получаем аргумент:

$$varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{3} = -arctg frac{4}{3}.$$

Ответ

$$ |z| = 5, varphi = -arctg frac{4}{3} $$

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа $ z = 3i $

Решение

В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:

$$ a = Re z = 0 $$

Мнимая часть комплексного числа равна: $$ b = Im z = 3 $$

Вычисляем модуль по уже известной формуле:

$$ |z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{0^2 + 3^2} = sqrt{9} = 3 $$

А вот аргумент здесь попадает под правило при $a = 0, b>0$ и значит равен $$varphi = frac{pi}{2}.$$

Ответ

$$ |z| = 3, varphi = frac{pi}{2} $$

Пример 3

Найти модуль и аргумент комплексного числа $$ z = 1+sqrt{3}i $$

Решение

Выписываем действительную и мнимую часть:

$$ a = 1 $$ $$ b = sqrt{3} $$

Так как $ a > 0 $, то аргумент равен

$$ varphi = arctg frac{sqrt{3}}{1} = arctg sqrt{3} = frac{pi}{3} $$

Находим модуль извлекая квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части: $$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3}=2.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ varphi = frac{pi}{3}, |z| = 2 $$

Пример 4

Найти аргумент комплексного числа $$ z = -1 + sqrt{3}i $$

Решение

Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$

Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt{3} $$

Так как $ a < 0 $ и $ b > 0 $, то пользуемся второй формулой:

$$ varphi = arg z = pi + arctg frac{sqrt{3}}{-1} = pi + arctg (-sqrt{3}) = $$

$$ = pi — arctg(sqrt{3}) = pi — frac{pi}{3} = frac{2pi}{3}. $$

Ответ

$$ varphi = frac{2pi}{3} $$

Источник

Что такое комплексное число

Комплексное число — это выражение типа (z;=;a;+;ib). Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как (a;=;RE;z ), а мнимая часть — (b;=;Im;z).

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

(z;=;left|zright|;cdot;(cosleft(varphiright);+;isinleft(varphiright)))

В этом виде (left|zright|) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r.

Если (left|zright|;=;r,) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

(left|zright|;=;sqrt{x^2;+;y^2})

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

Модуль не отрицателен — (left|xright|;geq;0). (left|xright|;=;0) только в том случае, если z = 0.
Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: (left|z_1;+;z_2right|;leq;left|z_1right|;+;left|z_2right|.)
Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: (left|z_1;cdot;z_2right|;=;left|z_1right|;cdot;left|z_2right|.)
Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: (left|z_1;div;z_2right|;=;left|z_1right|;div;left|z_2right|.)
Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: (left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{left(x_1;-;x_2right)^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2}).

Что такое аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа — это угол (varphi) радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу (z;:;varphi;=;arg;z) на комплексной плоскости. Этот угол измеряется в радианах.

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — (360^circ;cdot;k) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

(tanleft(varphiright);=;frac ba)

(cosleft(varphiright);=;frac a{sqrt{a^2;+;b^2}})

(sinleft(varphiright);=;frac b{sqrt{a^2;+;b^2}})

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Аргумент может быть записан в тригонометрической форме. Для комплексного числа (z = x + iy), это будет выглядеть следующим образом:

(z;=;r;(cosleft(varphiright);+;i;sinleft(varphiright)))

Здесь (r) будет модулем комплексного числа (z), а (varphi) — arg z.

Важно отметить, arg z имеет смысл лишь при (z neq 0), комплексное число ноль не имеет аргумента.

Как вывести формулу модуля

В соответствии с теоремой Пифагора длина вектора с координатами a и b равна (sqrt{a^2;+;b^2}).

Так как именно эта величина называется модулем комплексного числа (z = a + bi), тогда (left|xright|;=;sqrt{a^2;+;b^2}).

Примеры решения задач

Задача

Найти модуль числа (z;=;-5;+;15i)

Решение

(x;=;Re;z;=;-15) — действительная часть, а (y;=;Im;z;=;15) — мнимая часть комплексного числа (z;=;-5;+;15i.)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=sqrt{{(-5)}^2;+;15^2};=;sqrt{25;+;225};=;sqrt{250} )

Ответ: (r;=;sqrt{250})

Задача

Найти расстояние между числами (z_1;=;1;-;3i,;z_2;=;-2;+;2i) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

(left|z_1;-;z_2right|;=;sqrt{{(x_1;-;x_2)}^2;+;left(y_1;-;y_2right)^2};=;sqrt{(1;-;{(-2))}^2;+;{(-2;-;2)}^2};=;sqrt{34})

Ответ: (sqrt{34})

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа (sqrt{34}) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Если действительно частью комплексного числа (z;=;1;+;sqrt{3i}) является число (x = Re z = 1), а мнимой частью является (y = Im z;=sqrt3), то аргумент можно вычислить по формуле:

(varphi;=;arg;z;=;arctg;frac yx;=;arctg;frac{sqrt3}1;=;arctg;sqrt3;=;frac{mathrmpi}3)

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль.

(r;=;sqrt{x^2;+;y^2};=;sqrt{1^2;+;{(sqrt3)}^2};=;sqrt{1+3};=;sqrt4;=;2)

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

(z;=;2;(cosleft(frac{mathrmpi}3right);+;i;sinleft(frac{mathrmpi}3right)))

Ответ: аргумент равен (frac{mathrmpi}3). Тригонометрическая форма записана выше.

Задача

Найти модуль и аргумент числа (z = 2 — i)

Решение

Найдем (left|zright|;=;sqrt{2^2;+;{(-;1)}^2};=;sqrt5.)

Так как (Re z = 2 > 0), (Im z = -1 < 0), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства (tanleft(varphiright);=;-frac12) следует:

(varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Ответ: (varphi;=;arctanleft(-frac12right))

Источник

Функции

Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.

Функция — это зависимая переменная величина. Аргумент — это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется функциональной зависимостью.

Если нужно указать на тот факт, что y функция от x, не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:

y = f(x),

где f (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функция, y — это функция, а x — аргумент.

Иногда, чтобы показать, что y зависит от x, пишут просто:

y(x).

Обратите внимание, что вместо y и x могут использоваться любые другие буквы.

Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции f приняты следующие обозначения:

D(f) — область определения функции
(множество значений аргумента).

E(f) — множество значений функции.

f(x₀) — значение функции в точке x₀.

Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:

S = vt,

где S — это расстояние, v — скорость, а t — время. Если взять скорость, равную 50 км/ч, то каждому неотрицательному значению t будет соответствовать строго определённое значение S:

t (ч)	1	1,5	2	2,5	3
S (км)	50	75	100	125	150

Следовательно, S является функцией от t — S(t), область определения функции — D(S) ⩾ 0, так как время не может быть отрицательным, но при этом можно не затратить времени вообще, если не двигаться, в этом случае t = 0. Значение этой функции в точке t₀ можно обозначить в виде S(t₀), то есть записать таблицу со значениями в таком виде:

S(1) = 50, S(1,5) = 75, S(2) = 100, S(2,5) = 125, S(3) = 150.

Источник