- Определение
- График арккосинуса
- Свойства арккосинуса
- Таблица арккосинусов
Определение
Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция.
Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.
Если косинус угла у равен х (cos y = x), значит арккосинус x равняется y:
arccos x = cos-1 x = y
Примечание: cos-1x означает обратный косинус, а не косинус в степени -1.
Например:
arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)
График арккосинуса
Функция арккосинуса пишется как y = arccos (x). График в общем виде выглядит следующим образом:
Свойства арккосинуса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арккосинуса с формулами.
Таблица арккосинусов
| x | arccos x (рад) | arccos x (°) |
| -1 | π | 180° |
| -√3/2 | 5π/6 | 150° |
| -√2/2 | 3π/4 | 135° |
| -1/2 | 2π/3 | 120° |
| 0 | π/2 | 90° |
| 1/2 | π/3 | 60° |
| √2/2 | π/4 | 45° |
| √3/2 | π/6 | 30° |
| 1 | 0 | 0° |
microexcel.ru
Сферы применения правил обратных тригонометрических функций
Определение
Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.
Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.
Обратные функции тригонометрии
Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.
Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,
формула арксинуса возможна при:
[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]
[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]
и так далее.
Формулы с обратными функциями тригонометрии
Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.
В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.
Группировка основных понятий
Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.
Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]
Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].
Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.
Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы
[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],
[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],
[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],
[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].
В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.
Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел
Рассмотрим важное определение:
Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.
[text{Для }alpha in operatorname{open}-1,1] text { arccis }(-alpha)= -operatorname{arc} sin alpha, quad operatorname{arc} cos (-alpha)=pi -a r c cos alpha]
[text { Для } alpha in(-infty, infty) operatorname{arctg}(-alpha)= -operatorname{arctg} alpha, operatorname{arcctg}(-alpha)=pi-operatorname{arcctg} alpha]
Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.
Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg
Правила суммы выглядят так:
Для [alpha in[-1,1] arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2}],
Для [alpha in[-infty, infty] operatorname{arctg} alpha+operatorname{arctg} alpha=frac{pi}{2}].
Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.
Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями
Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.
| [-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha] |
[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
| [-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}] |
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha] |
[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}] |
| [-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] |
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha] |
[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}] |
| [alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] |
[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}] |
[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}] |
[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha] |
Примеры 1 — 2
Нужно найти косинус арктангенса из 5.
Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
Подставим необходимое значение: [cos (operatorname{arctg} sqrt{5})=frac{1}{sqrt{1+sqrt{5^{2}}}}=frac{2}{sqrt{6}}]
Определить синус арккосинуса [frac{1}{2}]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: [sin (arccos alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]
Ставим значение и получаем: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sqrt{1-left(frac{1}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{3}}{2}]
Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}]
Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.
Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.
Доказательство формул 1
Используя тождества получим:
[sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha=1]
[1+operatorname{ctg}^{2} alpha=frac{1}{sin ^{2} alpha}]
Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно
[sin alpha=sqrt{1-cos ^{2} alpha}, 0 leq alpha leq pi]
[sin alpha=frac{operatorname{tg} alpha}{sqrt{1+operatorname{tg}^{2} alpha}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]
[sin alpha=frac{1}{sqrt{1+c t g^{2} alpha}}, 0<alpha<pi]
Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.
В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.
Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.
В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)
В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.
Доказательство формул 2
- Исходя из: [frac{sin alpha}{sqrt{1-sin alpha^{2}}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]Получим [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{sin (arcsin alpha)}{sqrt{1-sin ^{2}(arcsin alpha)}}=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]При условии [-1<alpha<1]
- Из выражения [operatorname{tg} alpha=frac{sqrt{1-cos ^{2} alpha}}{cos alpha}, alpha inleft[0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright]]
Получаем [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-cos ^{2}(arccos alpha)}}{cos (arccos alpha)}=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] при условии [alpha in(-1,0) cup(0,1)]. - Исходя из [operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}, alpha inleft(0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright)] получаем [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)}=frac{1}{alpha}] при условии, что [alpha neq 0].
Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:
[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]
Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.
Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.
В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:
[begin{aligned} &arcsin a=left{begin{array}{l} arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ -arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \ &arcsin a=left{begin{array}{l} operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0 end{array}right. end{aligned}]
Для арккосинуса также есть свои формулы:
[begin{aligned} &arccos a=left{begin{array}{l} arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=left{begin{array}{l} operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 end{aligned}]
Выражения для арктангенса:
[begin{aligned} &operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l} arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ -arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]
Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:
[begin{aligned} &operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l} arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]
Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.
Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.
Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:
[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]
Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].
Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].
Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.
Рассмотрим пример применения полученных истин.
Пример 3
Необходимо вычислить синус арккотангенса — [sqrt{3}]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]
Подставим в неё [alpha=-sqrt{3}] и получим [-frac{1}{2}].
Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: [sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=sin frac{5 pi}{6}=frac{1}{2}]
Можно использовать и следующую формулу:
[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=frac{1}{sqrt{1+(-sqrt{3})^{2}}}=frac{1}{2}]
Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии
Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.
Пример 4
Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:
[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]
Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:
[sin frac{arccos alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos (arccos alpha)}{2}}]
[Leftrightarrow sin frac{arccos alpha}{2}=frac{sqrt{1-alpha}}{2}]
Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:
[frac{arccos alpha}{2}=arcsin sqrt{frac{1-alpha}{2}}]
В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.
Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.
Как найти арккосинус: формула, свойства, функция
Получение функции arccos
Арккосинус некого числа «х» определяется, как значение угла «у» в радианах (не в градусах), для которого:
(cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,|x|leqslant 1)
Рассмотрим понятие функции (y=cos x). Она обладает областью определения, в рамках которой, как и функция арксинуса, является кусочно-монотонной. По этой причине обратное соответствие, равное (y=arccos x,) нельзя посчитать за функцию.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В данном случае целесообразно проанализировать интервал убывания функции, на котором она принимает все свои значения: ([0;pi ]). Данный отрезок характеризуется строго монотонным убыванием функции (y=cos x), где она принимает все свои значения лишь однажды.
Таким образом, на отрезке ([0;pi ]) можно заметить обратную функцию (y=arccos x). График этой обратной функции является симметричным графику (y=cos x) на интервале ([0;pi ]) по отношению к первой прямой (y=x).
Свойства функции arccos
Функция arccos обладает следующими свойствами, которые можно использовать при математических и инженерных вычислениях. Данные свойства следует знать, чтобы решать задачи разной степени сложности:
- (arccos(-x)=pi -arccos x). Функция является центрально-симметричной по отношению к точке (left(0;{frac {pi }{2}}right)). Данную функцию определяют, как индифферентную, то есть не относят к четным или нечетным. Это является ответом на вопрос о четности функции.
- (arccos x>0), если при приведении обнаружено, что (-1leqslant x<1).
- (arccos x=0) когда (x=1).
- (arccos x={frac {pi }{2}}-arcsin x).
- (arccos x=left{{begin{matrix}arcsin {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1\pi -arcsin {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.)
- (arccos x=operatorname {arcctg} {frac {x}{sqrt {1-x^{2}}}}).
- (arccos x=left{{begin{matrix}operatorname {arctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1\pi +operatorname {arctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.)
- (arccos x=2arcsin {sqrt {frac {1-x}{2}}}).
- (arccos x=2arccos {sqrt {frac {1+x}{2}}}.)
- (arccos x=2operatorname {arctg}{sqrt {frac {1-x}{1+x}}}).
График функции (y = arccosx)
Функция y=arccos x не прерывается и ограничивается на протяжении всей своей области определения. Данная функция строго убывает и не является отрицательной. Характеристики понятия функции arccos, которые используют при ее нахождении:
- (cos(arccos x)=x, когда -1leqslant xleqslant 1 ) (от минус единицы до плюс единицы);
- (arccos(cos y)=y, если 0leqslant yleqslant pi
- (D(arccos x)=[-1;1]) является областью определения;
- (E(arccos x)=[0;pi ]) является областью множества значений.
Функцию (y=arccos x) можно изобразить графически. В результате нужный график принимает следующий вид:
Основное соотношение
При решении задач принято использовать главные соотношения в виде формул. К примеру, уравнения:
(arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}})
(operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac {pi }{2}})
- Понятие арккосинуса
- График и свойства функции y=arccosx
- Уравнение cosx=a
- Формула арккосинуса отрицательного аргумента
- Примеры
Определение косинуса через отношение сторон прямоугольника и с помощью числовой окружности – см. §2 данного справочника.
Свойства функции y=cosx на всей области определения (xinmathbb{R}) — см. §5 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций — см. §2 справочника для 9 класса.
п.1. Понятие арккосинуса
В записи (y=cosx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (cosx=1), то (x=2pi k, kinmathbb{Z}); (cosx=0), то (x=fracpi2+pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (0leq xleq pi) (верхняя половина числовой окружности).
Арккосинусом числа (a left( |a|leq 1 right) ) называется такое число (xin[0;pi]), косинус которого равен (a). $$ begin{cases} arccosa=x\ |a|leq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} cosx=a\ 0leq xleq pi end{cases} $$
Например:
(arccosfrac12=fracpi3, arccosleft(-frac{sqrt{3}}{2}right)=frac{5pi}{6})
(arccos2) – не существует, т.к. 2> 1
п.2. График и свойства функции y=arccosx
1. Область определения (-1leq xleq1).
2. Функция ограничена сверху и снизу (0leq arccosxleq pi). Область значений (yin[0;pi])
3. Максимальное значение (y_{max}=pi) достигается в точке x =-1
Минимальное значение (y_{min}=0) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
п.3. Уравнение cosx=a
 |
Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?
Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса. |
Например:
1) Решим уравнение (cosx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (pmfracpi3) — это базовые корни.
Если взять верхний корень (fracpi3) и прибавить к нему полный оборот (fracpi3+2pi=frac{7pi}{3}), косинус полученного угла (cosfrac{7pi}{3}=frac12), т.е. (frac{7pi}{3}) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi3+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (-fracpi3+2pi k).
Получаем ответ: (x=pmfracpi3+2pi k)
Заметим, что полученный ответ является записью вида
(x=pm arccosfrac12+2pi k)
А т.к. арккосинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi3), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.
2) Решим уравнение (cosx=0,8)
 |
Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: (x=pm arccos0,8+2pi k) |
В общем случае:
Если (|a|leq 1), то уравнение (cosx=a) имеет решения $$ x=pm arccosa+2pi k, kinmathbb{Z} $$ Если (|a|gt 1) уравнение решений не имеет.
п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента
Докажем полезную на практике формулу для (arccos(-a)).
 |
По построению: $$ begin{cases} angle DA’O=angle BAO=angle CAO=90^{circ}\ OD=OB=OC=1\ OA’=OA=a end{cases} Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) begin{gather*} Delta DA’O=Delta BAO=Delta CAORightarrow\ Rightarrow angle DOC=angle A’OA-alpha+alpha=angle A’OA=180^{circ}=pi\ -arccosa+pi=arccos(-a) end{gather*} |
$$ arccos(-a)=pi-arccosa $$
Внимание! (arccos(-a)ne -arccosa)
Арккосинус (и арккотангенс) ни чётный, ни нечётный, в отличие от нечётного арксинуса (и арктангенса).
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.
Для (y=arccosx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (0leq yleq pi).
Обратная функция (y=cosx) должна иметь ограниченную область определения (0leq xleq pi) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8; arccos(-0,5); arccosfracpi7 $$
 |
Способ 1. Решение с помощью числовой окружности
Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45) |
 |
Способ 2. Решение с помощью графика (y=arccosx)
Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$ |
| Способ 3. Аналитический Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция. Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; (fracpi7); -0,5. И записываем арккосинусы по возрастанию: (arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5)) |
Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arccos(x^2-3x+3)=0) begin{gather*} x^2-3x+3=cos0=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end{gather*} Ответ: {1; 2}
(б) arccos^2x-arccosx-6=0)
( text{ОДЗ:} -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0Rightarrow (t-3)(t+2)=0Rightarrow left[ begin{array} {l l} t_1=3\ t_2=-2lt 0 — text{не подходит} end{array} right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin{gather*} arccosx=3\ x=cos3 end{gather*} Ответ: cos3
(в) arccos^2x-pi arccosx+frac{2pi^2}{9}=0)
( text{ОДЗ:} -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: begin{gather*} t^2-pi t+frac{2pi^2}{9}=0\ D=(pi^2)-4cdot frac{2pi^2}{9}=frac{pi^2}{9}, sqrt{D}=fracpi3\ left[ begin{array} {l l} t_1=frac{pi-fracpi3}{2}=fracpi3\ t_2=frac{pi+fracpi3}{2}=frac{2pi}{3} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi3\ arccosx_2=frac{2pi}{3} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosleft(fracpi3right)=frac12\ x_2=cosleft(frac{2pi}{3}right)=-frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{pmfrac12right})
План урока:
Арккосинус
Арксинус
Арктангенс
Решение уравнения cosx = a
Решение уравнения sinx = a
Решение уравнений tgx = a и ctgx = a
Арккосинус
Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:
Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1<а < 1, то должно получиться две точки, которым соответствуют два противоположных угла:
Получается, что каждому значению числа а соответствует некоторый угол α. А если есть соответствие, то есть и функция:
α = f (a)
В математике ее называют арккосинусом. Записывается она так:
Вертикальная прямая может пересекать единичную окружность в двух разных точках. Им соответствуют разные углы. Принято считать, что арккосинус – это значение того угла, который лежит в первой или второй четверти, то есть ему соответствует точка, лежащая выше оси Ох. Тогда другая точка пересечения будет соответствовать углу (– arccosa):
Выходит, что арккосинус может принимать только значения из отрезка [0; π]. Дадим определение арккосинуса:
Задание. Вычислите арккосинус числа 1/2.
Решение. Мы помним, что косинус угла π/3 равен 1/2:
Следовательно, arccos 1/2 – это и есть угол π/3:
Ответ: π/3.
Обратим внимание, что если число а равно 1 или (– 1), то его арккосинус равен нулю в первом случае и π во втором:
В тех случаях, когда а > 1 либо а <– 1, то соответствующая прямая не пересечет единичную окружность. Это значит, что эти значения не входят в область определения арккосинуса:
Получается, что область определения арккосинуса – это промежуток [– 1; 1].
Для вычисления арккосинусов от отрицательных величин удобно пользоваться формулой
Действительно, если отложить на координатной прямой числа а и (– а), то вертикальные прямые, проходящие через них, пересекут окружность в некоторых точках А и С:
Дополнительно обозначим буквой В точку с координатами (1; 0) и буквой D точку с координатами (– 1; 0). Эти точки располагаются на пересечении оси Ох и единичной окружности. Тогда можно записать, что
ведь эти два угла образуют вместе развернутый угол ВОD, равный π. С другой стороны, из симметрии очевидно, что углы ∠COD и ∠АОВ равны друг другу, значит, ∠COD = ∠АОВ = arccosa. Тогда
Но ∠СОВ – это арккосинус от (– а), поэтому
Задание. Вычислите arccos (– 1/2).
Решение. Используем только что полученную формулу:
Ответ: 2π/3.
Арксинус
Арккосинус – это ф-ция, обратная косинусу. Аналогично можно вести и другие обратные тригонометрические ф-ции. Пусть нам требуется узнать, синус какого угла равен числу а. Так как синус – это координата у точки на единичной окружности, то достаточно провести горизонтальную линию у = а:
Прямая может пересечь окружность сразу в двух точках. За арксинус принимают угол, соответствующей точке, расположенной правее оси Оу. Вторая же точка соответствует углу π – arcsin α:
Арксинус может быть вычислен и для отрицательного значения а. В этом случае точка пересечения прямой и окружности будет располагаться в IV четверти, а соответствующий ему угол окажется отрицательным:
При значениях а, равных (– 1) и 1, точка пересечения будет только одна. В этих случаях арксинус окажется равным либо углу π/2, либо углу (– π/2):
Таким образом, арксинус может принимать значения из отрезка [– π/2; π/2], а вычислить его можно для чисел а, принадлежащих отрезку [– 1; 1]. Если же число а выходит за пределы этого промежутка, то горизонтальная прямая не пересекает единичную окружность, а потому ф-ция арксинуса становится неопределенной:
Получается, что областью определения арксинуса является промежуток [– 1; 1], а областью значений – промежуток [– π/2; π/2].
Дадим определение арксинусу:
Задание. Чему равен arcsin0,5?
Решение. Мы знаем, что sinπ/6 = 1/2 = 0,5. Следовательно, арксинус 0,5 равен π/6.
Для вычисления арксинусов отрицательных углов используется формула
Справедливость этой формулы очевидна из картинки:
Задание. Вычислите arcsin (– 0,5).
Решение. Используем формулу для арксинуса отрицательного числа:
Арктангенс
Введем ф-цию, обратную тангенсу. Она называется арктангенс.
Напомним, что величину тангенса на координатной плоскости можно получить, если продолжить угол до его пересечения с вертикальной прямой х = 1. Аналогично, чтобы определить арктангенс некоторого числа а, надо отметить на этой прямой точку с координатами (1; а) и соединить её с началом координат:
Несложно видеть, что, какое бы число а нами не было выбрано, мы с помощью построения всегда сможем соединить точку А с началом координат и получить некоторый угол arctga. Это значит, что область определения арктангенса – это вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).
Ещё раз уточним, что вводимые нами функции arcos, arcsin, arctg называются ОБРАТНЫМИ тригонометрическими функциями. C их помощью можно определить угол, если известно значение его синуса, косинуса или тангенса.Образно говоря, обратные триг-кие функции играют в тригонометрии ту же роль, что и квадратные корни при исследовании квадратных ур-ний. Как без квадратных корней невозможно решать квадратные ур-ния, так и без знания об обратных триг-ких функций нельзя решать уже тригом-кие уравнения.
Теперь вернемся к понятию арктангенса. При положительном значении числа а угол arctga будет принадлежать I четверти. Если же а – отрицательное число, то угол arctga окажется также отрицательным и будет принадлежать IV четверти:
Получается, что величина arctgа может принадлежать промежутку (– π/2; π/2). Обратите внимание, что в данном случае у промежутка круглые скобки. Действительно для углов (– π/2) и π/2 тангенс не определен, а потому арктангенс не может принимать эти два значения.
Задание. Чему равен arctg 1?
Решение. Из таблицы тангенсов мы знаем, что tgπ/4 = 1. Это значит, что
Для вычисления арктангенсов отрицательных чисел используют формулу
В ее справедливости можно убедиться, взглянув на рисунок:
Задание. Вычислите arctg (– 1).
Решение.
Ответ: – 1
В принципе можно ввести ещё ф-цию, обратную котангенсу – арккотангенс. Однако для решения тригонометрических уравнений, как мы убедимся далее, она не требуется, а поэтому в рамках школьного курса математики ее можно не изучать.
В заключение приведем таблицы, которые помогают вычислять значение обратных тригон-ких функций:
Решение уравнения cosx = a
Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:
По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь
Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:
Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:
Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:
Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть
Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:
Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть
Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и число π/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:
Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение
При n = 5 получим корень
При n = – 10 у нас получится решение
Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:
Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень
Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:
Объединить же обе серии можно одной записью:
Напомним, что мы решали ур-ние
и получили для него решение
Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид
где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что
Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью
«n ∈ Z»
Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.
Задание. Решите ур-ние
Решение. Вспомним, что
Задание. Решите ур-ние
Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:
Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.
Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния
Решение. Так как
то все решения образуют две серии:
Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.
Для первой серии:
Для второй серии:
Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):
Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4
Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.
Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния
На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния
являются точки, в которых график пересекает ось Ох:
Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].
Решение уравнения sinx = a
Ур-ние cosx = a называют простейшим тригонометрическим уравнением, ведь, ведь для его решения не требуется проводить никаких преобразований. Аналогично простейшими являются ур-ния sinx = a, tgx = a и ctgx = a.
Ситуация с ур-нием sinx = a аналогична ситуации с косинусом. Если число а не принадлежит промежутку [– 1; 1], то корней у ур-ния не будет. Если же число а будет принадлежать этому промежутку, то у ур-ния окажется бесконечное число решений.
Рассмотрим случай, когда 0<а< 1. Тогда решениями ур-ния окажутся числа arcsina и π – arcsina:
В свою очередь каждое из этих двух решений порождает свою собственную бесконечную серию решений
Однако, как и в случае с косинусом, существует способ записать одной формулой сразу оба этих решения. Для этого перепишем первую серию таким образом:
Действительно, если n окажется четным, то, то выражение (– 1)n,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1)n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.
Задание. Решите ур-ние
Задание. Запишите корни ур-ния
Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.
Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:
Ответ: 7π/3 и 8π/3.
Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние
Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:
Решениями ур-ния
Наконец, решениями ур-ния
Решение уравнений tgx = a и ctgx = a
Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):
Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение
x = arctg a
Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:
Задание. Решите ур-ние
Задание. Запишите формулу корней ур-ния
Далее рассмотрим ур-ние вида
Задание. Решите ур-ние
Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии
Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.