Как найти арксинус арксинуса x

Арксинус онлайн калькулятор

Данный калькулятор вычислит арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс и определит значение угла как в градусной, так и в радианной мере.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажер по математике

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

• Определение

• График арксинуса

• Свойства арксинуса

• Таблица арксинусов

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:

arcsin x = sin^-1 x = y

Примечание: sin^-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin^-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Таблица арксинусов

x	arcsin x (рад)	arcsin x (°)
-1	-π/2	-90°
-√3/2	-π/3	-60°
-√2/2	-π/4	-45°
-1/2	-π/6	-30°
0	0	0°
1/2	π/6	30°
√2/2	π/4	45°
√3/2	π/3	60°
1	π/2	90°

microexcel.ru

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.

Обратные функции тригонометрии

Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.

Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,

формула арксинуса возможна при:

[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]

[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]

и так далее.

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.

В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.

Группировка основных понятий

Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.

Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]

Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].

Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],

[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],

[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],

[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].

В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.

[-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha]	[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]	[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]	[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha]	[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}]
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}]	[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}]	[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha]

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.

В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:

[begin{aligned}
&arcsin a=left{begin{array}{l}
arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \
-arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \
&arcsin a=left{begin{array}{l}
operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \
operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0
end{array}right.
end{aligned}]

Для арккосинуса также есть свои формулы:

[begin{aligned}
&arccos a=left{begin{array}{l}
arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \
pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arccos a=left{begin{array}{l}
operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \
pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1
end{aligned}]

Выражения для арктангенса:

[begin{aligned}
&operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\
&operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l}
arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \
-arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0
end{array}right.\
&operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0
end{aligned}]

Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:

[begin{aligned}
&operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l}
arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \
pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0
end{array}right.\
&operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\
&operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0
end{aligned}]

Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.

Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.

Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:

[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]

Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].

Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].

Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.

Рассмотрим пример применения полученных истин.

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.

В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.

Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.

Примеры:

(arcsin⁡{frac{sqrt{2}}{2}}=frac{π}{4}) потому что (sin ⁡frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}) и (frac{π}{4}∈[-frac{π}{2}; frac{π}{2}])
(arcsin ⁡1=frac{π}{2}) потому что (sin⁡frac{π}{2}=1) и (frac{π}{2}∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}])
(arcsin ⁡0=0) потому что (sin ⁡0=0) и (0∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}] )
(arcsin⁡sqrt{3}) – не определен, потому что (sqrt{3}>1)

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

     

Как вычислить арксинус?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) (arcsin⁡(-frac{1}{2}))
б) (arcsin⁡(frac{sqrt{3}}{2}))
в) (arcsin(-1))

а) Синус какого числа равен (-frac{1}{2})? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac{1}{2}), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac{π}{2}) и (frac{π}{2}). Ответ очевиден:

(arcsin⁡(-frac{1}{2})=-frac{π}{6})

б) Синус какого числа равен (frac{sqrt{3}}{2})? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac{π}{3}).

(arcsin⁡(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{π}{3})

в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin ⁡x=-1), (x=) ?

(arcsin⁡(-1)=-frac{π}{2})

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{2}).

Это не вызывает затруднений:

( left[ begin{gathered}x=frac{π}{6}+2πn, n∈Z\ x=frac{5π}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{3}).

Что тут будет ответом? Не (frac{π}{6}), не (frac{π}{4}), даже не (frac{π}{7}) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac{1}{3}), потому что известно, что синус равен (frac{1}{3}). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac{1}{3}). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac{1}{3}) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac{1}{3}).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{3}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{3}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac{1}{3}) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac{1}{9}), (sin⁡ x=frac{1}{sqrt{3}}) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{sqrt{3}}).
Решение:

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{1}{sqrt{2}}).

Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac{1}{sqrt{2}}) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac{1}{sqrt{2}} = frac{1 cdot sqrt{2}}{sqrt{2} cdot sqrt{2}}= frac{sqrt{2}}{2}). Таким образом, получаем:

(arcsin⁡ frac{1}{sqrt{2}} = arcsin frac{sqrt{2}}{2}=frac{π}{4})

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac{π}{4}).

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=frac{π}{4}+2πn, n∈Z\ x=frac{3π}{4}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac{7}{6}).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ begin{gathered}x= arcsin frac{7}{6}+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac{7}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac{7}{6})? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Ответ:   решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Примеры:

(arcsin⁡(-0,7)=-arcsin⁡ 0,7)
(arcsin⁡(-frac{sqrt{3}}{2})=-arcsin⁡frac{sqrt{3}}{2}=-frac{π}{6})
(arcsin⁡(-frac{sqrt{7}}{2}) neq -arcsin⁡frac{sqrt{7}}{2})

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin⁡(-frac{sqrt{7}}{2})) в принципе неверна, ведь (-frac{sqrt{7}}{2}<-1), а значит арксинус от (-frac{sqrt{7}}{2}) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как (sqrt{-5}) или (frac{3}{0}).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=-frac{1}{sqrt{3}}).

Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:

( left[ begin{gathered}x=arcsin (-frac{1}{sqrt{3}})+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin (-frac{1}{sqrt{3}})+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

( left[ begin{gathered}x=-arcsin (frac{1}{sqrt{3}})+2πn, n∈Z\ x=π+arcsin (frac{1}{sqrt{3}})+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

Но я фанатка круга, поэтому:

Ответ:   ( left[ begin{gathered}x=-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π+arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)

На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.

Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения

Содержание:

При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции

На единичной окружности найдем точки  ординаты которых равны Этим точкам соответствуют углы   и и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток  то на нем функция  возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа  из промежутка  существует единственное число  такое что  Так на промежутке существует единственное значение аргумента, при котором значение функции  равно  — это угол равный ( рис.93) 

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  синус которого равен  (рис. 94).

Этот угол обозначают  Так,  поскольку  и 

Пример №1

Вычислите:

Решение:

   так как 

Пример №2

Найдите значение выражения:

Решение:

  так как

 (рис. 95, б).

Заметим, что  ( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам  и  где  с ординатами  и  отличаются только знаком, то  для любого числа  (рис. 96).

Пусть  тогда 
Так как точки имеют противоположные ординаты, то 
Поскольку  то по определению арксинуса  Так как  то  для любого числа 
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как 

Отметим, что областью определения выражения  является отрезок  Если  то выражение  не имеет смысла.

Например, выражения   не имеют смысла, так как 
Выражение  не имеет смысла, так как 
Из определения арксинуса числа следует, что  если 

Например, 

Рассмотрим промежуток  на котором функция  возрастает и принимает все значения от  до 1. Для любого числа  из промежутка  существует единственное число  такое, что 

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  косинус которого равен  (рис. 97).

Этот угол обозначают 

Например:  поскольку  и 
 

Пример №3

Вычислите:

Решение:

 

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

  так как  ( рис. 98.а)

 ( рис.98.б)

Заметим, что  ( см.98) 

Пусть  Так как точки  имеют противоположные абсциссы, то  Поскольку  то по определению арккосинуса  Так как  для любого числа  (рис. 99).

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как 
Областью определения выражения   является отрезок  Если  то выражение  не имеет смысла.

Так, выражения  не имеют смысла, поскольку

Выражение  не имеет смысла, так как 
Из определения арккосинуса числа следует, что  если  и 

Например, 

На промежутке монотонности  функции  существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу 

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  тангенс которого равен  (рис. 100).

Этот угол обозначают  Так,  поскольку  и 

Пример №5

Вычислите:

Решение:

  так как  и 

 и 

Для любого числа  верно равенство  (рис. 101).

 

Пример №6

Найдите значение выражения

Решение:

Так как 
Из определения арктангенса числа следует, что  при 

Например, 

На промежутке монотонности  функции  существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу 

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  котангенс которого равен  (рис. 102).

Этот угол обозначают  Например,  поскольку

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №7

Вычислите:

Решение:

так как

Для любого числа  верно равенство  (рис. 103).

Пример №8

Найдите значение выражения 

Решение:

Так как 

Из определения арккотангенса числа следует, что  если  и 

Например, 

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Верно ли, что:

Решение:

а) Верно, так как 

б)    верно, так как 

в)    неверно, так как 

г)    неверно, так как 

Пример №10

Вычислите:

Решение:

 

Пример №11

Найдите значение выражения:

Решение:

 

Пример №12

Оцените значение выражения 

Решение:

По определению арктангенса числа 

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: 

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Решение:

 а) По определению арксинуса числа  это угол, синус которого равен 

б)    По определению арккосинуса числа  это угол, косинус которого равен 

Пример №14

Найдите значение выражения:

Решение:

 

Пример №15

Вычислите 

Решение:

 

Пример №16

Найдите значение выражения 

Решение:

Воспользуемся формулой  при  Поскольку  то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как 

Пример №17

Найдите значение выражения 

Решение:

Так как  при  при