Арксинус(y = arcsin(x)) – это обратная тригонометрическая функция к синусу x = sin(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ +π/2.
График пересекает оси в начале координат.
| arcsin(0) = 0° | arcsin(0.8660254038) = 120° | arcsin(-0.8660254038) = 240° |
| arcsin(0.01745240644) = 1° | arcsin(0.8571673007) = 121° | arcsin(-0.8746197071) = 241° |
| arcsin(0.0348994967) = 2° | arcsin(0.8480480962) = 122° | arcsin(-0.8829475929) = 242° |
| arcsin(0.05233595624) = 3° | arcsin(0.8386705679) = 123° | arcsin(-0.8910065242) = 243° |
| arcsin(0.06975647374) = 4° | arcsin(0.8290375726) = 124° | arcsin(-0.8987940463) = 244° |
| arcsin(0.08715574275) = 5° | arcsin(0.8191520443) = 125° | arcsin(-0.906307787) = 245° |
| arcsin(0.1045284633) = 6° | arcsin(0.8090169944) = 126° | arcsin(-0.9135454576) = 246° |
| arcsin(0.1218693434) = 7° | arcsin(0.79863551) = 127° | arcsin(-0.9205048535) = 247° |
| arcsin(0.139173101) = 8° | arcsin(0.7880107536) = 128° | arcsin(-0.9271838546) = 248° |
| arcsin(0.156434465) = 9° | arcsin(0.7771459615) = 129° | arcsin(-0.9335804265) = 249° |
| arcsin(0.1736481777) = 10° | arcsin(0.7660444431) = 130° | arcsin(-0.9396926208) = 250° |
| arcsin(0.1908089954) = 11° | arcsin(0.7547095802) = 131° | arcsin(-0.9455185756) = 251° |
| arcsin(0.2079116908) = 12° | arcsin(0.7431448255) = 132° | arcsin(-0.9510565163) = 252° |
| arcsin(0.2249510543) = 13° | arcsin(0.7313537016) = 133° | arcsin(-0.956304756) = 253° |
| arcsin(0.2419218956) = 14° | arcsin(0.7193398003) = 134° | arcsin(-0.9612616959) = 254° |
| arcsin(0.2588190451) = 15° | arcsin(0.7071067812) = 135° | arcsin(-0.9659258263) = 255° |
| arcsin(0.2756373558) = 16° | arcsin(0.6946583705) = 136° | arcsin(-0.9702957263) = 256° |
| arcsin(0.2923717047) = 17° | arcsin(0.6819983601) = 137° | arcsin(-0.9743700648) = 257° |
| arcsin(0.3090169944) = 18° | arcsin(0.6691306064) = 138° | arcsin(-0.9781476007) = 258° |
| arcsin(0.3255681545) = 19° | arcsin(0.656059029) = 139° | arcsin(-0.9816271834) = 259° |
| arcsin(0.3420201433) = 20° | arcsin(0.6427876097) = 140° | arcsin(-0.984807753) = 260° |
| arcsin(0.3583679495) = 21° | arcsin(0.629320391) = 141° | arcsin(-0.9876883406) = 261° |
| arcsin(0.3746065934) = 22° | arcsin(0.6156614753) = 142° | arcsin(-0.9902680687) = 262° |
| arcsin(0.3907311285) = 23° | arcsin(0.6018150232) = 143° | arcsin(-0.9925461516) = 263° |
| arcsin(0.4067366431) = 24° | arcsin(0.5877852523) = 144° | arcsin(-0.9945218954) = 264° |
| arcsin(0.4226182617) = 25° | arcsin(0.5735764364) = 145° | arcsin(-0.9961946981) = 265° |
| arcsin(0.4383711468) = 26° | arcsin(0.5591929035) = 146° | arcsin(-0.9975640503) = 266° |
| arcsin(0.4539904997) = 27° | arcsin(0.544639035) = 147° | arcsin(-0.9986295348) = 267° |
| arcsin(0.4694715628) = 28° | arcsin(0.5299192642) = 148° | arcsin(-0.999390827) = 268° |
| arcsin(0.4848096202) = 29° | arcsin(0.5150380749) = 149° | arcsin(-0.9998476952) = 269° |
| arcsin(0.5) = 30° | arcsin(0.5) = 150° | arcsin(-1) = 270° |
| arcsin(0.5150380749) = 31° | arcsin(0.4848096202) = 151° | arcsin(-0.9998476952) = 271° |
| arcsin(0.5299192642) = 32° | arcsin(0.4694715628) = 152° | arcsin(-0.999390827) = 272° |
| arcsin(0.544639035) = 33° | arcsin(0.4539904997) = 153° | arcsin(-0.9986295348) = 273° |
| arcsin(0.5591929035) = 34° | arcsin(0.4383711468) = 154° | arcsin(-0.9975640503) = 274° |
| arcsin(0.5735764364) = 35° | arcsin(0.4226182617) = 155° | arcsin(-0.9961946981) = 275° |
| arcsin(0.5877852523) = 36° | arcsin(0.4067366431) = 156° | arcsin(-0.9945218954) = 276° |
| arcsin(0.6018150232) = 37° | arcsin(0.3907311285) = 157° | arcsin(-0.9925461516) = 277° |
| arcsin(0.6156614753) = 38° | arcsin(0.3746065934) = 158° | arcsin(-0.9902680687) = 278° |
| arcsin(0.629320391) = 39° | arcsin(0.3583679495) = 159° | arcsin(-0.9876883406) = 279° |
| arcsin(0.6427876097) = 40° | arcsin(0.3420201433) = 160° | arcsin(-0.984807753) = 280° |
| arcsin(0.656059029) = 41° | arcsin(0.3255681545) = 161° | arcsin(-0.9816271834) = 281° |
| arcsin(0.6691306064) = 42° | arcsin(0.3090169944) = 162° | arcsin(-0.9781476007) = 282° |
| arcsin(0.6819983601) = 43° | arcsin(0.2923717047) = 163° | arcsin(-0.9743700648) = 283° |
| arcsin(0.6946583705) = 44° | arcsin(0.2756373558) = 164° | arcsin(-0.9702957263) = 284° |
| arcsin(0.7071067812) = 45° | arcsin(0.2588190451) = 165° | arcsin(-0.9659258263) = 285° |
| arcsin(0.7193398003) = 46° | arcsin(0.2419218956) = 166° | arcsin(-0.9612616959) = 286° |
| arcsin(0.7313537016) = 47° | arcsin(0.2249510543) = 167° | arcsin(-0.956304756) = 287° |
| arcsin(0.7431448255) = 48° | arcsin(0.2079116908) = 168° | arcsin(-0.9510565163) = 288° |
| arcsin(0.7547095802) = 49° | arcsin(0.1908089954) = 169° | arcsin(-0.9455185756) = 289° |
| arcsin(0.7660444431) = 50° | arcsin(0.1736481777) = 170° | arcsin(-0.9396926208) = 290° |
| arcsin(0.7771459615) = 51° | arcsin(0.156434465) = 171° | arcsin(-0.9335804265) = 291° |
| arcsin(0.7880107536) = 52° | arcsin(0.139173101) = 172° | arcsin(-0.9271838546) = 292° |
| arcsin(0.79863551) = 53° | arcsin(0.1218693434) = 173° | arcsin(-0.9205048535) = 293° |
| arcsin(0.8090169944) = 54° | arcsin(0.1045284633) = 174° | arcsin(-0.9135454576) = 294° |
| arcsin(0.8191520443) = 55° | arcsin(0.08715574275) = 175° | arcsin(-0.906307787) = 295° |
| arcsin(0.8290375726) = 56° | arcsin(0.06975647374) = 176° | arcsin(-0.8987940463) = 296° |
| arcsin(0.8386705679) = 57° | arcsin(0.05233595624) = 177° | arcsin(-0.8910065242) = 297° |
| arcsin(0.8480480962) = 58° | arcsin(0.0348994967) = 178° | arcsin(-0.8829475929) = 298° |
| arcsin(0.8571673007) = 59° | arcsin(0.01745240644) = 179° | arcsin(-0.8746197071) = 299° |
| arcsin(0.8660254038) = 60° | arcsin(0) = 180° | arcsin(-0.8660254038) = 300° |
| arcsin(0.8746197071) = 61° | arcsin(-0.01745240644) = 181° | arcsin(-0.8571673007) = 301° |
| arcsin(0.8829475929) = 62° | arcsin(-0.0348994967) = 182° | arcsin(-0.8480480962) = 302° |
| arcsin(0.8910065242) = 63° | arcsin(-0.05233595624) = 183° | arcsin(-0.8386705679) = 303° |
| arcsin(0.8987940463) = 64° | arcsin(-0.06975647374) = 184° | arcsin(-0.8290375726) = 304° |
| arcsin(0.906307787) = 65° | arcsin(-0.08715574275) = 185° | arcsin(-0.8191520443) = 305° |
| arcsin(0.9135454576) = 66° | arcsin(-0.1045284633) = 186° | arcsin(-0.8090169944) = 306° |
| arcsin(0.9205048535) = 67° | arcsin(-0.1218693434) = 187° | arcsin(-0.79863551) = 307° |
| arcsin(0.9271838546) = 68° | arcsin(-0.139173101) = 188° | arcsin(-0.7880107536) = 308° |
| arcsin(0.9335804265) = 69° | arcsin(-0.156434465) = 189° | arcsin(-0.7771459615) = 309° |
| arcsin(0.9396926208) = 70° | arcsin(-0.1736481777) = 190° | arcsin(-0.7660444431) = 310° |
| arcsin(0.9455185756) = 71° | arcsin(-0.1908089954) = 191° | arcsin(-0.7547095802) = 311° |
| arcsin(0.9510565163) = 72° | arcsin(-0.2079116908) = 192° | arcsin(-0.7431448255) = 312° |
| arcsin(0.956304756) = 73° | arcsin(-0.2249510543) = 193° | arcsin(-0.7313537016) = 313° |
| arcsin(0.9612616959) = 74° | arcsin(-0.2419218956) = 194° | arcsin(-0.7193398003) = 314° |
| arcsin(0.9659258263) = 75° | arcsin(-0.2588190451) = 195° | arcsin(-0.7071067812) = 315° |
| arcsin(0.9702957263) = 76° | arcsin(-0.2756373558) = 196° | arcsin(-0.6946583705) = 316° |
| arcsin(0.9743700648) = 77° | arcsin(-0.2923717047) = 197° | arcsin(-0.6819983601) = 317° |
| arcsin(0.9781476007) = 78° | arcsin(-0.3090169944) = 198° | arcsin(-0.6691306064) = 318° |
| arcsin(0.9816271834) = 79° | arcsin(-0.3255681545) = 199° | arcsin(-0.656059029) = 319° |
| arcsin(0.984807753) = 80° | arcsin(-0.3420201433) = 200° | arcsin(-0.6427876097) = 320° |
| arcsin(0.9876883406) = 81° | arcsin(-0.3583679495) = 201° | arcsin(-0.629320391) = 321° |
| arcsin(0.9902680687) = 82° | arcsin(-0.3746065934) = 202° | arcsin(-0.6156614753) = 322° |
| arcsin(0.9925461516) = 83° | arcsin(-0.3907311285) = 203° | arcsin(-0.6018150232) = 323° |
| arcsin(0.9945218954) = 84° | arcsin(-0.4067366431) = 204° | arcsin(-0.5877852523) = 324° |
| arcsin(0.9961946981) = 85° | arcsin(-0.4226182617) = 205° | arcsin(-0.5735764364) = 325° |
| arcsin(0.9975640503) = 86° | arcsin(-0.4383711468) = 206° | arcsin(-0.5591929035) = 326° |
| arcsin(0.9986295348) = 87° | arcsin(-0.4539904997) = 207° | arcsin(-0.544639035) = 327° |
| arcsin(0.999390827) = 88° | arcsin(-0.4694715628) = 208° | arcsin(-0.5299192642) = 328° |
| arcsin(0.9998476952) = 89° | arcsin(-0.4848096202) = 209° | arcsin(-0.5150380749) = 329° |
| arcsin(1) = 90° | arcsin(-0.5) = 210° | arcsin(-0.5) = 330° |
| arcsin(0.9998476952) = 91° | arcsin(-0.5150380749) = 211° | arcsin(-0.4848096202) = 331° |
| arcsin(0.999390827) = 92° | arcsin(-0.5299192642) = 212° | arcsin(-0.4694715628) = 332° |
| arcsin(0.9986295348) = 93° | arcsin(-0.544639035) = 213° | arcsin(-0.4539904997) = 333° |
| arcsin(0.9975640503) = 94° | arcsin(-0.5591929035) = 214° | arcsin(-0.4383711468) = 334° |
| arcsin(0.9961946981) = 95° | arcsin(-0.5735764364) = 215° | arcsin(-0.4226182617) = 335° |
| arcsin(0.9945218954) = 96° | arcsin(-0.5877852523) = 216° | arcsin(-0.4067366431) = 336° |
| arcsin(0.9925461516) = 97° | arcsin(-0.6018150232) = 217° | arcsin(-0.3907311285) = 337° |
| arcsin(0.9902680687) = 98° | arcsin(-0.6156614753) = 218° | arcsin(-0.3746065934) = 338° |
| arcsin(0.9876883406) = 99° | arcsin(-0.629320391) = 219° | arcsin(-0.3583679495) = 339° |
| arcsin(0.984807753) = 100° | arcsin(-0.6427876097) = 220° | arcsin(-0.3420201433) = 340° |
| arcsin(0.9816271834) = 101° | arcsin(-0.656059029) = 221° | arcsin(-0.3255681545) = 341° |
| arcsin(0.9781476007) = 102° | arcsin(-0.6691306064) = 222° | arcsin(-0.3090169944) = 342° |
| arcsin(0.9743700648) = 103° | arcsin(-0.6819983601) = 223° | arcsin(-0.2923717047) = 343° |
| arcsin(0.9702957263) = 104° | arcsin(-0.6946583705) = 224° | arcsin(-0.2756373558) = 344° |
| arcsin(0.9659258263) = 105° | arcsin(-0.7071067812) = 225° | arcsin(-0.2588190451) = 345° |
| arcsin(0.9612616959) = 106° | arcsin(-0.7193398003) = 226° | arcsin(-0.2419218956) = 346° |
| arcsin(0.956304756) = 107° | arcsin(-0.7313537016) = 227° | arcsin(-0.2249510543) = 347° |
| arcsin(0.9510565163) = 108° | arcsin(-0.7431448255) = 228° | arcsin(-0.2079116908) = 348° |
| arcsin(0.9455185756) = 109° | arcsin(-0.7547095802) = 229° | arcsin(-0.1908089954) = 349° |
| arcsin(0.9396926208) = 110° | arcsin(-0.7660444431) = 230° | arcsin(-0.1736481777) = 350° |
| arcsin(0.9335804265) = 111° | arcsin(-0.7771459615) = 231° | arcsin(-0.156434465) = 351° |
| arcsin(0.9271838546) = 112° | arcsin(-0.7880107536) = 232° | arcsin(-0.139173101) = 352° |
| arcsin(0.9205048535) = 113° | arcsin(-0.79863551) = 233° | arcsin(-0.1218693434) = 353° |
| arcsin(0.9135454576) = 114° | arcsin(-0.8090169944) = 234° | arcsin(-0.1045284633) = 354° |
| arcsin(0.906307787) = 115° | arcsin(-0.8191520443) = 235° | arcsin(-0.08715574275) = 355° |
| arcsin(0.8987940463) = 116° | arcsin(-0.8290375726) = 236° | arcsin(-0.06975647374) = 356° |
| arcsin(0.8910065242) = 117° | arcsin(-0.8386705679) = 237° | arcsin(-0.05233595624) = 357° |
| arcsin(0.8829475929) = 118° | arcsin(-0.8480480962) = 238° | arcsin(-0.0348994967) = 358° |
| arcsin(0.8746197071) = 119° | arcsin(-0.8571673007) = 239° | arcsin(-0.01745240644) = 359° |
Как найти арксинус: формула, свойства, функция
Содержание:
- Понятие арксинуса
- Зачем нужен арксинус
- Получение функции arcsin с пояснением на примерах
- Свойства функции arcsin
- График арксинуса
Понятие арксинуса
Обратные тригонометрические функции называют по соответствующим им тригонометрическим функциям. Формулировка наименования заключается в приписывании приставки «арк», что является производным от латинского слова «дуга» (arcus).
Такая методика объясняется тем, что в геометрии функцию, обратную тригонометрической, связывают с длиной, которую имеет дуга единичной окружности, равной какому-то отрезку, либо с углом, стягивающим данную дугу. В результате с помощью синуса можно, учитывая дугу окружности, определить хорду, которая ее стягивает.
Обратная функция под названием арксинус призвана решить противоположную задачу. Арксинус обозначают (arcsin x) и определяют, как угол с синусом, равным х.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Для тригонометрических функций характерна периодичность. В связи с этим, обратные тригонометрические функции являются многозначными. Аркфункция обладает значением в виде множества из углов, для которых прямая тригонометрическая функция соответствует заданному числу.
Пример 1
Рассмотрим функцию: (arcsin ½). Данная аркфункция обозначает множество из углов:
(left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ))
Значение синуса при этом: ½
Как правило, под обратными тригонометрическими функциями понимают ключевые значения каждой аркфункции, выделенные из ее множества значений.
Если (-1leqslant alpha leqslant 1), то любое решение уравнения (sin x=alpha) записывают в такой форме: ( x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots )~
Арксинус числа х — значение для угла у, определенного в радианах, для которого (sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1).
Зачем нужен арксинус
С помощью аркфункций, в том числе — арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксинуса — определяют углы треугольника. Подобное действие доступно при наличии информации о сторонах данной геометрической фигуры.
В том случае, когда имеется некий прямоугольный треугольник, обратные тригонометрические функции от отношений сторон позволяют определить угол. Например, длина катета составляет «а». Этот катет определяется, как противолежащий для угла (alpha), то:
(alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a))
Получение функции arcsin с пояснением на примерах
Предположим, что существует некая функция:
(y=sin x)
Записанная функция обладает областью определения. В ее рамках она приобретает кусочно-монотонный вид. По этой причине обратное выражение y=arcsin x нельзя причислить к функциям.
В результате целесообразно проанализировать отрезок, где наблюдается строгое возрастание функции, и все значения относятся к ряду из области значений:
(left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right])
Функция (y=sin x ) на отрезке (left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]) обладает следующей особенностью: какое-либо из значений этой функции возможно только при одном значении аргумента. По этой причине на данном интервале может существовать обратная функция с формулой (y=arcsin x.)
График обратной функции является симметричным графику функции (y=sin x) в рамках интервала (left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]) по отношению к прямой y=x. Можно наблюдать симметричность в расположении графиков функций, которые являются взаимно обратными, по отношению к биссектрисе первого и третьего координатных углов на плоскости координат Oxy.
Пример 2
Определим значение выражение:
(arcsin 0,4)
По определению обратной тригонометрической функции можно сделать вывод, что запись означает угол с синусом, равным 0,4. В данном выводе заключается смысл понятия арксинус.
Пример 3
Требуется найти, что означает (arcsin 0,5).
Если знать определение, эта простая обратная тригонометрическая функция является обозначением угла с синусом, равным 0,5. Таким синусом обладает угол в 30°. Таким образом:
(arcsin 0,5 = 30°)
Общий ответ можно высчитать не в градусах, а в радианах:
Свойства функции arcsin
Рассмотрим функцию (y=arcsin x). Она является непрерывной в тригонометрии и ограничивается на протяжении всей своей области определения. Данная функция строго возрастает.
Область определения, в которой функцию можно вычислить:
(D(arcsin x)=[-1;1]qquad) (от минус единицы до плюс единицы)
Область значений:
(E(arcsin x)=left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]qquad )
Значения функций можно посчитать таким образом:
- (sin(arcsin x)=xqquad), если (-1leqslant xleqslant 1)
- (arcsin(sin y)=yqquad), если (-{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}})
Функция arcsin обладает следующими свойствами:
- (arcsin(-x)=-arcsin xqquad )(нечетная функция);
- (arcsin x>0, когда 0<xleqslant 1);
- (arcsin x=0, когда x=0);
- (arcsin x<0, если -1leqslant x<0);
- (arcsin x=left{{begin{matrix}arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1\-arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.)
- (arcsin x=operatorname {arctg}{frac {x}{{sqrt {1-x^{2}}}}});
- (arcsin x=left{{begin{matrix}operatorname {arcctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1\operatorname {arcctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}-pi ,qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.)
График арксинуса
График функции (y=arcsin x):
- Определение
- График арксинуса
- Свойства арксинуса
- Таблица арксинусов
Определение
Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.
Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.
Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:
arcsin x = sin-1 x = y
Примечание: sin-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.
Например:
arcsin 1 = sin-1 1 = 90° (π/2 рад)
График арксинуса
Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):
Свойства арксинуса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.
Таблица арксинусов
| x | arcsin x (рад) | arcsin x (°) |
| -1 | -π/2 | -90° |
| -√3/2 | -π/3 | -60° |
| -√2/2 | -π/4 | -45° |
| -1/2 | -π/6 | -30° |
| 0 | 0 | 0° |
| 1/2 | π/6 | 30° |
| √2/2 | π/4 | 45° |
| √3/2 | π/3 | 60° |
| 1 | π/2 | 90° |
microexcel.ru
Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}]) синус которого равен (a) т.е.
(arcsin a=x) (<=>) (sin x=a)
Примеры:
(arcsin{frac{sqrt{2}}{2}}=frac{π}{4}) потому что (sin frac{π}{4}=frac{sqrt{2}}{2}) и (frac{π}{4}∈[-frac{π}{2}; frac{π}{2}])
(arcsin 1=frac{π}{2}) потому что (sinfrac{π}{2}=1) и (frac{π}{2}∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}])
(arcsin 0=0) потому что (sin 0=0) и (0∈[-frac{π}{2};frac{π}{2}] )
(arcsinsqrt{3}) – не определен, потому что (sqrt{3}>1)
Проще говоря, арксинус обратен синусу.
На круге это выглядит так:
Как вычислить арксинус?
Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac{π}{2}) до (frac{π}{2}) ) равен аргументу арксинуса?
Например, вычислите значение арксинуса:
а) (arcsin(-frac{1}{2}))
б) (arcsin(frac{sqrt{3}}{2}))
в) (arcsin(-1))
а) Синус какого числа равен (-frac{1}{2})? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin x=-frac{1}{2}), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac{π}{2}) и (frac{π}{2}). Ответ очевиден:
(arcsin(-frac{1}{2})=-frac{π}{6})
б) Синус какого числа равен (frac{sqrt{3}}{2})? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac{π}{3}).
(arcsin(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{π}{3})
в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin x=-1), (x=) ?
(arcsin(-1)=-frac{π}{2})
Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:
Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)
Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin x=frac{1}{2}).
Это не вызывает затруднений:
( left[ begin{gathered}x=frac{π}{6}+2πn, n∈Z\ x=frac{5π}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)
Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.
А теперь решите уравнение: (sin x=frac{1}{3}).
Что тут будет ответом? Не (frac{π}{6}), не (frac{π}{4}), даже не (frac{π}{7}) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?
Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsinfrac{1}{3}), потому что известно, что синус равен (frac{1}{3}). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsinfrac{1}{3}). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsinfrac{1}{3}) от (π), то её значение составляет (π- arcsinfrac{1}{3}).
Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{3}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{3}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) Без арксинусов решить уравнение (sin x=frac{1}{3}) не получилось бы. Как и уравнение (sin x=0,125), (sin x=-frac{1}{9}), (sin x=frac{1}{sqrt{3}}) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:
С арксинусом – бесконечное количество.
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin x=frac{1}{sqrt{3}}).
Решение:
Ответ: ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin x=frac{1}{sqrt{2}}).
Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ begin{gathered}x=arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac{1}{sqrt{2}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin frac{1}{sqrt{2}}) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac{1}{sqrt{2}} = frac{1 cdot sqrt{2}}{sqrt{2} cdot sqrt{2}}= frac{sqrt{2}}{2}). Таким образом, получаем:
(arcsin frac{1}{sqrt{2}} = arcsin frac{sqrt{2}}{2}=frac{π}{4})
Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac{π}{4}).
Ответ: ( left[ begin{gathered}x=frac{π}{4}+2πn, n∈Z\ x=frac{3π}{4}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin x=frac{7}{6}).
Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ begin{gathered}x= arcsin frac{7}{6}+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac{7}{6}+2πl, l∈Zend{gathered}right.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsinfrac{7}{6})? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.
Ответ: решений нет.
Думаю, вы уловили закономерность.
Если (sin x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ begin{gathered}x= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zend{gathered}right.)
Арксинус отрицательного числа
Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:
(arcsin({-a})=-arcsin a)
Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:
Примеры:
(arcsin(-0,7)=-arcsin 0,7)
(arcsin(-frac{sqrt{3}}{2})=-arcsinfrac{sqrt{3}}{2}=-frac{π}{6})
(arcsin(-frac{sqrt{7}}{2}) neq -arcsinfrac{sqrt{7}}{2})
Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin(-frac{sqrt{7}}{2})) в принципе неверна, ведь (-frac{sqrt{7}}{2}<-1), а значит арксинус от (-frac{sqrt{7}}{2}) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как (sqrt{-5}) или (frac{3}{0}).
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin x=-frac{1}{sqrt{3}}).
Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:
( left[ begin{gathered}x=arcsin (-frac{1}{sqrt{3}})+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin (-frac{1}{sqrt{3}})+2πl, l∈Zend{gathered}right.)
( left[ begin{gathered}x=-arcsin (frac{1}{sqrt{3}})+2πn, n∈Z\ x=π+arcsin (frac{1}{sqrt{3}})+2πl, l∈Zend{gathered}right.)
Но я фанатка круга, поэтому:
Ответ: ( left[ begin{gathered}x=-arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πn, n∈Z\ x=π+arcsin frac{1}{sqrt{3}}+2πl, l∈Zend{gathered}right.)
На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.
Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения
Содержание:
При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.
Нахождение значения аргумента
Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции 
На единичной окружности найдем точки 
ординаты которых равны 
Этим точкам соответствуют углы 
и 
и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток 
то на нем функция 
возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа 
из промежутка 
существует единственное число 
такое что 
Так на промежутке 
существует единственное значение аргумента, при котором значение функции 
равно 
— это угол равный 
( рис.93)
Определение Арксинуса
Определение:
Арксинусом числа 
называется угол, принадлежащий промежутку 
синус которого равен 
(рис. 94).
Этот угол обозначают 
Так, 
поскольку 
и 
Пример №1
Вычислите:
Решение:
так как 
Пример №2
Найдите значение выражения:
Решение:
так как
(рис. 95, б).
Заметим, что 
( рис.95) Так как углы, соответствующие точкам 
и 
где 
с ординатами 
и 
отличаются только знаком, то 
для любого числа 
(рис. 96).
Пусть 
тогда 
Так как точки
имеют противоположные ординаты, то 
Поскольку 
то по определению арксинуса 
Так как 
то 
для любого числа 
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения
Так как 
Отметим, что областью определения выражения 
является отрезок 
Если 
то выражение 
не имеет смысла.
Например, выражения 
не имеют смысла, так как 
Выражение 
не имеет смысла, так как 
Из определения арксинуса числа следует, что 
если 
Например, 
Рассмотрим промежуток 
на котором функция 
возрастает и принимает все значения от 
до 1. Для любого числа 
из промежутка 
существует единственное число 
такое, что 
Определение Арккосинуса
Определение:
Арккосинусом числа 
называется угол, принадлежащий промежутку 
косинус которого равен 
(рис. 97).
Этот угол обозначают 
Например: 
поскольку 
и 
Пример №3
Вычислите:
Решение:
Пример №4
Найдите значение выражения:
Решение:
так как 
( рис. 98.а)
( рис.98.б)
Заметим, что 
( см.98)
Пусть 
Так как точки 
имеют противоположные абсциссы, то 
Поскольку 
то по определению арккосинуса 
Так как 
для любого числа 
(рис. 99).
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения
Так как 
Областью определения выражения 
является отрезок 
Если 
то выражение 
не имеет смысла.
Так, выражения 
не имеют смысла, поскольку
Выражение 
не имеет смысла, так как 
Из определения арккосинуса числа следует, что 
если 
и 
Например, 
На промежутке монотонности 
функции 
существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу 
Определение Арктангенса
Определение:
Арктангенсом числа 
называется угол, принадлежащий промежутку 
тангенс которого равен 
(рис. 100).
Этот угол обозначают 
Так, 
поскольку 
и 
Пример №5
Вычислите:
Решение:
так как 
и 
и 
Для любого числа 
верно равенство 
(рис. 101).
Пример №6
Найдите значение выражения
Решение:
Так как 
Из определения арктангенса числа следует, что 
при 
Например, 
На промежутке монотонности 
функции 
существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу 
Определение Арккотангенса
Определение:
Арккотангенсом числа 
называется угол, принадлежащий промежутку 
котангенс которого равен 
(рис. 102).
Этот угол обозначают 
Например, 
поскольку
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №7
Вычислите:
Решение:
так как
Для любого числа 
верно равенство 
(рис. 103).
Пример №8
Найдите значение выражения 
Решение:
Так как 
Из определения арккотангенса числа следует, что 
если 
и 
Например, 
Примеры заданий и их решения
Пример №9
Верно ли, что:
Решение:
а) Верно, так как 
б) верно, так как 
в) неверно, так как 
г) неверно, так как 
Пример №10
Вычислите:
Решение:
Пример №11
Найдите значение выражения:
Решение:
Пример №12
Оцените значение выражения 
Решение:
По определению арктангенса числа 
Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: 
Пример №13
Найдите область определения выражения:
Решение:
а) По определению арксинуса числа 
это угол, синус которого равен 
б) По определению арккосинуса числа 
это угол, косинус которого равен 
Пример №14
Найдите значение выражения:
Решение:
Пример №15
Вычислите 
Решение:
Пример №16
Найдите значение выражения 
Решение:
Воспользуемся формулой 
при 
Поскольку 
то эту формулу сразу применить нельзя.
Так как 
Пример №17
Найдите значение выражения 
Решение:
Так как 
при 
при 
- Тригонометрические уравнения
- Тригонометрические неравенства
- Формулы приведения
- Синус, косинус, тангенс суммы и разности
- Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
- Функция y=sin x и её свойства и график
- Функция y=cos x и её свойства и график
- Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики