Отбор корней с арктангенсом в задаче 13
Когда мы решаем сложное тригонометрическое уравнение в ЕГЭ по математике, то рассчитываем получить красивые корни, их которых легко отбираются итоговые значения на отрезке. И обычно корни действительно оказываются красивыми.
Но что делать, если получился какой-нибудь арктангенс? Или арксинус? Как грамотно отметить их на тригонометрическом круге и в итоге безошибочно отобрать корни на отрезке? Что ж, попробуем разобраться.
Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.
Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».
Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.
Для четкого понимания рассмотрим пример.
Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .
Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °
Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:
sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1
Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.
Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.
в р а д и а н а х
| α | — 1 | — 3 2 | — 2 2 | — 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 |
| a r c sin α к а к у г о л | — π 2 | — π 3 | — π 4 | — π 6 | 0 | π 6 | π 4 | π 3 |
| в г р а д у с а х | — 90 ° | — 60 ° | — 45 ° | — 30 ° | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° |
| a r c sin α к а к ч и с л о | — π 2 | — π 3 | — π 4 | — π 6 | 0 | π 6 | π 4 | π 3 |
Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:
cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1
Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:
a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0
в р а д и а н а х
| α | — 1 | — 3 2 | — 2 2 | — 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
| a r c cos α к а к у г о л | π | 5 π 6 | 3 π 4 | 2 π 3 | π 2 | π 3 | π 4 | π 6 | 0 |
| в г р а д у с а х | 180 ° | 150 ° | 135 ° | 120 ° | 90 ° | 60 ° | 45 ° | 30 ° | 0 ° |
| a r c cos α к а к ч и с л о | π | 5 π 6 | 3 π 4 | 2 π 3 | π 2 | π 3 | π 4 | π 6 | 0 |
Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.
| α | — 3 | — 1 | — 3 3 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | |
| a r c t g a к а к у г о л | в р а д и а н а х | — π 3 | — π 4 | — π 6 | 0 | π 6 | π 4 | π 3 |
| в г р а д у с а х | — 60 ° | — 45 ° | — 30 ° | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | |
| a r c t g a к а к ч и с л о | — π 3 | — π 4 | — π 6 | 0 | π 6 | π 4 | π 3 |
Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g
Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .
Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.
Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.
Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.
Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.
Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .
Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).
При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:
a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .
Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.
Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.
При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.
Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.
Арктангенс и решение уравнения tg x=a
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции у = tg t на наименьшем положительном периоде, вспомним ее свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус а равен минус арктангенсу а. В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/nahozhdenie-znachenij-arksinusa-arkkosinusa-arktan/
http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arktangens-i-reshenie-uravneniya-tg-x-a
- Понятие арктангенса
- График и свойства функции y=arctgx
- Уравнение tgx=a
- Понятие арккотангенса
- График и свойства функции y=arcctgx
- Уравнение ctgx=a
- Формулы преобразований аркфункци
- Примеры
Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb{R}) — см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb{R}) — см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций — см. §2 справочника для 9 класса.
п.1. Понятие арктангенса
В записи (y=tgx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb{Z}); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).
Арктангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), тангенс которого равен (a). $$ arctg a=x Leftrightarrow begin{cases} tgx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$
Например:
(arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6, arctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{3}, arctg1=fracpi4).
п.2. График и свойства функции y=arctgx
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2).
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=fracpi2 text{при} xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=-fracpi2 text{при} xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)).
п.3. Уравнение tgx=a
 |
На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале (-fracpi2leq xleq fracpi2) соответствует одно действительное число.
Например: |
 |
2) Решим уравнение (tgx=2) Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (arctg2) на числовой окружности. Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ: (x=arctg2+pi k) |
В общем случае:
Уравнение (tgx=a) имеет решения $$ x=arctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$
п.4. Понятие арккотангенса
По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).
Арккотангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin(0;pi)), котангенс которого равен (a). $$ arcctg a=x Leftrightarrow begin{cases} ctgx=a\ 0lt xlt pi end{cases} $$
Например:
(arcctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi3, arcctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{6}, arcctg1=fracpi4).
п.5. График и свойства функции y=arcctgx
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi).
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=pi text{при} xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=0 text{при} xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text{и} y=pi).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.
п.6. Уравнение ctgx=a
В общем случае:
Уравнение (ctgx=a) имеет решения $$ x=arcctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$
Часто уравнение (ctgx=a) преобразуют в уравнение (tgx=frac{1}{a}), и ищут его корни.
Например:
1) (ctgx=sqrt{3})
(x=fracpi6+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{sqrt{3}})
Получаем тот же ответ: (x=fracpi6+pi k)
2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{2})
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac{1}{2}) (см. ниже формулы для аркфункций).
п.7. Формулы преобразования аркфункций
begin{gather*} arcsin(sinalpha)=alpha, alphainleft[-fracpi2;fracpi2right], arccos(cosalpha)=alpha, alphain[0;pi]\ arctg(tgalpha)=alpha, alphainleft(-fracpi2;fracpi2right), arcctg(ctgalpha)=alpha, alphain(0;pi) end{gather*}
begin{gather*} arcsin(-alpha)=-arcsinalpha, arccos(-alpha)=pi-arccosalpha\ arctg(-alpha)=-arctgalpha, arcctg(-alpha)=pi-arcctgalpha end{gather*}
begin{gather*} arcsinalpha+arccosalpha=fracpi2, arctgalpha+arcctgalpha=fracpi2 end{gather*}
Сводная таблица тригонометрических функций от аркфункций
| arcsin | arccos | arctg | arcctg | |
| sin | begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} |
| cos | begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} |
| tg | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} | begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} |
| ctg | begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} | begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} | begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} |
Аркфункции, выраженные через другие аркфункции
| arcsin | |
| arccos | $$ arcsina= begin{cases} arccossqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ -arccossqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arctg | $$ arcsina=arctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$ |
| arcctg | $$ arcsina= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ -arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}-pi, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arccos | |
| arcsin | $$ arccosa= begin{cases} arcsinsqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ pi-arcsinsqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arctg | $$ arccosa= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ pi+arctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, -1leq alt 0 end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arccosa=arcctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$ |
| arctg | |
| arcsin | $$ arctga=arcsinfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$ |
| arccos | $$ arctga= begin{cases} arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ -arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$ |
| arcctg | $$ arctga=arcctgfrac{1}{a}, ane 0 $$ |
| arcctg | |
| arcsin | $$ arcctga= begin{cases} arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ pi-arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$ |
| arccos | $$ arcctga=arccosfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$ |
| arctg | $$ arcctga=arctgfrac{1}{a}, ane 0 $$ |
п.8. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.
Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb{R}), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb{R}).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
| a) (tg x=-1) (x=fracpi4+pi k) |
б) (ctgx=-1) (x=frac{3pi}{4}+pi k) Если решать через (tgx=-1) |
| в) (tg x=-5) (x=arctg(-5)+pi k=-arctg5+pi k) |
г) (ctgx=3) (x=arcctg3+pi k) Если решать через (tgx=frac13) |
Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}=2cdotfrac{2pi}{3}-fracpi4+fracpi4=frac{4pi}{3})
б) (arcsin1-arccosfrac{sqrt{3}}{2}-arctg(sqrt{-3})=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+3arccosfrac{sqrt{2}}{2}=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)
Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin{gather*} -1leq frac{1}{x}leq 1Rightarrow 0leq frac{1}{x}+1leq 2Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x+1}{x}leq 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{-x+1}{x}leq 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x-1}{x}geq 0 end{cases} Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ xgeq 1 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ xleq -1 end{cases} end{array} right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac{1}{x}leq 1Leftrightarrow |frac{1}{x}|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xnotin (-1;1) end{cases} $$ Строим график:
(б) y=arcctg(sqrt{x})+arcctg(-sqrt{x}))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb{R})
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrt{x}right)+arcctgleft(-sqrt{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xgeq 0 end{cases} $$ Строим график:
Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$
 |
Способ 1. С помощью числовой окружности.
Отмечаем точку (fracpi4) на оси синусов (ось OY) и точки (fracpi4) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности). |
| Способ 2. Аналитический Арктангенс – функция возрастающая: (fracpi4approx 0,79lt 1Rightarrow arctgleft(fracpi4right)lt arctg 1) Сравним (arctg1=fracpi4=arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)) и (arcsinleft(fracpi4right)) (frac{sqrt{2}}{2} ? fracpi4) — возведем в квадрат обе части (frac12 ? frac{pi^2}{16}Leftrightarrow 8 ? pi^2) (8ltpi^2Rightarrowfrac{sqrt{2}}{2}ltfracpi4 Rightarrow arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)lt arcsinleft(fracpi4right)Rightarrow 1lt arcsinleft(fracpi4right)) Получаем: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$ |
Пример 6*. Решите уравнения:
a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt{frac{1}{1+tg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt{frac{1}{1+x^2}}Rightarrow x^2=frac{1}{1+x^2}Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac{-1pmsqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac{sqrt{5}-1}{2})
Откуда (x=pmsqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
Ответ: (sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac{5pi^2}{36})
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin{gather*} arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac{5pi^2}{36}\ arccos^2x+frac{pi^2}{4}-pi arccosx+arccos^2x=frac{5pi^2}{36}\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac{pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac{pi^2}{9}=pi^2-frac89pi^2=frac{pi^2}{9}\ arccosx=frac{pipmfracpi3}{4}Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosfracpi6=frac{sqrt{3}}{2}\ x_2=cosfracpi3=frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{frac12; frac{sqrt{3}}{2}right})
в) (arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}})
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2). begin{gather*} arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{2}lt 1\ 0leq sqrt{frac{2}{x+1}} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{4}lt 1\ frac{4}{x+1}geq 0 end{cases} end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ begin{cases} 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end{cases} Rightarrow begin{cases} -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end{cases} Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt{frac{1}{1+ctg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}})
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)= sqrt{frac{1}{1+left(sqrt{frac{2}{x+1}}right)}}= sqrt{frac{1}{1+frac{2}{x+1}}}=sqrt{frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: begin{gather*} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sqrt{frac{x+1}{x+3}}Rightarrow frac{3x+2}{4}=frac{x+1}{x+3}Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac{-7pm5}{6}Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=-2 — text{ не подходит по ОДЗ}\ x_2=-frac13 end{array} right. end{gather*} Ответ: (-frac13)
- Определение
- График арктангенса
- Свойства арктангенса
- Таблица арктангенсов
Определение
Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.
Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).
Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:
arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2
Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.
Например:
arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад
График арктангенса
Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:
Свойства арктангенса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.
Таблица арктангенсов
| arctg x (°) | arctg x (рад) | x |
| -90° | -π/2 | -∞ |
| -71.565° | -1.2490 | -3 |
| -63.435° | -1.1071 | -2 |
| -60° | -π/3 | -√3 |
| -45° | -π/4 | -1 |
| -30° | -π/6 | -1/√3 |
| -26.565° | -0.4636 | -0.5 |
| 0° | 0 | 0 |
| 26.565° | 0.4636 | 0.5 |
| 30° | π/6 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | 1 |
| 60° | π/3 | √3 |
| 63.435° | 1.1071 | 2 |
| 71.565° | 1.2490 | 3 |
| 90° | π/2 | ∞ |
microexcel.ru
План урока:
Арккосинус
Арксинус
Арктангенс
Решение уравнения cosx = a
Решение уравнения sinx = a
Решение уравнений tgx = a и ctgx = a
Арккосинус
Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:
Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1<а < 1, то должно получиться две точки, которым соответствуют два противоположных угла:
Получается, что каждому значению числа а соответствует некоторый угол α. А если есть соответствие, то есть и функция:
α = f (a)
В математике ее называют арккосинусом. Записывается она так:
Вертикальная прямая может пересекать единичную окружность в двух разных точках. Им соответствуют разные углы. Принято считать, что арккосинус – это значение того угла, который лежит в первой или второй четверти, то есть ему соответствует точка, лежащая выше оси Ох. Тогда другая точка пересечения будет соответствовать углу (– arccosa):
Выходит, что арккосинус может принимать только значения из отрезка [0; π]. Дадим определение арккосинуса:
Задание. Вычислите арккосинус числа 1/2.
Решение. Мы помним, что косинус угла π/3 равен 1/2:
Следовательно, arccos 1/2 – это и есть угол π/3:
Ответ: π/3.
Обратим внимание, что если число а равно 1 или (– 1), то его арккосинус равен нулю в первом случае и π во втором:
В тех случаях, когда а > 1 либо а <– 1, то соответствующая прямая не пересечет единичную окружность. Это значит, что эти значения не входят в область определения арккосинуса:
Получается, что область определения арккосинуса – это промежуток [– 1; 1].
Для вычисления арккосинусов от отрицательных величин удобно пользоваться формулой
Действительно, если отложить на координатной прямой числа а и (– а), то вертикальные прямые, проходящие через них, пересекут окружность в некоторых точках А и С:
Дополнительно обозначим буквой В точку с координатами (1; 0) и буквой D точку с координатами (– 1; 0). Эти точки располагаются на пересечении оси Ох и единичной окружности. Тогда можно записать, что
ведь эти два угла образуют вместе развернутый угол ВОD, равный π. С другой стороны, из симметрии очевидно, что углы ∠COD и ∠АОВ равны друг другу, значит, ∠COD = ∠АОВ = arccosa. Тогда
Но ∠СОВ – это арккосинус от (– а), поэтому
Задание. Вычислите arccos (– 1/2).
Решение. Используем только что полученную формулу:
Ответ: 2π/3.
Арксинус
Арккосинус – это ф-ция, обратная косинусу. Аналогично можно вести и другие обратные тригонометрические ф-ции. Пусть нам требуется узнать, синус какого угла равен числу а. Так как синус – это координата у точки на единичной окружности, то достаточно провести горизонтальную линию у = а:
Прямая может пересечь окружность сразу в двух точках. За арксинус принимают угол, соответствующей точке, расположенной правее оси Оу. Вторая же точка соответствует углу π – arcsin α:
Арксинус может быть вычислен и для отрицательного значения а. В этом случае точка пересечения прямой и окружности будет располагаться в IV четверти, а соответствующий ему угол окажется отрицательным:
При значениях а, равных (– 1) и 1, точка пересечения будет только одна. В этих случаях арксинус окажется равным либо углу π/2, либо углу (– π/2):
Таким образом, арксинус может принимать значения из отрезка [– π/2; π/2], а вычислить его можно для чисел а, принадлежащих отрезку [– 1; 1]. Если же число а выходит за пределы этого промежутка, то горизонтальная прямая не пересекает единичную окружность, а потому ф-ция арксинуса становится неопределенной:
Получается, что областью определения арксинуса является промежуток [– 1; 1], а областью значений – промежуток [– π/2; π/2].
Дадим определение арксинусу:
Задание. Чему равен arcsin0,5?
Решение. Мы знаем, что sinπ/6 = 1/2 = 0,5. Следовательно, арксинус 0,5 равен π/6.
Для вычисления арксинусов отрицательных углов используется формула
Справедливость этой формулы очевидна из картинки:
Задание. Вычислите arcsin (– 0,5).
Решение. Используем формулу для арксинуса отрицательного числа:
Арктангенс
Введем ф-цию, обратную тангенсу. Она называется арктангенс.
Напомним, что величину тангенса на координатной плоскости можно получить, если продолжить угол до его пересечения с вертикальной прямой х = 1. Аналогично, чтобы определить арктангенс некоторого числа а, надо отметить на этой прямой точку с координатами (1; а) и соединить её с началом координат:
Несложно видеть, что, какое бы число а нами не было выбрано, мы с помощью построения всегда сможем соединить точку А с началом координат и получить некоторый угол arctga. Это значит, что область определения арктангенса – это вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).
Ещё раз уточним, что вводимые нами функции arcos, arcsin, arctg называются ОБРАТНЫМИ тригонометрическими функциями. C их помощью можно определить угол, если известно значение его синуса, косинуса или тангенса.Образно говоря, обратные триг-кие функции играют в тригонометрии ту же роль, что и квадратные корни при исследовании квадратных ур-ний. Как без квадратных корней невозможно решать квадратные ур-ния, так и без знания об обратных триг-ких функций нельзя решать уже тригом-кие уравнения.
Теперь вернемся к понятию арктангенса. При положительном значении числа а угол arctga будет принадлежать I четверти. Если же а – отрицательное число, то угол arctga окажется также отрицательным и будет принадлежать IV четверти:
Получается, что величина arctgа может принадлежать промежутку (– π/2; π/2). Обратите внимание, что в данном случае у промежутка круглые скобки. Действительно для углов (– π/2) и π/2 тангенс не определен, а потому арктангенс не может принимать эти два значения.
Задание. Чему равен arctg 1?
Решение. Из таблицы тангенсов мы знаем, что tgπ/4 = 1. Это значит, что
Для вычисления арктангенсов отрицательных чисел используют формулу
В ее справедливости можно убедиться, взглянув на рисунок:
Задание. Вычислите arctg (– 1).
Решение.
Ответ: – 1
В принципе можно ввести ещё ф-цию, обратную котангенсу – арккотангенс. Однако для решения тригонометрических уравнений, как мы убедимся далее, она не требуется, а поэтому в рамках школьного курса математики ее можно не изучать.
В заключение приведем таблицы, которые помогают вычислять значение обратных тригон-ких функций:
Решение уравнения cosx = a
Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:
По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь
Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:
Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:
Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:
Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть
Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:
Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть
Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и число π/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:
Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение
При n = 5 получим корень
При n = – 10 у нас получится решение
Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:
Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень
Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:
Объединить же обе серии можно одной записью:
Напомним, что мы решали ур-ние
и получили для него решение
Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид
где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что
Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью
«n ∈ Z»
Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.
Задание. Решите ур-ние
Решение. Вспомним, что
Задание. Решите ур-ние
Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:
Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.
Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния
Решение. Так как
то все решения образуют две серии:
Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.
Для первой серии:
Для второй серии:
Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):
Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4
Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.
Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния
На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния
являются точки, в которых график пересекает ось Ох:
Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].
Решение уравнения sinx = a
Ур-ние cosx = a называют простейшим тригонометрическим уравнением, ведь, ведь для его решения не требуется проводить никаких преобразований. Аналогично простейшими являются ур-ния sinx = a, tgx = a и ctgx = a.
Ситуация с ур-нием sinx = a аналогична ситуации с косинусом. Если число а не принадлежит промежутку [– 1; 1], то корней у ур-ния не будет. Если же число а будет принадлежать этому промежутку, то у ур-ния окажется бесконечное число решений.
Рассмотрим случай, когда 0<а< 1. Тогда решениями ур-ния окажутся числа arcsina и π – arcsina:
В свою очередь каждое из этих двух решений порождает свою собственную бесконечную серию решений
Однако, как и в случае с косинусом, существует способ записать одной формулой сразу оба этих решения. Для этого перепишем первую серию таким образом:
Действительно, если n окажется четным, то, то выражение (– 1)n,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1)n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.
Задание. Решите ур-ние
Задание. Запишите корни ур-ния
Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.
Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:
Ответ: 7π/3 и 8π/3.
Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние
Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:
Решениями ур-ния
Наконец, решениями ур-ния
Решение уравнений tgx = a и ctgx = a
Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):
Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение
x = arctg a
Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:
Задание. Решите ур-ние
Задание. Запишите формулу корней ур-ния
Далее рассмотрим ур-ние вида
Задание. Решите ур-ние
Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии
Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.
Как найти арктангенс: формула, функция, свойства
Содержание:
- Понятие арктангенса
- Получение функции арктангенса
- График арктангенса
- Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число
Понятие арктангенса
Арктангенс для числа х является значением угла у, которое определено в радианах и характеризуется (operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}})
Область определения для функции (y=operatorname {arctg}x) распространяется на всю прямую с числами, не прерывается и обладает ограничениями. Такая функция строго возрастает на графике.
(operatorname {tg},(operatorname {arctg},x)=x, если при xin {mathbb R},)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
(operatorname {arctg},(operatorname {tg},y)=y), когда если (-{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}),
(D(operatorname {arctg} ,x)=(-infty ;infty )) (область определения),
(E(operatorname {arctg},x)=left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)) (область значений).
Функция arctg обладает следующими свойствами, которые полезно использовать при расчете:
- (operatorname {arctg}(-x)=-operatorname {arctg}xqquad )(функция не является четной);
- (operatorname {arctg} x=arcsin {frac {x}{sqrt {1+x^{2}}}});
- (operatorname {arctg}x=arccos {frac {1}{{sqrt {1+x^{2}}}}},) если (x > 0);
- (operatorname {arctg} x=operatorname {arcctg} {frac {1}{x}});
- (operatorname {arctg} x=-ioperatorname {arth} {ix}), при (operatorname {arth}) в виде обратного гиперболического тангенса, гиперболического ареатангенса.
- (operatorname {arth} x=ioperatorname {arctg} {ix}).
Получение функции арктангенса
Предположим, что имеется некая функция:
(y=operatorname {tg},x).
Заметим, что эта функция имеет вид кусочно-монотонной. Такая ситуация наблюдается на любом участке области определения. В результате нельзя назвать функцией:
(y=operatorname {arctg},x)
Это связано с нарушением условий однозначности. Проанализируем участок, где функция является возрастающей и имеет каждое значение лишь однажды:
(left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right).)
Отрезок (y=operatorname {tg},x) отличается тем, что здесь функция является монотонно возрастающей со всеми своими значениями, которые она принимает только однажды.
Можно сделать вывод, что на отрезке (left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)) имеется обратная функция (y=operatorname {arctg},x ) с графиком, симметричным графическому изображению (y=operatorname {tg},x) на участке (left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)) по отношению к прямой (y=x).
График арктангенса
Рассматриваемая аркфункция характеризуется определенным графиком. Изобразить арктангенс на координатной плоскости можно с помощью преображения графика, которому соответствует тангенс. В процессе требуется переместить между собой оси абсцисс и ординат.
Необходимо избавиться от многозначности. Для этого следует ввести ограничение на множество из значений функции в виде интервала: (- frac{pi}2 leqslant y leqslant frac{pi}2). На этом отрезке функция характеризуется монотонностью. Такой интервал носит название основного значения арктангенса.
График функции (y=operatorname {arctg},x) (можно построить в программе Эксель при вводе нужной формулы):
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс как число
Обратными функциями в тригонометрии называют такие функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.
Существует несколько основных аркфункций:
- арксинус, (arcsin x), представляет собой угол, синус которого определен, как (х);
- арккосинус, (arccos x), в виде угла с косинусом (х);
- арктангенс, (operatorname {arctg} x), или ({displaystyle arctan x});
- арккотангенс, (operatorname {arcctg} x), или (operatorname {arccot} x), или (operatorname {arccotan} x);
- арксеканс, (operatorname {arcsec} x);
- арккосеканс, (operatorname {arccosec} x), или (operatorname {arccsc} x).
Примечание 1
Обратные тригонометрические функции обладают особыми наименованиями. Названия аркфункций формулируют путем приписывания к наименованию функции приставки «арк-».
Функции в тригонометрии отличаются периодичностью. В связи с этим обратные к ним функции обладают множеством значений в виде углов (дуг), для которых конкретная прямая функция определена соответствующим числом.
Пример 1
Под функцией (arcsin 1/2) понимается множество углов (left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ).)
Если посчитать, синус перечисленных углов соответствует 1/2.
Если рассмотреть множество значений обратной тригонометрической функции, то можно получить ключевые ее значения. Данные значения подразумевают при упоминании арксинуса, арккосинуса и других аркфункций.
Предположим, что:
( -1leqslant alpha leqslant 1.)
Тогда каждое из решений уравнения (sin x=alpha) допустимо записать, как:
(x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~)
Здесь -1 записано в n степени. Значения функций можно не считать, а посмотреть в таблице.
При нахождении ответов в процессе решения задач, в условии которых присутствуют такие функции, как: синус, косинус, тангенс, котангенс угла, обратные им функции — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс — определяют угол. В том случае, когда речь в задании идет о тригонометрических функциях числа, то аркфункции также будут определяться в виде числа.
Арксинус числа а (in [−1, 1]) является числом (tin [−frac{pi}{2}), (frac{pi}{2}]) с синусом, равным а.
Арккосинус числа (а in [−1, 1]) является числом (tin [0, pi]) с косинусом, равным а.
Арктангенс числа а (in (−infty, infty)) является числом (tin(-frac{pi}{2}), (frac{pi}{2})) с тангенсом, равным а.
Арккотангенс числа а (in (−infty, infty)) является числом (tin (0, pi)) с котангенсом, равным а. В данном случае используют знак бесконечности, когда речь идет об определении а.
Пример 2
Представим, что имеется число, арксинус которого равен (-frac{1}{2}). Тогда нужным числом является (-frac{pi}{6}) со знаком минус. В результате:
(arcsin (-frac{1}{2}) = -frac{pi}{6})
В данном случае:
(a = -frac{1}{2})
(t = -frac{pi}{6})
В действительности:
(-frac{1}{2}in [-1, 1])
(-frac{pi}{6}in[−frac{pi}{2}, frac{pi}{2}])
(sin (-frac{pi}{6}) = -frac{1}{2})
Важно различать задачи, где аркфункции являются числами, а где — углами. Данное условие можно понять по контексту. Если указана обратная тригонометрическая функция а без каких-либо уточнений, то ее допускается определять, как аркфункцию а в виде угла или числа.
В том случае, когда в записи обратной тригонометрической функции присутствуют градусы с минутами или радианы, к примеру, (arcsin a+10°), подразумевается вычисление данной аркфункции в виде угла с определенной градусной мерой или в радианах.