Как найти асимметрию эмпирического распределения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное
распределение является одним из самых
распространенных в применениях
математической статистики. Для оценки
отклонения эмпирического распределения
от нормального используют следующие
характеристики.

Асимметрия
эмпирического распределения
определяется
следующим равенством:

(13)

Эксцесс
эмпирического распределения
определяется следующим равенством:

(14)

В формулы (13) и (14)
входят центральные эмпирические моменты,
определяемые формулами (11), а также
выборочное среднеквадратическое
отклонение (9). Асимметрия и эксцесс
служат для сравнения полигона эмпирического
распределения с нормальным распределением:
знак а_s указывает
на расположение длинной части ломаной
относительно математического ожидания
(справа при а_s
> 0 и слева
при а_s
< 0): e_k
характеризует
«крутизну» ломаной (при e_k
> 0 сравниваемая
кривая более высокая и острая, при e_k
< 0 она
более низкая и плоская).

Пример 6.
Найти асимметрию и эксцесс эмпирического
распределения:

варианта	1	2	3	4	5	6	10
частота	5	10	15	35	16	15	4

Решение.
Найдем
сначала

и

по формулам ( 6) — (9):

Далее, используя
формулы (11), определяем центральные
эмпирические моменты третьего и
четвертого порядков:

m₃
= (5 ^.
(- 3,2)³
+ 10 ^.
(-2,2)³
+ 15 ^.
(- 1,2)³
+ 35 ^.
(- 0,2)³
+ 16^.
0,8³
+

+15 ^.
1,8³
+ 4 ^.
5,8³)
/ 100 =579,6/100 = 5,796

m₄
= (5 ^.
(- 3,2)⁴
+ 10 ^.
(-2,2)⁴
+ 15 ^.
(- 1,2)⁴
+ 35 ^.
(- 0,2)⁴
+ 16^.
0,8⁴
+

+15 ^.
1,8⁴
+ 4 ^.
5,8⁴)
/ 100 =5480,32/100 = 54,8032.

Затем по формулам
(13) и (14) находим искомые величины:

а_s
= 5,796/1,887³
= 0,863 e_k
= 54,8032/1,887⁴
=4,324.

Интервальные оценки

Все оценки,
приведенные ранее, определяются одним
числом, т.е. являются точечными.
Точечные
оценки хороши при первичной обработке
результатов наблюдений. При
малых объемах выборки точечная оценка
может приводить к большим ошибкам и
значительно отличаться от оцениваемого
параметра. Более широкое применение
получил метод
доверительных интервалов, разработанный
американским статистиком Ю. Нейманом.
Оценка неизвестного параметра называется
интервальной,
если она определяется двумя числами

.
Обычно выбирают симметричный интервал

Определение
2.
Доверительным
интервалом для параметра θ
с надежностью
оценки

называется числовой промежуток (θ*
— δ, θ*
+ δ), содержащий истинное значение данного
параметра с вероятностью, равной р:

Р (θ*
— δ < θ
< θ*
+ δ)
=

,
(15)

где θ*
— оценка
неизвестного параметра θ
(например, точечная оценка), δ
> θ
— некоторое число.

Обычно надежность
оценки или доверительная
вероятность

задается
числом, близким к единице. Выбор этого
числа зависит от конкретно решаемой
задачи. Иными словами, доверительный
интервал покрывает неизвестный параметр
с заданной доверительной вероятностью.
Число

называется
уровнем
значимости.
Общая схема построения доверительных
интервалов сводится к следующему.

Рассматриваются
теоретические выборки случайных
величин, с распределениями которых
связан параметр θ.
Подбирается
случайная величина Y
с известным распределением, значения
которой определяются выборками и
параметром θ:
Y
= Y
(θ).
По известному
распределению Y
подбираются
числа Y₁
и Y₂
такие, чтобы
выполнялось равенство Р
(Y₁
< Y
(θ)
< Y₂)
=

.
По значениям Y₁ и
Y₂
определяется
число δ >
0 при известном
значении θ*.
Таким образом, условие (15) будет
выполнено и доверительный интервал
построен.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют характеристики, аналогичные для теоретического распределения (см. предыдущий раздел 18.6).

Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:

Эксцесс эмпирического распределения определяется следующим равенством:

В формулы (18.62) и (18.63) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (18.61), а также выборочное среднее квадратическое отклонение (18.55).

Пример 6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

Решение. Найдем сначала В и σв с использованием формул (18.52)-(18.55):

Далее, используя формулы (18.61), определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

Затем по формулам (18.62) и (18.63) находим искомые величины:

В заключение отметим, что все оценки, приведенные выше, определяются одним числом, т. е. являются Точечными. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Коэффициент асимметрии. Эксцесс распределения

Краткая теория

При изучении распределений, отличных от нормального,
возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят
специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального
распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого
распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно
предположить близость этого распределения к нормальному.
Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное
отклонение от нормального.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение
центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического
отклонения:

Коэффициент асимметрии характеризует скошенность
распределения по отношению к математическому ожиданию. Асимметрия положительна,
если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического
ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева
от математического ожидания.

На рисунке показаны две кривые распределения: I и II. Кривая I имеет
положительную (правостороннюю) асимметрию

,
а кривая II – отрицательную (левостороннюю)

Кроме вышеописанного коэффициента, для характеристики асимметрии
рассчитывают также показатель асимметрии Пирсона:

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в
центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным
является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента третьего
порядка.

Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего подъема кривой
теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются
характеристикой — эксцессом.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины
называется число:

Число 3 вычитается из отношения

потому, что для наиболее часто встречающегося
нормального распределения отношение

Кривые, более островершинные, чем нормальная,
обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным
эксцессом.

Примеры решения задач

Задача 1

Для заданного
вариационного ряда вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим расчетную
таблицу

Средняя:

Найдем моду — варианту, которой соответствует наибольшая частота.

Дисперсия:

Среднее квадратическое
отклонение:

Коэффициент асимметрии Пирсона:

Коэффициент асимметрии можно найти по формуле:

Центральный момент
3-го порядка:

Получаем:

Эксцесс можно найти по формуле:

Центральный момент
4-го порядка:

Получаем:

Задача 2

Для заданного
вариационного ряда (см. условие задачи 1) вычислить коэффициенты асимметрии и
эксцесса методом произведений, используя условные моменты.

Решение

Составим расчетную таблицу

Перейдем к условным вариантам

В качестве ложного нуля возьмем
3-ю варианту

Условные варианты вычислим по
формуле:

где

4
(разность между соседними вариантами)

Условный момент 1-го порядка:

Средняя:

Условный момент 2-го порядка:

Дисперсия:

Среднее квадратическое
отклонение:

Коэффициент асимметрии можно найти
по формуле:

Условный момент 3-го порядка:

Центральный момент 3-го порядка:

Получаем:

Эксцесс можно найти по формуле:

Условный момент 4-го порядка:

Центральный момент 4-го порядка:

Получаем:

Источник

Информация о материале: Создано: 26 марта 2014

Оценка отклонений эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используются различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Их определения аналогичны определениям асимметрии и эксцесса теоретических распределений.

Определение 7. Асимметрия эмпирического распределения определяется соотношением: (здесь центральный эмпирический момент третьего порядка). Эксцесс эмпирического распределения определяется соотношением: (здесь центральный эмпирический момент четвертого порядка).

Указанные в соответствующих формулах моменты удобно вычислять методом произведений.

Пример 9: Найдем асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

варианта	10,2	10,4	10,6	10,8	11,0	11,2	11,4	11,6	11,8	12,0
частота	2	3	8	13	25	20	12	10	6	1

Последний столбец, приведенной ниже таблицы расчетов, служит для контроля вычислений по тождеству:

Расчеты приведены в таблице:


10,2	2	-4	-8	32	-128	512	162
10,4	3	-3	-9	27	-81	243	48
10,6	8	-2	-16	32	-64	128	8
10,8	13	-1	-13	13	-13	13	—
11,0	25	0			-286		25
11,2	20	1	20	20	20	20	320
11,4	12	2	24	48	96	192	972
11,6	10	3	30	90	270	810	2560
11,8	6	4	24	96	384	1536	3750
12,0	1	5	5	25	125	625	1296
					895