Как найти асимметрию непрерывной случайной величины - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Математическое
ожидание
непрерывной случайной величины
вычисляется по формуле:

В
частности, если с.в. задана своей
плотностью вероятности на каком-либо
отрезке, то и интеграл вычисляем на этом
отрезке.

Дисперсия
непрерывной случайной величины
вычисляется по формуле:

Относительно
пределов интегрирования — то же самое.

Среднее
квадратическое отклонение
непрерывной случайной величины, оно же
стандартное отклонение или среднее
квадратичное отклонение есть корень
квадратный из дисперсии:

σ(X) = √D(X)

Мода
непрерывной случайной величины Mo(X) —
значение с.в., имеющее наибольшую
вероятность. Если в задаче требуется
определить моду — находим экстремум
(максимум) плотности вероятности f(x).

Коэффициент
вариации
непрерывной случайной величины
вычисляется по той же формуле, что и для
дискретной с.в.:

V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия
(коэффициент асимметрии) случайной
величины As(X) — величина, характеризующая
степень асимметрии распределения
относительно математического ожидания.
Коэффициент асимметрии непрерывной
случайной величины вычисляется по
формуле:

Если
коэффициент асимметрии отрицателен,
то либо большая часть значений случайной
величины, либо мода находятся левее
математического ожидания, и наоборот,
если As(X)>0, то правее.

Эксцесс
(коэффициент эксцесса) случайной величины
Ex(X) — величина, характеризующая степень
островершинности или плосковершинности
распределения. Коэффициент эксцесса
непрерывной случайной величины
вычисляется по формуле:

6. Примеры некоторых непрерывных распределений

6.1 Нормальное распределение

Нормальное
распределение имеет плотность вероятности
1/[σ√2π]·e^-(x-a)2/2σ2,
где a — математическое ожидание, σ —
среднее квадратическое отклонение.

Значения
плотности нормального распределения
для конкретного числового значения x
можно вычислить в Excel с помощью формулы
=НОРМРАСП(x;a;σ;0). Если a = 0, σ = 1, то такое
нормальное распределение называется
стандартным. Значения
плотности стандартного нормального
распределения
можно посмотреть в таблице или вычислить
в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;0;
1;0)

График нормального распределения
имеет куполообразную форму, он симметричен
относительно своего математического
ожидания, а на степень его островершинности
влияет величина среднего квадратичного
отклонения σ.

Асимметрия,
эксцесс, мода и медиана нормального
распределения равны:

As(X) = 0; Ex(X) = 0;
Mo(X) = a; Me(X) = a, где а — математическое
ожидание.

Интегральная функция
нормального распределения вероятностей:

Интегральная
функция распределения вероятностей
показывает вероятность того, что с.в.
примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ <
x). Численно она равна площади криволинейной
трапеции, ограниченной сверху графиком
плотности вероятности, снизу осью OX, на
интервале от -∞ до x. Ниже дана иллюстрация.

Цепи Маркова

Формулы
и определения

Обобщая
этот пример, можно представить себе
«систему» со счетным числом возможных
«фазовых» состояний, которая с
течением дискретного времени t = 0, 1, …
случайно переходит из состояния в
состояние. Пусть ξ(t) есть ее положение
в момент t в результате цепочки случайных
переходов

ξ(0)
— ξ(1) — … — ξ(t) — … … (1)

Формально
обозначим все возможные состояния
целыми i = 0, ±1, … Предположим, что при
известном состоянии ξ(t) = k на следующем
шаге система переходит в состояние
ξ(t+1) = j с условной вероятностью

p_kj
= P(ξ(t+1) = j|ξ(t) = k) … (2)

независимо
от ее поведения в прошлом, точнее,
независимо от цепочки переходов (1) до
момента t:

P(ξ(t+1)
= j|ξ(0) = i, …, ξ(t) = k) = P(ξ(t+1) = j|ξ(t) = k) при всех
t, k, j … (3) — марковское
свойство.

Такую
вероятностную схему называют однородной
цепью Маркова со счетным числом состояний
— ее однородность состоит в том, что
определенные в (2) переходные
вероятности p_kj,
∑_j
p_kj
= 1, k = 0, ±1, …, не зависят от времени, т.е.
P(ξ(t+1) = j|ξ(t) = k) = P_ij—
матрица вероятностей
перехода за один шаг
не зависит от n. Ясно, что P_ij
— квадратная матрица с неотрицательными
элементами и единичными суммами по
строкам. Такая матрица (конечная или
бесконечная) называется стохастической
матрицей. Любая стохастическая матрица
может служить матрицей переходных
вероятностей.

Неравенство
Чебышёва

Формулировка

Для
случайной величины ξ = ξ(ω) с конечными
математическим ожиданием Eξ и дисперсией
Dξ неравенство
Чебышёва
имеет вид: для любого

вероятность
события

не
превосходит

,
или

В
таком виде неравенство было независимым
образом открыто И.Бьенеме
(I.Bienayme)
(1853)
и П.Л.Чебьшёвым
(1867),используется
при отсеве грубых погрешностей. В
современной литературе это неравенство
чаще называют неравенством
Чебышёва,
возможно и потому, что с именем П.Л.Чебышёва
связано использование его при
доказательстве обобщения закона больших
чисел (теоремы
Чебышёва).

[редактировать]

Об
однотипных неравенствах

Неравенство
Чебышёва
служит представителем класса однотипных
неравенств, простейшее из которых
утверждает, что для неотрицательной
случайной величины ξ с конечным
математическим ожиданием Eξ

Это
неравенство иногда называется неравенством
Маркова,
из него вытекают неравенства для
произвольных случайных величин, зависящие
от моментов:

(при
r
= 2 — само неравенство
Чебышёва),
а также ещё более общее неравенство

для
неотрицательной четной неубывающей
при положительных значениях x
функции f(x).
Последнее неравенство указывает путь
получения новых неравенств того же
типа, например экспоненциального
неравенства:

Обычно
все эти неравенства относят к чебышёвскому
типу и даже называют неравенствами
Чебышёва.

Теорема
Ляпунова.

Часто приходится иметь
дело с такими случайными величинами,
которые являются суммами большого числа
независимых случайных величин. При
некоторых весьма общих условиях
оказывается, что эта сумма имеет
распределение, близкое к нормальному,
хотя каждое из слагаемых может не
подчиняться нормальному закону
распределения вероятностей. Эти условия
были найдены Ляпуновым * и составляют
содержание теоремы, названной его
именем.

Приведем без
доказательства только следствие из
теоремы Ляпунова.

Пусть

последовательность
попарно независимых. случайных величин
с математическими ожиданиями

и
дисперсиями

,
причем эти величины обладают следующими
двумя свойствами:

1)
Cуществует
такое число L, что для любого i имеет
место неравенство

,
т, е. все значения случайных величин,
как говорят, равномерно ограничены,
относительно математических ожиданий;

2)
Cумма

неограниченно
растет при

.

Тогда при достаточно
большом n сумма

имеет
распределение, близкое к нормальному.

Пусть a и

—
математическое ожидание и дисперсия
случайной величины

.
Тогда

Так
как по следствию из теоремы Ляпунова
случайная величина

для
больших значений n имеет распределение,
близкое к нормальному, то согласно
формуле (32)
имеет место соотношение

(56)

где
Ф(х) — интеграл вероятностей.

Нулевая
гипотеза
– это
основное
проверяемое предположение, которое
обычно формулируется как отсутствие
различий, отсутствие влияние фактора,
отсутствие эффекта, равенство нулю
значений выборочных характеристик и
т.п. Примером нулевой гипотезы в педагогике
является утверждение о том, что различие
в результатах выполнения двумя группами
учащихся одной и той же контрольной
работы вызвано лишь случайными причинами.

Другое
проверяемое предположение (не всегда
строго противоположное или обратное
первому) называется конкурирующей
или
альтернативной
гипотезой.
Так, для упомянутого выше примера
гипотезы Н₀
в педагогике одна из возможных альтернатив
Н₁
будет определена как: уровни выполнения
работы в двух группах учащихся различны
и это различие определяется влиянием
неслучайных факторов, например, тех или
других методов обучения.

Выдвинутая
гипотеза может быть правильной или
неправильной, поэтому возникает
необходимость проверить ее. Так как
проверку производят статистическими
методами, то данная проверка называется
статистической.

При
проверке статистических гипотез возможны
ошибки
(ошибочные
суждения) двух видов:

— можно
отвергнуть нулевую гипотезу, когда она
на самом деле верна (так называемая
ошибка
первого рода);

— можно
принять нулевую гипотезу, когда она на
самом деле не верна (так называемая
ошибка
второго рода).

Ошибка,
состоящая в принятии нулевой гипотезы,
когда она ложна, качественно отличается
от ошибки, состоящей в отвержении
гипотезы, когда она истинна. Эта разница
очень существенна вследствие того, что
различна значимость этих ошибок.
Проиллюстрируем вышесказанное на
следующем примере.[2]

СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ

Понятие случайной
величины является основным в теории
вероятностей и ее приложениях. Случайными
величинами, например, являются число
выпавших очков при однократном бросании
игральной кости, число распавшихся
атомов радия за данный промежуток
времени, число вызовов на телефонной
станции за некоторый промежуток времени,
отклонение от номинала некоторого
размера детали при правильно налаженном
технологическом процессе и т. д.

Таким
образом, случайной
величиной
называется переменная величина, которая
в результате опыта может принимать то
или иное числовое значение.

В
дальнейшем мы рассмотрим два типа
случайных величин — дискретные и
непрерывные.

1.
Дискретные случайные величины.

Рассмотрим случайную
величину *

,
возможные значения которой образуют
конечную или бесконечную последовательность
чисел x1,
x2,
…, xn,
… .
Пусть задана функция p(x),
значение которой в каждой точке x=xi
(i=1,2, …)
равно вероятности того, что величина

примет
значение xi

(16)

Такая
случайная величина

называется
дискретной
(прерывной).
Функция р(х)
называется законом
распределения вероятностей случайной
величины,
или кратко, законом
распределения.
Эта функция определена в точках
последовательности x1,
x2,
…, xn,
… .
Так как в каждом из испытаний случайная
величина

принимает
всегда какое-либо значение из области
ее изменения, то

Пример
1.
Случайная величина

—
число очков, выпадающих при однократном
бросании игральной кости. Возможные
значения

—
числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность
того, что

примет
любое из этих значений, одна и та же и
равна 1/6. Какой будет закон распределения
? (Решение)

Пример
2.
Пусть случайная величина

—
число наступления события A
при одном испытании, причем P(A)=p.
Множество возможных значений

состоит
из 2-х чисел 0 и 1:

=0,
если событие A
не произошло, и

=1,
если событие A
произошло. Таким образом,

Предположим,
что производится n
независимых испытаний, в результате
каждого из которых может наступить или
не наступить событие A.
Пусть вероятность наступления события
A
при каждом испытании равна p.
Рассмотрим случайную величину

—
число наступлений события A
при n
независимых испытаниях. Область изменения

состоит
из всех целых чисел от 0
до n
включительно. Закон распределения
вероятностей р(m)
определяется формулой Бернулли (13′):

Закон
распределения вероятностей по формуле
Бернулли часто называют биномиальным,
так как Pn(m)
представляет собой m-й
член разложения бинома

.

Пусть случайная величина

может
принимать любое целое неотрицательное
значение, причем

(17)

где

—
некоторая положительная постоянная. В
этом случае говорят, что случайная
величина

распределена
по закону
Пуассона,
Заметим, что при k=0
следует положить 0!=1.

Как мы знаем, при больших
значениях числа n
независимых испытаний вероятность
Pn(m)
наступления m
раз события A
удобнее находить не по формуле Бернулли,
а по формуле Лапласа [см.
формулу (15)].
Однако последняя дает большие погрешности
при малой вероятности р
появления события А
в одном испытании. В этом случае для
подсчета вероятности Pn(m)
удобно пользоваться формулой Пуассона,
в которой следует положить

.

Формулу Пуассона можно
получить как предельный случай формулы
Бернулли при неограниченном увеличении
числа испытаний n
и при стремлении к нулю вероятности

.

Пример
3.
На завод прибыла партия деталей в
количестве 1000 шт. Вероятность того, что
деталь окажется бракованной, равна
0,001. Какова вероятность того, что среди
прибывших деталей будет 5 бракованных?
(Решение)

Распределение Пуассона
часто встречается и в других задачах.
Так, например, если телефонистка в
среднем за один час получает N
вызовов, то, как можно показать, вероятность
Р(k)
того, что в течение одной минуты она
получит k
вызовов, выражается формулой Пуассона,
если положить

.

Если
возможные значения случайной величины

образуют
конечную последовательность x1,
x2,
…, xn,
то закон распределения вероятностей
случайной величины задают в виде
следующей таблицы, в которой

Значения	x1	x2	…	xn
Вероятности p(xi)	p1	p2	…	pn

Эту таблицу называют рядом
распределения
случайной величины

.
Наглядно функцию р(х)
можно изобразить в виде графика. Для
этого возьмем прямоугольную систему
координат на плоскости.

По
горизонтальной оси будем откладывать
возможные значения случайной величины

,
а по вертикальной оси — значения функции

.
График функции р(х)
изображен на рис. 2. Если соединить точки
этого графика прямолинейными отрезками,
то получится фигура, которая называется
многоугольником
распределения.

Пример
4.
Пусть событие А
— появление одного очка при бросании
игральной кости; Р(A)=1/6.
Рассмотрим случайную величину

—
число наступлений события А
при десяти бросаниях игральной кости.
Значения функции р(х)
(закона распределения) приведены в
следующей таблице:

Значения	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вероятности p(xi)	0,162	0,323	0,291	0,155	0,054	0,013	0,002	0	0	0	0

Вероятности
p(xi)
вычислены по формуле Бернулли при n=10.
Для x>6
они практически равны нулю. График
функции p(x) изображен на рис. 3.

Нормальное
распределение.

Говорят, что случайная
величина

нормально
распределена
или подчиняется закону
распределения Гаусса,
если ее плотность распределения

имеет
вид

(28)

где
a
— любое действительное число, а

>0.
Смысл параметров a
и

будет
установлен в
дальнейшем (см.
§4, п. 2).
Исходя из связи между плотностью
распределения

и
функцией распределения F(x)
[см.
формулу (22)],
имеем

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Начальные и центральные моменты случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач

Краткая теория

Начальные моменты

Начальным моментом порядка

случайной величины

называют математическое ожидание величины

В
частности:

Пользуясь
этими моментами, формулу для вычисления дисперсии

можно записать так:

Центральные моменты

Кроме
моментов случайной величины

целесообразно рассматривать моменты отклонения

Центральным моментом порядка

случайной величины

называют математическое ожидание величины

В
частности,

Взаимосвязь центральных и начальных моментов

Легко
выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Моменты
более высоких порядков применяются редко.

Формулы для вычисления моментов дискретных и непрерывных случайных величин

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Нетрудно
заметить, что при

первый
начальный момент случайной величины

есть ее
математическое ожидание, то есть

, при

второй
центральный момент – дисперсия, то есть

Асимметрия и эксцесс случайной величины

Третий центральный момент

служит для
характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность
куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на

, где

– среднее
квадратическое отклонение случайной величины

. Полученная величина

называется
коэффициентом асимметрии случайной величины:

Если распределение симметрично относительно
математического ожидания, то коэффициент асимметрии

Четвертый центральный момент

служит для
характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом
эксцесса) случайной величины называется число

Число 3 вычитается из отношения

потому, что для
наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение

. Кривые, более островершинные, чем нормальная,
обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным
эксцессом.

Смежные темы решебника:

Асимметрия и эксцесс распределения
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

Дискретная
случайная величина X задана законом распределения:

	1	3	4	5
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти начальные моменты первого, второго и третьего
порядков.

Решение

Найдем
начальный момент 1-го порядка:

Начальный
момент 2-го порядка:

Начальный
момент 3-го порядка:

Ответ:

Пример 2

Дискретная
случайная величина X задана законом распределения:

	0	3	5	6
	0,3	0,2	0,3	0,2

Найти центральные моменты первого, второго,
третьего и четвертого порядков.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Центральный
момент первого порядка равен нулю:

Для
вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими
центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные
моменты:

Начальный
момент 2-го порядка:

Начальный
момент 3-го порядка:

Начальный
момент 4-го порядка:

Найдем центральные моменты:

Ответ:
.

Пример 3

Непрерывная случайная
величина X задана плотностью распределения:

Найти
математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение

Математическое
ожидание (начальный момент первого порядка):

Начальный
момент второго порядка:

Дисперсия
(центральный момент второго порядка):

Среднее
квадратическое отклонение:

Начальный
момент третьего порядка:

Начальный
момент четвертого порядка:

Вычисляем
центральные моменты третьего и четвертого порядков:

Коэффициент
асимметрии:

Эксцесс:

Ответ:

Краткая теория
Примеры решения задач

Источник

Вычисление асимметрии и эксцесса позволяет установить симметричность распределения случайной величины относительно Для этого находят третий центральный момент, характеризующий асимметрию закона распределения случайной величины. Если он равен нулю , то случайная величина симметрично распределена относительно математического ожидания Поскольку имеет размерность случайной величины в кубе, то вводят безразмерную величину — коэффициент асимметрии:

Центральный момент четвертого порядка используется для определения эксцесса, характеризует плосковершиннисть или гостровершиннисть плотности вероятности Эксцесс вычисляется по формуле

Число 3 вычитается для сравнения отклонения от центрального закона распределения (нормального закона), для которого подтверждается равенство:

Итак, для нормального закона распределения. Если эксцесс положительный то на графике функция распределения остро вершину и для отрицательных значений более пологую. Таким образом можно установить отклонения заданного закона от нормального. Для наглядности при различных значениях асимметрии и эксцесса графики плотности вероятностей изображены на рисунках ниже

Приведу Вам один из распространенных примеров.

Пример 1. Дана плотность вероятностей:

Вычислить асимметрию и эксцесс .

Решение. Вычисляем математическое ожидание случайной величины

после этого — третий момент инерции

Поскольку момент нулевой то и асимметрия равна нулю .Следовательно, возможные значения случайной величины симметрично распределены относительно единицы . Для вычисления эксцесса необходимо найти четвертый момент и среднее квадратическое отклонение. .

По найденным значениям вычисляем дисперсию

после нее среднее матиматичне отклонения

Окончательно получим

отрицательный эксцесс, что указывает на пологость функции распределения. Сам график функции с найденными величинами приведен на рисунку ниже

—————————————

Хорошо разберите приведенный пример, все другие подобные. Найти асимметрию и эксцесс довольно легко тем, кто хорошо умеет интегрировать и не спешит при вычислениях.

Источник

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин: