Как найти асимптоту дробной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции,  и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции y=1/x, то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой x=0 (ось ОY) — это вертикальная асимптота, и к прямой y=0 (ось ОХ) — это горизонтальная асимптота:

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

В общем случае горизонтальная асимптота  — это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=b, где b — число, к которому стремятся значения функции y=f(x), когда x стремится к infty.

То есть b=lim{x{right}{infty}}{f(x)}.

Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a. Здесь a — значение переменной x,  при котором функция y=f(x) не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение x стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: y={ax+b}/{cx+d}.

График дробно-линейной функции — это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при x=-d/c знаменатель равен нулю, в этой точке функция  y={ax+b}/{cx+d} не определена. Поэтому прямая x=-d/c  — вертикальная асимптота.

Степень x в числителе дроби  {ax+b}/{cx+d}  равна степени x в знаменателе. Поэтому при x{right}{infty} числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

lim{x{right}{infty}}{{ax+b}/{cx+d}}=a/c и  уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=a/c.

График дробно-линейной функции y={ax+b}/{cx+d}  — это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): x=-b/a.

Точка пересечения с осью OY (x=0): y=b/d.

Построим график функции y={x+1}/{3x+2}. Это дробно-линейная функция и ее график  — гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: y=1/3;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя): x=-2/3

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: x+1=0; x=-1

с осью OY(x=0): y=1/2.

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

То есть график функции y={x+1}/{3x+2} выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота — это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b.

Коэффициенты k и b вычисляются следующим образом:

k=lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}

b=lim{x{right}{infty}}{({f(x)}-kx)}

Найдем асимптоты графика функции y={3-x^2}/{x+2}

1. Начнем с области определения функции. Функция y={3-x^2}/{x+2} не определена в точке x=-2, следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби {3-x^2}/{x+2} на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при x{right}{infty} отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции y={3-x^2}/{x+2} не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях x в числителе и знаменателе дроби).

b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}= lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}= lim{x{right}{infty}}{{3+2x}/{x+2}}=2

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

График функции y={3-x^2}/{x+2}, построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Асимптоты графика функции

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

как найти асимптоты функции

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

асимптоты функции

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ — это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решений

Пример 1
Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = frac{5x}{3x+2} $$
Решение

Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 neq 0; 3x neq -2; x neq -frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -frac{2}{3} $.

$$ limlimits_{{x rightarrow -frac{2}{3}}} frac{5x}{3x+2} = (-frac{10}{infty}) = -infty $$.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{5}{3x+2}=frac{5}{infty}=0 $$

Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $.

$$ b = limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] = limlimits_{x rightarrow infty} frac{5x}{3x+2} = frac{infty}{infty} =frac{5}{3} $$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = frac{5}{3} $ — горизонтальная асимптота.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y = frac{5}{3} $$
Пример 2
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{1}{1-x} $
Решение

Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x neq 0; x neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ limlimits_{x rightarrow 1} frac{1}{1-x} = frac{1}{0} = infty $$

Приступим к поиску наклонных асимптот.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{x(1-x)} = frac{1}{infty}=0 $$

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty}[f(x)-kx]=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{1-x} = frac{1}{infty}=0 $$

Итого, $ y=0 $ — горизонтальная асимптота.

Ответ
$$ y=0 $$
Пример 3
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{x^3}{3x^2+5} $
Решение

Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty}frac{x^2}{3x^2+5} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{2x}{6x} = frac{1}{3} $$

Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $.

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] =limlimits_{x rightarrow infty} [frac{x^3}{3x^2+5}-frac{x}{3}] =limlimits_{x rightarrow infty} -frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{3x^2+5} =-frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{6x} =-frac{5}{3}frac{1}{infty} = 0 $$

$ y =frac{1}{3}x $ — наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья.

Ответ
$$ y =frac{1}{3}x $$
Пример 4
Найти асимптоты $ f(x) = xe^{-x} $
Решение

Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот.

$$ k=limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$$ b=limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{e^x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$ y = 0 $ — горизонтальная асимптота

Ответ
$$ y = 0 $$

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Содержание:

Понятие асимптоты:

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальные асимптоты Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота, если при Асимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальная асимптота Асимптоты графика функции с примерами решения может быть в точке Асимптоты графика функции с примерами решения если точка Асимптоты графика функции с примерами решения ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки Асимптоты графика функции с примерами решения значения функции стремятся к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функций

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решениявертикальная асимптота (Асимптоты графика функции с примерами решения — также асимптота, но горизонтальная)

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решениявертикальная асимптота

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Наклонные и горизонтальные асимптоты Асимптоты графика функции с примерами решения

I. Если Асимптоты графика функции с примерами решения — дробно рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.

Примеры:

Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения тогда Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, Асимптоты графика функции с примерами решения— наклонная асимптота (также Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота)

Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения тогда Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, Асимптоты графика функции с примерами решения — горизонтальная асимптота (также Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота)

II. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптотАсимптоты графика функции с примерами решенияможно получить с использованием формул

Асимптоты графика функции с примерами решения Асимптоты графика функции с примерами решения

Понятие асимптоты

Если кривая Асимптоты графика функции с примерами решения имеет бесконечную ветвь, то асимптотой такой кривой называют прямую, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Другими словами, асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при ее удалении в бесконечность.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными.

Например, для графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения график функции приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения ось Асимптоты графика функции с примерами решениягоризонтальная асимптота. Когда функция стремится к Асимптоты графика функции с примерами решения (или Асимптоты графика функции с примерами решения), то кривая приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения ось Асимптоты графика функции с примерами решениявертикальная асимптота.

Если рассмотреть функциюАсимптоты графика функции с примерами решения то при Асимптоты графика функции с примерами решения выражение Асимптоты графика функции с примерами решенияВследствие этого график функции Асимптоты графика функции с примерами решения приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому эта прямая будет наклонной асимптотой графика функцииАсимптоты графика функции с примерами решения(рис. 7.2) (график этой функции имеет также и вертикальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения).

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту, поэтому не у каждого графика функции будет асимптота. Но исследование функции на наличие у ее графика асимптот позволяет уточнить свойства функции и поведение ее графика.

Асимптоты графика функции с примерами решенияАсимптоты графика функции с примерами решения

Вертикальные асимптоты

Если прямая Асимптоты графика функции с примерами решения — вертикальная асимптота, то по определению около точки Асимптоты графика функции с примерами решения кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел данной функции при Асимптоты графика функции с примерами решения (слева или справа) должен равняться бесконечности (Асимптоты графика функции с примерами решения). Исходя из непрерывности элементарных функций, которые рассматривались в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, ограничивающие открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции.

Например, у функции Асимптоты графика функции с примерами решения область определения Асимптоты графика функции с примерами решения имеет разрыв в точке Асимптоты графика функции с примерами решения (область определения: Асимптоты графика функции с примерами решения и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Можно предположить, что прямая Асимптоты графика функции с примерами решения будет вертикальной асимптотой. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, будет ли функция стремиться к бесконечности около точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим

Асимптоты графика функции с примерами решения

Аналогично Асимптоты графика функции с примерами решения

Таким образом, прямая Асимптоты графика функции с примерами решения является вертикальной асимптотой, поскольку при стремлении функции к бесконечности ее график неограниченно приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.3).

Асимптоты графика функции с примерами решенияАсимптоты графика функции с примерами решения

Отметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция Асимптоты графика функции с примерами решения имеет область определения Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому прямая Асимптоты графика функции с примерами решения «подозрительна» на вертикальную асимптоту. Но Асимптоты графика функции с примерами решения АналогичноАсимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, около прямой Асимптоты графика функции с примерами решенияфункция Асимптоты графика функции с примерами решения не стремится к бесконечности, и поэтому прямая Асимптоты графика функции с примерами решения не является асимптотой графика данной функции (рис. 7.4).

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Наклонные и горизонтальные асимптоты довольно просто находятся для графиков дробно-рациональных функций, у которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого достаточно выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.

Например, еще раз рассмотрим функцию Асимптоты графика функции с примерами решения Выделим целую часть: Асимптоты графика функции с примерами решения

При Асимптоты графика функции с примерами решения выражение Асимптоты графика функции с примерами решения то есть график нашей функции будет х -1 неограниченно приближаться к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения Из этого следует, что наклонной асимптотой графика данной функции* будет прямая Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.3).

Рассмотрим, как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты в общем случае.

Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции Асимптоты графика функции с примерами решенияявляется прямая Асимптоты графика функции с примерами решения По определению асимптоты при Асимптоты графика функции с примерами решения график функции Асимптоты графика функции с примерами решения неограниченно приближается к прямой Асимптоты графика функции с примерами решения Другими словами, при Асимптоты графика функции с примерами решения с любой точностью будет выполняться равенство

Асимптоты графика функции с примерами решения (1)

Эта равенство не нарушится, если обе его части разделить на Асимптоты графика функции с примерами решения Получим: Асимптоты графика функции с примерами решения При Асимптоты графика функции с примерами решения отношение Асимптоты графика функции с примерами решения поэтому отношение Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения, то есть

Асимптоты графика функции с примерами решения(2)

Возвращаясь к формуле (1), получаем, что при Асимптоты графика функции с примерами решения то есть

Асимптоты графика функции с примерами решения(3)

Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции Асимптоты графика функции с примерами решения (при условии, что они существуют).

Отметим, что если у графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет Асимптоты графика функции с примерами решения (в этом случае Асимптоты графика функции с примерами решения). Но при Асимптоты графика функции с примерами решения из формулы (3) получаем Асимптоты графика функции с примерами решения Следовательно, если существует число Асимптоты графика функции с примерами решения то график функции Асимптоты графика функции с примерами решения имеет горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Пользуясь общими формулами, найдите наклонную асимптоту графика функцииАсимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Будем искать наклонную асимптоту в виде Асимптоты графика функции с примерами решения где Асимптоты графика функции с примерами решения и Асимптоты графика функции с примерами решения находятся по формулам (2) и (3):

Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптотой графика данной функции будет прямая Асимптоты графика функции с примерами решения то есть прямая Асимптоты графика функции с примерами решения

Пример:

Найдите асимптоты графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Область определения функции: Асимптоты графика функции с примерами решения — любое действительное число, то естьАсимптоты графика функции с примерами решения На всей области определения эта функция непрерывна, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Будем искать наклонные и горизонтальные асимптоты в виде Асимптоты графика функции с примерами решения Тогда

Асимптоты графика функции с примерами решения

Таким образом, заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции с примерами решения (рис. 7.5).

Иногда график функции Асимптоты графика функции с примерами решения может иметь разные асимптоты при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения в этом случае при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения Асимптоты графика функции с примерами решения и Асимптоты графика функции с примерами решения при Асимптоты графика функции с примерами решения и при Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Как найти асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая Асимптоты графика функции с примерами решения называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке Асимптоты графика функции с примерами решенияравен бесконечности: Асимптоты графика функции с примерами решения Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.

Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.

Для того чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Асимптоты графика функции с примерами решения

Частным случаем наклонной асимптоты (k=0) является горизонтальная асимптота.

Пример:

Найти асимптоты графика функции Асимптоты графика функции с примерами решения

Решение:

Функция Асимптоты графика функции с примерами решения непрерывна в области определения Асимптоты графика функции с примерами решения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты y=kx+b:

Асимптоты графика функции с примерами решения

Получаем горизонтальную асимптоту y=0.

Общее исследование функции и построение графика

С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Исследовать функцию на четность Асимптоты графика функции с примерами решения нечетность Асимптоты графика функции с примерами решения периодичность Асимптоты графика функции с примерами решения
  3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
  4. Найти асимптоты графика функции.
  5. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
  6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
  7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).

Пример:

Провести полное исследование функции Асимптоты графика функции с примерами решения и построить ее график.

Решение:

Область определения функции — вся числовая прямая: Асимптоты графика функции с примерами решения

Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и Асимптоты графика функции с примерами решения

Асимптоты графика функции с примерами решения

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для Асимптоты графика функции с примерами решения

Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку Асимптоты графика функции с примерами решения точек разрыва нет.

Строим график функции, используя результаты исследования.

Асимптоты графика функции с примерами решения

  • Касательная к графику функции и производная
  • Предел и непрерывность функции
  • Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  • Предел функции на бесконечности
  • Иррациональные уравнения
  • Иррациональные неравенства
  • Производная в математике
  • Как найти производную функции
Анализ дробно-рациональной функции. Асимптоты, экстремум

Функция      $y=frac{k}{x}$ .     Гипербола.   Свойства.

Пример 1:          Построить   график   для   функции    $y=frac{1}{x}$,      $fleft(xright)=frac{1}{x}$

  • Вычислим значения функции   в   разнознаковых   точках   и   нанесем точки с вычисленными координатами в системе   $XOY$.
  • $fleft(1right)=1$             $fleft(frac{1}{2}right)=2$                 $fleft(-1right)=-1$                $x=-frac{1}{2}$           $fleft(-frac{1}{2}right)=-2$       $fleft(2right)=frac{1}{2}$                   $fleft(frac{1}{4}right)=4$                          $fleft(-frac{1}{4}right)=-4$       $fleft(4right)=frac{1}{4}$                   $fleft(1right)=8$                $fleft(-4right)=-frac{1}{4}$                      $fleft(-frac{1}{8}right)=-8$        .
  • Точки Графика $(1;1)$,   $(2;1/2)$,   $(4;1/4)$,   $(1/2;2)$,   $(1/4;4)$,   $(1/8;8)$,    $(-1;-1)$,   $(-2;-1/2)$,   Еще точки:   $(-4;-1/4)$,   $(-1/2;-2)$,     $(-1/4;-4)$,   $(-1/8;-8)$ . По всем   точкам построим   кривые      график функции   $y=frac{1}{x}$
  • График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$.    Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.

Графиком функции       $y=frac{k}{x}$       $kne0$      является   гипербола ,   ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

  • если коэффициент   $k > 0$ ,    в   I   и    III   координатных четвертях.   Точка   $(0;0)$      центр симметрии.
  • если   $k < 0$ ,    то   во   II    и   IV   координатных четвертях. Точка   $(0;0)$      центр симметрии.
  • Асимптоты:         Вертикальная асимптота,   линия   $x=0$,               Горизонтальная   асимптота,    линия    $y=0$               

                        

Cвойства   функции      $y=frac{k}{x}$    при    $k > 0$        ( ветви   гиперболы   расположены   в   первом   и   третьем   координатных   углах) .

Свойство 1:     Область   Определения   Функции — вся   числовая   прямая , кроме    $x=0$.     Свойство 2:     $y > 0$   при   $x > 0$;      $y < 0$   при    $x < 0$.    Свойство 3:     Функция   убывает на    промежутках      $( — ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$       Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху. Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений   $у$    у функций   нет.     Свойство 6:     Функция   непрерывна   на    $( — ∞ ; 0 )$    и    $( 0 ; + ∞)$. Свойство 7:     Область   значений функции       $( — ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$.    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Cвойства   функции      $y=frac{k}{x}$    при      $k < 0$        (ветви гиперболы расположены   во   втором   и   четвертом   координатных   углах).

Свойство 1:     Область   Определения   Функции      вся   числовая   прямая ,    кроме    $x=0$. Свойство 2:     $y > 0$    при    $x < 0$ ;        $y < 0$   при    $x > 0$. Свойство 3:     Функция   возрастает   на   промежутках     $( — ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху. Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений    $у$    у функций   нет. Свойство 6:     Функция   непрерывна   на   $( — ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 7:     Область   значений   функции      объединение     $( — ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$ .    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Метод Замены для построения Графика Функции.

Мысль: Умеем строить график функции попроще … используем его для построения функции при «сдвинутых» аргументах и значениях.

Как   построить   график   функции    $y=kcdot fleft(xright)$,    если   известен   график   функции     $y=fleft(xright)$.

  • График   $y=5cdot fleft(xright)$:     Расстянуть вертикально вверх по оси   $OY$   5 раз все, что над $OX$ графика   $y=fleft(xright)$    ,    $k$ раза.
  • График   $y=5cdot fleft(xright)$:     Расстянуть вертикально вниз по оси   $OY$   5 раз все, что под $OX$ графика   $y=fleft(xright)$    ,    $k$ раза.
  • График   $y=frac{1}{3}cdot fleft(xright)$: Сжать по вертикали, оси   $OY$   график   $y=fleft(xright)$     3 раза.
  • Еще способ: Перемасштабирование.     Для   $y=5cdot fleft(xright)$ … построить    $y=fleft(xright)$, изменить масштаб: «1» станет «5», «-2» станет «-10», и т.д.

Как   построить   график   функции    $y=-fleft(xright)$,    если   известен   график   функции     $y=fleft(xright)$.

  • Эти функции принимают ровно противоположные значения. Значит: график $y=fleft(xright)$   надо отразить по оси $OX$, «перевернуть».

Как   построить   график   функции    $y=fleft(x+lright)$,    если   известен   график   функции     $y=fleft(xright)$.

  • Построить график   $y=fleft(x+lright)$,    где     $l > 0$?      Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$    вдоль оси   $OX$    на   $l$   единиц масштаба влево.
  • Построить график   $y=fleft(x-lright)$,    где     $l < 0$?     Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$    вдоль оси   $OX$   на   $l$   единиц масштаба вправо.

Как построить график функции    $y=fleft(xright)+m$,    если известен график функции    $y=fleft(xright)$.

  • Построить график   $y=fleft(xright)+m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$ вдоль оси   $OY$ на   $m$   единиц масштаба вверх;
  • Построить график   $y=fleft(xright)-m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$   вдоль оси   $OY$   на   $m$   единиц масштаба вниз.

Как построить график функции   $y=fleft(x+lright)+m$,   если известен график функции    $y=fleft(xright)$.

  • График функции    $y=fleft(x+lright)+m$   можно получить из графика    $y=fleft(xright)$ параллельными   сдвигами по осям    $OX$ и   $OY$.

График Дробной Функции.    

Пример 2:                Построить график функции     $y=-frac{5}{x+3}$ .

  • сначала построим график функции       $y=-frac{5}{x}$ … от графика $y=frac{1}{x}$ … отразим от   $OX$ и растянем по вертикали 5 раз.
  • сдвинем получившуюся гиперболу вдоль оси   $OX$    на   $3$   единицы влево, получится   требуемый   график.
  • это   гипербола   с асимптотами $x=-3$;     $y=0$.     «почему   так?»      как   мы   строим графики?
  • берем   несколько    $x$ — точек   и   находим   для   каждого   свои   $y$ — значения   в   соответствии «с   формулой функции».
  • По точкам   проводим   график. Очевидно,   если, скажем,      $x=0,52$      функция   $y=-frac{5}{x+3}$       дает   какое-то   значение,
  • … то,   конечно   для    $x=3,52$     другая   функция,      $y=-frac{5}{x}$    дает   ровно   такое же   значение.
  • значит,   точки   графиков   будут различаться на   $3$   единицы    по   $x$ — координате   и совпадать по $y$ — координате.
  • Ровно   так   и   для   всех   точек.   «Сравни две функции и вообрази их графики: каковы различия и что общего? «

                             

Пример 3:                Построить график функции     $y=frac{4}{x}-5$ .

  • Сначала   надо   построить   график   функции       $y=frac{4}{x}$ .   Гиперболу   $y=frac{1}{x}$ «растянем» четыре раза.
  • Сдвинуть   получившуюся   гиперболу   вдоль   оси     $OY$    на   $5$ клеточек   вниз.   Т.к. каждое значение должно отличаться на 5 единиц.
  • получится   требуемый   график.    Это   гипербола   с   асимптотами     $x=0$;     $y=-5$.
  • Важно знать где пересекается с нулем.   Решение, корень      $frac{4}{x}-5=0$ дает абсциссу $x=0.8$. Точка графика $left(0,8;0right)$.
  • Исследование:     Найдем производное: $left(frac{4}{x}-5right)’=-frac{4}{x^2}$. Нигде не = 0, Экстремума нет!
  • Производная для всех $x$   (кроме $0$) отрицательна — значит всюду убывает.
  • Область Определения:    $D_f=left(-infty;0right)+left(0;+inftyright)$                          Область значений $E_f=left(-infty; -5right)+left(-5;+inftyright)$
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-infty;0,8right)$ — функция   отрицательна,                $-Z_f=left(0,8;+inftyright)$   — функция   положительна.
  • Монотонность:    $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ — возрастает         $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$   — функция убывает

Вертикальная асимптота ( $x=0$,) проходит в полюсе, точке разрыва функции.   Точка обнуления знаменателя.   Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота ( $y=-5$ ), линия, на которую «ложится» график при значениях $х$    около   $+-infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола — график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы «зажаты — прижаты» к асимптотическим линиям .

Наклонная асимптота — линия типа $y=2x+3$, к которой    «прижимаются»   ветви графика   «на» или   «около»   + — бесконечнoсти.

Пример 4:                Построить график функции     $y=frac{x-5}{x^2-25}$

  • Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
  • Тождественное преобразование, сокращение       $frac{x-5}{x^2-25}=frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=frac{1}{x+5}$. Так, что график $y=frac{1}{x+5}$ ?
  • Не спеши!   Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З — в исходной функции нет места $x=5$.
  • Значит: можем строить гиперболу $y=frac{1}{x+5}$ взамен нашей $y=frac{x-5}{x^2-25}$, но «без точки $x=5$».
  • Точка $x=5$ разрывает «гладкий» график гиперболы. Она называется «выколотая точка с координатами $left(5;0,1right)$».

Важно уметь исследовать функцию — график около точек разрыва.        + / — поблизости.    Куда тянется?

  • Исследуем около   $x=-5$.        Возьмем «близкие» точки $-5,01$ и   $-4,99$.     Вычислим приближенные значения.
  • Чуть левее … $fleft(-5,01right)=frac{-5,01-5}{(-5,01)^2-5^2}approx -100$.         Чуть правее … $fleft(-4,99right)=frac{-4,99-5}{(-4,99)^2-5^2}approx 100$.
  • Прямая   $x=-5$ — вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается «вниз», к     $-infty$ . А справа поднимается вверх к     $+infty$.
  • Около   $x=5$.    Чуть левее   $fleft(4,99right)=frac{4,99-5}{4,99^2-5^2}approx0,101$.   $fleft(5,01right)=frac{5,01-5}{5,01^2-5^2}approx0,099$.
  • Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике   выколотая точка    $left(5;0,1right)$.        Т.к. в ней   $y=frac{1}{5+5}=0,1$.
  • «О нулях»:   при   $x=0$    $y=0,2$ .   Но функция нигде не обнуляется, $yne0$. Прямая   $y=0$ — горизонтальная асимптота.
  • Анализ:    Найдем производное: $left(frac{x-5}{x^2-25}right)’=left(frac{1}{x+5}right)’=-frac{1}{left(x+5right)^2}$
  • Производная не равна нулю нигде и всюду отрицательна. Экстремума нет, Всюду убывающая функция.
  • Область Определения функции:    $D_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$   .
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ — функция положительна.                $-Z_f=left(-infty;-5right)$   — функция отрицательна
  • Монотонность:    $+M_f=varnothing $ — нет роста.         $-M_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$   — функция убывает
  • Область значений $E_f=left(-infty;0right)+left(0;0,8right)+left(0,8;inftyright)$

                       

Пример 5:                Построить график функции     $y=frac{x^2-16}{x+4}$

  • О.Д.З   функции    $xne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим   $y=frac{x^2-16}{x+4}=x-4$.
  • График нашей функции          прямая линия       $y=x-4$       с выколотой точкой       $left(-4;-8right)$      при   $x=-4$.
  • «Близко чуть левее»:    $x=-4,01$   значение      $fleft(-4,01right)=frac{(-4,01)^2-16}{-4,01+4}=-8,01$.         Ближе?         Предел    $approx-8$.
  • «О нулях».      при   $x=0$    $y=-4$ .    Обнуление функции $y=0$    при    $x=4$ — пересечение с   $x$ — осью.
  • Анализ: Найдем производное: $left(frac{x^2-16}{x+4}right)’=left(x-4right)’=1$
  • Производное всюду равно 1. Постоянный рост. Кроме разрыва, конечно. Нет точки Экстремума.
  • Область Определения:    $D_f=left(-infty;-4right)+left(4;+inftyright)$          Область значений $E_f=left(-infty;-8right)+left(-8;inftyright)$
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=left(4;+inftyright)$ — функция положительна.                $-Z_f=left(-infty;4right)$   — функция отрицательна
  • Монотонность:    $+M_f=left(-infty;-4right)+left(-4;inftyright)$ — возрастает

График Дробно — Рациональной Функции.

Определение:     дробно-рациональной порядка     $left(n;mright)$     называется функция вида      $y=frac{acdot x^n+5x^3-x+c}{bcdot x^m-4x^2-7x+d}$   

Числитель — многочлен степени   $n$     , знаменатель — многочлен степени    $m$ .       Общий вид:   $y=frac{Pleft(xright)}{Qleft(xright)}$

Нули функции — корни числителя $Pleft(xright)=0$ , Асимптоты (полюсы) — корни знаменателя $Qleft(xright)=0$.

Пример 6:                  Построить график функции        $y=frac{x^2}{x^2-9}$.

  • Функция    $fleft(xright)=frac{x^2}{x^2-9}$ — четная:    $fleft(xright)=fleft(xright)$      $fleft(8right)=fleft(-8right)$   — Слева и справа от $OY$ симметрично.
  • Вычисления: $fleft(-4right)=frac{left(-4right)^2}{left(-4right)^2-9}=frac{16}{7}approx2,3$           $fleft(-10right)=frac{100}{91}approx 1,1$           $fleft(-5right)=frac{25}{16}approx 1,6$            $fleft(-3,5right)=frac{12.25}{3,25}approx 3,8$
  • $fleft(-2right)=fleft(2right)=frac{4}{-5}approx -0,8$          $fleft(-1right)=fleft(1right)approx -0,1$             $fleft(3,5right)approx 3,8$ $fleft(4right)approx 2,3$          $fleft(5right)approx 1,6$          $fleft(10right)approx 1,1$
  • Наша функция имеет нули в точке    $x=0$ , а вертикальные асимтоты — линии    $x=-3$   ,      $x=3$
  • Асимптота — прямая линия, к которой «прижимается» график функции, «подходя» к ней бесконечно близко.
  • Чему равно     $frac{x^2}{x^2-9}$      при очень больших   $x$ ?         $xapproxpm1000$ ? Конечно,    $yapprox1$                горизонтальная асимптота      $y=1$ .
  • Анализ графика:      1)       Обнуляется   при   $x=0$ . 2) Значение       в нуле :     $y=frac{x^2}{x^2-9}$     в     $x=0$     равно      $y=0$.
  • 3) Поведение в разрывах:    «чуть левее»    полюса      $xapprox-3-0,01$     значение     $y > 0$   — «большое    положительное».
  • «чуть правее»    разрыва      $xapprox-3+0,01$     значение   функции    «большое отрицательное».
  • Поведение около другого разрыва:   когда    $x$     «чуть левее» ,   например      $xapprox3-0,01$   ,     то        $y < 0$     ;
  • когда    $x$      «чуть правее» ,    например       $xapprox3+0,01$     , то        $y > 0$.
  • 4) Поведение на бесконечности: при        $xapproxpminfty$         значение    «ложится»    около       $yapprox1$.
  • 5) Область определения функции — все точки оси     $x$ ,     кроме        $x=pm3$
  • 6) Функция положительна      $y > 0$   на интервалах      $x < -3$    ,       $x > 3$.
  • 7) Функция отрицательна      $y < 0$   на интервалах     $-3 < x < 0$     ,       $0 < x < 3$.

Исследование Функции:

  • Найдем производное:   $left(frac{x^2}{x^2-9}right)’=frac{2xleft(x^2-9right)-x^2cdot2x}{left(x^2-9right)^2}=frac{-18x}{left(x^2-9right)^2}$
  • Производное равно нулю дает точку Экстремума:    $x=0$.   Точка Максимума.
  • Производная отрицательна — значит убывает   $x > 0$. Производная положительна, значит возрастает:   $x < 0$
  • Область Определения:     $D_f=left(-infty;-3right)+left(-3;3right)+left(3;+infty8right)$   — область определения функции.
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-infty;-3right)+left(3;+inftyright)$ — функция положительна.                $-Z_f=left(-3;3right)$   — функция отрицательна
  • Монотонность:    $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ — возрастает         $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$   — функция убывает
  • Область значений                   $E_f=left(-infty;0right)+left(1;inftyright)$

пробaп                   

Пример 7:                  Анализ графика функции      $y=frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}$

  • нули — точки обнуления числителя         $4x^2-5x-6=0$         $x=2$         $x=-frac{3}{4}$
  • Представление:     $frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}=frac{2cdot left(2x^2-3x+1right)+x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{left(2x-1right)left(x-1right)}=2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}$
  • разрыв (полюс):             $2x^2-3x+1=0$        вертикальные асимптоты        $x=1$       и       $x=0,5$.
  • при       $xapproxpm infty$      значение   «ложится»   около        $yapprox2$.        $-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}$        $x=0,75$     $x=15,24$
  • Производное:        $left(2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}right)’=-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x-1right)^2cdotleft(x-1right)^2}$
  • Или так:   $left(frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}right)’=frac{left(4x^2-5x-6right)’cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(2x^2-3x+1right)’}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{left(8x-5right)cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(4x-3right)}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}$
  • Уравнение Экстремумов:          $frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}=0$.                 $-2x^2+32x-23=0$.                  $x=8pm0,5sqrt{210}$     
  • Производная отрицательна на интервалах       $-M_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;8-0,5sqrt{210}right)+left(8+0,5sqrt{210};inftyright)$.    Убывает.
  • Производная положительна на интервалах       $+M_f=left(8-0,5sqrt{210};1right)+left(1;8+0,5sqrt{210}right)$.         Возрастает.
  • Точка Минимума:    $x=8-0,5sqrt{210}$       $xapprox0,75$ .                             Точка Максимума:        $x=8+0,5sqrt{210}$    $xapprox15,25$
  • Область Определения:    $D_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;1right)+left(1;+inftyright)$   .
  • Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-infty;-0,75right)+left(0,5;1right)+left(2;+inftyright)$ — положительна.                $-Z_f=left(-0,75;0right)+left(1;2right)$   — отрицательна.
  • Область значений (приближенно!)               $E_fapproxleft(-infty;2,001right)+left(60;inftyright)$

                                 

Пример 8:                  Анализ графика функции      $y=frac{3x^2-5x-8}{x-2}$

  • нули — точки обнуления числителя         $3x^2-5x+8=0$         $x=-1$         $x=frac{8}{3}approx2,7$
  • разрыв (полюс):             $x-2=0$        вертикальные асимптоты        $x=2$   .
  • «чуть левее»:    $fleft(2-10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2-10^{-7}right)^2-5left(2-10^{-7}right)-8}{2-10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8-12cdot10^{-7}+5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{-10^{-7}}approx6cdot10^7$       Значит, уходит к $+infty$
  • Чуть правее:    $fleft(2+10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2+10^{-7}right)^2-5left(2+10^{-7}right)-8}{2+10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8+12cdot10^{-7}-5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{10^{-7}}approx-6cdot10^7$    …. бежит к   $-infty$
  • Представим нашу функцию по-другому :       $frac{3x^2-5x-8}{x-2}=frac{3x^2-6x+x-2-6}{x-2}=3x+1-frac{6}{x-2}$
  • Видно, что при больших   $x=2$     она     «почти совпадает» с линейной функцией   $3x+1$. «прижимается к ней».
  • $y=3x+1$ — наклонная асимптота нашей функции.
  • Найдем производное: $left(frac{3x^2-5x-8}{x-2}right)’=frac{left(6x-5right)left(x-2right)-1cdotleft(3x^2-5x-8right)}{(x-2)^2}=frac{3x^2-12x+18}{(x-2)^2}=frac{3left(x^2-4x+6right)}{(x-2)^2}$
  • Производное нигде не равно нулю, нет Экстремума:    Производное   всюду положительно, значит, возрастает.
  • Область Определения:    $D_f=left(-infty;2right)+left(2;+inftyright)$ .       Полюс в     $x=2$ .
  • Знакопостоянство:     $+Z_f=left(-1;2right)+left(frac{8}{3};+inftyright)$ — функция положительна.                $-Z_f=left(-infty;-1right)+left(-1;frac{8}{3}right)$   — функция отрицательна
  • Монотонность:                   $+M_f=left(-infty;2right)+left(2;inftyright)$       всюду возрастает
  • Область значений                        $E_f=left(-infty;+inftyright)$

Графический способ решения уравнений

Пример 9:                Решить уравнение         $frac{2}{x}=x^2+1$       графическим   способом.

  • Построим   гиперболу      $y=frac{2}{x}$      и   параболу      $y=x^2+1$ . Равенство означает пересечение.
  • Левая функция   и   правая   функция приобретают   одинаковые значения        графики   этих   функций пересекаются.
  • По чертежу   видно,   что   графики   пересекаются   в   точке    с   координатами    $left(1;2right)$.     ответ:      $x=1$.

                     

Пример 10:                Решить уравнение                            $frac{5}{x}=x-4$.

  • Построим   их   графики:   гиперболу    $y=frac{5}{x}$    и   прямую   $y=x-4$.    пересекаются ?
  • Гипербола   и   прямая   пересекаются    в   точках   $(-1;-5)$    и    $(5;1)$.    ответ:       $x_1=-1$;      $x_2=5$.

Пример 11:                  Найти наименьшее и наибольшее значения функции    $y=frac{1}{x}$     на отрезках   а)    $left[frac{1}{3};5right]$      и    б)   $left[-7;-1right]$.

  • Построим график функции   $y=frac{1}{x}$ .
  • Выделим   часть   графика,    соответствующую   значениям   переменной   $x$    на отрезке    $left[frac{1}{3};5right]$.
  • Для   выделенной   части графика   находим:   наименьшее   значение   $y=frac{1}{5}$     при     $x=5$ ,     наибольшее      $y=3$    при     $x=frac{1}{3}$.
  • Выделим   часть   графика,   соответствующую   значениям   переменной    $x$   на   отрезке    $left[-7;-1right]$.
  • Для   выделенной части   графика   находим:   наименьшее   значение   $y=-frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее   $y=-1$    при    $x=-1$.     

Упражнения

«Асимптоты  дробно-рациональных функций»

Секция: математика

Автор:

Мантрова Марина
Николаевна,

учитель математики
МБУ «Школа № 11»

г.о. Тольятти
Самарской обл.

Тольятти
2022

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение……………………………………………………………………………3

Раздел 1. Теоретические
сведения об асимптотах…………………………………5

1.     Понятие
асимптоты………………………………………….……………..5

2.     Виды
асимптот графиков………………………………………………….5

3.     Связь
между наклонной и горизонтальной асимптотами……………….6

4.     Правила
нахождения асимптот……………………………………………….7

Раздел 2. Образцы
дробно-рациональных функций, при построении графиков которых асимптотами
являются параболы и гиперболы………………….…..10

1.     Задача
№ 1405, Берман……………………………………………………10

2.     Задача
№ 1215, Минорский………………………………………………11

3.     Задача
№ 1217, Минорский………………………………………………13

4.     Задача
№1400, Берман……………………………………………………15

5.     Задача
№5…………………………………………………………………17

Выводы……………………………………………………………………………20

Литература……………………………………………………………………….21

ВВЕДЕНИЕ.

Графики
функций являются неотъемлемой частью школьного курса математики. От точности их
построения зависит, насколько правильно будут определены свойства тех или иных
функций. Для более точного построения графиков необходимо выявить наличие у них
асимптот.

Цель
работы —  выяснить, могут ли графики дробно-рациональных функций асимптотически
приближаться к кривым: параболам и гиперболам.

           Для достижения
цели исследования  поставлены конкретные задачи:

1.    
Изучить
состояние вопроса по источникам информации.

2.     Выдвинуть
гипотезу о том, что в качестве асимптот могут выступать параболы и гиперболы.

3.     Экспериментально
проверить свою гипотезу в процессе построения графиков.

          При решении
сформулированных задач были использованы следующие методы: изучение и
анализ литературы по проблеме исследования, наблюдение, синтез, индукция.

          Объектом
исследования
являются графики дробно-рациональных функций.

          Предмет
исследования
: асимптоты.

РАЗДЕЛ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АСИМПТОТАХ.

1.    
Понятие асимптоты.

Асимптотой
кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой,
стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала
координат или, что то же, когда расстояние точки от начала координат
неограниченно растет.
[1,
с 238]

2.    
Виды асимптот графиков.

Вертикальная

Вертикальная
асимптота — прямая вида Описание: ~x = a  при условии
существования предела Описание: lim_{x to  a}f(x)= infty .

Как правило, при
определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних
(левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по
мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Итак, для того,
чтобы ветвь кривой у=
f(х) имела вертикальную асимптоту х=а,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из соотношений:

Описание: lim_{x to  a-0}f(x)=  infty

Описание: lim_{x to  a+0}f(x)=  infty . [2,c.391]

Горизонтальная

Горизонтальная
асимптота — прямая вида Описание: ~y = a  при условии
существования предела

Описание: lim_{x to  pm infty}f(x)=a.

Наклонная

Наклонная
асимптота — асимптота, не перпендикулярная оси Ох. Уравнение этой
асимптоты должно иметь вид  Описание: ~y=kx+b  . [2, с.392]

 Если существуют
конечные пределы  

Описание: lim_{x to pm infty}frac{f(x)}{x}=k    , Описание: lim_{x to pm infty}(f(x)-kx)=b,

 то кривая  у=f(х)  имеет
асимптоту Описание: ~y=kx+b. [1, с. 239]

Замечание: функция может
иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы
один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен Описание: infty), то наклонной асимптоты при Описание: x to + infty(или Описание: x to - infty) не
существует!

3.    
Связь
между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при
вычислении предела Описание: lim_{x to  pm infty}frac{f(x)}{x}=0, то очевидно, что
наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими
двумя видами асимптот?

Дело в том, что
горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при Описание: lim_{x to  pm infty}frac{f(x)}{x}=0, и из выше указанных
замечаний следует, что

А.   Функция
имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту,
или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две
горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

Б.     Существование
указанных в п. А. асимптот напрямую связано с существованием соответствующих
пределов. 

4.     Правила
нахождения асимптот.

Алгоритм
нахождения асимптот через пределы:

1.     Нахождение
вертикальных асимптот.

2.     Нахождение
двух пределов
Описание: lim_{x to  pm infty}frac{f(x)}{x}=k

3.     Нахождение
двух пределов
Описание: lim_{x to  pm infty}(f(x)-kx)=b

если Описание: ~k=0  в п. 2., то Описание: ~kx=0, и предел Описание: lim_{x to  pm infty}(f(x)-kx)=b ищется по формуле
горизонтальной асимптоты, Описание: lim_{x to  pm infty}f(x)=a

Наклонная асимптота может быть получена также путем выделения
целой части из рациональной дроби [3, с.240]. Для кривой у=Р(х)/G(х) существует
наклонная асимптота при условии, что степень многочлена Р(х) на единицу больше
степени многочлена G(х) [3, с.240].

Рассмотрим конкретный пример: Задача №1409, Берман[4,]

Построить график функции у=.

Преобразуем функцию к виду у= и выделим из неё целую
часть
  

=, где целая часть   и есть наклонная
асимптота.

Можно было её найти  и через пределы.

 

У=кх+b, 
у=    — наклонная асимптота.

Проведём полное исследование функции для построения её
графика.

D(у)=, следовательно х=-1
вертикальная асимптота.

,  при
 х=0, х=-1, х=-3.

х

-3

-1

0

У

Не
сущ.

0

+

0

не
сущ.

+

0

+

Точка
максимума

Точка
разрыва

Точка
перегиба

Дополнительные точки:

х

-2

-0,5

1

2

у

-4

-0,25

Описание: F:img1351.jpgТаблица для наклонной асимптоты у=:

Используя исследование функции, строим её график.

Рассмотренный
выше пример показывает, как искать наклонные асимптоты для графиков
дробно-рациональных функций: надо представить, если это возможно, данную
функцию в виде суммы линейной функции и функции, бесконечно малой при
х→∞. Тогда график линейной функции и будет наклонной асимптотой. Из
разобранного примера видно, что наклонная асимптота к графику рациональной
функции существует, если степень числителя на единицу больше степени
знаменателя.[3,
c.137 – 138]

Изучая
учебное пособие для углубленного изучения математики
Виленкина
Н. Я. « Алгебра и математический анализ для 10 класса» [3],
 я
нашла задание № 300, в котором говорится найти параболу, к которой
неограниченно приближаются при х→∞ графики следующих: функций: [3]

У
меня возник вопрос, а что будет, если степень числителя на 2 или 3 единицы
больше знаменателя, или на 1,2 единицы меньше степени знаменателя? Ответа на
свой вопрос в книжных источниках и интернете найти не удалось.  После анализа
сборников задач по высшей математике [4],  [5] я нашла ряд функций,
которые меня заинтересовали. Например,

 у=у=, у=, у=.  Более подробно
рассмотрим эти функции в следующем разделе и попробуем к ним применить метод
выделения целой части для нахождения криволинейных асимптот.

РАЗДЕЛ 2. ОБРАЗЦЫ
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, ПРИ ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ КОТОРЫХ АСИМПТОТАМИ ЯВЛЯЮТСЯ
ПАРАБОЛЫ И ГИПЕРБОЛЫ.

1.     Задача
№ 1405, Берман.
[4]

Построить график функции 
у=
.

 По аналогии с рассмотренным
выше примером выделим целую часть из дроби
.
Можно
предположить, что
 
это асимптота, но явно, что это не линейная функция, а квадратичная. Проверим,
действительно ли это так экспериментальным путём.  Построим график функции,
опираясь на её исследование, и график предполагаемой асимптоты.

D(у)= , поэтому х=0 –
вертикальная асимптота.

==0,    если   х=0,5.

=0, если   х=0,  х=.

х

0

0,5

у

   

0

   

Не сущ.

   

3

    

Не
сущ.

0

+

+

0

Не
сущ.

+

+

Точка
перегиба

Точка
разрыва

Точка
минимума

Дополнительные точки:

Таблица для асимптоты у=:

Х

-2

-1

0

1

2

у

16

4

0

4

16

На основании исследования функции строим её график и
её асимптоты.

Описание: F:img1363.jpg

Вывод: очевидно, что график функции у= действительно приближается к квадратичной параболе у=4х2

2.     Задача
№ 1215, Минорский.
[5]

Построить график функции у=

Преобразуем функцию к виду у=  и выделим из дроби целую
часть
.

Предположим, что целая часть  — это параболическая
асимптота данного графика. Убедимся в этом на практике.

D)= , значит х=2 – вертикальная
асимптота
.

=0,  если х=1 и
х=4.

Х

1

2

4

У

3

Не
сущ.

0

0

+

Не
сущ.

+

0

+

Точка
минимума

Точка
разрыва

Точка
перегиба

Дополнительные точки:

Х

0

1

3

4

5

6

у

3

0

Таблица для параболической асимптоты   у= :

Вершина

х

3

4

5

6

у

Используя результаты исследования функции,  строим её
график и  асимптоты.

Описание: F:img1341.jpg

Вывод: убеждаемся, что у= квадратичная парабола является асимптотой для графика функции у=

3.     Задача
№ 1217, Минорский.
[5]

Построить график функции У=.

Преобразуем функцию к
виду у =  .  Предположим,
что

  у= гиперболическая асимптота.
Проверим это, выполнив построения.

D(у)=. Следовательно, х=0 – вертикальная асимптота.

Найдём  к=

               b=

Значит, у=0 =
горизонтальная асимптота.


если х=1,  х= -1, х=0.

Вычислим

х

-1

0

1

у

1

Не
сущ.

1

+

0

Не
сущ.

+

0

Точка
максимума

Точка
разрыва

Точка
максимума

Дополнительные точки:

Х

1

2

3

0,5

у

1

-8

Таблица для асимптоты  у=

Х

1

2

3

0,5

у

2

0,5

8

Описание: F:img1371.jpg

Вывод: график функции у= имеет
гиперболическую асимптоту у=

4.     Задача
№1400, Берман.
[4]

Провести полное исследование данной функции и
начертить её график

У= .

Приведём данную функцию к виду у= .

Можно предположить, что у=  является
криволинейной асимптотой для данного графика. Проверим это экспериментальным
путём, сделав полное исследование функции, построив её график и асимптоту у= .

D(у)= , следовательно х=1 и х=-1 –
вертикальные асимптоты.

Найдём к=,

              в= .

У=0 – горизонтальная асимптота.

Вычислим  ни при каких
значения х.

Х

-1

1

У

Не
сущ.

Не
сущ.

Не
сущ.

Не
сущ.

Точка
разрыва

Точка
разрыва

Дополнительные точки для построения данного графика:

Х

0

0,5

1,5

2

2,5

3

у

0

1,2

0,48

0,375

Таблица для построения асимптоты:

Х

0,5

1

1,5

2

у

2

1

0,5

Основываясь на исследовании, построим график функции.

Описание: F:1.jpg

Вывод:
кривая у=
(гипербола) служит асимптотой для графика
функции у=.

5.  Задача 5.  Попробую
сама взять дробно – рациональную функцию, у которой степень числителя на 3
единицы больше степени знаменателя
.

 Найдём асимптоту путём
выделения целой  части.. Значит,
g(x)= — асимптота.

Таблица точек для построения асимптоты:

Х

0

1

2

3

-1

-2

у

-1

0

5

20

-4

-15

Проведём исследование функции при помощи аппарата
производной.

     при х=0 и х=-.

Х

-1

0

+

0

  

Не
сущ.

   

0

+

у

-9,5

Не
сущ.

0

Точка
максимума

Точка
разрыва

Точка
минимума

Дополнительные  точки для построения функции  :

х

-2

-1,5

-0,5

0,5

1

2

у

-16

-10,1

-0,125

0,04

0,5

5,3

Описание: F:img1515.jpg

Вывод:
график функции
  приближается к кубической асимптоте  g(x)=.

ВЫВОДЫ.

      
Таким образом, на основании проделанной работы мною были сделаны следующие
выводы:

1.     Графики
дробно рациональных функций могут иметь не только асимптоты, представленные
линейной функцией, но и кривые линии, к которым они асимптотически приближаются:
квадратичную, кубическую параболы, а также гиперболы.

2.     Если
степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя на 2
единицы, то асимптотой будет квадратичная парабола, если разность степеней
равна 3 единицам, то асимптотой будет кубическая парабола. Логически можно
предположить, что если разница между степенью многочлена числителя больше
степени многочлена знаменателя на четное число единиц, то асимптотой будет
квадратичная парабола, ветви которой ближе к оси ординат; если же эта разность
составляет нечетное число, например 5, 7, 9, то асимптотой будет парабола вида
кубической, ветви которой приближены к оси ординат.

3.     Если
степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя на 1(также
все нечетные числа) единицу, то асимптотой будет нечётная гипербола, а если
степень знаменателя на 2 (все четные числа) единицы больше степени числителя,
то асимптотой будет чётная гипербола.

4.     Знание
криволинейных асимптотических линий  необходимо тогда, когда дробная рациональная
функция не имеет прямолинейных асимптот. Криволинейные асимптотические линии
позволяют точнее построить график той или иной функции.

ЛИТЕРАТУРА.

1.    
Игнатьева
А. В. и др. Курс высшей математики /А. В. Игнатьева, Т. И. Краснощекова, В. Ф.
Смирнов; Под редакцией П.И.Романовского. – 2-е изд. – М.: «Высшая школа», 1968.
— 670с.

2.    
Уваренков
И.М., Малер М.З. Курс  математического анализа. — Том 1. —  М.: «Просвещение»,
1966. — 640с.

3.    
Виленкин
Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для
учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я.Виленкин,
О.С.Ивашев–Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 4-е изд. — М.: «Просвещение», 1995. —
335с.

4.    
Берман
Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для высш.
учеб. заведений. — 17-е изд. – М.: «Наука», 1972. —  412с.

5.    
Минорский
В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для студ. высш. технич.
учеб. заведений – 12-е изд., стереотип. —  М.: «Наука», 1978. —  352с.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти воина вов по имени
  • Как исправить ошибку в инстаграме повторите попытку позже
  • Как найти конечную температуру в калориметре
  • Как исправить диспетчер задач на виндовс 7
  • Эльдорадо нашли дешевле снизим цену как работает