Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Асимптоты графика функции
Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.
Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.
Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.
Вертикальные асимптоты
Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.
Горизонтальные асимптоты
Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы
Наклонные асимптоты
Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ — это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = frac{5x}{3x+2} $$ |
| Решение |
|
Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 neq 0; 3x neq -2; x neq -frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -frac{2}{3} $. $$ limlimits_{{x rightarrow -frac{2}{3}}} frac{5x}{3x+2} = (-frac{10}{infty}) = -infty $$. Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $. $$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{5}{3x+2}=frac{5}{infty}=0 $$ Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $. $$ b = limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] = limlimits_{x rightarrow infty} frac{5x}{3x+2} = frac{infty}{infty} =frac{5}{3} $$ Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = frac{5}{3} $ — горизонтальная асимптота. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y = frac{5}{3} $$ |
| Пример 2 |
| Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{1}{1-x} $ |
| Решение |
|
Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x neq 0; x neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ limlimits_{x rightarrow 1} frac{1}{1-x} = frac{1}{0} = infty $$ Приступим к поиску наклонных асимптот. $$ k = limlimits_{x rightarrow infty}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{x(1-x)} = frac{1}{infty}=0 $$ $$ b =limlimits_{x rightarrow infty}[f(x)-kx]=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{1-x} = frac{1}{infty}=0 $$ Итого, $ y=0 $ — горизонтальная асимптота. |
| Ответ |
| $$ y=0 $$ |
| Пример 3 |
| Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{x^3}{3x^2+5} $ |
| Решение |
|
Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты. $$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty}frac{x^2}{3x^2+5} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{2x}{6x} = frac{1}{3} $$ Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $. $$ b =limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] =limlimits_{x rightarrow infty} [frac{x^3}{3x^2+5}-frac{x}{3}] =limlimits_{x rightarrow infty} -frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{3x^2+5} =-frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{6x} =-frac{5}{3}frac{1}{infty} = 0 $$ $ y =frac{1}{3}x $ — наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья. |
| Ответ |
| $$ y =frac{1}{3}x $$ |
| Пример 4 |
| Найти асимптоты $ f(x) = xe^{-x} $ |
| Решение |
|
Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот. $$ k=limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$ $$ b=limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{e^x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$ $ y = 0 $ — горизонтальная асимптота |
| Ответ |
| $$ y = 0 $$ |
Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.
Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.
Асимптоты кривой
Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.
Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения асимптот к графику функции в онлайн режиме. Решение оформляется в формате Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Правила ввода функции
Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Классификация асимптот
- Вертикальные асимптоты.
- Горизонтальные асимптоты.
- Наклонные асимптоты.
Вертикальные асимптоты
Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.
Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов 
или 
равен бесконечности (+∞ или -∞).
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.
Пример 1. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции 
.
Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.
Горизонтальные асимптоты
Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A.
Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то .
Пример 2. Найти горизонтальные асимптоты кривой .
Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.
Наклонные асимптоты
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b. По определению асимптоты или (1)
Разделим обе части этого равенства на x:
, откуда
(2)
Теперь из (1):
(3)
Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).
Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. По формуле (2) найдем .
Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты y=x+1.
Пример 5. Найти асимптоты кривой y=(x-1)2(x+3).
Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как y→∞ при x→∞. Ищем наклонные:
.
Таким образом, кривая асимптот не имеет.
Пример 6. Найти асимптоты кривой .
Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).
Пример 7. Построить все виды асимптот к функции
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = -x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
Находим переделы в точке
— является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке
— является вертикальной асимптотой.
Вертикальная
асимптота.
Если выполнено
хотя бы одно из условий
, 
,
то прямую
называют вертикальной асимптотой
графика функции
.
Невертикальная
асимптота.
Прямую
называют
невертикальной асимптотой графика
функции
при
,
если
.
Если
,
то асимптоту называют наклонной, а если
,
то асимптоту
называют горизонтальной.
Аналогично вводится
понятие асимптоты при
.
Для того чтобы
прямая
была асимптотой графика функции
при
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
конечные пределы
,
.
Аналогично находится
асимптота при
.
Исследование
асимптот при
и при
как правило проводят отдельно.
В некоторых частных
случаях возможно совместное исследование
асимптот при
и при
,
например, для
1) рациональных
функций;
2) четных и нечетных
функций, для графиков которых исследование
можно проводить на части области
определения.
Следует отметить,
что метод вычисления пределов для
нахождения асимптот не позволяет оценить
взаимное расположение графика функции
и его асимптоты. Для определения взаимного
положения графика и асимптоты можно
пользоваться следующими правилами.
1) Если функция
имеет асимптоту при
,
дифференцируема и строго выпукла вниз
на луче
,
то график функции лежит выше асимптоты.
2) Если функция
имеет асимптоту при
,
дифференцируема и строго выпукла вверх
на луче
,
то график функции лежит ниже асимптоты.
3) Могут быть другие
случаи поведения графика функции при
стремлении к асимптоте. Например,
возможно, что, график функции бесконечное
число раз пересекает асимптоту.
Аналогичное
утверждение справедливо и при
.
До исследования
свойств выпуклости графика функции
взаимное расположения графика функции
и его асимптоты можно определить по
знаку
в методе выделения главной части.
Метод выделения
главной части.
Для нахождения асимптоты выделяем
главную часть функции при
.
Аналогично при
.
Главную часть
дробно рациональной функции
удобно находить, выделяя целую часть
дроби.
Главную часть
иррациональной функции
при решении практических примеров
удобно находить используя методы
представления функции формулой Тейлора
при
.
Главную часть
иррациональных функций вида
и
удобно находить соответственно методом
выделения полного квадрата или полного
куба подкоренного выражения.
Примеры
5.1.
Найти асимптоты графика функции
.
Прямая
— вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота.
Найдем угловой коэффициент
и свободный член
по формулам
,
Таким образом,
прямая
— наклонная асимптота.
Найдем асимптоту
методом выделения главной части
дробно-рациональной функции. Выполняя
деление «столбиком», получаем
То есть,
.
Таким образом,
прямая
— наклонная асимптота.
5.2. Найти
асимптоты линии:
.
Вертикальных и
горизонтальных асимптот нет.
Выражая уравнение
линии в явном виде :
.
Тогда
,
.
В итоге имеем 2
наклонных асимптоты:
.
5.3.
Найти асимптоты линии:
.
Выразим уравнение
линии в явном виде:
.
Так как
,
то прямая
— наклонная асимптота.
5.4. Найти
асимптоты функции:
Так как функция
не определена в точках
=
1,
то
— вертикальные асимптоты.
Найдём наклонную
асимптоту: угловой коэффициент прямой
и
число
найдём, применяя формулы:
;
.
.
Получили:
—
наклонная асимптота.
5.5. Найти
наклонную асимптоту графика функции
.
Так как
,
то по формуле
Тейлора получаем
и прямая
является искомой асимптотой. ◄
5.6. Найти
наклонные асимптоты графика функции
при
и
.
В подкоренном
выражении выделим полный квадрат
.
Так как график
функции
симметричен относительно прямой
и
то
при
.
Значит, прямая
является асимптотой при
,
а прямая
— асимптотой при
.
◄
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- Понятие асимптоты
- Вертикальная асимптота
- Горизонтальная асимптота
- Наклонная асимптота
- Алгоритм исследования асимптотического поведения функции
- Примеры
п.1. Понятие асимптоты
Асимптота прямая, расстояние от которой до точки кривой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви кривой на бесконечность.
Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:
п.2. Вертикальная асимптота
Вертикальная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (x=a)
где (a) — точка разрыва 2-го рода функции (f(x)), для которой хотя бы один односторонний предел существует и равен бесконечности.
Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).
Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)})
ОДЗ: (xne left{-3;1right})
(left{x_0=-3, x_1=1right}notin D) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -3 -0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-3-0-1)(-3-0+3)}=frac{1}{-4cdot(-0)}=+infty\ lim_{xrightarrow -3 +0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-3+0-1)(-3+0+3)}=frac{1}{-4cdot(+0)}=-infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1 -0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(1-0-1)(1-0+3)}=frac{1}{-0cdot 4}=-infty\ lim_{xrightarrow 1 +0}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(1+0-1)(1+0+3)}=frac{1}{+0cdot 4}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}) две точки разрыва 2-го рода (left{x_0=-3, x_1=1right}), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).
п.3. Горизонтальная асимптота
Горизонтальная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (y=b)
где (b) — конечный предел функции (f(x)) на бесконечности: (b=lim{xrightarrow pminfty}f(x), bneinfty)
Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.
Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)})
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin{gather*} lim_{xrightarrow -infty}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(-infty)(-infty)}=+0 end{gather*} На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin{gather*} lim_{xrightarrow +infty}frac{1}{(x-1)(x+3)}=frac{1}{(+infty)(+infty)}=+0 end{gather*} На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.
Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac{1}{(x-1)(x+3)}): 
п.4. Наклонная асимптота
Наклонная асимптота кривой (y=f(x)) имеет вид: (y=kx+b) begin{gather*} k=lim_{xrightarrow pminfty}frac{f(x)}{x}, kne 0, kneinfty\ b=lim_{xrightarrow pminfty}(f(x)=kx) end{gather*}
Число наклонных асимптот не может быть больше двух.
Например:
Исследуем наличие наклонных асимптот у функции (y=frac{x^2+3}{x-1})
Найдем угловой коэффициент: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{y}{x}=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+3}{x(x-1)}= lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+3}{x^2-x}=left[frac{infty}{infty}right]= lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{3}{x^2}right)}{x^2left(1-frac 1xright)}=\ =lim_{xrightarrow -infty}frac{1+frac{3}{x^2}}{1-frac1x}=frac{1+0}{1-0}=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{y}{x}=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+3}{x(x-1)}=k_1=1 end{gather*} На плюс и минус бесконечности отношение функции к аргументу имеет один и тот же конечный предел (k=1).
Найдем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow pminfty}(y-kx)=lim_{xrightarrow pminfty}left(frac{x^2+3}{x-1}-1cdot xright)= lim_{xrightarrow pminfty}left(frac{x^2+3-x(x-1)}{x-1}right)=\ =lim_{xrightarrow pminfty}frac{x+3}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow pminfty}frac{xleft(1+frac3xright)}{xleft(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1 end{gather*} Вывод: у функции (y=frac{x^2+3}{x-1}) одна наклонная асимптота (y=x+1). Функция стремится к асимптоте на плюс и минус бесконечности.
Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac{x^2+3}{x-1}), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+3}{x-1}=-infty, lim_{xrightarrow -1+0}frac{x^2+3}{x-1}=+infty end{gather*}
График асимптотического поведения функции (y=frac{x^2+3}{x-1}): 
п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции
На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.
п.6. Примеры
Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac{4x}{x^2-1} )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(-1-0)}{(-1-0+1)(-1-0-1)}=frac{-4}{-0cdot(-2)}=-infty\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(-1+0)}{(-1+0+1)(-1+0-1)}=frac{-4}{+0cdot(-2)}=+infty end{gather*} Точка (x=-1) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(1-0)}{(1-0+1)(1-0-1)}=frac{4}{2cdot(-0)}=-infty\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{4x}{(x+1)(x-1)}=frac{4(1+0)}{(1+0+1)(1+0-1)}=frac{4}{2cdot(+0)}=+infty end{gather*} Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{4x}{x^2-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2cdot frac4x}{x^2(1-frac{1}{x^2})}=lim_{xrightarrow -infty}frac{frac4x}{1-frac{1}{x^2}}=frac{-0}{1}=-0\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{4x}{x^2-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{frac4x}{1-frac{1}{x^2}}=frac{+0}{1}=+0 end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=0). На минус бесконечности функция стремится к асимптоте снизу, не плюс бесконечности – сверху.
3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k=lim_{xrightarrow pminfty}frac{4x}{x(x^2-1)}=lim_{xrightarrow pminfty}frac{4}{x^2-1}=frac{4}{infty}=0 end{gather*} Наклонных асимптот нет.
График асимптотического поведения функции (y=frac{4x}{x^2-1})
б) ( y=e^{frac{1}{x+3}} )
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: (x=-3)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -3-0}e^{frac{1}{x+3}}=e^{frac{1}{-3-0)+3}}=e^{frac{1}{-0}}=e^infty=0\ lim_{xrightarrow -3+0}e^{frac{1}{x+3}}=e^{frac{1}{-3+0)+3}}=e^{frac{1}{+0}}=e^{+infty}=+infty end{gather*} Точка (x=-3) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=2)
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}e^{frac{1}{x+3}}=e^0=1\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}e^{frac{1}{x+3}}=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end{gather*} Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.
3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{e^{frac{1}{x+3}}}{x}=frac{e^0}{-infty}=0\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{e^{frac{1}{x+3}}}{x}=frac{e^0}{+infty}=0 end{gather*} Наклонных асимптот нет.
График асимптотического поведения функции (y=e^{frac{1}{x+3}})
в) ( y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1} )
Заметим, что ( frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=frac{x^2(x+1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{(x^2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{x^2+1}{x-1} ) $$ y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}Leftrightarrow begin{cases} y=frac{x^2+1}{x-1}\ xne -1 end{cases} $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac{x^2+1}{x-1}), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin{gather*} lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{-2}=-1\ lim_{xrightarrow -1+0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow -1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{-2}=-1 end{gather*} Точка (x=-1) — точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв («выколотая» точка).
Односторонние пределы в точке (x=1) begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{1-0-1}=frac{2}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}=lim_{xrightarrow 1-0}frac{x^2+1}{x-1}=frac{2}{1+0-1}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=1)
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(frac1x-frac{1}{x^2}right)}=frac{1+0}{-0-0}=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(frac1x-frac{1}{x^2}right)}=frac{1+0}{0-0}=+infty end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.
3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2+1}{x(x-1)}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow -infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2+1}{x(x-1)}=left[frac{infty}{infty}right]=lim_{xrightarrow +infty}frac{x^2left(1+frac{1}{x^2}right)}{x^2left(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1\ k=k_1=k_2=1 end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)= lim_{xrightarrow infty}left(frac{x^2+1}{x-1}-2right)= lim_{xrightarrow infty}frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}= lim_{xrightarrow infty}frac{x+1}{x-1}=left[frac{infty}{infty}right]=\ =lim_{xrightarrow infty}frac{xleft(1+frac1xright)}{xleft(1-frac1xright)}=frac{1+0}{1-0}=1 end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1})
г*) ( y=xe^{frac{1}{2-x}} )
1) Вертикальные асимптоты
Точка, подозрительная на разрыв: (x=2)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}xe^{frac{1}{2-x}}=(2-0)e^{frac{1}{2-(2-0)}}=2e^{frac{1}{+0}}=2e^{+infty}=+infty\ lim_{xrightarrow 2+0}xe^{frac{1}{2-x}}=(2+0)e^{frac{1}{2-(2+0)}}=2e^{frac{1}{-0}}=2e^{-infty}=-infty end{gather*} Точка (x=2) — точка разрыва 2-го рода.
Функция имеет одну вертикальную асимптоту (x=2)
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin{gather*} b_1=lim_{xrightarrow -infty}xe^{frac{1}{2-x}}=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_{xrightarrow +infty}xe^{frac{1}{2-x}}=+inftycdot e^0=+infty end{gather*} Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.
3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin{gather*} k_1=lim_{xrightarrow -infty}frac{xe^{frac{1}{2-x}}}{x}=lim_{xrightarrow -infty}e^{frac{1}{2-x}}=e^0=1\ k_2=lim_{xrightarrow +infty}frac{xe^{frac{1}{2-x}}}{x}=lim_{xrightarrow +infty}e^{frac{1}{2-x}}=e^0=1\ k=k_1=k_2=1 end{gather*} У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin{gather*} b=lim_{xrightarrow infty}(y-kx)= lim_{xrightarrow infty}left(xe^{frac{1}{2-x}}-xright)=lim_{xrightarrow infty}xleft(e^{frac{1}{2-x}}-1right)=left[inftycdot 0right] end{gather*} Используем одно из следствий второго замечательного предела (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{e^x-1}{x}=1\ b=lim_{xrightarrow infty}xleft(e^{frac{1}{2-x}}-1right)= left[ begin{array}{l} t=frac{1}{2-x}\ trightarrow 0\ x=2-frac1t=frac{2t-1}{t} end{array} right]=\ =lim_{trightarrow 0}left(left(frac{2t-1}{t}right)(e^t-1)right)=lim_{trightarrow 0}(2t-1)cdot lim_{trightarrow 0}frac{e^t-1}{t}=-1cdot 1=-1 end{gather*} Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x-1).
График асимптотического поведения функции (y=xe^{frac{1}{2-x}})
A function is a type of operator that takes an input variable and provides a result. When one quantity is dependent on another, a function is created. An interesting property of functions is that each input corresponds to a single output. In other words, such an operator between two sets, say set A and set B is called a function if and only if it assigns each element of set B to exactly one element of set A. When all the input and output values are plotted on the cartesian plane, it is termed as the graph of a function.
Asymptotes
Such imaginary lines that are very close to the whole graph of a function or a segment of the graph are called asymptotes. When graphing a function, asymptotes are highly useful since they help you think about which lines the curve should not cross. An asymptote, in other words, is a point at which the graph of a function converges. When graphing functions, we rarely need to draw asymptotes.
Types of Asymptotes
- Horizontal Asymptotes: A horizontal asymptote is a horizontal line that shows how a function behaves at the graph’s extreme edges. However, it is quite possible that the function can cross over the asymptote and even touch it. For functions with polynomial numerator and denominator, horizontal asymptotes exist. Rational expressions are the name for these functions. A horizontal form of a function is given as y = k.
- Vertical Asymptotes: A vertical asymptote is a vertical line that directs but does not form part of the graph of a function. The graph will never cross it since it happens at an x-value that is outside the function’s domain. There may be more than one vertical asymptote for a function.
Finding Horizontal Asymptotes
In order to calculate the horizontal asymptotes, the point of consideration is the degrees of both the numerator and the denominator of the given function. The criteria for determining the horizontal asymptotes of a function are as follows:
- When the numerator and denominator have the same degree: Divide the coefficients of the leading variables to find the horizontal asymptote.
- If the degree of the numerator is smaller than that of the denominator: The horizontal asymptote is found at y = 0, i.e., the x-axis.
- If the degree of the numerator is greater than that of the denominator: There is no horizontal asymptote for the given rational function.
Finding Vertical Asymptotes
There are two steps to be followed in order to ascertain the vertical asymptote of rational functions. These are:
Step I: Reduce the given rational function as much as possible by taking out any common factors and simplifying the numerator and denominator through factorization.
Step II: Equate the denominator to zero and solve for x. The value(s) of x is the vertical asymptotes of the function.
Sample Problems
Problem 1. Find the horizontal and vertical asymptotes of the function: f(x) = 
.
Solution:
Horizontal Asymptote:
Degree of the numerator = 2
Degree of the denominator = 1
Since the degree of the numerator is greater than that of the denominator, the given function does not have any horizontal asymptote.
Vertical Asymptote:
Since the function is already in its simplest form, just equate the denominator to zero to ascertain the vertical asymptote(s).
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = −5
Problem 2. Can a quadratic function have any asymptotes?
Solution:
A quadratic function is a polynomial, so it cannot have any kinds of asymptotes. Since the polynomial functions are defined for all real values of x, it is not possible for a quadratic function to have any vertical asymptotes. Also, since the function tends to infinity as x does, there exists no horizontal asymptote either.
Problem 3. Find the horizontal and vertical asymptotes of the function: f(x) = 
.
Solution:
Horizontal Asymptote:
Degree of the numerator = 2
Degree of the denominator = 2
Since the degree of the numerator is equal to that of the denominator, the horizontal asymptote is ascertained by dividing the leading coefficients.
⇒ HA = 2/2 = 1
Vertical Asymptote:
The function needs to be simplified first.
Now that the function is in its simplest form, equate the denominator to zero in order to determine the vertical asymptote.
⇒ x + 1 = 0
⇒ x = −1
Problem 4. Find the horizontal and vertical asymptotes of the function: f(x) = 10x2 + 6x + 8.
Solution:
The given function is quadratic. A quadratic function is a polynomial, so it cannot have any kinds of asymptotes. Since the polynomial functions are defined for all real values of x, it is not possible for a quadratic function to have any vertical asymptotes. Also, since the function tends to infinity as x does, there exists no horizontal asymptote either.
Problem 5. Find the horizontal asymptote of the function: f(x) = 9x/x2+2.
Solution:
Degree of numerator = 1
Degree of denominator = 2
Since the degree of the numerator is smaller than that of the denominator, the horizontal asymptote is given by: y = 0.
Problem 6. Find the horizontal and vertical asymptotes of the function: f(x) = x+1/3x-2.
Solution:
Horizontal Asymptote:
Degree of the numerator = 1
Degree of the denominator = 1
Since the degree of the numerator is equal to that of the denominator, the horizontal asymptote is ascertained by dividing the leading coefficients.
⇒ HA = 1/3
Vertical Asymptote:
The function is in its simplest form, equate the denominator to zero in order to determine the vertical asymptote.
⇒ 3x – 2 = 0
⇒ x = 2/3
Problem 7. Find the horizontal and vertical asymptotes of the function: f(x) = x2+1/3x+2.
Solution:
Horizontal Asymptote:
Degree of the numerator = 2
Degree of the denominator = 1
Since the degree of the numerator is greater than that of the denominator, the given function does not have any horizontal asymptote.
Vertical Asymptote:
Since the function is already in its simplest form, just equate the denominator to zero to ascertain the vertical asymtptote(s).
⇒ 3x + 2 = 0
⇒ x = −2/3
Last Updated :
25 Feb, 2022
Like Article
Save Article