Первое, что делает калькулятор, — это преобразует обе точки, точку A и точку B, в декартовы ( x, y, z ) координаты. Это осложняется тем, что Земля не является идеальной сферой. Из-за вращения Земля выпячивается на экваторе, образуя форму, известную как сплюснутый сфероид . Расстояние между полюсами равно 6357 км, а расстояние диаметра, проходящего через экватор, равно 6378 км. Рассмотрим эту диаграмму, на которой выпуклость преувеличена для иллюстрации:
Геоцентрическая широта θ не совпадает с геодезической широтой φ на сплюснутой Земле.
Здесь X — точка на поверхности Земли, N — северный полюс, S — южный полюс, C — центр Земли. Экватор представлен горизонтальной линией, проходящей через С. Представьте , что вы стоите в точке X. Пунктирная линия, касательная к Земле, указывает на ваш местный горизонт.
Перпендикулярно вашему горизонту проходит еще одна пунктирная линия, уходящая в землю. Там, где эта пунктирная линия касается плоскости земного экватора, вы видите угол, отмеченный φ (греческая буква phi ). Этот угол называется геодезической широтой . Именно такую широту сообщает GPS.
Действительно, геодезическая широта — это классический вид широты, используемый с древних времен. Грубо говоря, это широта, измеренная астрономами: это угол Северного небесного полюса (точки на небе рядом с Полярной звездой) над вашим местным горизонтом. Если вы стоите на северном полюсе Земли, Полярная звезда будет прямо вверху или на 90 градусов выше горизонта. Точно так же, если вы стоите на экваторе, Полярная звезда будет на горизонте или на 0 градусов выше горизонта. Таким образом, геодезическую широту может измерить непосредственно любой моряк при ясном ночном небе.
Однако, чтобы вычислить декартовы координаты X относительно центра C Земли, калькулятору нужна геоцентрическая широта , обозначенная на диаграмме θ (греческая буква theta ). Это угол между экватором и X , как видно из C. Преобразование основано на стандарте Всемирной геодезической системы WGS 84.
Точно так же и расстояние от центра Земли до данной точки на ее поверхности является переменным. Функция вычисляет это расстояние как функцию геодезической широты, также используя WGS 84.
Интересно отметить, что геоцентрическая и геодезическая широты одинаковы, когда вы находитесь на экваторе: обе равны 0 градусов. Оба вида широты также одинаковы, если вы находитесь на любом из полюсов Земли: +90 или -90 градусов. Но они расходятся в разной степени в других местах на Земле.
Калькулятор вычисления декартовых координат точки с учетом ее геодезической широты, долготы и высоты. Эта функция также вычисляет вектор нормали в заданной точке, то есть направление вверх, перпендикулярное горизонту наблюдателя, для правильной поправки на высоту над средним уровнем моря. Результирующие компоненты вектора все выражены в метрах.
Для завершения вычислений калькулятор использует хитрость. Он поворачивает систему координат так, что точка наблюдения (точка A) находится на условном экваторе и нулевом меридиане. Другими словами, представьте, что вы вращаете глобус, который держите в руках, так, что ваша точка наблюдения теперь находится на экваторе и обращена прямо к вам. Координаты теперь идеально расположены для расчета углов азимута и высоты, как их видит наблюдатель в точке А:
- Ось X указывает прямо вверх (от центра земного шара).
- Ось Y указывает точно на восток.
- Ось Z указывает точно на север.
После поворота системы координат вы можете провести линию от точки А на повернутом глобусе к точке Б на том же повернутом глобусе через трехмерное пространство. Эта линия обычно проходит через Землю, предполагая, что и A, и B находятся на поверхности Земли или вблизи нее. Используя комбинацию функций тригонометрии и скалярных произведений векторов, калькулятор определяет азимутальный угол и угол высоты. Он использует формулу Пифагора для определения расстояния по прямой между точками.
Этот калькулятор азимута позволит вам рассчитать азимут по широте и долготе. Он подскажет вам, в каком направлении вам нужно указать компас, и каково кратчайшее расстояние между двумя точками с известными географическими координатами. Эта статья включает в себя краткое объяснение используемых нами формул — они могут оказаться полезными, если вы планируете определять азимут вручную.
Определение азимута и расстояния по координатам
|
Калькулятор расстояния и азимута между двумя точками по их координатам. |
| Данная страница позволяет определить азимут и расстояние между двумя любыми точками на земном шаре по их географическим координатам. Для вычисления, введите в градусах, минутах и секундах широту и долготу начальной точки, а затем координаты конечной точки. Нажмите кнопку рассчитать. Для просмотра результатов используйте скроллинг под калькулятором. Приятной работы! |
Created by Bogna Szyk
Reviewed by
Steven Wooding
Last updated:
Jan 03, 2023
This azimuth calculator will let you calculate the azimuth from the latitude and longitude of two points. It will tell you which direction you need to point your compass to and what is the shortest distance between two points of known geographical coordinates. This article includes a short explanation of the formulas we used – they can prove themselves helpful if you plan to find the azimuth by hand.
This is not a spherical coordinates calculator – it deals with geographical coordinates only!
What is the azimuth?
By the US Army definition, the term azimuth describes the angle created by two lines: one joining your current position and the North Pole, and the one joining your current position and the distant location. Azimuth is always measured clockwise!
For example, a point lying east from you would have an azimuth of 90°, but a point lying west from you – 270°.
The azimuth is used when indicating a position in the sky too: it marks the horizontal direction. The altitude indicates the vertical direction varying from 0 (the horizon) to 90° (the zenith).
The point opposite to the zenith is called the nadir. Your antipode lies at the nadir: calculate it with our antipode calculator!
Azimuth formula
If you want to give a location of a point relative to your current position, you need to provide two values: the azimuth and the distance. If Earth were flat, the latter would simply be the straight-line distance between two points. As Earth is a sphere (or, more precisely, a geoid), it is the shortest travel distance between the two points (‘as-the-crow-flies’).
To calculate the distance dd between two points, our azimuth calculator uses the Haversine formula:
a= sin2(Δϕ2) +cosϕ1cosϕ2sin2(Δλ2)footnotesize
begin{align*}
a = &sin^2left(frac{Deltaphi}{2}right) +\ &cos phi_1 cosphi_2 sin^2left(frac{Deltalambda}{2}right)
end{align*}
d=2R arctan2(a,1−a)footnotesize
begin{align*}
d &= 2R text{arctan}2(sqrt{a}, sqrt{1-a})
end{align*}
where:
- ϕ1phi_1 – Latitude of the initial point (positive for N and negative for S);
- ϕ2phi_2 – Latitude of the final point (positive for N and negative for S);
- λ1lambda_1 – Longitude of the initial point (positive for E and negative for W);
- λ2lambda_2 – Longitude of the final point (positive for E and negative for W);
- Δϕ=ϕ2−ϕ1Deltaphi = phi_2 — phi_1;
- Δλ=λ2−λ1Deltalambda = lambda_2 — lambda_1;
- aa – An intermediate step; and
- RR – Radius of the Earth, expressed in meters (R=6371 kmR = 6371 text{km}).
Input latitudes and longitudes in the decimal degrees notation. If you’re looking to convert degrees minutes seconds to decimal degrees, use degrees minutes seconds calculator.
You can find the azimuth θtheta using the same latitudes and longitudes with the following equation:
θ= arctan2(sinΔλcosϕ2,cosϕ1sinϕ2−sinϕ1cosϕ2cosΔλ)footnotesize
!
begin{align*}
theta = &text{arctan2}(sinDeltalambdacosphi_2,\
&!!cosphi_1sinphi_2 — sinphi_1cosphi_2cosDeltalambda)
end{align*}
How to calculate the azimuth: an example
Let’s assume we want to calculate the azimuth and distance required to determine the position of Rio de Janeiro respective to London. All we have to do is follow these steps:
-
Determine the longitude and latitude of London – our initial point. We can find that ϕ1=51.50°phi_1 = 51.50degree (positive because it lies in the northern hemisphere) and λ1=0°lambda_1 = 0degree.
-
Determine the longitude and latitude of Rio de Janeiro – our final point. We can find that ϕ2=−22.97°phi_2 = -22.97degree (negative, because it lies in the southern hemisphere) and λ2=−43.18°lambda_2 = -43.18degree (also negative, because it lies in the western hemisphere).
-
Calculate the change in latitude:
Δϕ=ϕ2−ϕ1=−22.97°−51.50°=−74.47°footnotesize
qquad
begin{align*}
Deltaphi &= phi_2 — phi_1\
&= -22.97degree — 51.50degree\
&= -74.47degree
end{align*}
- Calculate the change in longitude:
Δλ=λ2−λ1=−43.18°−0°=−43.18°footnotesize
qquad
begin{align*}
Deltalambda &= lambda_2 — lambda_1\
&= -43.18degree — 0degree\
&= -43.18degree
end{align*}
- Insert all of the data into the Haversine formula to calculate the distance:
a= sin2(Δϕ2) +cosϕ1cosϕ2sin2(Δλ2)= sin2(−74.47°2)+cos(51.50°)cos(−22.97°)sin2(−43.18°2)= 0.443d= 2R arctan2(a,1−a)= 2×6371× arctan2(0.443,1−0.443)= 9289 kmfootnotesize
quadenspace
begin{align*}
a = &sin^2left(frac{Deltaphi}{2}right) +\ &cos phi_1 cosphi_2 sin^2left(frac{Deltalambda}{2}right)\[1em]
= &sin^2left(frac{-74.47degree}{2}right) +\[.7em]
&cos (51.50degree)cos(-22.97degree)\[.7em]
&sin^2left(frac{-43.18degree}{2}right)\[1em]
= & 0.443\\
d = & 2R text{arctan2}(sqrt{a}, sqrt{1 — a})\
= & 2times 6371 times\
& text{arctan2}(sqrt{0.443}, sqrt{1 — 0.443})\
= & 9289 text{km}
end{align*}
- Calculate the azimuth from the azimuth equation:
θ= arctan2(sinΔλcosϕ2,cosϕ1sinϕ2 −sinϕ1cosϕ2cosΔλ)= arctan2(sin(−43.18°)cos(−22.97°),cos(51.50°)sin(−22.97°) −sin(51.50°)cos(−22.97°)cos(−43.18°))=−2.455 radfootnotesize
quadenspace
begin{align*}
theta = &text{arctan2}(sinDeltalambdacosphi_2,\
&cosphi_1sinphi2 -\
&sinphi_1cosphi_2cosDeltalambda)\\
= &text{arctan2}(sin(-43.18degree)\
&cos(-22.97degree),\
&cos(51.50degree)sin(-22.97degree) -\
&sin(51.50degree)cos(-22.97degree)\
&cos(-43.18degree))\\
= & -!2.455 text{rad}
end{align*}
- Convert the azimuth to a positive degree value:
θ=−2.455 rad=−140.65°=219.35°footnotesize
quadenspace
begin{align*}
theta &= -2.455 text{rad}\
&= -140.65degree\
&= 219.35degree
end{align*}
- Congratulations! You have just calculated azimuth from latitude and longitude.
🔎 If you’re looking to calculate the distance between two points on Earth’s surface given their latitude/longitude coordinates, go to latitude longitude distance calculator.
FAQ
How do I calculate the azimuth from latitude and longitude?
You can calculate the azimuth between the points (ϕ₁, λ₁) and (ϕ₂ λ₂), where ϕ is the latitude and λ longitude, as follows:
- Compute x = sinΔλ × cosϕ₂, where Δλ = λ₂ — λ₁ is the difference in longitudes.
- Compute y = cosϕ₁ × sinϕ₂ — sinϕ₁× cosϕ₂ × cosΔλ.
- Finally, find atan2(x,y), i.e., the angle in the standard plane between the positive x-axis and the segment joining (0,0) and (x,y).
How do I set the azimuth of my satellite dish?
Azimuth is the angle by which you must rotate the whole antenna around a vertical axis to get the signal. Azimuth is given in degrees from North. This means North is 0 deg, East is 90 deg, South is 180 deg, and West is 270 deg. Hence, if the required azimuth is 120 deg, you must point your dish in a South-Easterly direction and slightly more to the East than to the South.
How do I determine the azimuth in astronomy?
In astronomy, the azimuth is the angle of the object measured around the horizon. We use it, along with altitude, to describe the position of an object on the celestial sphere. Usually, azimuth is measured from true North increasing eastward. Hence its value is:
0°for an object located due North of the observer;90°for an object due East;180°for an object due South; and270°for an object due West.
However, there are exceptions where we measure, e.g., from true South increasing westward!
AntipodeEarthquakeLatitude longitude distance… 4 more
Вычисление постоянного азимута и длины линии румба
Вычисляет азимут и расстояние по заданным двумя координатами точкам. Вычисление производится по линии румба (локсодромии). Полученный азимут является постоянным — линия румба пересекает все меридианы под одним и тем же углом. Длина локсодромии не является кратчайшим расстоянием между двумя точками.
Статьи, описывающие этот калькулятор
- Путевой угол и расстояние между двумя точками по локсодроме (линии румба).
Вычисление постоянного азимута и длины линии румба
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Расстояние в морских милях
Ссылка скопирована в буфер обмена
Похожие калькуляторы
- • Путевой угол и расстояние между двумя точками по локсодроме (линии румба).
- • Путевые углы и расстояние между двумя точками на ортодроме (дуге большого круга).
- • Положение Солнца на заданную дату. Таблица азимута и высоты над горизонтом
- • Расстояние по поверхности Земли и расстояние сквозь Землю
- • Расстояние между двумя координатами сквозь Землю
- • Раздел: Навигация ( 9 калькуляторов )
PLANETCALC, Вычисление постоянного азимута и длины линии румба
Продолжаем тему, начатую статьей Восход и закат солнца.
На повестке дня вычисление азимута солнца и его высоты над горизонтом в любой момент времени в точке с заданными координатами. Азимут мы откладываем от севера по часовой стрелке.
Алгоритм расчета взят отсюда. Описал его какой-то хороший швед. Он старался как мог, но все равно для стороннего человека ничего не понятно. Например, я могу еще понять, как мы переходим от одной системы координат к другой, но понять, почему долгота перигелия солнца вычисляется как
, где d — количество дней от эпохи J2000 — это уже выше моих сил.
Видимо где-то далеко, в башне из слоновой кости, сидят астрономы, и все эти цифры рассчитывают, а потом все остальные смертные их используют. Может быть какой-нибудь астроном когда-нибудь расскажет о том, как это все происходит; пока же пришлось взять на веру все эти магические цифры и воплотить расчет в жизнь. Очевидно, так делает большинство.
Есть несколько книг, которые обычно рекомендуют людям на форумах, когда не хотят отвечать развернуто, типа, «смотри вон там», и я тоже приведу их здесь:
Jean Meeus. Astronomical algorithms
Peter Duffett-Smith. Practical Astronomy with your calculator.
Как и в случае калькуляторов для расчета времени восхода и захода солнца, ниже представлены два калькулятора — первый берет информацию о координатах и часовом поясе из справочника городов, т. е. остается только выбрать город и ввести время наблюдения; а второй позволяет задать координаты и часовой пояс «вручную». Информацию о городах могут добавлять в справочник зарегистрированные пользователи.
Отрицательная высота над горизонтом соответствует темному времени суток — солнце «под» горизонтом. Пересечение с горизонтом утром происходит примерно на азимуте 90 градусов, из чего можно сделать смелый вывод, что солнце восходит все-таки на востоке.
Paul Schlyter (это швед) утверждает, что ошибка в расчетах не превышает одной угловой минуты для дат в диапазоне 1900 – 2100.
Положение солнца по городам
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Высота над горизонтом (градусы)
Положение Солнца
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Высота над горизонтом (градусы)