Как найти базис диагональной матрицы

Пусть линейный оператор . Рассмотрим в произвольный базис . Пусть в этом базисе линейному оператору соответствует матрица . Существует ли такой базис в пространстве , в котором матрица линейного оператора была бы диагональной?

Очевидно, если такой базис существует, то по Свойству 1 (п. 3.6) диагонализация матрицы произойдет в результате преобразование подобия.

Имеет место следующая

Теорема. Если в существует базис из собственных векторов линейного оператора то матрица линейного оператора будет диагональной в этом базисе.

Выясним, при каких условиях существует базис из собственных векторов линейного оператора.

Пусть – собственные значения линейного оператора кратностей , причём . Если для каждого существует собственных векторов – решений ФСР соответствующей однородной СЛАУ, то существует базис из собственных векторов, а значит, матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду. В частности, если , т. е. спектр линейного оператора простой, то базис из собственных векторов существует. Однако, если среди корней характеристического уравнения найдётся хотя бы одна пара комплексно-сопряжённых, то в вещественном линейном пространстве не существует базиса из собственных векторов.

Покажем, например, что, если спектр простой, то матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет диагональной.

Рассмотрим квадратную матрицу , в столбцах которой стоят координаты собственных векторов , соответствующих собственным значениям . Это означает, что матрица является матрицей перехода к базису из собственных векторов. Очевидно, в этом случае , т. е. матрица – невырожденная, и для неё существует обратная – Из определения собственных векторов линейного оператора следует, что

(16)

Где – векторы-столбцы, соответствующие собственным векторам линейного оператора . Равенство (16) можно записать в более компактной форме:

(17)

Где – диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены собственные числа т. е.

Умножим обе части равенства (17) слева на матрицу :

или (18)

Это означает, что матрица линейного оператора при переходе к базису из собственных векторов станет диагональной в результате преобразования подобия (18).

Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов линейного оператора и найти матрицу линейного оператора в этом базисе. Выполнить проверку.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Найдём собственные векторы линейного оператора:

;

Т. е.

Собственные значения линейного оператора различны, значит, собственные векторы линейно независимы, т. е. образуют базис. В этом базисе матрица линейного оператора будет диагональной:

.

Матрица перехода к базису из собственных векторов .

Проверим правильность проведенных вычислений. По формуле (7) Найдём :

.

Тогда

Ответ: .

Пример 15. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора ?

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные значения линейного оператора Найдём соответствующие им собственные векторы: Т. е. . Все остальные собственные векторы имеют вид . Это означает, что базис из собственных векторов не существует.

Пример 16. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Можно ли привести матрицу к диагональному виду?

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Т. е.

Или

Собственные значения линейного оператора Найдём собственные векторы:

Эта система эквивалентна следующей:

Т. е. ФСР этой системы состоит из одного решения, например, Собственным значениям и соответствует собственный вектор . Другие собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , могут быть получены из умножением на произвольное вещественное число. Например, .

Так как , то значит,

линейно зависимы, значит, совокупность собственных векторов также линейно зависима, т. е. собственные векторы линейного оператора не образуют базис в . Поэтому матрица не может быть приведена к диагональному виду.

Литература: [3, 4, 5, 7, 10].

< Предыдущая		Следующая >

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Наиболее
просто устроены матрицы диагонального
вида
.
Возникает вопрос, нельзя ли найти базис,
в котором матрица линейного оператора
имела бы диагональный вид. Такой базис
существует.
Пусть дано линейное
пространство R_nи действующий в
нем линейный оператор A; в этом случае
оператор A переводит R_nв себя, то
есть A:R_n→ R_n.

Определение.Ненулевой
вектор
называется
собственным вектором оператора A, если
оператор A переводит
в
коллинеарный ему вектор, то есть
.
Число λ называется собственным значением
или собственным числом оператора A,
соответствующим собственному вектору
.

Отметим некоторые свойства собственных
чисел и собственных векторов.
1. Любая
линейная комбинация собственных векторов
оператора
A, отвечающих одному и тому же собственному
числу λ, является собственным вектором
с тем же собственным числом.
2.
Собственные векторы
оператора
A с попарно различными собственными
числами λ₁, λ₂, …, λ_mлинейно независимы.
3. Если собственные
числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то
собственному числу λ соответствует не
более m линейно независимых собственных
векторов.

Итак, если имеется nлинейно
независимых собственных векторов
,
соответствующих различным собственным
числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то
они линейно независимы, следовательно,
их можно принять за базис пространства
R_n. Найдем вид матрицы линейного
оператора A в базисе из его собственных
векторов, для чего подействуем оператором
A на базисные векторы:
тогда
.

Таким образом, матрица линейного
оператора A в базисе из его собственных
векторов имеет диагональный вид, причем
по диагонали стоят собственные числа
оператора A.
Существует ли другой
базис, в котором матрица имеет диагональный
вид? Ответ на поставленный вопрос дает
следующая теорема.

Теорема.Матрица
линейного оператора A в базисе
(i
= 1..n) имеет диагональный вид тогда и
только тогда, когда все векторы базиса
— собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Пусть
дан вектор
,
где x₁, x₂, …, x_n— координаты
вектора
относительно
базиса
и
—
собственный вектор линейного оператора
A, соответствующий собственному числуλ, то есть
.
Это соотношение можно записать в
матричной форме

.
(*)

Уравнение
(*) можно рассматривать как уравнение
для отыскания
,
причем
,
то есть нас интересуют нетривиальные
решения, поскольку собственный вектор
не может быть нулевым. Известно, что
нетривиальные решения однородной
системы линейных уравнений существуют
тогда и только тогда, когда det(A — λE) = 0.
Таким образом, для того, чтобы λ было
собственным числом оператора A необходимо
и достаточно, чтобы det(A — λE) = 0.
Если
уравнение (*) расписать подробно в
координатной форме, то получим систему
линейных однородных уравнений:

(1)

где
—
матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое
решение, если ее определитель D равен
нулю

Получили
уравнение для нахождения собственных
чисел.
Это уравнение называется
характеристическим уравнением, а его
левая часть — характеристическим
многочленом матрицы (оператора) A. Если
характеристический многочлен не имеет
вещественных корней, то матрица A не
имеет собственных векторов и ее нельзя
привести к диагональному виду.
Пусть
λ₁, λ₂, …, λ_n— вещественные
корни характеристического уравнения,
причем среди них могут быть и кратные.
Подставляя по очереди эти значения в
систему (1), находим собственные векторы.

Пример 12.Линейный
оператор A действует в R₃по закону
,
где x₁, x₂, .., x_n— координаты
вектора
в
базисе
,
,
.
Найти собственные числа и собственные
векторы этого оператора.Решение.Строим матрицу этого оператора:.

Составляем систему для определения
координат собственных векторов:Составляем
характеристическое уравнение и решаем
его:.

λ_1,2= -1, λ₃= 3.
Подставляя
λ = -1 в систему, имеем:или
Так
как
,
то зависимых переменных два, а свободное
одно.
Пусть x₁— свободное
неизвестное, тогда
Решаем
эту систему любым способом и находим
общее решение этой системы:
Фундаментальная
система решений состоит из одного
решения, так как n — r = 3 — 2 = 1.
Множество
собственных векторов, отвечающих
собственному числу λ = -1, имеет вид:
,
где x₁— любое число, отличное от
нуля. Выберем из этого множества один
вектор, например, положив x₁= 1:
.

Рассуждая аналогично, находим
собственный вектор, отвечающий
собственному числу λ = 3:
.

В пространстве R₃базис состоит
из трех линейно независимых векторов,
мы же получили только два линейно
независимых собственных вектора, из
которых базис в R₃составить нельзя.
Следовательно, матрицу A линейного
оператора привести к диагональному
виду не можем.

Пример 13.Дана матрица
.

1. Доказать, что вектор
является
собственным вектором матрицы A. Найти
собственное число, соответствующее
этому собственному вектору.
2. Найти
базис, в котором матрица A имеет
диагональный вид.Решение.1. Если
,
то
—
собственный вектор.

Вектор (1, 8, -1) — собственный вектор.
Собственное число λ = -1.
Диагональный
вид матрица имеет в базисе, состоящем
из собственных векторов. Один из них
известен. Найдем остальные.
Собственные
векторы ищем из системы:Характеристическое
уравнение:
;

(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ²— 1) = 0

λ₁= -3, λ₂= 1, λ₃= -1.

Найдем собственный вектор, отвечающий
собственному числу λ = -3:Ранг
матрицы этой системы равен двум и равен
числу неизвестных, поэтому эта система
имеет только нулевое решение x₁=
x₃= 0. x₂здесь может быть
любым, отличным от нуля, например, x₂= 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является
собственным вектором, отвечающим λ =
-3. Проверим:.

Если λ = 1, то получаем систему
Ранг
матрицы равен двум. Последнее уравнение
вычеркиваем.
Пусть x₃— свободное
неизвестное. Тогда x₁= -3x₃,
4x₂= 10x₁— 6x₃= -30x₃— 6x₃, x₂= -9x₃.
Полагая
x₃= 1, имеем (-3,-9,1) — собственный
вектор, отвечающий собственному числу
λ = 1. Проверка:.

Так как собственные числа действительные
и различны, то векторы, им отвечающие,
линейно независимы, поэтому их можно
принять за базис в R₃. Таким образом,
в базисе
,
,
матрица
A имеет вид:.

Не всякую матрицу линейного оператора
A:R_n→ R_nможно привести к
диагональному виду, поскольку для
некоторых линейных операторов линейно
независимых собственных векторов может
быть меньше n. Однако, если матрица
симметрическая, то корню характеристического
уравнения кратности m соответствует
ровно m линейно независимых векторов.

Определение.Симметрической
матрицей называется квадратная матрица,
в которой элементы, симметричные
относительно главной диагонали, равны,
то есть в которой
.Замечания.1. Все собственные
числа симметрической матрицы вещественны.

2. Собственные векторы симметрической
матрицы, соответствующие попарно
различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных
приложений изученного аппарата,
рассмотрим задачу об определении вида
кривой второго порядка.

Матрица
линейного преобразования в базисе из
собственных векторов

В
разделе «Матрица
линейного преобразования»
мы выяснили, что каждое линейное
преобразование
-мерного
линейного пространства в фиксированном
базисе задается матрицей. Если меняется
базис, то, как правило, меняется и матрица.
Возникает вопрос, нельзя ли найти базис,
в котором матрица линейного преобразования
имеет наиболее простой вид. В общем
случае выбрать такой базис довольно
сложно. Это связано с нахождением
нормальной жордановой формы матрицы,
изложение которого можно найти в более
обстоятельных учебниках по линейной
алгебре, например, в [4],
[5].
Следующая теорема отвечает на этот
вопрос в более простом случае.

        Теорема
19.2
  Пусть

 —
линейное преобразование
-мерного
линейного пространства. Матрица линейного
преобразования имеет диагональный вид

(19.5)

тогда
и только тогда, когда векторы базиса
являются собственнными векторами
преобразования
,
соответствующими собственным числам

.

        Доказательство.    
Пусть преобразование
имеет

линейно
независимых собственных векторов
,
соответствующих собственным числам
.
Так как векторы
линейно
независимы, то они образуют базис. Найдем
матрицу преобразования
в
этом базисе. Ее первый столбец является
координатным столбцом вектора
.
Так как
 —
собственный вектор, то

Координатный
столбец этого вектора
.
Второй столбец матрицы
является
координатным столбцом вектора
.
Так как
 —
собственный вектор, то

Координатный
столбец этого вектора
.
Вычисляя аналогично остальные столбцы,
получаем, что матрица линейного
преобразования
в
базисе
имеет
вид  (19.5).
Первая часть теоремы доказана.

Пусть
в некотором базисе
матрица
линейного преобразования имеет
вид (19.5).
Найдем образ вектора
.
Этот вектор имеет координатный столбец

,
его образ имеет координатный столбец

Следовательно,

 —
собственное число преобразования
,
а
 —
соответствущий ему собственный вектор.
Аналогично находим, что любой базисный
вектор
является
собственным вектором преобразования

,
соответствующим собственному числу
.
    

        Следствие
19.2
  Если
у матрицы
порядка

существует
набор из
линейно
независимых собственнных векторов,
соответствующих собственным числам
,
то матрица
подобна
диагональной матрице с числами
на
диагонали.

        Теорема
19.3
  Пусть
собственные векторы
преобразования

соответствуют
собственным числам
,
среди которых нет равных друг другу.
Тогда система векторов
является
линейно независимой.

        Доказательство.    
Воспользуемся методом математической
индукции по числу векторов. Если
,
то утверждение теоремы следует из того,
что собственный вектор — ненулевой.

Пусть
утверждение верно для системы векторов

.
Составим линейную комбинацию векторов

и
приравняем ее к нулю

(19.6)

К
обеим частям применим преобразование

По
определению линейного преобразования
получим

Так
как
 —
собственные векторы, то

Умножим
равенство (19.6)
на
и
вычтем из последнего равенства. Получим

Так
как по предположению индукции векторы

линейно
независимы, то

По
условию
,
следовательно,
.
Подставим эти значения в (19.6),
получим
.
Получили, что из равенства (19.6)
следует
,
то есть векторы
линейно
независимы.     

        Следствие
19.3
  Если
матрица
порядка

имеет

попарно
различных собственных чисел, то она
подобна диагональной матрице.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #

  06.02.2016667.14 Кб351.doc

• #
• #
• #
• #
• #

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x ₁, x ₂, . x _m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x ₁, x ₂, . x _m оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x ₁, x ₂, . x _n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε _i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R₃ по закону A· x =(x₁-3x₂+4x₃, 4x₁-7x₂+8x₃, 6x₁-7x₂+7x₃), где x₁, x₂, . x_n — координаты вектора x в базисе e ₁=(1,0,0), e ₂=(0,1,0), e ₃=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e ₁=(1,4,6)
A· e ₂=(-3,-7,-7)
A· e ₃=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x₁-3x₂+4x₃=0
x₁-(7+λ)x₂+8x₃=0
x₁-7x₂+(7-λ)x₃=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Пример №2 . Дана матрица .
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой a_i k =a_k i .

Замечания .

1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Собственные числа, собственные векторы матриц и квадратичные формы

Проблема собственных чисел играет существенную роль не только в линейной алгебре, но и в других разделах математики, а также во многих прикладных областях (в менеджменте, психологии, юриспруденции).

Пусть задана квадратная матрица А размера (n X п), элементами которой являются действительные числа (R) и вектор неизвестных X размера (n X 1):

Предположим, что X — это некоторое неизвестное действительное число.

Если X и ненулевой вектор X удовлетворяют уравнению

то X называется собственным числом или собственным значением матрицы А, а X — собственным вектором этой же матрицы, соответствующим X.

Преобразуем уравнение (2.15) к следующему виду:

где Е — единичная матрица.

называется характеристической матрицей.

Так как по условию вектор неизвестных X не равен нулю, то среди его координат х , х₂, . х_п должна быть хотя бы одна ненулевая. А для того, чтобы система линейных однородных уравнений (2.16) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю (это следует из теоремы Кронекера-Капелли).

Число X = X_fc, где к = 1, п будет собственным числом только в том случае, если матрица (Х_кЕ -А) — вырожденная.

Уравнение (2.17) называется характеристическим уравнением матрицы А и представляет собой алгебраическое уравнение степени п относительно X:

Уравнение (2.18) имеет п корней X_v Х₂, Х_п. Множество всех корней уравнения (2.18) называется спектром матрицы А.

Заметим, что уравнение det (А — ХЕ) = 0 имеет те же корни, что и уравнение (2.17), т. е.

Каждому собственному значению спектра матрицы А ставится в соответствие собственный вектор, определенный с точностью до скалярного множителя. Если Х_к есть кратный корень характеристического уравнения, то для произвольной квадратной матрицы число соответствующих собственных векторов может быть не равно кратности корня. С геометрической точки зрения собственный вектор определяет в пространстве некоторое направление (прямую, проходящую через начало координат), которое в результате преобразования не изменяется и вдоль которого пространство испытывает растяжение или сжатие в X раз.

Полином Х п + р^” -1 + . + р_п = 0 называют характеристическим полиномом. Коэффициенты р_к (k = 1, п) можно вычислить по следующим рекуррентным формулам [57]:

Здесь SpA = S а_кк — след матрицы (сумма элементов, стоя-

щих на главной диагонали матрицы А). Заметим, что р = (-1)” X X det А. При отыскании собственных чисел даже для матриц невысокого порядка неизбежно большое количество вычислений. Для общего случая нельзя предложить оптимальный способ нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы.

Рассмотрим случай, когда собственные числа находятся сразу исходя из вида матрицы (исходная матрица либо диагональная, либо верхняя или нижняя треугольная). В этом случае собственные числа ₂. _п совпадают с элементами главной диагонали исходной матрицы а_п, а₂₂. а_пп.

Пусть задана верхняя треугольная матрица А размера (n X п):

Отсюда видно, что собственные числа равны:

С появлением ЭВМ получили распространение итерационные методы нахождения собственных чисел, которые не используют вычисление характеристического полинома. К этим способам относятся: степенной метод, метод обратных итераций, QR-алгоритм, метод вращений Якоби, QL-алгоритм и др. Причем применение конкретного итерационного метода зависит от вида исходной матрицы А [4].

Теперь рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2.8. Дана матрица А размера (3 X 3)

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Из условия задачи видно, что матрица А является верхней треугольной матрицей. Поэтому собственными числами данной матрицы будут элементы ее главной диагонали

Теперь найдем соответствующие найденным собственным числам собственные векторы. Для этого мы используем уравнение (2.16).

Для Х₁ = -4 получаем

Далее раскроем матричное уравнение (2.20)

В результате получим

Так как матрица этой системы вырождена, то она имеет ненулевые решения, которые имеют вид:

т. е. получены искомые собственные вектора для Для Х₂ = Х₃ = 1 получаем

ил*

В результате получаем

т. е. это уравнение имеет ненулевые решения, которые и будут искомыми собственными векторами для ₂.

Эти решения запишем в виде

Пример 2.9. Дана матрица А размера (2 X 2). Найти собственные числа и собственные матрицы А

Запишем характеристическое уравнение (2.17) для данного случая

Теперь найдем собственные векторы исходной матрицы А, соответствующие .₁ = 1 и Х₂ = -4.

В подробной записи получим

Так как определитель полученной матрицы равен нулю, то она имеет ненулевые решения, которые и являются собственными векторами X_v которые мы и находим

Из первого уравнения системы получаем х₂ = 2x_v Из второго уравнения системы получаем х₂ = 2x_v т. е. она имеет бесконечное множество решений. И искомый собственный вектор Xj будет иметь вид

Аналогично, для Х₂ = -4 находим

В заключение приведем два полезных правила [38]:

1) сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы, т. е.

2) произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы

Кратко рассмотрим квадратичные формы.

Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких пременных. Обозначим их x_v х₂, . х .

Квадратичную форму в общем виде можно записать так:

В качестве примера рассмотрим квадратичную форму трех переменных:

Введем обозначения:

Тогда квадратичная форма примет вид

Дополнительно вводим симметричную матрицу В, вектор X.

В этом случае квадратичная форма примет вид

Последняя формула представляет собой матрично-векторный вид квадратичной формы.

А в общем случае получим:

где Ь..— коэффициенты при х 2 для всех i = 1, 2, n, a b’j = Ц_< равны полусуммам коэффициентов при элементах, содержащих произведения х. х. и х. х_< при всех г, j = 1, 2,п, г ^ j.

Матрица В является матрицей квадратичной формы.

В качестве примера запишем в матрично-векторном виде квадратичную форму

В данном случае получаем:

Матрица данной квадратичной формы принимает вид А ее матрично-векторная запись такова:

Собственные векторы матрицы

Онлайн калькулятор нахождение собственных чисел и собственных векторов — Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Данный калькулятор поможет найти собственные числа и векторы, используя характеристическое уравнение.

1