Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
Пусть и
— подпространства линейного пространства
.
Пересечением подпространств и
называется множество
векторов, каждый из которых принадлежит
и
одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.
Алгебраической суммой подпространств и
называется множество векторов вида
, где
. Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается
Представление вектора в виде
, где
, называется разложением вектора
no подпространствам
и
.
Замечания 8.8
1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.
2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.
Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора
и
принадлежат сумме
, т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:
Найдем сумму: . Так как
, а
, то
. Следовательно, множество
замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение:
. Так как
, a
, то
. Следовательно, множество
замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом,
— линейное подпространство.
3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении
— можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства
, называется пересечение всех подпространств
, содержащих
, т.е.
. Если
, то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством
, поскольку оно содержится в любом из подпространств
. Если
— линейное подпространство
, то указанное пересечение совпадает с
, поскольку
содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них:
).
Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества
конечномерного линейного пространства
является минимальным линейным подпространством, содержащим
, т.е.
.
Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств:
. Так как
(см. пункт 6 замечаний 8.7), то
. Докажем включение
. Произвольный элемент
имеет вид
, где
. Пусть
— любое подпространство, содержащее
. Оно содержит все векторы
и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор
. Поэтому вектор
принадлежит любому подпространству
, содержащему
. Значит,
принадлежит пересечению
таких подпространств. Таким образом,
. Из двух включений
и
следует равенство
.
5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах
конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
6. Можно определить объединение подпространств
и
как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству
или пространству
(или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии
или
).
7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения
. Действительно, включение
следует из определения. Любой элемент множества
имеет вид
, т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества
. Докажем противоположное включение
. Любой элемент
имеет вид
, где
. Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые
, у которых
. Остальные слагаемые составят вторую сумму:
Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор
. Следовательно,
. Значит,
. Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.
Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и
подпространства конечномерного линейного пространства
, то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):
(8.13)
В самом деле, пусть — базис пересечения
. Дополним его упорядоченным набором
векторов до базиса
подпространства
и упорядоченным набором
векторов до базиса
подпространства
. Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор
векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства
. Действительно, любой вектор
этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора
Следовательно, . Докажем, что образующие
линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства
. Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:
(8.14)
Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из
, последнюю сумму обозначим
— это некоторый вектор из
. Равенство (8.14):
означает, что вектор
принадлежит также и пространству
. Значит,
. Раскладывая этот вектор по базису
, находим
. Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем
Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства
. Все коэффициенты такого разложения нулевые:
и
. Подставляя
в (8.14), получаем
. Это возможно только в тривиальном случае
и
, так как система векторов
линейно независима (это базис подпространства
). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов
линейно независима, т.е. является базисом пространства
. Подсчитаем размерность суммы подпространств:
что и требовалось доказать.
Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке
заданы подпространства:
и
— три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке
прямым
и
соответственно;
и
— два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям
и
соответственно; прямая
, при надлежит плоскости
, прямая
принадлежит плоскости
, плоскости
и
пересекаются по прямой
(рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.
Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих
и
соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости
. На оборот, любой вектор
(см. рис.8.2), принадлежащий
, можно представить в виде
, построив проекции
и
вектора
на прямые
и
соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости
раскладывается по подпространствам
и
, т.е.
. Аналогично получаем, что
, а
— множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые
и
.
Найдем сумму . Любой вектор
пространства
можно разложить по подпространствам
и
. В самом деле, через конец радиус-вектора
проводим прямую, параллельную прямой
(см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию
вектора
на плоскость
. Затем на
откладываем вектор
так, чтобы
. Следовательно,
. Так как
, то
. Аналогично получаем, что
. Остальные суммы находятся просто:
. Заметим, что
.
Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя
и
в формулу Грассмана, получаем
, что и следовало ожидать, так как
.
Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:
где — нулевой радиус-вектор
.
Прямая сумма подпространств
Алгебраическая сумма подпространств и
линейного пространства
называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается
и обладает следующим свойством: если
, то для каждого вектора
существует единственное представление в виде
, где
.
Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где
, то получим противоречие: из равенства
следует, что ненулевой вектор
принадлежит обоим подпространствам
и
одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.
Признаки прямых сумм подпространств
Сумма является прямой суммой, если:
– существует вектор , который однозначно представляется в виде
, где
;
– базис пространства является объединением базисов подпространств
и
;
– справедливо равенство .
Замечания 8.9
1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:
2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства
, то
.
Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?
Решение. Так как , то сумма
— прямая. Аналогично полу чаем, что суммы
— прямые.
Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:
поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .
Алгебраические дополнения подпространств
Пусть — подпространство конечномерного линейного пространства
. Подпространство
называется алгебраическим дополнением подпространства
в пространстве
, если
. Говорят, что
дополняет (алгебраически) подпространство
до
.
Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.
1. Для любого подпространства существует алгебраическое дополнение
.
Действительно, если , то
. Если
, то
. В остальных случаях базис
подпространства
можно дополнить по теореме 8.2 до базиса
пространства
. Тогда
. В примере 8.7 получено равенство
, т.е. подпространства
и
дополняют друг друга до всего пространства.
2. Базис любого подпространства дополняется базисом алгебраического дополнения
до базиса всего пространства.
3. Алгебраическое дополнение подпространства
, кроме случаев
или
, определяется неоднозначно.
В примере 8.7 дополнением плоскости в пространстве
служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость
в точке
, в частности, подпространство
.
4. Для любого подпространства .
Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.
5. Если и
— подпространства пространства
, то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:
(8.15)
Заметим, что равенства и
в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.
Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов векторов:
. Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами
до базиса
пространства
. Так как
базис
, то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что
— базис
. Аналогично получаем, что
— базис
. Следовательно,
— базис пересечения
. Таким образом, базис всего пространства
получается объединением базиса суммы
и базиса пересечения
. Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем
. Равенство
следует аналогично из структуры
базиса пространства
.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством
Говорят, что система векторов пространства
линейно зависима над подпространством
, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству
, т.е. найдутся такие числа
, неравные нулю одновременно, что
Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при , то векторы
называют линейно независимы ми над подпространством
.
Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства взять нулевое
.
Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.
1. Если пространство представлено в виде прямой суммы подпространств
, то любая линейно независимая система векторов подпространства
будет линейно независимой над подпространством
.
2. Базисом алгебраического дополнения подпространства
является максимальная совокупность векторов пространства
, линейно независимая над подпространством
(см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).
Пусть имеется цепочка подпространств . Подпространство
называется алгебраическим дополнением подпространства
относительно подпространства
(или относительным дополнением
до подпространства
). Базисом относительного дополнения
служит максимальная система векторов
, линейно независимая над
.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Пусть
заданы два подпространства R1
и R2
n-мерного
пространства R.
Определение:
Если каждый вектор x
пространства R
можно, и притом единственным образом,
представить как сумму двух векторов:
x
=
x1
+
x2,
где
, то говорят, что пространство R
разложено в прямую сумму подпространств
R1
и R2.
Это записывают так:
R
= R1
+ R2,
Теорема. Для
того, чтобы пространствоR
разлагалось в прямую сумму подпространств
R1
и R2,достаточно,
чтобы:
-
Подпространства
R1
и R2
имели только один общий вектор x
=
0 (нулевой вектор). -
Сума
размерностей этих подпространств была
равна размерности пространства R.
Пусть
имеем два произвольных подпространства
R1
и R2
линейного пространства R.
Подпространство пересечения
R1
и R2
— это совокупность векторов, принадлежащих
обоим подпространствам R1
и R2:
☺ Пример
124. Пусть
R1
и R2
– два двумерных подпространства
трехмерного прос-транства (две плоскости,
проходящие через начало координат).
Тогда их пересечение
есть одномерное подпространство (прямая,
по которой эти плоскости пересекаются).
По
двум подпространствам
R1
и R2
можно построить еще одно подпространство,
которое называют суммой:
векторами этого подпространства являются
всевозможные суммы вида:
x
=
x1
+
x2, (*)
где
,
его обозначают:
(в
отличие от прямой суммы двух подпрос-транств,
запись (*) элемента из R
может быть неоднозначной. Легко проверить,
что построенные элементы (*) образуют
подпространство.
Теорема. Сумма
размерностей
R1
и R2,
равна размерности их суммы плюс
размерность пересечения.
☺ Пример
125. Найдем
базис пересечения подпространств
, если R1
натянут на векторы a1
и
a2,
а R2
– на векторы b1
и
b2:
, 
,
, 
.
Решение:
Нетрудно заметить, что векторы a1
и
a2,
b1
и
b2:
— линейно независимы. Согласно
вышеприведенной теореме запишем
размерность пересечения
в виде d
= k+r-s,
где k
= 2 – число независимых векторов,
порождающих подпространство R1;
r
= 2 – число независи-мых векторов,
порождающих подпространство R2;
s
– число независимых векторов, порождающих
подпространство
(его предстоим вычислить).
Применяя
один из способов вычисления ранга
системы векторов, получаем: s
= 3. В таком случае размерность пересечения
d
= 2 + 2 — 3 = 1/
Найдем базис из
условия:
c
= x1
a1+
x2
a2 =
x3
b1+
x4
b2
или
Решая
эту систему одним из способов, изложенных
в Гл.5, получим: x1
=
-s;
x2
=
4s;
x3
=
-3s;
x4
=
s,
где s
– произвольная постоянная. Принимая
s
= -1, получим:
c
= a1—
4 a2
= 3
b1—
b2
= (5, -2, -3, -4).
Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
a1—
4
a2
=
3
b1—
b2
= (5, -2, -3, -4).
☻Решите
примеры:
Пример
126. Найдем
базис пересечения подпространств
, если R1
натянут на векторы a1
и
a2,
а R2
– на векторы b1
и
b2:
, 
,
, 
.
Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
-4a1
+
13a2
=
8 b1+
3b2
= (5, 9, -13, 27).
Пример
127. Найдем
базис пересечения подпространств
, если R1
натянут на векторы a1
и
a2,
а R2
– на векторы b1
и
b2:
, 
,
, 
.
Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
2a1—
3
a2
=
—
b1+
b2
= (1, 3, -1, 1).
Соседние файлы в папке СРС
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Предложите, как улучшить StudyLib
(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте
другую форму
)
Ваш е-мэйл
Заполните, если хотите получить ответ
Оцените наш проект
1
2
3
4
5
В комментариях уже нет места — придётся писать здесь. Потом можно будет что-то добавлять.
Базис суммы пространств состоит из трёх ненулевых строк ступенчатой матрицы. Разумеется, он не равен нулю (само это предположение абсурдно). Записать его можно примерно так: $%a_1=(1;2;0;1)$%, $%a_2=(0;1;-1;-1)$%, $%a_3=(0;0;1;-1)$%. У второго и третьего вектора я для удобства поменял знак.
Добавление. В задаче, среди прочего, требуется найти проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$%. Искомый вектор должен иметь вид $%x(1,2,0,1)+y(1,1,1,0)=(x+y,2x+y,y,x)$%, где $%x$%, $%y$% — некоторые неизвестные.
Проекция производится параллельно ортогональному дополнению пространства $%L_1$%. Это значит, что разность вектора проекции и вектора $%Y_1$%, имеющая координаты $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$%, должна быть ортогональна каждому вектору пространства $%L_1$%. Последнее означает, что скалярное произведение вектора $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$% на каждый из векторов $%(1,2,0,1)$% и $%(1,1,1,0)$% равно нулю. Получается два уравнения: $%x+y-1+2(2x+y)+x=0$% и $%x+y-1+2x+y+y-1=0$%. Упрощая, имеем $%6x+3y=1$% и $%3x+3y=2$%. Отсюда $%x=-frac13$% и $%y=1$%. Тем самым, вектор проекции равен $%(x+y,2x+y,y,x)=(frac23;frac13;1;-frac13)$%.
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.
Линейное пространство
Определения
Пусть дано множество $ mathbb V_<>=left < X,Y,Z,U,dots right>$ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_<> $ и умножения на любое вещественное число $ alpha_<> $: $ alpha cdot X_<> $, и множество $ mathbb V_<> $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y in mathbb V , alpha cdot X in mathbb V_<> $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:
1. $ X+Y=Y+X_<> $ для $ < X,, Y>subset mathbb V_<> $;
2. $ (X+Y)+Z_<>=X+(Y+Z) $ для $ < X,, Y,, Z >subset mathbb V_<> $;
3. в $ mathbb V_<> $ cуществует нулевой вектор $ mathbb O_<> $ со свойством $ X+ mathbb O =X_<> $ для $ forall Xin mathbb V_<> $;
4. для каждого $ Xin mathbb V_<> $ существует обратный вектор $ X^<prime>in mathbb V_<> $ со свойством $ X+X^<prime>=mathbb O_<> $;
5. $ 1cdot X=X_<> $ для $ forall Xin mathbb V_<> $;
6. $ lambda left(mu X right)_<>= left(lambda mu right)X $ для $ forall Xin mathbb V_<> $, $ <lambda ,, mu >subset mathbb R_<> $ ;
7. $ (lambda + mu)X=lambda X + mu X_<> $ для $ forall Xin mathbb V_<> $, $ <lambda ,, mu >subset mathbb R_<> $ ;
8. $ lambda (X + Y) =lambda X_<> + lambda Y $ для $ < X,, Y>subset mathbb V_<> , lambda in mathbb R $.
Тогда такое множество $ mathbb V_<> $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ mathbb R_<> $ — последние называются скалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .
Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ Xin mathbb V_<> $: $ X^<prime>=-1cdot X_<> $, его привычно обозначают $ — X_<> $.
Подмножество $ mathbb V_ <1>$ линейного пространства $ mathbb V_<> $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ mathbb V_ <1>$ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ mathbb V_<> $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ mathbb V_<> $ называются само $ mathbb V_<> $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ mathbb O_<> $.
Примеры линейных пространств
Пример 1. Пространство $ mathbb R^ <3>$ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_<3>) $ с операциями, определяемыми равенствами:
$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3), alpha (a_1,a_2,a_3) = ( alpha a_1, alpha a_2, alpha a_3 ) . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_<3>) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ mathbb R^ <3>$: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $ mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.
Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3) ) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ mathbb R^ <3>$. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ mathbb V_1 $.
Пример 3. Естественным обобщением $ mathbb R^ <3>$ служит пространство $ mathbb R_<>^ $: векторное пространство строк $ (x_1,dots,x_) $ или столбцов $ (x_1,dots,x_n)^ <^top>$. Один из способов задания подпространства в $ mathbb R_<>^ $ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:
$$ left<begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+ldots+a_<1n>x_n &=&0,\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+ldots+a_<2n>x_n &=&0,\ ldots& & ldots \ a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&0 endright. iff AX=mathbb O $$ образует линейное подпространство пространства $ mathbb R_<>^ $. В самом деле, если $$x_1=alpha_1,dots, x_n=alpha_n $$ — решение системы, то и $$x_1=t alpha_1,dots, x_n= t alpha_n $$ — тоже решение при любом $ t in mathbb R $. Если $$x_1=beta_1,dots, x_n=beta_n $$ — еще одно решение системы, то и $$x_1=alpha_1+beta_1,dots,x_n=alpha_n+beta_n $$ — тоже будет ее решением.
Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?
Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей
$$ (x_1,dots,x_n, dots ) , , $$ обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ _ $ удовлетворяющие — при произвольных числах $ > subset mathbb R $ — линейному однородному разностному уравнению $ n_<> $-го порядка, $$ x_=a_1 x_+ dots+ a_n x_K npu K in <0,1,2,dots > ; $$ здесь числа $ < a_1,dots,a_, a_n ne 0 > subset mathbb R $ считаются фиксированными.
Пример 5. Множество $ mtimes n_<> $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ mathbb R^ $.
В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.
Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_<> $ степени в точности равной $ n_<> $ с коэффициентами из $ mathbb A_<> $ (где $ mathbb A_<> $ — любое из множеств $ mathbb Z, mathbb Q, mathbb R_<> $ или $ mathbb C_<> $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ mathbb A_<> $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов
$$ f(x)=x^n -x+1 quad mbox < и >quad g(x)=-x^n+x^-2 $$ не является полиномом $ n_<> $-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $ n_<> $ $$ mathbb P_n= left < p(x) in mathbb A [x] big| deg p(x) le n right>$$ линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами $ mathbb P_ $ являются $ mathbb P_<0>, mathbb P_1,dots,mathbb P_ $. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $ n_<> $. Множество всевозможных полиномов
$$ mathbb P= bigcup_^ <infty>mathbb P_n $$ (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.
Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,dots, x_ <ell>$ степени не выше $ n_<> $ с коэффициентами из $ mathbb A_<> $. Например, множество линейных полиномов
$$ left< a_1x_1+dots+a_<ell>x_<ell>+b big| (a_1,dots,a_<ell>,b) in mathbb A^ <ell+1>right> $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_<> $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.
Изоморфизм
Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ mathbb V_<> $ с операцией $ +_<> $ и $ mathbb W_<> $ с операцией $ boxplus_<> $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.
Говорят, что пространства $ mathbb V_<> $ и $ mathbb W_<> $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_<> leftrightarrow X^ <prime>$ и $ Y_<> leftrightarrow Y^ <prime>$ то $ X+Y leftrightarrow X_<>^ <prime>boxplus Y^ <prime>$ и $ lambda X_<> leftrightarrow lambda X^ <prime>$.
При изоморфизме пространств $ mathbb V_<> $ и $ mathbb W_<> $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.
Пример. Пространство $ mathbb R^_<> $ изоморфно пространству $ mathbb P_^<> $. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием $$ [a_1,dots,a_n] leftrightarrow a_1+a_2x+dots + a_nx^ .$$
Пример. Пространство $ mathbb R^ $ вещественных матриц порядка $ m_<>times n $ изоморфно пространству $ mathbb R_<>^ $. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).
Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_<> $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_<> $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_<> $:
$$ a_<11>x_1^2+a_<12>x_1x_2+a_<13>x_1x_3+a_<22>x_2^2+a_<23>x_2x_3+a_<33>x_3^2 leftrightarrow left( begin a_ <11>& frac<1><2>a_ <12>& frac<1><2>a_ <13>\ frac<1><2>a_ <12>& a_ <22>& frac<1><2>a_ <23>\ frac<1><2>a_ <13>& frac<1><2>a_ <23>& a_ <33>end right) . $$
Линейная зависимость, базис, координаты
Линейной комбинацией системы векторов $ \> $ называется произвольный вектор $$ alpha_1 X_1+dots+ alpha_m X_m $$ при каких-то фиксированных значениях скаляров $ alpha_<1>, dots, alpha_ $.
Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \> $ $$ left< alpha_1 X_1+dots+ alpha_m X_m bigg| <alpha_1,dots,alpha_m>subset mathbb R right> $$ называется линейной оболочкой векторов $ X_1,dots,X_ $ и обозначается $ <mathcal L>(X_1,dots,X_) $.
Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,dots,X_ $ образует линейное подпространство пространства $ mathbb V_<> $.
Пример. В пространстве $ mathbb P_ $ полиномов степеней $ le n_<> ge 3 $ линейной оболочкой полиномов $ x,x^2,x^3 $ будет множество полиномов вида $ a_0x^3+a_1x^2+a_2x $, т.е. множество полиномов степеней $ le 3 $, имеющих корень $ lambda_<>=0 $. ♦
Система векторов $ < X_<1>,dots,X_m > $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ alpha_<1>,dots,alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ alpha_1X_1+dots+alpha_mX_m=mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ alpha_<1>=0,dots,alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).
Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы)
$$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2,f_2-f_3 equiv 0 . $$ Полиномы $$ tilde f_1=x_1+x_2+x_3,quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ tilde f_1^2-2,f_2-f_3 equiv 0 . $$ ♦
Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.
б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.
в) При $ m>1 $ система $ ,dots,X_m> $ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ jin <1,dots,n >$ и константы $ gamma_<1>,dots,gamma_, gamma_,dots,gamma_ $ такие, что $$ X_j=gamma_1X_1+dots+gamma_X_+ gamma_X_+dots + gamma_X_ .$$
Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ < X_1,dots,X_> $ линейно выражается через векторы другой системы $ < B_<1>,dots,B_k > $ с меньшим числом векторов: $ k ☞ ЗДЕСЬ.
Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.
Теорема 4. Системы векторов
$$ < X_1,dots,X_> quad mbox < и >quad < Y_<1>,dots,Y_k > $$ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем: $$<mathcal L>(X_1,dots,X_m)=<mathcal L>(Y_1,dots,Y_k) . $$
Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем
$$ < X_1,dots,X_> quad mbox < и >quad < Y_<1>,dots,Y_k > $$ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $ m=k_<> $ .
Линейно независимая система векторов $ \>subset mathbb V $ называется базисом этого пространства если каждый $ Xin mathbb V $ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов: $$ X=sum_ alpha_j X_j . $$
При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ left[a_<1>,a_2,dots, right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [underbrace<0,dots,0,1>_j,0,dots , ] quad npu j in mathbb N . $$
В случае, когда базис пространства $ mathbb V_<> $ конечен, пространство $ mathbb V_<> $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ mathbb V_<> $ и обозначается 5) : $ dim mathbb V_<> $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ dim <mathbb O_<>>= 0 $.
Пример. Линейное пространство $ mtimes n_<> $ матриц имеет размерность $ mn_<> $. Так, для случая $ m_<>=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц
$$ left( begin 1 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 1 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 1 & 0 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 1 & 0 end right) , left( begin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 1 end right) . $$ ♦
Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_<> $.
Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением
под умножением цвета на положительное число $ k_<> $ — увеличение в $ k_<> $ раз яркости цвета
Анимация ☞ ЗДЕСЬ (1500 K, gif)
под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения. ♦
Если $ dim mathbb V=d_<> $ и вектора $ X_1,dots,X_ $ являются базисными для $ mathbb V_<> $, то разложение вектора $ X in mathbb V_<> $ в сумму: $$ X=alpha_1 X_1+dots+ alpha_d X_d .$$ называется разложением вектора $ X_<> $ по базису $ X_1,dots,X_ $; при этом числа $ alpha_1,dots, alpha_ $ называются координатами вектора $ X_<> $ в данном базисе.
Теорема 6. Если $ dim mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_<> $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.
Доказательство. Пусть $ $ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $ Xin mathbb V_<> $. Если система $ $ л.н.з., то $ dim mathbb V ge d+1 $, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $ alpha_0X+alpha_1Y_1+dots+alpha_dY_d=mathbb O $ при каком-то из чисел $ <alpha_j>_^ $ не равном нулю. Если $ alpha_0=0 $, то $ alpha_1Y_1+dots+alpha_dY_d=mathbb O $ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $ $ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $ alpha_0ne 0 $, но тогда вектор $ X_<> $ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $ Y_1,dots,Y_d $: $$X=- <alpha_1>/ <alpha_0>Y_1-dots -<alpha_d>/<alpha_0>Y_d .$$ По определению, система $ $ является базисом $ mathbb V $. ♦
Теорема 7. Любой вектор $ X in mathbb V_<> $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.
Очевидно, $ dim mathbb R^ = n $: строки из $ n_<> $ элементов $$[1,0,0,dots,0], [0,1,0,dots,0], [0,0,1,dots,0], dots , [0,0,0,dots,1] $$ образуют базис этого пространства.
Имеются два способа задания линейных подпространств в $ mathbb R^_<> $. Пусть $$ mathbb V_1 = <mathcal L>(A_1,dots,A_k) quad npu subset mathbb R^n .$$ В разделе ☞ РАНГ установлено, что $$ dim mathbb V_1 = operatorname < A_1,dots,A_k >= operatorname (A) ,$$ где $ A_<> $ — матрица, составленная из строк (столбцов) $ A_<1>,dots,A_k $.
Пример. Найти базис подпространства
Решение. Ищем $$ operatorname left( begin 1 & 2 & 1 & 1 \ -1&0&-1&0 \ -1& 2 &-1 &1 \ 0& 1& 0 & 1 end right) $$ по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка $$ left| begin 1 & 2 & 1 \ -1&0&0 \ 0& 1 & 1 end right| $$ отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.
Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.
Другим способом задания линейного подпространства в $ mathbb R^ $ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений $$ left<begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+ldots+a_<1n>x_n &=&0,\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+ldots+a_<2n>x_n &=&0,\ ldots& & ldots \ a_x_1 +a_x_2+ldots+a_x_n &=&0 endright. qquad iff qquad AX=mathbb O . $$ Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.
Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=mathbb O_<> $ образует линейное подпространство пространства $ mathbb R^ $. Размерность этого подпространства равна $ n-operatorname (A) $, а фундаментальная система решений образует его базис.
Пример. В пространстве $ mathbb P_ $ полиномов степеней $ le n_<> $ каноническим базисом можно взять систему мономов $ <1,x,x^2,dots, x^n >$, т.е. $ dim mathbb P_ =n+1 $. Координатами полинома
$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+dots+a_nx^n $$ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ <1, x-c,(x-c)^2,dots,(x-c)^n >$ при произвольном числе $ c_<> $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора: $$ f(x) equiv f(c)+ frac(c)> <1!>(x-c) + frac(c)> <2!>(x-c)^2+ dots + frac(c)> (x-c)^ . $$
Найти координаты полинома
Теорема 9. Любое векторное пространство $ mathbb V_<> $ размерности $ d_<> $ изоморфно $ mathbb R^ $.
Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ $ — какой-то базис $ mathbb V_<> $, то вектору $ X in mathbb V $ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: $$ X=x_1X_1+dots+x_d X_d Rightarrow X mapsto [x_1,dots,x_d]in mathbb R^d . $$ На основании теоремы $ 6 $, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна. ♦
Критерии линейной зависимости
Теорема . Строки
$$ <(a_<11>,dots,a_<1n>),dots, (a_,dots,a_)> subset mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ left|begin a_<11>&dots & a_ <1n>\ dots & & dots \ a_& dots & a_ end right|=0 , . $$
Теорема . Строки
$$ <(a_<11>,dots,a_<1n>),dots, (a_,dots,a_)> subset mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ operatorname A
$$ <(a_<11>,dots,a_<1n>),dots, (a_,dots,a_)> subset mathbb R^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ det (A^ <top>A) = 0 , . $$ (Определитель в левой части можно интерпретировать как определитель Грама системы строк.)
Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан
Относительный базис
В настоящем пункте $ mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ mathbb V_<> $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=dim mathbb V_1 $.
Теорема. Произвольный базис подпространства $ mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ mathbb V_<> $.
Доказательство. Пусть $ > $ — какой-то базис $ mathbb V_1 $. В пространстве $ mathbb V_<> $ найдется вектор $ X_ $ такой, что система $ , X_> $ будет л.н.з. (В противном случае, $ dim mathbb V=d_1 $, что противоречит условию настоящего пункта.) Если $ d_1+1=d = dim mathbb V $, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $ d_1+1 ♦
Говорят, что система векторов $ $ линейно независима относительно подпространства $ mathbb V_1 $ пространства $ mathbb V_<> $ если $$<.>_<> mbox < из условия >quad alpha_1X_1+dots+alpha_k X_k in mathbb V_1 quad mbox < следует >quad alpha_1=dots=alpha_k=0 .$$
Теорема. Обозначим $ \> $ — произвольный базис $ mathbb V_1 $. Система $ ,dots,X_k> $ л.н.з. относительно $ mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ ,X_1,dots,X_k> $ линейно независима.
Пример. Найти все значения параметра $ <coloralpha > $, при которых система
Решение. Базисом подпространства $ mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ >, Y_2=[6,-5,0,1]^<^<top>>> $. Теорема утверждает, что система $ < X_1, X_2>$ л.н.з. относительно $ mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ < X_1, X_2,Y_1,Y_2>$ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $ 4_<> $. $$operatorname left( begin 1 & 1 &-1 & 6 \ 2 & <coloralpha > & 2 & -5 \ <coloralpha > & 2 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1 end right)=4 iff left| begin 1 & 1 &-1 & 6 \ 2 & <coloralpha > & 2 & -5 \ <coloralpha > & 2 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1 end right|= <coloralpha >^2-10, <coloralpha > +16 ne 0 . $$
Ответ. $ <coloralpha >not in < 2,, 8>$.
Говорят, что система векторов $ $ образует базис пространства $ mathbb V_<> $ относительно (или над) $ mathbb V_1 $ если она л.н.з. относительно $ mathbb V_1 $ и любой вектор $ Xin mathbb V_<> $ можно представить в виде $$ X=c_1X_1+dots+c_kX_k+Y, quad mbox < где >quad Yin mathbb V_1 . $$
Теорема. Обозначим $ < Y_1,dots,Y_> $ — произвольный базис подпространства $ mathbb V_1 $. Система $ $ образует базис $ mathbb V_<> $ относительно $ mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ < X_1,dots,X_k,Y_1,dots,Y_> $ образует базис $ mathbb V_<> $.
Доказательство. Действительно, любой вектор $ Xin mathbb V_<> $ выражается через векторы $ X_1,dots,X_k,Y_1,dots,Y_ $. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $ X_1,dots,X_k $. ♦
Базис $ mathbb V_<> $ строится дополнением базиса $ mathbb V_1 $ векторами $ X_1,dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ mathbb V_1 $. Поэтому $$<.>_<> mbox <число векторов относительного базиса > = dim mathbb V — dim mathbb V_1 .$$
Это число называется коразмерностью 6) подпространства $ mathbb V_1 $ в пространстве $ mathbb V $.
Сумма и пересечение линейных подпространств
Пусть $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ mathbb V_<> $. Множество $$ mathbb V_1+ mathbb V_2 = left$$ называется суммой, а множество $$ mathbb V_1 cap mathbb V_2 = left$$ — пересечением подпространств $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.
Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.
Теорема. $ mathbb V_1+ mathbb V_2 $ и $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ mathbb V_<> $.
Докажите, что $ mathbb V_1+ mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ mathbb V_1 $, так и $ mathbb V_2 $.
Теорема. Имеет место формула:
$$ dim , mathbb V_1 + dim , mathbb V_2=dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2) + dim , (mathbb V_1 + mathbb V_2) . $$
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде:
$$dim , mathbb V_1 + dim , mathbb V_2 + dim , mathbb V_3 — $$ $$ -left <dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2) + dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_3) + dim , (mathbb V_2 cap mathbb V_3) right>+ $$ $$+ dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2 cap mathbb V_3) =dim , (mathbb V_1 + mathbb V_2 + mathbb V_3) ?$$
Теорема. Имеет место формула:
Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения
$$mathbb V_1=<mathcal L>left( left[ begin 0 \1 \ 1 \ 1 end right] , left[ begin 1 \1 \ 1 \ 2 end right] , left[ begin -2 \0 \ 1 \ 1 end right] right) quad mbox < и >quad mathbb V_2=<mathcal L>left( left[ begin -1 \3 \ 2 \ -1 end right] , left[ begin 1 \1 \ 0 \ -1 end right] right) $$
Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ left( begin 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 end right) $$ и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $ operatorname = 3 $ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.
Ответ. Базис $ mathbb V_1 + mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ dim , (mathbb V_1 cap mathbb V_2) = 3+2 — 3 =2 $.
Алгоритм нахождения базиса $ <mathcal L>(X_1,dots,X_m) cap <mathcal L>(Y_1,dots,Y_<ell>) $ проиллюстрируем на примере.
Пример. Найти базис $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $ при
$$ begin mathbb V_1= <mathcal L>left( left[ begin 1 \ -1 \ 1 \ -1 \ 1 end right],, left[ begin 1 \ 2 \ 1 \ 2 \ 1 end right],, left[ begin 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 end right] right) \ <>_<> qquad qquad quad X_1 quad quad X_2 quad quad X_3 end , begin mathbb V_2= <mathcal L>left( left[ begin 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 end right],, left[ begin 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 end right],, left[ begin 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 end right] right) \ <>_<> quad qquad qquad Y_1 qquad Y_2 quad quad Y_3 end . $$
Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$dim mathbb V_1=2, mathbb V_1=mathcal L(X_1, X_2) ; dim mathbb V_2=3, mathbb V_2=mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) . $$
2. Произвольный вектор $ Zin mathbb R^5 $, принадлежащий $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=alpha_1 X_1 + alpha_2 X_2= beta_1 Y_1 + beta_2 Y_2 + beta_3 Y_3 .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ begin qquad X_1 X_2 \ qquad <colordownarrow> <colordownarrow> \ left( begin 1 & 1 & -1 & &-1 & & 0 \ -1 & 2 & 0 & & -1 & & -1 \ 1 & 1 & 0 & & 0 & & -1 \ -1 & 2 & 0 & & -1 & & -1 \ 1 & 1 & -1 & & -1 & & 0 end right) \ qquad qquad qquad <coloruparrow> qquad <coloruparrow> qquad quad <coloruparrow> \ quad qquad qquad -Y_1 quad — Y_2 quad -Y_3 end left( begin alpha_1 \ alpha_2 \ beta_1 \ beta_2 \ beta_3 end right)= mathbb O_ <5times 1>$$ и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений: $$ left( begin 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) left( begin alpha_1 \ alpha_2 \ beta_1 \ beta_2 \ beta_3 end right)= mathbb O quad Rightarrow qquad mbox < ФСР >qquad begin alpha_1 & alpha_2 & beta_1 & beta_2 & beta_3 \ hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 end $$
3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ alpha_1,alpha_2 $), либо через базис подпространства $ mathbb V_2 $ (если использовать $ beta_1,beta_2, beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^<^<top>>, $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^<^<top>> . $$
Найти базисы суммы и пересечения подпространств
Решение ☞ ЗДЕСЬ.
Прямая сумма линейных подпространств
Пусть $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ mathbb V_<> $. Говорят, что $ mathbb V_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ если любой вектор $ Xin mathbb V_<> $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1in mathbb V_1,X_2in mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ mathbb V= mathbb V_1 oplus mathbb V_2 $. Вектор $ X_ <1>$ называется проекцией вектора $ X_<> $ на подпространство $ mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ mathbb V_ <2>$.
Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_<> $ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_ $ справедливо разложение
$$A=frac<1> <2>left(A+A^ <^top>right) + frac<1> <2>left(A-A^ <^top>right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_<> $ в сумму симметричной и кососимметричной.
Теорема. Пусть $ mathbb V=mathbb V_1 + mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение:
$$mathbb V_1 cap mathbb V_2= <mathbb O > .$$
Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ mathbb V_1 + mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ Xne mathbb O $, принадлежащий $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ mathbb O = mathbb O + mathbb O = X+ (-X) , . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.
Достаточность. Если $ mathbb V_1 cap mathbb V_2= <mathbb O >$, но существует вектор $ X in mathbb V_1 + mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 quad npu quad subset mathbb V_1, subset mathbb V_2, $$ то $$ (X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =mathbb O quad Rightarrow quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 , , $$ т.е. вектор $ X_1-Y_1 $ принадлежит $ mathbb V_1 cap mathbb V_2 $. Но, по предположению, $ mathbb V_1 cap mathbb V_2= <mathbb O >$, следовательно, $ X_1-Y_1=mathbb O $, но тогда и $ Y_2-X_2=mathbb O $. ♦
Сумма $ mathbb V=mathbb V_1 + mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ mathbb V_<> $ может быть получен объединением базисов $ mathbb V_ $.
Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств
$$mathbb V_1=<mathcal L>left( left[ begin 2 \3 \ 11 \ 5 end right] , left[ begin 1 \1 \ 5 \ 2 end right] , left[ begin 0 \1 \ 1 \ 1 end right] right) quad mbox < и >quad mathbb V_2=<mathcal L>left( left[ begin 2 \1 \ 3 \ 2 end right] , left[ begin 1 \1 \ 3 \ 4 end right] , left[ begin 5 \2 \ 6 \ 2 end right] right) $$ будет прямой и найти проекции вектора $ Z=[2,0,0,3]^ <top>$ на эти подпространства.
Решение. Базисы $ mathbb V_1 $ и $ mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ $ и $ < Y_1,Y_2 >$, т.е. $ dim , mathbb V_1=dim , mathbb V_2 =2 $. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $ $ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы $$ A=left( begin 1 & 0 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 \ 5 & 1 & 3 & 3 \ 2 & 1 & 2 & 4 end right) $$ отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $ mathbb V_1 + mathbb V_2 $ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $ X_<> $ по этому базису решаем систему уравнений $$A left[ begin alpha_2 \ alpha_3 \ beta_1 \ beta_2 end right] = Z $$ и получаем единственное решение: $ alpha_2=-1,, alpha_3=-1,, beta_1 =1, , beta_2=1 $. Разложение $ Z=Z_1+Z_2 $ составляют векторы $ Z_1=alpha_2 X_2+alpha_3 X_3 $ и $ Z_2=beta_1 Y_1+beta_2 Y_2 $.
Линейные многообразия
Пусть $ mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ mathbb V_<> $, а $ X_ <0>$ — произвольный фиксированный вектор из $ mathbb V_<> $. Множество $$ mathbb M = X_0+ mathbb V_1 = left $$ называется линейным многообразием (порожденным подпространством $ mathbb V_1 $). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $ dim mathbb M = dim mathbb V_1 $. В случае $ 1 ☞ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы $ AX= mathbb O $. Таким образом, многообразие решений неоднородной системы $ AX= <mathcal B>$ допускает «параметрическое представление»: $$mathbb M=X_0+ <mathcal L>(X_1,dots,X_>)= $$ $$=left> X_> mid (t_1,dots, t_>) in mathbb R^> right> ; $$ здесь $ X_ <0>$ означает частное решение системы (т.е. $ AX_0= <mathcal B>$),
$ >> $ — ФСР для системы $ AX= mathbb O $,
а $ mathfrak r= operatorname A= operatorname [Amid mathcal B] $.
Получаем, следовательно, $ (n-<mathfrak r>) $-мерную плоскость в $ mathbb R^n $, a в случае $ (n-<mathfrak r>)=1 $ — прямую $$mathbb M=X_0+tX_1 quad npu t in mathbb R ; $$ в последнем случае вектор $ X_ <1>$ называют направляющим вектором этой прямой.
Некоторые задачи на линейные многообразия ☞ ЗДЕСЬ.
Подпространство линейного пространства
Определение и размерность подпространства
Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.
Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.
Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.
Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.
Сумма и пересечение подпространств
Пусть L и M — два подпространства пространства R.
Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).
Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).
Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:
dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).
Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис 
. Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть 
базис подпространства L и пусть 
базис подпространства M. Покажем, что векторы
составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).
Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:
Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор
принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:
Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:
Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и 
. Тогда (6.2) примет вид:
В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:
Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы
линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.
Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:
dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■
Прямая сумма подпространств
Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.
Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.
Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.
Доказательство. Выберем некоторый базис 
в подпространстве L и некоторый базис 
в подпространстве M. Докажем, что
является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:
Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M= 0, то
Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда
Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.
Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):
Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x1∈L и x2∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:
Вычитая (6.19) из (6.17), получим
Так как 
, 
и L∩M= 0, то 
и 
. Следовательно 
и 
. ■
Линейные и евклидовы пространства с примерами решения и образцами выполнения
Евклидово пространство — это вещественное линейное пространство, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма. Значение билинейной формы на паре элементов называется скалярным произведением этих векторов.
Линейные и евклидовы пространства
Определение линейного пространства
Определение:
Множество V элементов х, у, z,… называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу
I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;
II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:
- (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность);
- х + у = у + х (коммутативность)-,
- во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента х из V выполняется равенство х + θ = х;
- для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х + (-х) = θ;
- а(х + у) = ах + ау;
- (а + β)х = ах + βх;
- а( β х) = (а β )х;
- 1х = х.
Элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным элементу х.
Элементы х, у, z,… линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством.
Примеры линейных пространств
- Совокупность свободных геометрических векторов V3 в пространстве с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).
Этим же свойством обладают: совокупность V1 векторов на прямой и совокупность V2 векторов на плоскости.
2, Совокупность упорядоченных наборов (
) из n действительных чисел.
Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:
б) умножение на число —
Обозначение: Rn (n -мерное вещественное координатное пространство).
3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х n с введенными правилами сложения матриц,
и умножения матрицы на число,
В частности, совокупность n-строк, R1xn и совокупность столбцов высоты m, Rmx1, являются линейными пространствами.
4. Множество С(-1, 1) вещественных функций, непрерывных на интервале (-1, I), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число.
Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.
Простейшие свойства линейных пространств
- Нулевой элемент θ определен однозначно.
Пусть θ1 и θ2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму θ1 + θ2. Вследствие того, что θ2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что θ1+ θ2 = θ1, а так как элемент θ1 — также нулевой, то θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2 , т. е. θ1 = θ2 .
2. Для любого элемента х противоположный ему элемент (—х) определен однозначно.
Пусть x — и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они равны.
Рассмотрим сумму х_ + х + x — . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент x — противоположен элементу х, получаем:
Аналогично убеждаемся в том, что
Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:
- Для любого элемента х выполняется равенство 0х = θ.
- Для любого элемента х выполняется равенство —х = (- 1)х.
- Для любого числа а выполняется равенство аθ = θ.
- Из того, что ах = θ, следует, что либо а = 0, либо х = θ.
Линейные подпространства
Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а выполняются следующие условия:
Иногда говорят: «множество W замкнуто относительно указанных операций».
Примеры линейных подпространств
1.Множество векторов на плоскости V2 является линейным подпространством линейного пространства V3.
2. Совокупность решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными
образует линейное подпространство линейного пространства Rnx1. В самом деле, сумма решений однородной системы () является решением этой же системы и произведение решения системы (*) на число также является ее решением.
3. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на интервале (-1, 1) и обращающихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1,1).
Сумма f(t) + g(t) функций f(t) и g(t), обращающихся в нуль при t = 0, t(0) = f(0) = 0, и произведение af(t) функции f(t), обращающейся в нуль при t = 0, f(0) = 0, на число а равны нулю при t = 0.
Свойства линейного подпространства
- Если x1, …, хq — элементы линейного подпространства W, то любая их линейная комбинация
также лежит в W. - Линейное подпространство W само является линейным пространством.
Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противоположный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х ∈ W на 0 и на -1: θ = 0х, -х = (- 1)х.
Сумма и пересечение линейных подпространств
Пусть V — линейное пространство, W1 w W2 — его линейные подпространства. Суммой W1 + W2 линейных подпространств W1 и W2 называется совокупность всевозможных элементов х пространства V, которые можно представить в следующем виде
где x1 лежит в W1, а х2 — в W2. Коротко это можно записать так:
Сумма линейных подпространств W1 и W2 нaзывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3).
Обозначение: W1⊕W2
Пересечением W1 ∩ W2 линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и линейному подпространству W1, и линейному подпространству W2.
Свойства пересечения и суммы линейных подпространств
- Сумма W1 + W2 является линейным подпространством пространства V.
Возьмем в W1 + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы подпространств найдутся элементы х1, у1, из W1 и х2, у2, из W2 такие, что
Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде
Так как 
то сумма х + у лежит в W1 + W2.
Аналогично доказывается включение ах ∈ W1 + W2.
2. Пересечение W1 ∩ W2 является линейным подпространством пространства V.
3. Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W1 й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W1 ⊕ W2.
Линейная оболочка
Линейной оболочкой L(X) подмножества X линейного пространства V называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,
Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X».
Основные свойства линейной оболочки
- Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
- L(X) — линейное подпространство пространства V.
Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями элементов множества X.
3. L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.
Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит множество X , то W содержит и его линейную оболочку L(X).
Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда произвольная линейная комбинация 
элементов множества X — элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W.
Пример:
Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки ξ = (1,1,0) и η = (1,0, I) (рис.4). Множество решений уравнения
является линейной оболочкой L(ξ , η) троек ξ и η.
Действительно, тройки (I, 1, 0) и (1, 0, I) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение этого уравнения является их линейной комбинацией.
Пример:
Рассмотрим в линейном пространстве С(- ∞, ∞) вещественнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, набор X одночленов 1, х,…, хn:
Линейная оболочка L(X) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых не превосходят n.
Обозначение: 
Линейная зависимость
Определение. Система элементов х1 . .. , хq линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа a1,… , аq, не все равные нулю и такие, что
(1)
Если равенство (1) выполняется только при а1 = … = аq = 0, то система элементов x1,…, хq называется линейно независимой.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема:
Система элементов x1,…, хq (q ≥ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных.
Предположим сначала, что система элементов x1,…, xq линейно зависима. Будем Считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент аq. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на аq ≠ 0 получим, что элемент хq является линейной комбинацией элементов х1 …, хq:
Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,
то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию
в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 ≠ 0). Значит, система элементов x1,…., хq линейно зависима.
Теорема:
Пусть система элементов х1,…,хq линейно независима и y=. Тогда коэффициенты a1 ,… ,аq определяются по элементу у единственным образом.
Пусть
Из линейной независимости элементов x1…, xq вытекает, что a1 — β1 = … = аq — βq = 0 и, значит, 
Теорема:
Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть первые q элементов системы х1 … , хq, xq+1… , xm линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что
и не все коэффициенты а1 … ,аq равны нулю. Добавляя элементы xq+1… , xm с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации
равны нулю не все коэффициенты.
Пример. Векторы из V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5).
Базис. Размерность
Упорядоченная система элементов e1,…, еn линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы e1,…, еn линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить n! упорядоченных систем.
Пример:
Пусть a, b, с — тройка некомпланарных векторов из Vз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, b, с; b, с, а; с, а, b; b, а, с; а, с, b и с, b, а — различные базисы V3.
Пусть с = (e1 … еn) — базис пространства V.
Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел 
такой, что
В силу теоремы 2 числа — координаты элемента х в базисе с — определены однозначно.
Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях с ними.
и для любого числа а
Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число.
Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,
— координатный столбец элемента 
в базисе e.
Разложим произвольную систему элементов x1,…, хq по базису e,
ли рассмотрим координатные столбцы элементов ч1,…, хq в этом базисе:
Теорема:
Система элементов х1,… ,хq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.
причем хотя бы один из коэффициентов λk отличен от нуля. Запишем это подробнее
Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что
Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов x1,…, xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами λ1,…, λg). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима.
Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1).
Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу.
Теорема:
Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из то элементов, где т > п, линейно зависима.
4 В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай m = п + 1.
Пусть x1. . ,хп+1 — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису e = (е1 …, еп):
и запишем координаты элементов х1 …, xn+1 в виде матрицы, отводя j-й столбец координатам элемента xj, j = 1,…, п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1 столбцов —
Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов x1…..хп+1, то согласно теореме 4 система элементов x1…..хп+1 также линейно зависима.
Следствие:
Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элементов.
Пусть базис e состоит из п элементов, а базис e’ из п‘ элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е’1,…, е’n заключаем, что п’ ≤ п. Меняя базисы e и e’ местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ≤ п’.
Тем самым, п = п’.
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого пространства.
Пример:
Базис координатного пространства R» образуют элементы
Система элементов e1,e2, …,еп линейно независима: из равенства
и значит, a1 = … = an = 0.
Кроме того, любой элемент 
из R» можно записать в виде линейной комбинации элементов e1…..еп: ‘
Тем самым, размерность пространства R» равна п.
Пример:
Однородная линейная система
имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п — r, где r — ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an — число неизвестных.
Пример:
Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + I.
Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид
то достаточно показать линейную независимость элементов
где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.
Продифференцируем равенство (3) по t:
Вновь положив t = 0, получим, что a1 = 0.
Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что a0 = a1 = … = ап = 0. Это означает, что система элементов e1 = I,… ,en+1 = t» линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна n + 1.
Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.
Обозначение: dim V = п.
Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равна п.
Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ≤ п.
Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности k ≤ п.
Пусть e = (е1 … еn) — базис пространства V. Легко убедиться в том, что линейная оболочка
имеет размерность k.
По определению dim < θ >= 0.
Теорема:
О пополнении базиса. Пусть система элементов а1.. , аk линейного пространства V размерности п линейно независима и к 
так как в нетривиальной линейной комбинации
коэффициент μ ≠ 0 вследствие линейной независимости системы а1…., аk.
Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система a1…, аk была бы базисом согласно определению. Но в силу условия k 
строками которой являются координаты векторов а1, а2, а3, а4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы а1, а2, а3, а4 линейно независимы.
Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему k линейно независимых элементов
до базиса пространства R» , матрица
элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — k строками вида
(0 … 1 … 0)
так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение.
Теорема:
Пусть W1 и W2 — линейные подпространства линейного пространства V. Тогда
Замена базиса
Пусть e = (e1 … еn) и e’ = (е’1, … е’n) — базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса e’ по базису с. Имеем
Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)
называется матрицей перехода от базиса e к базису e’.
Свойства матрицы перехода
- det S ≠ 0.
Доказательство этого свойства проводится от противного.
Из равенства detS = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е’1,…, е’n в базисе e. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е’1…..с’n должны быть линейно зависимыми.
Последнее противоречит тому, что e’ — базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно.
2. Если и 
— координаты элемента х в базисах e и e’ соответственно, то:
(3)
Заменяя в формуле
e’j их выражениями (1), получаем, что
Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем
Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2.
3. S -1 — матрица перехода от базиса e’ к базису e.
Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу S -1 справа.
Евклидовы пространства
Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым пространством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число, обозначаемое через (х,у), такое, что для любых элементов х, y,z и произвольного вещественного числа а выполняются следующие условия:
4. (х, х) ≥ 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = θ.
Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Примеры евклидовых пространств.
- В пространстве свободных векторов К] скалярное произведение векторов а и b определяется так:
2. Скалярное произведение произвольных элементов 
из координатного пространства R» можно определить формулой
3, Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.
Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие свойства:
Теорема:
Неравенство Коши—Буняковского. Для любых двух элементов х и у евклидова пространства V справедливо неравенство
Если (х, х) = θ , то х = θ и неравенство выполняется вследствие того, что ( θ , у) = 0.
Обратимся к случаю (х, х) ≠ 0. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного произведения неравенство
справедливо для любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:
Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при любых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,
Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство.
Замечание:
Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,
Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.
Определение:
Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу
Ясно, что |х| ≥ 0 для любого х, причем равенство |х| = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.
Рассмотрим цепочку равенств:
Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| ≥ 2(х, у) и применяя неравенство Коши—Буняковского |(х,у)| ≤ |х| • |у|, получаем, что
После извлечения квадратного корня приходим к неравенству треугольника:
|х + у| ≤ |х| + |у|
(рис.7).
Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется число φ, подчиненное следующим двум условиям:
Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем
для любых ненулевых элементов х и у.
Элементы х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство
являющееся обобщением известной теоремы Пифагора’, квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).
Система элементов f1…..f k называется ортогональной, если (fi, fj) =0′ при i ≠ j, и ортонормированной, если
Определение:
называют символом Кронекера.
Теорема:
Ортонормированная система элементов линейно независима.
Умножая обе части равенства
скалярно на элемент fj, j = 1 ,… ,k, получаем, что
И так как (fj, fj) = 1,то aj = 0, j = 1,…, k.
Метод ортогонализации
Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов f1,… ,fk евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из к элементов.
Для того, чтобы элемент
был ортогонален элементу g1, необходимо выполнение следующего равенства:
Тем самым, элемент
ортогонален элементу g1 (рис. 9 а).
Пользуясь построенными элементами g1, g2 и заданным элементом fз, построим элемент
ортогональный как элементу g1, так и элементу g2. Для этого коэффициенты β1 и β2 должны удовлетворять следующим условиям:
Таким образом, элемент
, (f3,g|) (f3,g2)
ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 6).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент
ортогонален элементам 
Делением каждого элемента gi (i = 1…..k) на его длину |g 
Базис e = (e1 … еn) евклидова пространства называется ортонормированным, или ортобазисом, если
Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.
Теорема:
В любом евклидовом пространстве существует о ртонормированный базис.
Пример:
Методом ортогонализации построить ортоиормированный базис евклидова пространства Е по его базису
Полагаем b1 = a1 и b2 = а2 — ab1. Для того, чтобы вектор
был ортогонален вектору b1, необходимо выполнение неравенства
Для того, чтобы вектор
был ортогонален векторам b1 и b2, необходимо выполнение равенств
Тем самым, вектор
Система векторов b1, b2, b3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим
— ортонормированный базис пространства Е.
При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть e = (e1 … еn) — ортонормированный базис пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису e
Ортогональное дополнение
Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W⊥ элементов у пространства V, обладающих свойством
(y. х) = 0,
где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением подпространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W⊥ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.
Свойства ортогонального дополнения
- W⊥ — линейное подпространство пространства V. Пусть элементы y1, у2 лежат в W⊥ , т. е.
для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем,что
для любого элемента х из W. Это означает, что
Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) = а(у, х) и, значит, включение ay ∈ W⊥ .
Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства V можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из W и W⊥ :
x = y+z. ‘ (*)
Элемент у ∈ W называется ортогональной проекцией элемента х на линейное подпространство W, а элемент z ∈ W⊥ — его ортогональной составляющей (рис. 11).
Покажем, как по заданным элементу х и линейному подпространству W найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую г.
Можно считать, что в линейном подпространстве W задан ортонормированный базис e1…..еk. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации
Подставляя это выражение в формулу (*):
и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы e1,…, еk, в предположении z ⊥ W приходим к соотношениям
обладают требуемыми свойствами. *
Пример:
Найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) на линейное подпространство W ⊂ R4, заданное системой уравнений
Векторы a1 = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы a1 и а2 ортогональны. Для того, чтобы построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на иx длины. В результате получим
является ортогональной проекцией вектора х = (4,2, 3, 5), на подпространство W, а вектор
— его ортогональной составляющей.
Унитарные пространства
Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из U ставится в соответствие число — скалярное произведение (х, у) так, что для любых элементов х, у и z из U и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:
- (у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопряжения);
- (x + y,z) = (x,z) + (y,z);
- (ах, у) = а(х, у);
- (х, х) ≥ 0, причем равенство (х, х) = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.
Пример:
В координатном пространстве Сn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php
http://lfirmal.com/lineynye-i-evklidovy-prostranstva/