Как найти базисный столбец - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В
линейном
пространстве наибольший
интерес представляют системы
векторов, в
виде линейной
комбинации которых
можно представить любой вектор, причем
единственным образом. Если зафиксировать
такую систему векторов, то любой вектор
можно будет однозначно представить
набором чисел, являющихся коэффициентами
соответствующей
линейной
комбинации, а
всевозможные векторные соотношения
превратить в соотношения числовые.

Этот
подход применялся уже в аналитической
геометрии. В пространстве
векторов на плоскости любые два
неколлинеарных вектора образуют базис,
так как через такую пару векторов любой
вектор плоскости выражается однозначно
в виде линейной комбинации. Аналогично
в(множестве векторов в пространстве)
базис образуют любые три некомпланарных
вектора. Для матриц использовалось
понятие базисных строк и базисных
столбцов. По теореме о базисном миноре
базисные строки (столбцы) линейно
независимы, а любая строка (столбец)
матрицы является линейной комбинацией
базисных строк (столбцов).

Определение
1.3. Базисом
линейного пространства
называют
любую упорядоченную систему векторов,
для которой выполнены два условия:

1) эта
система
векторов линейно независима,

2) каждый
вектор в линейном пространстве может
быть представлен в виде линейной
комбинации векторов этой системы.

Пусть

—
базис в
.
Определение 1.3 говорит о том, что любой
векторможет быть записан следующим образом:

Такую
запись называют разложением
вектора х
по
базису
.

Данное
нами определение базиса согласовывается
с понятием базиса в пространстве
свободных
векторов в
,
или
.
Например, вбазисом была названа любая тройка
некомпланарных векторов. Такая тройка
векторов является линейно независимой,
так как представление одного ее вектора
в виде линейной комбинации двух других
равносильна компланарности трех
векторов. Но, кроме того, из курса
векторной алгебры мы знаем, что любой
вектор в пространстве можно выразить
через произвольные три некомпланараных
вектора в виде
их
линейной
комбинации. Три компланарных вектора
не могут быть базисом в
,
так как любая линейная комбинация таких
векторов даст вектор, им компланарный.

Теорема
1.2 (о единственности разложения). В
линейном пространстве разложение любого
вектора по данному базису единственно.

Выберем
в линейном пространстве

произвольный
базис

и
предположим, что вектор х
имеет
в этом базисе два разложения

Воспользуемся
тем, что аксиомы
линейного пространства позволяют
преобразовывать линейные комбинации
так же, как и обычные алгебраические
выражения. Вычитая записанные равенства
почленно, получим

Так
как базис — это линейно независимая
система векторов, ее линейная комбинация
равна 0,
лишь,
если она тривиальная
(см.
определение 1.2). Значит, все коэффициенты
этой линейной комбинации равны нулю:
.
Таким образом,и
два разложения векторах
в
базисе
совпадают.

Замечание
1.3. Условие
линейной независимости векторов базиса
означает, что нулевой
вектор имеет
в этом базисе единственное разложение,
а именно тривиальное: все коэффициенты
этого разложения равны нулю. Из
доказательства теоремы 1.2 следует, что
из единственности разложения нулевого
вектора по данной системе векторов
вытекает единственность разложения
любого другого вектора.

Согласно
определению 1.3, базис является упорядоченной
системой векторов. Это значит, что,
изменив порядок векторов в системе, мы
получим другой базис. Порядок векторов
в базисе фиксируют для того, чтобы задать
определенный порядок коэффициентов
разложения произвольного вектора. Это
позволяет заменить линейную комбинацию,
представляющую вектор, упорядоченным
набором ее коэффициентов и тем самым
упростить запись. Порядок векторов в
базисе определяется их нумерацией.

Определение
1.4. Коэффициенты
разложения вектора по базису линейного
пространства, записанные в соответствии
с порядком векторов в базисе, называют
координатами
вектора в этом
базисе.

Пример
1.8. В
линейном пространстве

многочленов
переменного

степени
не выше 2 (см. пример 1.1) элементы

и
линейно
независимы: их линейная комбинация
есть многочлен, который равен нулю
(нулевому многочлену) лишь при.
В то же время пара этих элементов не
образует базиса. Действительно, многочлен
1 нулевой степени, являющийся элементом,
нельзя
представить в виде линейной комбинации
многочленов

и
.Дело
в том, что линейная комбинация

многочленов

и
есть
либо многочлен второй степени (при
),
либо многочлен первой степени(,
),
либо нулевой многочлен().
Значит, равенство

двух
многочленов невозможно ни при каких
значениях коэффициентов.

В
то же время три многочлена 1,

и
образуют
базис линейного пространства
.
Докажем это.

Во-первых,
система многочленов 1,

и
линейно
независима. Составим их линейную
комбинацию с произвольными коэффициентами

и
приравняем нулю:
.
Это равенство есть равенство двух
многочленов, и оно возможно только в
случае, когда коэффициенты этих двух
многочленов совпадают. Значит,.

Во-вторых,
через многочлены 1,

и

можно
выразить любой многочлен второй степени,
т.е. любой элемент линейного пространства

можно
представить в виде линейной комбинации
указанных трех элементов.

Итак,
система трех многочленов 1,

и

линейно
независима, а любой элемент линейного
пространства

является
линейной комбинацией указанной системы.
Согласно определению 1.3, система
многочленов 1,

и

есть
базис в
.

Пример
1.10.
В
линейном
арифметическом пространстве
векторы

образуют
базис
,
так как они линейно независимы (см.
пример 1.5) и любой векторпредставим
в виде

Такой
базис (1.5) в пространстве
называютстандартным.
Отметим,
что запись элементов арифметического
пространства в виде столбца не противоречит
определению арифметического пространства,
понимаемого как множество упорядоченных
совокупностей чисел. Порядок же элементов
можно указывать как при помощи записи
в строку, так и при помощи записи в
столбец.

Пример
1.11.
Покажем,
что в
система векторов

образует
базис и найдем в этом базисе координаты
вектора

Для
того чтобы доказать, что система векторов
,,

образует базис, надо убедиться в линейной
независимости этих векторов и в том,
что любой вектор
является их линейной комбинацией.

В
стандартном базисе е в
векторыимеют следующие столбцы координат:

Из
стобцов координат векторов
составим матрицу

и
рассмотрим квадратную систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
,Так как,
то матрицаневырожденная, ее ранг равен 3 и все ее
столбцы являются базисными. Поэтому,
во-первых, согласно теореме о базисном
миноре, эти столбцы линейно независимы,
значит, СЛАУ
при
любом столбце

правых
частей имеет решение

В
частности, решив СЛАУ
,
которая в координатной форме имеет вид

находим
координаты вектора
в базисе:

Соседние файлы в папке Геометрия

Источник

Ранг матрицы и базисный минор матрицы

Пусть — матрица размеров mtimes n , а — натуральное число, не превосходящее и : kleqslantmin{m;n} . Минором k-го порядка матрицы называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов матрицы . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов — нижними, располагая их по возрастанию.

Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы

$A=begin{pmatrix}1&2&1&0\ 0&2&2&3\ 1&4&3&3end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица имеет размеры 3times4 . Она имеет: 12 миноров 1-го порядка, например, минор $M_{2}^{3}=det(a_{32})=4$ ; 18 миноров 2-го порядка, например, $M_{23}^{12}=begin{vmatrix}2&1\2&2end{vmatrix}=2$ ; 4 минора 3-го порядка, например,

$M_{{134}}^{{123}}= begin{vmatrix}1&1&0\0&2&3\ 1&3&3 end{vmatrix}=0.$

В матрице размеров mtimes n минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы обозначается operatorname{rg}A .

Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы

$A=begin{pmatrix}1&2&2&0\0&2&2&3\0&0&0&0end{pmatrix}!.$

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

$M_{12}^{12}= M_{13}^{12}= begin{vmatrix}1&2\0&2 end{vmatrix}!,quad M_{24}^{12}= M_{34}^{12}= begin{vmatrix}2&0\2&3end{vmatrix}!,quad M_{14}^{12}= begin{vmatrix}1&0\0&3end{vmatrix}!.$

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Замечания 3.2

1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.

2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.

4. Для ранга применяются также обозначения operatorname{Rg}A,~ operatorname{rang}A,~ operatorname{rank}A .

5. Ранг блочной матрицы определяется как ранг обычной (числовой) матрицы, т.е. не обращая внимания на ее блочную структуру. При этом ранг блочной матрицы не меньше рангов ее блоков: operatorname{rg}(Amid B)geqslantoperatorname{rg}A и , поскольку все миноры матрицы (или ) являются также минорами блочной матрицы .

Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы

Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.

Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице размеров mtimes n базисный минор расположен в первых строках и первых столбцах. Рассмотрим определитель

$D=left|begin{array}{ccc|c}a_{11}&cdots&a_{1r}&a_{1k}~\ ~vdots&ddots &vdots&vdots~\ ~a_{r1}&cdots&a_{rr}&a_{rk}~\hline ~a_{s1}&cdots&a_{sr}&a_{sk}end{array}right|,$

который получен приписыванием к базисному минору матрицы соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых 1leqslant sleqslant m и 1leqslant kleqslant n этот определитель равен нулю. Если sleqslant r или kleqslant r , то определитель содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же s>r и k>r , то определитель равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем

$a_{s1}cdot D_{r+11}+ldots+ a_{sr}cdot D_{r+1r}+a_{sk}cdot D_{r+1,r+1}=0,$

где $D_{r+1,j}$ — алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что $D_{r+1,r+1}ne0$ , так как это базисный минор. Поэтому

$a_{sk}=lambda_1cdot a_{s1}+ldots+lambda_rcdot a_{sr}$ , где $lambda_j=-frac{D_{r+1,j}}{D_{r+1,r+1}},~j=1,2,ldots,r.$

Записывая последнее равенство для s=1,2,ldots,m , получаем

$begin{pmatrix}a_{1k}\vdots\a_{mk}end{pmatrix}= lambda_1cdot! begin{pmatrix}a_{11}\vdots\a_{m1}end{pmatrix}+ldots lambda_rcdot! begin{pmatrix}a_{1r}\vdots\a_{mr}end{pmatrix}!.$

т.е. -й столбец (при любом 1leqslant kleqslant n ) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.

Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов {одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

В самом деле, необходимость следует из теоремы о базисном миноре. Если определитель квадратной матрицы n-го порядка равен нулю, то ее ранг меньше , т.е. хотя бы один столбец не входит в базисный минор. Тогда этот выбранный столбец по теореме 3.1 является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Добавляя, при необходимости, к этой комбинации другие столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем, что выбранный столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы. Достаточность следует из свойств определителя. Если, например, последний столбец A_n определителя det(A_1~A_2~cdots~A_n) линейно выражается через остальные

$A_n=lambda_1cdot A_1+lambda_2cdot A_2+ldots+lambda_{n-1}cdot A_{n-1},$

то прибавляя к A_n столбец A_1 , умноженный на (-lambda_1) , затем столбец A_2 , умноженный на (-lambda_2) , и т.д. столбец $A_{n-1}$ , умноженный на $(-lambda_{n-1})$ , получим определитель $det(A_1~cdots~A_{n-1}~o)$ с нулевым столбцом, который равен нулю (свойство 2 определителя).

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Действительно, пусть operatorname{rg}A=r . Предположим, что в результате одного элементарного преобразования столбцов матрицы получили матрицу . Если было выполнено преобразование I типа (перестановка двух столбцов), то любой минор (r+l)-ro порядка матрицы либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы , либо отличается от него знаком (свойство 3 определителя). Если было выполнено преобразование II типа (умножение столбца на число lambdane0 ), то любой минор (г+l)-ro порядка матрицы либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы , либо отличается от него множителем (свойство 6 определителя). Если было выполнено преобразование III типа (прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на число Lambda ), то любой минор (г+1)-го порядка матрицы либо равен соответствующему минору (г+1) -го порядка матрицы (свойство 9 определителя), либо равен сумме двух миноров (r+l)-ro порядка матрицы (свойство 8 определителя). Поэтому при элементарном преобразовании любого типа все миноры (r+l)-ro порядка матрицы равны нулю, так как равны нулю все миноры (г+l)-ro порядка матрицы . Таким образом, доказано, что при элементарных преобразованиях столбцов ранг матрицы не может увеличиться. Так как преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными, то ранг матрицы при элементарных преобразованиях столбцов не может и уменьшиться, т.е. не изменяется. Аналогично доказывается, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк.

Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.

Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.

Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то

operatorname{rg}A=operatorname{rg}Lambda=r,.

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.

Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

Действительно, если — невырожденная квадратная матрица n-го порядка, то operatorname{rg}A=n (см. п.З замечаний 3.2). Поэтому, приводя элементарными преобразованиями матрицу к простейшему виду (1.7), получим единичную матрицу Lambda=E_n , так как operatorname{rg}A=operatorname{rg}Lambda=n (см. следствие 2). Следовательно, матрица эквивалентна единичной матрице E_n и может быть получена из нее в результате конечного числа элементарных преобразований. Это означает, что матрица элементарная.

Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

В самом деле, пусть operatorname{rg}A=r . Тогда в матрице имеется линейно независимых строк. Это строки, в которых расположен базисный минор. Если бы они были линейно зависимы, то этот минор был бы равен нулю по теореме 3.2, а ранг матрицы не равнялся бы . Покажем, что — максимальное число линейно независимых строк, т.е. любые строк линейно зависимы при p>r . Действительно, образуем из этих строк матрицу . Поскольку матрица — это часть матрицы , то operatorname{rg}Bleqslant operatorname{rg}A=r<p . Значит, хотя бы одна строка матрицы не входит в базисный минор этой матрицы. Тогда по теореме о базисном миноре она равна линейной комбинации строк, в которых расположен базисный минор. Следовательно, строки матрицы линейно зависимы. Таким образом, в матрице не более, чем линейно независимых строк.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:

$operatorname{rg}A=operatorname{rg}A^T.$

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).

Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

В самом деле, выберем любые столбцов данной матрицы и составим из них матрицу . Пусть в результате элементарных преобразований строк матрицы была получена матрица , а в результате тех же преобразований строк матрицы была получена матрица . По теореме 3.3 operatorname{rg}B'=operatorname{rg}B . Следовательно, если столбцы матрицы были линейно независимы, т.е. k=operatorname{rg}B (см. следствие 1), то и столбцы матрицы также линейно независимы, так как k=operatorname{rg}B' . Если столбцы матрицы были линейно зависимы (k>operatorname{rg}B) , то и столбцы матрицы также линейно зависимы (k>operatorname{rg}B') . Следовательно, для любых столбцов матрицы линейная зависимость или линейная независимость сохраняется при элементарных преобразованиях строк.

Замечания 3.3

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.

2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.

В самом деле, используя только элементарные преобразования строк, любую матрицу можно привести к упрощенному виду Lambda (рис. 1.5) (см. теорему 1.1). Поскольку матрица невырожденная (det{A}ne0) , то ее столбцы линейно независимы. Значит, столбцы матрицы Lambda также линейно независимы (следствие 2 теоремы 3.4). Поэтому упрощенный вид Lambda невырожденной матрицы совпадает с ее простейшим видом (рис. 1.6) и представляет собой единичную матрицу Lambda=E (см. следствие 3 теоремы 3.3). Таким образом, преобразовывая только строки невырожденной матрицы, ее можно привести к единичной. Аналогичные рассуждения справедливы и для элементарных преобразований столбцов невырожденной матрицы.

Ранге произведения и суммы матриц

Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:

operatorname{rg}(Acdot B)leqslant min{operatorname{rg}A,operatorname{rg}B}.

В самом деле, пусть матрицы и имеют размеры mtimes p и ptimes n . Припишем к матрице матрицу C=ABcolon,(Amid C) . Разумеется, что operatorname{rg}Cleqslantoperatorname{rg}(Amid C) , так как — это часть матрицы (см. п.5 замечаний 3.2). Заметим, что каждый столбец C_j , согласно операции умножения матриц, является линейной комбинацией столбцов A_1,A_2,ldots,A_p матрицы A=(A_1~cdots~A_p):

$C_{j}=A_1cdot b_{1j}+A_2cdot b_{2j}+ldots+A_{p}cdot b_{pj},quad j=1,2,ldots,n.$

Такой столбец можно вычеркнуть из матрицы (Amid C) , при этом ее ранг не изменится (следствие 1 теоремы 3.3). Вычеркивая все столбцы матрицы , получаем: operatorname{rg}(Amid C)=operatorname{rg}A . Отсюда, operatorname{rg}Cleqslantoperatorname{rg}(Amid C)=operatorname{rg}A . Аналогично можно доказать, что одновременно выполняется условие , и сделать вывод о справедливости теоремы.

Следствие. Если невырожденная квадратная матрица, то operatorname{rg}(AB)= operatorname{rg}B и operatorname{rg}(CA)=operatorname{rg}C , т.е. ранг матрицы не изменяется приумножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.

Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:

operatorname{rg}(A+B)leqslant operatorname{rg}A+operatorname{rg}B.

Действительно, составим матрицу (A+Bmid Amid B) . Заметим, что каждый столбец матрицы A+B есть линейная комбинация столбцов матриц и . Поэтому operatorname{rg}(A+Bmid Amid B)= operatorname{rg}(Amid B) . Учитывая, что количество линейно независимых столбцов в матрице не превосходит operatorname{rg}A+operatorname{rg}B , а operatorname{rg}(A+B)leqslant operatorname{rg}(A+Bmid Amid B) (см. п.5 замечаний 3.2), получаем доказываемое неравенство.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение 12.4. Минор М матрицы A называют базисным, если выполнены два условия:

а) он не равен нулю;

б) его порядок равен рангу матрицы A.

Матрица A может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы A, в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Следующую теорему, занимающую одно из центральных мест в теории матриц и ее прило-жениях, называют теоремой о базисном миноре.

Теорема 12.5. Базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее базисному минору M, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

◄ Доказательство проведем для строк. Пусть ранг матрицы A = (a_ij) типа m × n равен r. Фиксируем какой-либо ее базисный минор M и соответствующие ему базисные строки матрицы A.

Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим, что они линейно зависимы. Тогда по теореме 12.3 одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. Согласно свойствам определителей, минор M равен нулю. Это противоречит тому, что минор M базисный.

Теперь докажем, что любая строка матрицы A, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. Предположим, не ограничивая общности доказательства, что базисный минор M расположен в верхнем левом углу матрицы. Пусть i — номер строки, не являющейся базисной, т.е. r + 1 ≤ i ≤ m. Покажем, что определитель порядка r + 1

полученный добавлением к минору M элементов i-й строки и произвольного j-го столбца матрицы A, j = 1,n, равен нулю. При j ≤ r определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. Если же j > r, то Δ = 0, так как в этом случае Δ является минором матрицы A, порядок которого равен r + 1 и больше ранга матрицы. Итак, Δ = 0.

Раскладывая определитель Δ по последнему столбцу, получаем равенство

A_{1,r + 1}a_1j + A_{2,r + 1}a_2j + … + A_{r,r + 1}a_rj + A_{r + 1,r + 1}a_2ij — 0,

в котором через A_{1,r + 1}, A_{2,r + 1}, …, A_{r,r + 1}, A_{r + 1,r + 1} обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов рассматриваемого определителя. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера j, т.е. не зависят от того, элементы какого из столбцов матрицы A взяты в качестве последнего столбца определителя Δ. Кроме того, A_{r + 1,r + 1} = M ≠ 0. Поэтому из последнего равенства следует, что для всех j = 1,n

a_ij = b₁a_1j + b₂a_2j + … + b_ra_rj,

где коэффициенты b_k = — A_k,r+1/A_r+1,r+1, k = _1,r, не зависят от j, а это означает, что i-я строка (г + 1 ≤ i ≤ m) матрицы A является линейной комбинацией первых г ее строк, т.е. линейной комбинацией ее базисных строк. ►

Следствие 12.1. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.

◄ Необходимость. Если квадратная матрица A невырождена, то ее ранг равен ее порядку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме 12.5 о базисном миноре они линейно независимы.

Достаточность. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы A являются линейно независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейными комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы A, согласно теореме 12.4, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы A являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным минором и, следовательно, согласно определению 12.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица A невырождена. ►

Теорема 12.6. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

◄ Докажем теорему для строк. Зафиксируем произвольный набор из r линейно независимых строк матрицы, где r — это ранг матрицы. Нам достаточно показать, что хотя бы один из базисных миноров расположен в фиксированных строках. Отбросим остальные строки матрицы и докажем, что ранг новой матрицы, содержащей r строк, равен r. Так как новая матрица не имеет миноров порядка больше чем r, то ее ранг не может превосходить r. Если бы он был меньше r, то только часть этих r фиксированных строк были бы базисными в новой матрице, а остальные, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, являлись бы их линейными комбинациями. Согласно теореме 12.4, последнее означало бы линейную зависимость фиксированных г строк, что противоречит условию теоремы.

Итак, ранг новой матрицы равен r. Ее базисный минор имеет порядок r и является ненулевым минором порядка r исходной матрицы, расположенным в рассмотренных фиксированных r строках. ►

Теорема 12.7 (Теорема о ранге матрицы). Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

◄ Доказательство теоремы проведем для строк. Согласно теореме 12.5 о базисном миноре, базисные строки линейно независимы. Следовательно, максимальное количество k линейно независимых строк матрицы не может быть меньше ранга г матрицы. Итак, k ≥ r.

Остается доказать, что k ≤ r. Отбросим те строки матрицы, которые не входят в число рассматриваемых k линейно независмых строк. Получим матрицу, в которой все k строк линейно независимы. Согласно теореме 12.6, все k строк этой матрицы являются базисными, а ее ранг равен k. Базисный минор матрицы из k строк имеет порядок k и является ненулевым минором порядка k исходной матрицы. Следовательно, k ≤ r. ►

Следствие 12.2. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Источник

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

В теме «Теорема Кронекера-Капелли» было указано, что если ранг расширеной матрицы системы $widetilde{A}$ и ранг матрицы системы $A$ равны между собой, то заданная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, т.е. имеет решение. Вопрос о количестве этих решений разрешим с помощью следствия из теоремы Кронекера. Согласно ему, если $rang A=rangwidetilde{A} = n$ ($n$ – количество неизвестных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $rang A=rangwidetilde{A} < n$, то количество решений заданной СЛАУ бесконечно.

Особый интерес представляет именно случай $rang A=rangwidetilde{A} < n$, которым и займёмся в этой теме. Так как $rang A=rangwidetilde{A}$, то обозначим эти ранги просто буквой $r$, т.е. $rang A=rangwidetilde{A}=r$. Итак, $r < n$ и система неопределена, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Что означает фраза «ранг матрицы равен $r$»? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.

Если коэффициенты при $r$ переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор матрицы системы $A$, то эти $r$ переменных называют базисными или основными. Остальные $n-r$ переменных именуют свободными или неосновными.

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.

Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde{A}$.

Пример №1

Решить СЛАУ $
left { begin{aligned}
& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=9\
& -x_1+2x_2+x_3+x_4=-11;\
& x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5.
end{aligned} right.$. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
3 & -6 & 9 & 13 & 9 \
-1 & 2 & 1 & 1 & -11 \
1 & -2 & 2 & 3 & 5 end{array} right) rightarrow
left|begin{aligned}
& text{поменяем местами первую и третью}\
& text{строки, чтобы первым элементом}\
& text{первой строки стала единица.}
end{aligned}right| rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
-1 & 2 & 1 & 1 & -11 \
3 & -6 & 9 & 13 & 9
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+r_1\ r_3-3r_1 end{array} rightarrow

left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 3 & 4 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\r_3-r_2end{array} rightarrow \

rightarrowleft( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde{A} = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Примечание. показатьскрыть

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)$ от нулевой строки:

$$
left( begin{array} {cccc|c}
1 & -2 & 2 & 3 & 5\
0 & 0 & 3 & 4 & -6
end{array}right)
$$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$
left( begin{array} {cc|ccc}
1 & 2 & 5 & 2 & -3\
0 & 3 & -6 & 0 & -4
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0} \ 1/3cdot{r_2} end{array} rightarrow
left( begin{array} {cc|ccc}
1 & 2 & 5 & 2 & -3\
0 & 1 & -2 & 0 & -4/3
end{array}right)
begin{array} {l} r_1-2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow \

rightarrow left(begin{array} {cc|ccc}
1 & 0 & 9 & 2 & -1/3\
0 & 1 & -2 & 0 & -4/3
end{array}right).
$$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-2-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.
$$

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=9;\
& x_2=0;\
& x_3=-2;\
& x_4=0.
end{aligned}right.
$$

Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{2}{3};\
& x_2=-4;\
& x_3=-frac{10}{3};\
& x_4=1.
end{aligned}right.$. Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4$ и $x_3=-2-frac{4}{3}x_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$
3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(9+2x_2-frac{1}{3}x_4right)-6x_2+9cdot left(-2-frac{4}{3}x_4right)+13x_4=9.
$$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=9+2x_2-frac{1}{3}x_4;\
& x_2in R;\
& x_3=-2-frac{4}{3}x_4;\
& x_4 in R.
end{aligned}right.$, базисное решение: $
left{begin{aligned}
& x_1=9;\
& x_2=0;\
& x_3=-2;\
& x_4=0.
end{aligned}right.$.

Пример №2

Решить СЛАУ

$$left{begin{aligned}
& x_1-2x_2+4x_3+2x_5=0;\
& 4x_1-11x_2+21x_3-2x_4+3x_5=-1; \
& -3x_1+5x_2-13x_3-4x_4+x_5=-2.
end{aligned}right.$$

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Похожий пример уже был решен в теме «метод Крамера» (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.

$$
left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
4 & -11 & 21 & -2 & 3 & -1\
-3 & 5 & -13 & -4 & 1 & -2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \r_2-4r_1\r_3+3r_1end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2
end{array} right) rightarrow \

rightarrow left|begin{aligned}
& text{поменяем местами вторую и третью}\
& text{строки, чтобы диагональным элементом}\
& text{второй строки стало число (-1).}
end{aligned}right|rightarrow

left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\
0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\r_3-3r_1end{array} rightarrow \

rightarrow left( begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\
0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\
0 & 0 & 8 & 10 & -26 & 5
end{array} right).
$$

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $rang A=rangwidetilde{A} = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод «ступенек», что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

$$
left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\
0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\
0 & 0 & 8 & 5 & -10 & 26
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0}\1/8cdot{r_3}end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\
0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l}r_1-4r_3 \r_2+r_3\ phantom{0}end{array} rightarrow \

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\
0 & -1 & 0 & -11/8 & 11/4 & -15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2}\ phantom{0}end{array} rightarrow

left( begin{array} {ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\
0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
begin{array} {l}r_1+2r_2 \ phantom{0}\ phantom{0}end{array} rightarrow\

rightarrowleft( begin{array} {ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1/4 & -1/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\
0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4
end{array} right)
$$

Из последней матрицы имеем общее решение заданной СЛАУ: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4}-frac{1}{2}x_4-frac{15}{2}x_5;\
& x_2=frac{11}{8}-frac{11}{4}x_4+frac{15}{4}x_5;\
& x_3=frac{5}{8}-frac{5}{4}x_4+frac{13}{4}x_5;\
& x_4 in R;\
& x_5 in R.
end{aligned}right.$. Базисное решение получим, если приравняем свободные переменные к нулю, т.е. $x_4=0$, $x_5=0$:

$$
left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4};\
& x_2=frac{11}{8};\
& x_3=frac{5}{8};\
& x_4=0;\
& x_5=0.
end{aligned}right.
$$

Ответ: Общее решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4}-frac{1}{2}x_4-frac{15}{2}x_5;\
& x_2=frac{11}{8}-frac{11}{4}x_4+frac{15}{4}x_5;\
& x_3=frac{5}{8}-frac{5}{4}x_4+frac{13}{4}x_5;\
& x_4 in R;\
& x_5 in R.
end{aligned}right.$, базисное решение: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{1}{4};\
& x_2=frac{11}{8};\
& x_3=frac{5}{8};\
& x_4=0;\
& x_5=0.
end{aligned}right.$.

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.

Источник

Как найти базис системы вектор-столбцов

Перед рассмотрением данного вопроса стоит напомнить, что любая упорядоченная система n линейно независимых векторов пространства R^n называется базисом этого пространства. При этом образующие систему векторы будут считаться линейно независимыми, если любая их нулевая линейная комбинация возможна только за счет равенства нулю всех коэффициентов этой комбинации.

Вам понадобится

— бумага;
— ручка.

Инструкция

Пользуясь только лишь основными определениями проверить линейную независимость системы вектор-столбцов, а соответственно и дать заключение о наличии базиса, весьма затруднительно. Поэтому в данном случае вам может помочь использование некоторых специальных признаков.

Известно, что векторы линейно независимы, если составленный из них определитель не равен нулю.Исходя из этого, можно достаточно объяснить тот факт, что система векторов образует базис. Итак, для того чтобы обосновать, что векторы образуют базис, следует составить из их координат определитель и убедиться, что он не равен нулю.В дальнейшем, для сокращения и упрощения записей, представление вектор-столбца матрицей-столбцом будем заменять транспонированной матрицей-строкой.

Пример 1. Образуют ли базис в R^3 вектор-столбцы (1, 3, 5)^T, (2, 6, 4)^T, (3, 9, 0)^T.Решение. Составьте определитель |A|, строками которого являются элементы заданных столбцов (см. рис.1).Раскрыв этот определитель по правилу треугольников, получится: |A| = 0+90+36-90-36-0=0. Следовательно, эти векторы не могут образовать базис.

Пример. 2. Система векторов состоит из (10, 3, 6)^T, (1, 3, 4)^T, (3, 9, 2)^T. Могут ли они образовать базис?Решение. По аналогии с первым примером составьте определитель (см. рис.2): |A| =60+54+36-54-360-6=270, т.е. не равно нулю. Следовательно, эта система вектор-столбцов пригодна для использования в качестве базиса в R^3.

Теперь со всей очевидностью становится ясно, что для нахождения базиса системы вектор-столбцов вполне достаточно взять любой определитель подходящей размерности отличный от нуля. Элементы его столбцов образуют базисную систему. Мало того, всегда желательно иметь простейший базис. Так как определитель единичной матрицы всегда отличен от нуля (при любой размерности), то в качестве базиса всегда можно выбрать систему (1, 0, 0,…,0)^T, (0, 1, 0,…,0)^T, (0, 0, 1,…,0)^T,…, (0, 0, 0,…,1)^T.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник