Как найти базу системы векторов онлайн

Базисом
в
-мерном пространстве называется упорядоченная система из

линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

Выражение вида:

, где
−
некоторые числа и

называется
линейной комбинацией
векторов
.

Если существуют такие числа

из которых хотя бы одно не равно нулю (например
) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов
−
является
линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа
,
тогда система векторов
−
является
линейно-независимой.

Базис
может образовывать только
линейно-независимая
система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием
ранга матрицы.

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов
базис.
При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

1. Home
2. Calculators
3. Calculators: Linear Algebra
4. Linear Algebra Calculator

Find bases of a vector space step by step

Найти базу системы векторов

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где − некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов − является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов − является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

• 3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
• 4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ — 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Как найти базис данной системы векторов

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства : .

2. В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронеккера–Капелли дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности произвольной системы линейных уравнений с неизвестными

Теорема Кронеккера–Капелли. Система линейных алгебраических урав­нений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, .

Алгоритм отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекает из теоремы Кронеккера–Капелли и следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны ( ), то система несовместна (не имеет решений). Если ранги равны ( , то система совместна.

2. Для совместной системы найдем какой-нибудь минор, порядок которого определяет ранг матрицы (такой минор называют базисным). Составим новую систему из уравнений, в которых коэффициенты при неизвестных, входят в базисный минор (эти неизвестные называют главными неизвестными), остальные уравнения отбросим. Главные неизвестные с коэффициентами оставим слева, а остальные неизвестных (их называют свободными неизвестными) перенесем в правую часть уравнений.

3. Найдем выражения главных неизвестных через свободные. Получаем общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образомнаходим частные решения исходной системы уравнений.

Линейное программирование. Основные понятия

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующихсистему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называетсядопустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х₁ , х₂ , … х_n ) и функция этих переменных f(x) = f (х₁ , х₂ , … х_n ), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х₁ , х₂ , … х_n
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

Базис системы векторов: онлайн-калькулятор

Векторы, образующие базис, являются линейно независимыми. В противном случае решения нет. Алгоритм в основе калькулятора проверяет соблюдение этого условия. При положительном результате переходит к дальнейшим расчетам.

Доказать, что векторы образуют базис, понадобится при решении задач по аналитической геометрии и выполнении типовых заданий по алгебре. Используйте наш сервис для отработки теорем и правил необходимое количество раз. Вы получите ответ с подробным решением любой задачи бесплатно.

1. Задайте размерность вектора. Цифра меняется с помощью кнопок «+», «-».
2. Введите значения базисных векторов в соответствующие окна. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
3. Способ решения содержит векторное уравнение, которое преобразовывается в матричный вид для решения методом Гаусса. Кнопкой «Показать подробное решение» вы можете развернуть последовательные вычисления.
4. После вычислений доступен ответ.

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как найти базис векторов онлайн

Автоматические расчеты производятся по проверенным формулам и тестируются на примерах. Поэтому с помощью онлайн-калькулятора вы сможете получить точный ответ.

Показать, что векторы образуют базис, несложно. Для этого необходимо:

• Найти определитель, построенный на данных векторах. Его значение не должно быть равным нулю.
• Произвести дальнейшие вычисления по методу Гаусса.

Раздел онлайн-калькуляторов охватывает не только тему векторов. Здесь собраны все основные типы задач. Сервисом часто пользуются студенты технических специальностей. Также среди нашей аудитории – школьники, их родители, преподаватели, ученые, работники конструкторских бюро и др.

Теперь подготовка к занятиям стала быстрой и доступной. Вы можете сверить ответы и найти у себя ошибку, изучив полученное решение. После нескольких тренировок способ вычислений становится понятным, его можно применять на самостоятельных, семинарах, зачетах.

Мы разработали понятный интерфейс для удобного использования. Если остались вопросы, смотрите инструкцию. Для индивидуального объяснения непонятной темы напишите консультанту и получите скидку на первое занятие с преподавателем.

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где − некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов − является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов − является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

The free online Gram Schmidt calculator finds the  Orthonormalized set of vectors by Orthonormal basis of independence vectors. The process looks overwhelmingly difficult to understand at first sight, but you can understand it by finding the Orthonormal basis of the independent vector by the Gram-Schmidt calculator.

The Gram-Schmidt Process:

The Gram-Schmidt process (or procedure) is a sequence of operations that enables us to transform a set of linearly independent vectors into a related set of orthogonal vectors that span around the same plan. It can be convenient for us to implement the Gram-Schmidt process by the gram Schmidt calculator.

The Gram-Schmidt orthogonalization is also known as the Gram-Schmidt process. In which we take the  non-orthogonal set of vectors and construct the orthogonal basis of vectors and find their orthonormal vectors. The orthogonal basis calculator is a simple way to find the  orthonormal vectors of free, independent vectors in three dimensional space.

How does the Gram Schmidt Process Work?

The Gram-Schmidt process (or procedure) is a chain of operation that allows us to transform a set of linear independent vectors into a set of orthonormal vectors that span around the same space of the original vectors. The Gram Schmidt calculator turns the independent set of vectors into the Orthonormal basis in the blink of an eye. 

The Orthonormal Vectors:

The Orthonormal vectors are the same as the normal or the perpendicular vectors in two dimensions or x and y plane. When we are going to find the vectors in the three dimensional plan, then these vectors are called the orthonormal vectors. We need a special orthonormal basis calculator to find the orthonormal vectors.

Consider  a set of vectors:

The original vectors are V1,V2, V3,…Vn. The orthonormal basis vectors are U1,U2,U3,…,Un

So we have:

Original vectors → orthonormal basis vectors

 V1,V2, V3,…Vn→ U1,U2,U3,…,Un

 The original independent Vectors 

The Orthonormal basis Vectors 

To find the Orthonormal basis vector, follow the steps given as under:

We can Perform the gram schmidt process on the following sequence of vectors:

U1=V1

U2= V2- {(V2,U1)/(|U|1)^2}*U1

U3= V3-  {(V3,U1)/(|U1|)^2}*U1- {(V3,U2)/(|U2|)^2}*U2

Now U1,U2,U3,…,Un are the orthonormal basis vectors of the original vectors  V1,V2, V3,…Vn

Now for Un, we can write:

$$ vec{u_k} =vec{v_k} -sum_{j=1}^{k-1}{frac{vec{u_j} .vec{v_k} }{vec{u_j}.vec{u_j} } vec{u_j} } ,quad vec{e_k} =frac{vec{u_k} }{|vec{u_k}|}$$

You can write the above expression as follows, We can find the orthogonal basis vectors of the original vector by the gram schmidt calculator.

Solved Example:

Consider the following two vector, we perform the gram schmidt process on the following sequence of vectors

$$V_1=begin{bmatrix}2\6\end{bmatrix},V_1 =begin{bmatrix}4\8\end{bmatrix}$$

By the simple formula we can measure the projection of the vectors

$$ vec{u_k} = vec{v_k} – Sigma_{j-1}^text{k-1} proj_vec{u_j} (vec{v_k}) text{where} proj_vec{uj}   (vec{v_k}) = frac{ vec{u_j} cdot vec{v_k}}{|{vec{u_j}}|^2} vec{u_j} } $$

Step 1:

$$ vec{u_1} = vec{v_1} = begin{bmatrix} 2 \6 end{bmatrix} $$

It is simple to calculate the unit vector by the unit vector calculator, and it can be convenient for us.

$$ vec{u_1} = vec{v_1}   = begin{bmatrix} 0.32 \ 0.95 end{bmatrix} $$

Step 2:  

The vector projection calculator can make the whole step of finding the projection just too simple for you.

$$ proj_vec{u_1} (vec{v_2}) = begin{bmatrix} 2.8 \ 8.4 end{bmatrix} $$

 The Subtraction of the vectors is :

$$ vec{u_2} = vec{v_2} –   proj_vec{u_1} (vec{v_2}) = begin{bmatrix} 1.2 \ -0.4 end{bmatrix} $$

Step 3                                                           

The Final Orthonormal vector is:

$$ vec{e_2} =  frac{vec{u_2}}{| vec{u_2 }|} = begin{bmatrix} 0.95 \ -0.32 end{bmatrix} $$

Working of the Gram Schmidt Calculator:    

Let’s use the Gram Schmidt Process Calculator to find perpendicular or orthonormal vectors in a three dimensional plan.

Input:

• Set the vector size 
• Enter the values of the vectors
• Hit the calculate button

Output:

The Gram Schmidt Calculator readily finds the orthonormal set of vectors of the linear independent vectors.

• The orthonormal set of vectors are displayed
• The steps by step process is represented  

FAQs:

What is a vector?

A vector needs the magnitude and the direction to represent.

What is the main difference between the orthogonal and orthonormal?

The difference between the orthogonal and the orthonormal vectors do involve both the vectors {u,v}, which involve the original vectors and its orthogonal basis vectors. The orthonormal vectors we only define are a series of the orthonormal vectors {u,u} vectors. Where {u,v}=0, and  {u,u}=1, The linear vectors orthonormal vectors can be measured by the  linear algebra calculator.

What is meant by the Orthogonalized matrix? 

A square matrix with a real number is an orthogonalized matrix, if its transpose is equal to the inverse of the matrix. The orthogonal matrix calculator is an especially designed  calculator to find the Orthogonalized matrix.

What is the dot product of vectors?

The (a1.b1) + (a2. b2) + (a3. b3) …. + (an.bn) can be used to find the  dot product for any number of vectors.

What is the condition of Orthogonality?

The two vectors satisfy the condition of the orthogonal if and only if their dot product is zero. The two vectors satisfy the condition of the Orthogonality, if they are perpendicular to each other. It can be convenient to implement the The Gram Schmidt process calculator for measuring the orthonormal vectors.

Conclusion:

In mathematics, especially in linear algebra and numerical analysis, the  Gram–Schmidt process is used to find the orthonormal set of vectors of the independent set of vectors. The gram schmidt calculator implements the Gram–Schmidt process to find the vectors in the Euclidean space Rn equipped with the standard inner product.

References:

From the source of Wikipedia:Gram–Schmidt process,Example

From the source of math.hmc.edu :Gram–Schmidt Method, Definition of the Orthogonal vector