Как найти бетту если известно альфа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

MilaRi

ПОЖААААЛУЙСТА, СРОЧНООО
МНЕ НУЖНА ТОЛЬКО ОДНА ФОРМУЛА
КАК НАЙТИ СТОРОНУ b треугольника, если известны альфа, бета, гамма и сторона c?
НАПИШИТЕ ТОЛЬКО ФОРМУЛУ

Источник

Как найти угол альфа формула

Содержание

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Угол поворота
Числа
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Мысленно поместим результирующий вектор возбуждения желудочков внутрь треугольника Эйнтховена. Угол, образованный направлением результирующего вектора и осью I стандартного отведения, и есть искомый угол альфа.

Величину угла альфа находят по специальным таблицам или схемам, предварительно определив на электрокардиограмме алгебраическую сумму зубцов желудочкового комплекса (Q + R + S) в I и III стандартных отведениях. Найти алгебраическую сумму зубцов желудочкового комплекса достаточно просто: измеряют в миллиметрах величину каждого зубца одного желудочкового комплекса QRS, учитывая при этом, что зубцы Q и S имеют знак минус (—), поскольку находятся ниже изоэлектрической линии, а зубец К — знак плюс (+). Если какой-либо зубец на электрокардиограмме отсутствует, то его значение приравнивается к нулю (0).

Далее, сопоставляя найденную алгебраическую сумму зубцов для I и III стандартных отведений, по таблице определяют значение угла альфа. В нашем случае он равен минус 70°. Таблица определения положения электрической оси сердца (по Дьеду)

Таблица определения угла альфа

Если угол альфа находится в пределах 50—70°, говорят о нормальном положении электрической оси сердца (электрическая ось сердца не отклонена), или нормограмме. При отклонении электрической оси сердца вправо угол альфа будет определяться в пределах 70—90°. В обиходе такое положение электрической оси сердца называют правограммой.

Если угол альфа будет больше 90° (например, 97°), считают, что на данной ЭКГ имеет место блокада задней ветви левой ножки пучка Гиса. Определяя угол альфа в пределах 50—0° говорят об отклонении электрической оси сердца влево, или о левограмме. Изменение угла альфа в пределах 0 — минус 30° свидетельствует о резком отклонении электрической оси сердца влево или, иными словами, о резкой левограмме. И наконец, если значение у г л а альфа будет меньше минус 30° (например, минус 45°) — говорят о блокаде передней ветви левой ножки пучка Гиса.

Пределы отклонения электрической оси сердца

Определение отклонения электрической оси сердца по углу альфа с использованием таблиц и схем производят в основном врачи кабинетов функциональной диагностики, где соответствующие таблицы и схемы всегда под рукой. Однако определить отклонение электрической оси сердца можно и без необходимых таблиц. В этом случае отклонение электрической оси находят по анализу зубцов R и S в I и III стандартных отведениях. При этом понятие алгебраической суммы зубцов желудочкового комплекса комплекса QRS, заменяют визуально понятием «определяющий зубец» сопоставляя по абсолютной величине зубцы R и S . Говорят о «желудочковом комплексе R-типа», подразумевая, что в данном желудочковом комплексе более высоким является зубец К. Напротив, в «желудочковом комплексе S-типа» определяющим зубцом комплекса QRS является зубец S.

Сопоставление зубцов К и 3 комплекса QRS

Если на электрокардиограмме в I стандартном отведении желудочковый комплекс представлен R-типом, а комплекс QRS в III стандартном отведении имеет форму S-типа, то в данном случае электрическая ось сердца отклонена влево (левограмма).

Схематично это условие записывается как RI-SIII.

Визуальное определение электрической оси сердца

. Левограмма Напротив, если в I стандартном отведении мы имеем S-тип желудочкового комплекса, а в III отведении R-тип комплекса QRS, то электрическая ось сердца отклонена вправо (правограмма). Упрощенно это условие записывается как SI-RIII.

Визуальное определение электрической оси сердца

. Правограмма Результирующий вектор возбуждения желудочков расположен в норме во фронтальной плоскости так, что его направление совпадает с направлением оси II стандартного отведения.

Нормальное положение электрической оси сердца

(нормограмма) На рисунке видно, что амплитуда зубца R во II стандартном отведении наибольшая. В свою очередь зубец К в I стандартном отведении превосходит зубец RIII. При таком условии соотношения зубцов R в различных стандартных отведениях мы имеем нормальное положение электрической оси сердца (электрическая ось сердца не отклонена). Краткая запись этого условия — RII>RI>RIII.

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

(lacktriangleright) Основные тождества: [egin <|l|l|>hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1 &(sinalpha
e 0, cosalpha
e 0)[0.5ex] hline & mathrm, alpha=dfrac<sin alpha> <cos alpha>&mathrm, alpha =dfrac<cos alpha> <sin alpha>& 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 <cos^2 alpha>& 1+mathrm^2, alpha=dfrac1<sin^2 alpha>& (cosalpha
e 0)& (sinalpha
e 0) hline end]

(lacktriangleright) Формулы сложения углов: [egin <|l|r|>hline & sin<(alphapm eta)>=sinalphacdot cosetapm sinetacdot cosalpha & cos<(alphapm eta)>=cosalphacdot coseta mp sinalphacdot sineta & hline & mathrm, (alphapm eta)=dfrac<mathrm, alphapm mathrm, eta><1 mp mathrm, alphacdot mathrm, eta> & mathrm, (alphapmeta)=-dfrac<1mp mathrm, alphacdot mathrm, eta><mathrm, alphapm mathrm, eta>& cosalphacoseta
e 0&sinalphasineta
e 0 hline end]

(lacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [egin <|lc|cr|>hline sin <2alpha>=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos<2alpha>=cos^2alpha -sin^2alpha sin alphacos alpha =dfrac12sin <2alpha>&& & cos<2alpha>=2cos^2alpha -1 & & & cos<2alpha>=1-2sin^2 alpha hline &&& mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac<mathrm^2, alpha-1><2mathrm, alpha>&&& cosalpha
e 0, cos2alpha
e 0 &&& sinalpha
e 0, sin2alpha
e 0 hline &&& sin <3alpha>=3sin alpha -4sin^3alpha && & cos<3alpha>=4cos^3alpha -3cos alpha&&& hline end]

(lacktriangleright) Формулы понижения степени: [egin <|lc|cr|>hline &&& sin^2alpha=dfrac<1-cos<2alpha>>2 &&& cos^2alpha=dfrac<1+cos<2alpha>>2&&& hline end]

(lacktriangleright) Формулы произведения функций: [egin <|c|>hline sinalphasineta=dfrac12igg(cos<(alpha-eta)>-cos<(alpha+eta)>igg)\ cosalphacoseta=dfrac12igg(cos<(alpha-eta)>+cos<(alpha+eta)>igg)\ sinalphacoseta=dfrac12igg(sin<(alpha-eta)>+sin<(alpha+eta)>igg)\ hline end]

(lacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [egin <|l|r|>hline & sin<2alpha>=dfrac<2mathrm, alpha><1+mathrm^2, alpha> & cos<2alpha>=dfrac<1-mathrm^2, alpha><1+mathrm^2, alpha>& cosalpha
e 0 & sinalpha
e 0 hline end]

(lacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [egin <|c|>hline ext<Частный случай> hline sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac<pi>4
ight)>\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac<pi>6
ight)>\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac<pi>3
ight)>\ hline ext<Общий случай> hline asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a<sqrt>, sinphi=dfrac b<sqrt>\ hline end]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(lacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -eta)>=cosalphacoseta+sinalphasineta)

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (eta) . Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(coseta;sineta)) .

Рассмотрим ( riangle AOB: angle AOB=alpha-eta) . По теореме косинусов:

(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot cos(alpha-eta)=1+1-2cos(alpha-eta) (1)) (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

Таким образом, сравнивая равенства ((1)) и ((2)) :

Отсюда и получается наша формула.

(lacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)) :

разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacoseta
e 0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,(alphapmeta)=mp mathrm,eta) , при (coseta=0 Rightarrow mathrm,(alphapmeta)=pm mathrm,alpha) ):

Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacoseta
e 0) .

5) Аналогично, только делением на (sinalphasineta
e 0) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

(lacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) (sin 2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)

Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alpha
e 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,2alpha=0) ):

Таким образом, эта формула верна только при (cosalpha
e 0) , а также при (cos2alpha
e 0) (чтобы существовал сам (mathrm,2alpha) ).

По тем же причинам при (sinalpha
e 0, sin2alpha
e 0) .

5) (sin3alpha=sin(alpha+2alpha)=sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha=sinalpha(1-2sin^2alpha)+cosalphacdot 2sinalphacosalpha=)

6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)

(lacktriangleright) Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow cos^2alpha=dfrac<1+cos2alpha>2)

2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow sin^2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .

(lacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

Получим: (cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta Rightarrow cosalphacoseta=dfrac12Big(cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)Big))

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

(lacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим (alpha+eta=x, alpha-eta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, eta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

Получили формулу суммы косинусов.

Получили формулу разности косинусов.

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

(lacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alpha
e 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0) ):)

2) Так же, только делением на (sin^2alpha) , выводится формула для косинуса.

(lacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение (asin x+bcos x) . Домножим и разделим это выражение на (sqrt,) :

(asin x+bcos x=sqrtleft(dfrac a<sqrt>sin x+ dfrac b<sqrt>cos x
ight)=sqrtig(a_1sin x+b_1cos xig))

Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1) , т.к. (left(dfrac a<sqrt>
ight)^2+left(dfrac b<sqrt>
ight)^2=dfrac=1)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:

(sqrt,ig(cos phi sin x+sin phicos xig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

Значит, формула выглядит следующим образом: [<large,sin (x+phi),>> quad ext <где >cos phi=dfrac a<sqrt>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]

(lacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1<sqrt2>sin xpmdfrac1<sqrt2>cos x
ight)=sqrt2, sin left(xpmdfrac<pi>4
ight))

(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac<sqrt3>2sin xpm dfrac12cos x
ight)=2, sin left(xpmdfrac<pi>6
ight))

Источник

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора vector(то есть X, Y, Z суть проекции вектора vector на координатные оси).

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к.	1	=	2	.
4	8

Вектора a и с не коллинеарны т.к.	1	≠	2	.
5	9

Вектора с и b не коллинеарны т.к.	5	≠	9	.
4	8

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

n =	b_y	=	6	= 2
a_y	3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

a_x	=	a_y	=	a_z	.
b_x	b_y	b_z

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

n =	b_y	=	6	= 2
a_y	3

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

a_x	=	a_y	=	a_z	.
b_x	b_y	b_z

3	=	2	=	m
9	n	12

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Векторное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

Антикоммутативность
Свойство дистрибутивности

Сочетательное свойство

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/colinearity/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/vektornoe-proizvedenie-vektorov

Источник

Во всех тестах статистических гипотез есть две особенно важные статистики — альфа и бета. Эти значения представляют, соответственно, вероятность ошибки типа I и вероятность ошибки типа II. Ошибка типа I — это ложноположительный результат, или вывод о том, что в данных имеется значимая взаимосвязь, хотя на самом деле значимой взаимосвязи нет. Ошибка типа II является ложным отрицанием или выводом о том, что в данных нет никакой связи, хотя на самом деле существует значительная связь. Обычно бета трудно найти. Однако, если у вас уже есть альфа-гипотеза, вы можете использовать математические методы для расчета бета. Эти методы требуют дополнительной информации: альфа-значение, размер выборки и размер эффекта. Альфа-значение исходит из вашей альфа-гипотезы; это вероятность ошибки типа I. Размер выборки — это количество точек данных в вашем наборе данных. Размер эффекта обычно оценивается по прошлым данным.

Перечислите значения, необходимые для расчета бета-версии. Эти значения включают альфа, размер эффекта и размер выборки. Если у вас нет прошлых данных, в которых указан четкий размер эффекта, используйте значение 0, 3, чтобы быть консервативным. По сути, размер эффекта — это сила взаимосвязи в данных; таким образом, 0.3 обычно принимается как «умеренный» размер эффекта.

Найдите Z-показатель для значения 1 — альфа / 2. Этот Z-счет будет использован при расчете беты. После вычисления числового значения для 1 — альфа / 2 найдите Z-показатель, соответствующий этому значению. Это Z-показатель, необходимый для расчета беты.

Рассчитайте Z-показатель для значения 1 — бета. Разделите размер эффекта на 2 и возьмите квадратный корень. Умножьте этот результат на размер эффекта. Вычтите Z-показатель, найденный на последнем шаге, из этого значения, чтобы получить значение Z-показателя для значения 1 — бета.

Преобразовать Z-счет в 1 — бета как число. «Обратный» ищет Z-показатель для 1-беты, сначала просматривая Z-показатель в Z-таблице. Отследите эту Z-оценку до столбца (или строки), чтобы найти число. Это число равно 1 — бета.

Вычтите число, только что найденное из 1. Это результат бета.

подсказки

Практически у каждого введения в учебник статистики есть Z-таблица в приложении. Если у вас нет Z-таблицы, обратитесь к книге статистики из вашей библиотеки.

Источник

antibamicaco516

Вопрос по геометрии:

Дано:
α-β=30°.

Найти:
α,
β.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 2

nanghafacaw494

A+b=180 Как смежные
a-b=30 Складываем два уравнения
a=105
b=75

treveaprad962

α+β=180
Пусть α = x, тогда β=180-x
получается уравнение
х-(180-х)=30
2х=210
х=105

α=105
β=75

Знаете ответ? Поделитесь им!

Гость

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник