Как найти бисс в треугольнике

Все формулы биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Дано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

По свойству биссектрисы треугольника:

Согласно утверждению 1,

Что и требовалось доказать.

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

Вычисление биссектрисы треугольника с известными свойствами

Математика, как известно, царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

• Свойства
• Свойства в равнобедренных треугольниках
• Определение биссектрисы треугольника
• Определение длины
• Нахождение величины угла

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

Свойства

1. Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
2. Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

1. Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса медиана, а также высота его угла.
2. Разумеется, что будет верным и обратное свойство. То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.
3. Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
4. Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

• Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
• Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Значит, BD = 3,75.
• ABxAC = 54=20.
• CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Это интересно: в чем выражается эволюционный характер развития общества?

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

• BD – биссектриса угла ABC;
• α = β.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

• СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• α = β.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD² = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD² = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Следовательно, AD ≈ 4,85 см.

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более
наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по
60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка
пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса
обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из
вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти
биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между
ними.

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см.
Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные
значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам
нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

Через две стороны и отрезки

Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно
руководствоваться следующей формулой:

L = √(b * c — a1 * a2)

где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.

Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см
соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти
биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 –
длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.

Через все стороны

Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно
воспользоваться формулой ниже:

L = (√(bc (b + c + a)(b + c — a))) / (b + c)

где a, b, c — стороны.

Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10
см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши
известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + = 4,8 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если
вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а».
Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а».
Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов.
Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c =  10 мм, угол α = 30 градусов,
тогда биссектриса L =  2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

В прямоугольном треугольнике через катеты

В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано
только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:

L = √2 * (ab / (a + b))

где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного
треугольника.

Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов,
5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:

L = b / cos β/2

где «b» — известный катет, а β — острый угол.

Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см.,
угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град.
Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при
основании можно воспользоваться данной формулой:

L = b * sin α

где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.

Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона
равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто
подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

L = b * √(2c / b + c)

где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.

Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу,
мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:

L = a / 2 * tg α

где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.

Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а»
равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) =  10.4 см

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям
дано основание и боковая сторона:

L = √(b² — a²/4)

где b и а — основание.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а
боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)).
Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см.
Это и есть длина биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:

L = b * cos β/2

где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.

Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см.
Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем
прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас
получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу
ниже:

L = a√3 / 2

где а является стороной треугольника.

Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача
заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в
формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02,
это и есть значение длины биссектрисы.

Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех
ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи
высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.

В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении
длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной.
Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.

Как найти длину биссектрисы в треугольнике

Строго говоря, биссектриса — это луч, делящий угол пополам и имеющий начало в той же точке, где начинаются и лучи, образующие стороны этого угла. Однако применительно к треугольнику под биссектрисой подразумевают не луч, а отрезок между одной из вершин и противоположной ей стороной фигуры. Основное же ее свойство (деление пополам угла в вершине) сохраняется и в треугольнике. Такая особенность позволяет говорить о длине биссектрисы и использовать соответствующие формулы для ее вычисления.

Инструкция

Если вам известны длины сторон (a и b) треугольника, образующие разделенный пополам угол (γ), то длину биссектрисы (L) можно вывести из теоремы косинусов. Для этого найдите значение удвоенного произведения длин сторон на косинус половины угла между ними и разделите полученный результат на сумму длин сторон: L=2*a*b*cos(γ/2)/(a+b).

Если величина угла, который делится биссектрисой, неизвестна, но даны длины всех сторон треугольника (a, b и c), то для вычислений удобнее ввести дополнительную переменную — полупериметр: p=½*(a+b+c). После этого часть формулы длины биссектрисы (L) из предыдущего шага надо будет заменить — в числитель дроби поставьте удвоенный квадратный корень из произведения длин сторон, образующих разделенный биссектрисой угол, на полупериметр и частное от вычитания из полупериметра длины третьей стороны. Знаменатель же оставьте без изменений — это должна быть сумма длин сторон разделенного угла треугольника. В результате формула должна выглядеть так: L=2*√(a*b*p*(p-c))/(a+b).

Если усложнить подкоренное выражение формулы из предыдущего шага, то можно обойтись и без полупериметра. Для этого оставьте знаменатель (сумма длин сторон разделенного угла) без изменений, а в числителе должен быть квадратный корень из произведения длин этих же сторон на сумму их длин, из которой вычтена длина третьей стороны, а также на сумму длин всех трех сторон: L=√(a*b*(a+b-c)*(a+b+c))/(a+b).

Если в исходных условиях даны не только длины сторон (a и b), образующих разделенный биссектрисой угол, но и длины отрезков (d и e), на которые эта биссектриса поделила третью сторону, то тоже придется извлекать квадратный корень. Длину биссектрисы (L) в этом случае рассчитывайте как корень из произведения длин известных сторон, из которого вычтено произведение длин отрезков: L=√(a*b-d*e).

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?