Как найти биссектрису угла формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Подробности

Опубликовано: 06 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

· длины прилежащих сторон и угол между ними

· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону

· длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

Обозначим биссектрису AD через la .

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD — биссектриса, AD=12.

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Дано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

По свойству биссектрисы треугольника:

Согласно утверждению 1,

Что и требовалось доказать.

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

источники:

Длина биссектрисы треугольника

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm

Источник

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

$[ l = sqrt {ab - a_1 b_1 } ]$

Дано:

ΔABC,

СF — биссектриса ∠ABC

Доказать:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

∠CBF=∠CDA (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AC).

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$[ frac{{BC}}{{CD}} = frac{{CF}}{{AC}}, Rightarrow CD = frac{{BC cdot AC}}{{CF}}. ]$

$[ FD = CD - CF = frac{{BC cdot AC}}{{CF}} - CF. ]$

По свойству пересекающихся хорд

Отсюда

$[ BF cdot AF = CF cdot (frac{{BC cdot AC}}{{CF}} - CF) ]$

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Утверждение 2

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

$[ l_c = frac{1}{{a + b}}sqrt {ab(a + b + c)(a + b - c)} . ]$

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника:

$[ [ frac{a}{{a_1 }} = frac{b}{{b_1 }}, Rightarrow a_1 b = ab_1 . ]$

a₁+b₁=c, b₁=c-a₁, поэтому

$[ a_1 = frac{{ac}}{{a + b}}. ]$

Согласно утверждению 1,

$[ l^2 = ab - a_1 (c - a_1 ) = ab - frac{{ac}}{{a + b}}(c - frac{{ac}}{{a + b}}) = ]$

$[ = ab - frac{{ac^2 }}{{a + b}} + frac{{a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = frac{{ab(a + b)^2 - ac^2 (a + b) + a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = ]$

$[ = frac{{ab(a + b)^2 - a^2 c^2 - abc^2 + a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = frac{{ab(a + b)^2 - abc^2 }}{{(a + b)^2 }} = ]$

$[ = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}((a + b)^2 - c^2 ) = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}((a + b) + c)((a + b) - c) = ]$

$[ = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}(a + b + c)(a + b - c), ]$

откуда

$[ l = sqrt {frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}(a + b + c)(a + b - c)} , ]$

$[ l_c = frac{1}{{a + b}}sqrt {ab(a + b + c)(a + b - c)} . ]$

Что и требовалось доказать.

Аналогично,

$[ l_a = frac{1}{{b + c}}sqrt {bc(b + c + a)(b + c - a)} , ]$

$[ l_b = frac{1}{{a + c}}sqrt {ac(a + c + b)(a + c - b)} . ]$

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Утверждение 3

$[ l_c = frac{{2abcos frac{alpha }{2}}}{{a + b}} ]$

Доказательство:

Найдем площади треугольников BCF, ACF и ABC.

$[ S_{Delta BCF} = frac{1}{2}BC cdot CF cdot sin angle BCF, ]$

$[ S_{Delta ACF} = frac{1}{2}AC cdot CF cdot sin angle ACF, ]$

$[ S_{Delta ABC} = frac{1}{2}AC cdot BC cdot sin angle BCA. ]$

Так как

$[ S_{Delta ABC} = S_{Delta BCF} + S_{Delta ACF} , ]$

то

$[ frac{1}{2}AC cdot BC cdot sin angle BCA = ]$

$[ = frac{1}{2}BC cdot CF cdot sin angle BCF + frac{1}{2}AC cdot CF cdot sin angle ACF, ]$

$[ ab cdot sin alpha = al cdot sinfrac{alpha }{2} + bl cdot sinfrac{alpha }{2}, ]$

$[ ab cdot sin alpha = l cdot sinfrac{alpha }{2}(a + b), ]$

$[ l = frac{{ab cdot sin alpha }}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{ab cdot sin (2 cdot frac{alpha }{2})}}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{ab cdot 2sin frac{alpha }{2}cos frac{alpha }{2}}}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{2abcos frac{alpha }{2}}}{{a + b}}. ]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более
наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по
60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка
пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса
обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из
вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.

Длина биссектрисы в треугольнике через две стороны и угол
между ними
Длина биссектрисы в треугольнике через все стороны
Длина биссектрисы в треугольнике через две стороны и
отрезки
Длина биссектрисы в прямоугольном треугольнике через
катеты
Длина биссектрисы в прямоугольном треугольнике через
гипотенузу и угол
Длина биссектрисы из острого угла в прямоугольном
треугольнике через катет и угол
Длина биссектрисы из острого угла в прямоугольном
треугольнике через катет и гипотенузу
Длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике через
боковую сторону и угол при основании
Длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике через
основание и угол при основании
Длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике через
боковую сторону и угол между боковыми сторонами
Длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике через
основание и боковую сторону
Длина биссектрисы в равностороннем треугольнике через
сторону

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти
биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между
ними.

Цифр после
запятой:

Результат в:

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см.
Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные
значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам
нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

Через две стороны и отрезки

Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно
руководствоваться следующей формулой:

L = √(b * c — a1 * a2)

где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см
соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти
биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 –
длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.

Через все стороны

Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно
воспользоваться формулой ниже:

L = (√(bc (b + c + a)(b + c — a))) / (b + c)

где a, b, c — стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10
см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши
известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + = 4,8 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если
вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а».
Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а».
Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов.
Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c = 10 мм, угол α = 30 градусов,
тогда биссектриса L = 2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

В прямоугольном треугольнике через катеты

В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано
только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:

L = √2 * (ab / (a + b))

где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного
треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов,
5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:

L = b / cos β/2

где «b» — известный катет, а β — острый угол.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см.,
угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град.
Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при
основании можно воспользоваться данной формулой:

L = b * sin α

где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона
равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто
подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

L = b * √(2c / b + c)

где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу,
мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:

L = a / 2 * tg α

где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а»
равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) = 10.4 см

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям
дано основание и боковая сторона:

L = √(b² — a²/4)

где b и а — основание.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а
боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)).
Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см.
Это и есть длина биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:

L = b * cos β/2

где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см.
Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем
прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас
получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу
ниже:

L = a√3 / 2

где а является стороной треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача
заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в
формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02,
это и есть значение длины биссектрисы.

Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех
ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи
высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.

В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении
длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной.
Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.

Источник

Математика, как известно, царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации. Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей. Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

Оглавление:

Свойства

Свойства в равнобедренных треугольниках

Определение биссектрисы треугольника

Определение длины

Нахождение величины угла

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями. Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами. Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

Свойства

Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно. Таким образом, BD/CD = AB/AC.
Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса медиана, а также высота его угла.
Разумеется, что будет верным и обратное свойство. То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.
Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
BD/3 = 5/4.
Значит, BD = 3,75.
ABxAC = 54=20.
CDxBD = 33,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Это интересно: в чем выражается эволюционный характер развития общества?

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 282 =56. Значит, BAC = 180 (70+56) или 180 (70+282)= 180 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Проведите ночь в компании красивой проститутки СПБ . Посетите наш онлайн-портал, и вы обнаружите подборку самых способных девушек своего города. Изучите все доступные варианты, и мы посодействуем вам в выборе подходящей спутницы! Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

Источник