Как найти биссектрису угла видеоурок

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим рассмотрение элементов треугольника – медиан, биссектрис и высот треугольника.
Вначале дадим определение медианы треугольника и рассмотрим три медианы треугольника. Дадим определение биссектрисы треугольника и рассмотрим три биссектрисы треугольника. Дадим определение высоты треугольника и рассмотрим высоты в произвольном треугольнике и в тупом треугольнике. Далее решим ряд задач с использованием этих элементов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Углы. Виды углов. Биссектриса угла.

Углы. Виды углов. Биссектриса угла.

5 класс. Углы

5 класс. Углы

Биссектриса угла

Биссектриса угла

Примеры задач на построение

В этом уроке рассмотрим задачи на построение: построить угол, равный данному; построить биссектрису угла; построить перпендикулярные прямые; построить середину отрезка.

С геометрическими построениями приходится иметь дело многим специалистам. Например, всевозможные построения выполняют архитекторы, конструкторы, штурманы. Даже слесарь, закройщик, столяр нередко выполняют построения: слесарь – на жести, закройщик – на ткани, столяр – на доске.

Как правило, в задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую тем или иным условиям. Если не указано, с помощью каких инструментов нужно выполнить построение, значит, имеют в виду только линейку без делений и циркуль.

Задача 1. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Дано: угол А и луч ОN.

Построить: угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОN.

Построение:

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла.

Обозначим точки пересечения окружности со сторонами угла – В и С.

Проведем окружность того же радиуса с центром в начале луча ОN. Эта окружность пересечет луч ОN в точке D.

Теперь построим окружность с центром в точке D и радиусом, равным ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках F и H.

Угол NOF – искомый.

Для доказательства, что угол искомый, достаточно заметить, что треугольники АСВ и ОFD равны по трем сторонам: АС = ОF, АВ = ОD, т.к. это радиусы большой окружности, ВС = DF, т.к. это радиусы малой окружности. В равных треугольниках углы равны, значит, угол ВАС равен углу NOF. Т.е. построенный угол равен данному.

Задача 2. Построить биссектрису данного угла.

Дано: угол А.

Построить: биссектрису угла А.

Решение:

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла.

Она пересечет стороны угла в точках С и В.

Построим еще две окружности одинакового радиуса, равного ВС, с центрами в точках В и С.

Окружности пересекутся в двух точках, одна из которых лежит внутри угла.

Обозначим ее точкой D.

Построим луч АD, он является биссектрисой угла А.

Это следует из равенства треугольников АВD и АСD, они равны по трем сторонам:

АD – общая, АС = АВ как радиусы одной и той же окружности, а СD= ВD как радиусы двух окружностей одинакового радиуса.

Из равенства треугольников следует, что угол ВАD равен углу САD, значит, луч АD – биссектриса данного угла А.

Заметим, что любой угол можно разделить на четыре равных угла.

Для этого надо разделить этот угол пополам и затем каждую половину разделить еще раз пополам. А вот разделить угол на три равных угла невозможно.

Эту нерешаемую задачу назвали задачей о трисекции угла.

Задача 3.

Дано: прямая и точка на ней.

Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение:

Пусть дана прямая а и точка О, принадлежащая этой прямой.

Построим окружность с центром в точке О произвольного радиуса.

Эта окружность пересечет прямую а в двух точках А и В.

Затем построим окружности с центрами в точках А и В радиуса, равного АВ. Эти окружности пересекутся в точках С и D.

Искомая прямая проходит через точки О и С.

Прямая ОС перпендикулярна прямой а.

Это легко доказать, рассмотрев равнобедренный треугольник АВС.

ОС является и медианой, и высотой.

Задача 4.

Построить середину данного отрезка.

Решение:

Пусть АВ – данный отрезок.

Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ.

Эти окружности пересекутся в двух точках С и D.

АВПроведем прямую СD. Она пересечет отрезок АВ в точке О.

Точка О – искомая точка, она разделила отрезок АВ пополам.

Это легко можно доказать, рассмотрев треугольники АСD и ВСD.

Они равны по трем сторонам, поэтому угол АСО = углу ВСО.

Следовательно, СО – биссектриса равнобедренного треугольника АСВ, а значит, СО – медиана.

Итак, в этом уроке мы рассмотрели четыре задачи на построение.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания,
берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта
готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием
сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом
администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта
и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы
принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без
письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой
зрения авторов.