Как найти биссектрису в равностороннем треугольнике формула

Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Проведем биссектрису BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD  — еще и медианы и высоты.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство биссектрис равностороннего треугольника)

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

В треугольниках ABF, BCD и CAK:

• AB=BC=CA (по условию)
• ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника)
• ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

Значит, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

BF — биссектриса, BF=l.

По свойствам равностороннего треугольника,  BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

   

   

Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

   

2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

В правильном треугольнике ABC центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

Отсюда,

   

   

Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

   

через радиус описанной окружности —

   

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

• высотой, опущенной на сторону AC;
• медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);
• серединным перпендикуляром, проведенным к AC.

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

AF = BD = CE

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

• AG = 2GF
• BG = 2GD
• CG = 2GE

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

S₁ = S₂

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

• AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
• BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
• CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы (l_a) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

где a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более
наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по
60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка
пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса
обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из
вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти
биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между
ними.

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см.
Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные
значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам
нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

Через две стороны и отрезки

Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно
руководствоваться следующей формулой:

L = √(b * c — a1 * a2)

где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.

Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см
соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти
биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 –
длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.

Через все стороны

Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно
воспользоваться формулой ниже:

L = (√(bc (b + c + a)(b + c — a))) / (b + c)

где a, b, c — стороны.

Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10
см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши
известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + = 4,8 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если
вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а».
Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а».
Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов.
Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c =  10 мм, угол α = 30 градусов,
тогда биссектриса L =  2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

В прямоугольном треугольнике через катеты

В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано
только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:

L = √2 * (ab / (a + b))

где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного
треугольника.

Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов,
5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:

L = b / cos β/2

где «b» — известный катет, а β — острый угол.

Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см.,
угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град.
Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при
основании можно воспользоваться данной формулой:

L = b * sin α

где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.

Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона
равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто
подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

L = b * √(2c / b + c)

где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.

Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу,
мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:

L = a / 2 * tg α

где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.

Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а»
равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) =  10.4 см

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям
дано основание и боковая сторона:

L = √(b² — a²/4)

где b и а — основание.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а
боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)).
Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см.
Это и есть длина биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:

L = b * cos β/2

где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.

Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см.
Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем
прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас
получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу
ниже:

L = a√3 / 2

где а является стороной треугольника.

Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача
заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в
формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02,
это и есть значение длины биссектрисы.

Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех
ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи
высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.

В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении
длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной.
Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.

Длина биссектрисы равностороннего треугольника Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	2D геометрия ↺
2D геометрия	Треугольник ↺
Треугольник	Равносторонний треугольник ↺
Равносторонний треугольник	Длина биссектрисы равностороннего треугольника ↺

Длина биссектрисы равностороннего треугольника Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Длина ребра равностороннего треугольника: 8 метр —> 8 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

6.92820323027551 метр —> Конверсия не требуется

9 Длина биссектрисы равностороннего треугольника Калькуляторы

9 Важные формулы равностороннего треугольника Калькуляторы

Длина биссектрисы равностороннего треугольника формула

Длина биссектрисы равностороннего треугольника = sqrt(3)/2*Длина ребра равностороннего треугольника

l_{Angle Bisector} = sqrt(3)/2*l_e

Что такое равносторонний треугольник?

В геометрии равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным; то есть все три внутренних угла также конгруэнтны друг другу и равны 60 ° каждый.

Что такое биссектриса равностороннего треугольника и как ее вычислить?

Биссектриса угла равностороннего треугольника или биссектриса угла — это линия, которая делит угол на две равные части. У каждого угла есть биссектриса угла. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого длины всех трех сторон равны, а все углы равны 60 градусам. В равностороннем треугольнике он рассчитывается по формуле A = √3a/2, где A — биссектриса любого угла равностороннего треугольника, а — длина стороны равностороннего треугольника.