Как найти близкую дробь

Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно .

Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно . Если – несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например, , то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов.

Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменить N и n меньшими числами и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе к .

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим 100.

Получаем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему, находим:

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь . При этом допущенная погрешность , то есть весьма незначительна.

Ответ: .

Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

Пример 2: Как мы уже определили ранее . Вычислим с точностью до 0,001.

Для решения придется найти такую подходящую дробь разложения , чтобы .

Сделаем это, используя схему:

Очевидно, нам достаточно взять , так как 19·60>1000. Это значение будет равно с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как – подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0,001. Получаем (мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3,316 приближенным значением с недостатком или избытком).

Решенные задачи в более общем виде формулируются так:

1) Найти рациональное приближение к действительному со знаменателем в виде наиболее близкой к подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

2) Найти рациональное приближение к действительному числу с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила (то есть с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так, чтобы .

Когда дело доходит до дробей, мы обычно сравниваем две или более. На самом деле, мы сталкиваемся с дробями в нашей повседневной жизни. Простой пример: если вы разрезаете яблоко на две части, оно тоже будет дробью. В принципе, сравнение двух дробей означает определение большей и меньшей части среди них.

Понятие сравнения дробей

Такие числа, как [frac{1}{2}, frac{2}{3}, frac{3}{4}, frac{1}{17}] известны как дроби.

Число под линией деления называется знаменателем. Оно описывает нам, на сколько равных частей делится целое. Число над строкой называется числителем. Оно говорит нам, сколько равных частей взято.

Пример: [frac{3}{7}, frac{5}{19}, frac{3}{116}] и т.д. являются дробями.

Сравнить две дроби – это значит понять, какая из них больше, а какая меньше. Из двух дробей с равными знаменателями больше будет та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. Примеры сравнения дробей в реальном времени включают различные действия, такие как проверка сниженных цен во время покупок, достижение продаж определенного продукта, медицинские рецепты врача, результаты тестов и экзаменов и т.д. Опять же, сравнение дробей – это то, что мы испытываем или с чем сталкиваемся в своей повседневной жизни. Если достаточно сосредоточиться, то можно легко получить практическое представление об одном и том же каждый день, выполняя обычные домашние дела и математические вычисления.

Правила сравнения дробей

Есть несколько правил, которым мы должны следовать при сравнении дробей:

1. Когда знаменатели дроби одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем считается большей дробью.
2. Когда числители равны, дроби считаются эквивалентными.
3. Когда дроби имеют один и тот же числитель, чем меньше числитель, тем более значимой считается дробь.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример: [frac{3}{7}, frac{5}{7}, frac{6}{7}] являются «подобными дробям».

Сравнение подобных дробей

В этом методе необходимо проверить, совпадают ли знаменатели или нет. Если знаменатели одинаковы, то дробь с большим числителем является более значительной дробью. Дробь с меньшим числителем – это меньшая дробь. Если и числители, и знаменатели равны, то дроби также идентичны. Пример: Давайте сравним [frac{6}{17}] и [frac{16}{17}].

1. Найдем знаменатели данных дробей: [frac{6}{17}] и [frac{16}{17}]. Здесь знаменатели одинаковы.
2. Сравним числители: 16>6.
3. Теперь дробь с большим числителем будет больше.
4. Следовательно, [frac{6}{17}] и [frac{16}{17}].

Сравнение дробей с разными знаменателями

Пример: [frac{5}{17}] и [frac{3}{14}] являются неподобными дробями.

Сравнение неподобных дробей

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, следует начать с поиска наименьшего общего знаменателя, чтобы сделать их значения одинаковыми. Когда знаменатели преобразуются в одни и те же знаменатели, то дробь с большим числителем является более значимой  — например, [frac{1}{2}] и [frac{2}{5}].

1. Найдите знаменатели данных дробей: [frac{1}{2}] и [frac{2}{5}], здесь знаменатели не совпадают. Возьмем 2 и 5 так, что общий множитель равен 10. Здесь, [frac{1}{2}=frac{1}{2} times frac{5}{5} text{и} frac{2}{5}=frac{2}{5} times frac{5}{5}].
2. Теперь сравним доли,[frac{5}{10}] и [frac{4}{10}], знаменатели одинаковы.
3. Мы сравним числители, 5 > 4.
4. Сравнение дроби, [frac{5}{10}] > [frac{4}{10}]. Дробь с большим числителем является большей дробью.
5. Таким образом, [frac{5}{10}] > [frac{4}{10}]. Поэтому, [frac{1}{2}] > [frac{2}{5}]

Если знаменатели разные, а числители одинаковые, то можно легко сравнить дроби, посмотрев на их знаменатели. Дробь с меньшим знаменателем имеет большее значение. Дробь с большим знаменателем имеет меньшее значение.

Например, [frac{2}{3}] > [frac{2}{6}]

Десятичный метод сравнения дробей

В этом методе необходимо сравнить десятичные значения дробей. Сначала числитель делится на знаменатель, а затем дробь преобразуется в десятичную дробь. Затем сравниваются десятичные значения.

Пример: [frac{4}{5} и frac{6}{8}].

1. Сначала запишем заданные дроби [frac{4}{5} и frac{6}{8}] в десятичной форме. [frac{4}{5}]= 0,8 и [frac{6}{8}]= 0,75.
2. Теперь сравните десятичные значения, 0,8 > 0,75.
3. Здесь дробь с большим десятичным значением является большей дробью.
4. Следовательно, [frac{4}{5} и frac{6}{8}].

Сравнение дробей с помощью перекрестного умножения

В этом методе числитель одной дроби перекрестно умножается на знаменатель другой дроби.

Пример: [frac{1}{2} text { и } frac{3}{4}], когда мы перекрестно умножаем, мы получаем 1×4=4 и 2×3=6.

1. Теперь цифры 4 и 6 являются числителями, которые мы получаем, если выразим [frac{1}{2} text { и } frac{3}{4}] с общим знаменателем 8.
2. Далее, новые дроби с одинаковыми знаменателями будут равны [frac{4}{8} text { и } frac{6}{8}].
3. Итак, число 6 является большим числителем, [frac{4}{8} < frac{6}{8}].
4. Следовательно, [frac{1}{2} < frac{3}{4}].

Решение примеров на сравнение дробей

1. Сравните две дроби [frac{4}{7}] и [frac{2}{7}].

Ответ: Мы видим, что знаменатели в данных дробях одинаковы. Здесь мы будем следовать правилу, согласно которому, когда знаменатели дроби одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем считается большей дробью.

Итак, сравните числители 4>2

Следовательно,  [frac{4}{7}>frac{2}{7}]

2. Сравните две заданные дроби:  [frac{6}{13}] и [frac{6}{20}].

Ответ: Мы видим, что числители в данных дробях одинаковы. Здесь мы будем следовать правилу, что, когда дроби имеют одинаковый числитель, чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

Итак, сравните знаменатели 13>20

Следовательно, [frac{6}{13} > frac{6}{20}]

3. Сравните данные дроби, используя метод перекрестного умножения: [frac{3}{8}] и [frac{5}{10}].

Ответ: Мы будем использовать метод перекрестного умножения, поэтому это означает, что необходимо умножить 3×10=30 и 5×8=40.

Здесь 30<40

Следовательно, [frac{3}{8} < frac{5}{10}]

4. Расположите дроби [frac{5}{6}, frac{11}{16}] и [frac{13}{18}] в порядке возрастания.

Ответ: Сначала мы вычислим общий знаменатель, он равен 144.

Теперь запишем дроби как эквивалентные:

[frac{5}{6}=frac{5 times 24}{6 times 24}=frac{120}{144}]

[frac{11}{16}=frac{11 times 9}{16 times 9}=frac{99}{144}]

[frac{13}{18}=frac{13 times 8}{13 times 8}=frac{104}{144}]

Так, 99 < 104 < 120, следовательно [frac{99}{144}<frac{104}{144}<frac{120}{144}, text { итак } frac{11}{16}<frac{13}{18}<frac{5}{6}]

5. Что больше: [frac{4}{8}] или [frac{6}{12}]?

Сравним с помощью десятичного метода.

Ответ: Мы можем использовать калькулятор 4÷8 и 6÷12. Теперь получаем, что [frac{4}{8}=0,5 text { и } frac{6}{12}=0,5]

Итак, обе доли равны 0,5 = 0,5

Следовательно, [frac{4}{8}=frac{6}{12}]

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Как определить какая из дробей ближе к 1 …» по предмету 📙 Математика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы