Как найти боковое ребро цилиндра

Содержание:

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его сторону (рис. 26). На рисунке 27 показано образование цилиндра при вращении прямоугольника

Образующая цилиндра является его высотой.

Поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость, в результате получится прямоугольник, представляющий боковую поверхность цилиндра, и два круга, представляющих его основания. На рисунке 30 показан цилиндр и его развертка.

Теорема 4.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания и образующей:

На плоскости важной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание окружности с прямой. Подобной пространственной конфигурацией является сочетание цилиндра с плоскостью.

Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг, равный основанию (рис. 31), а если плоскостью, перпендикулярной основанию, то — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (рис. 32). Осевое сечение цилиндра, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания (рис. 33).

Будем двигать плоскость, проходящую через ось цилиндра, параллельно самой себе (рис. 34). При этом две противолежащие стороны прямоугольника-сечения цилиндра, являющиеся хордами оснований, будут уменьшаться, а две другие стороны, которые являются образующими цилиндра, — сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, содержащую образующую цилиндра и не имеющую с ним других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью цилиндра. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости цилиндра и отличная от образующей, имеет с цилиндром единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой цилиндра.

Теорема 5.

Если плоскость касается цилиндра по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость касается цилиндра с осью по образующей (рис. 35). Докажем, что плоскость, содержащая образующую и ось , перпендикулярна плоскости .

Проведем прямую , которая пересекает прямую в точке , прямую в точке и перпендикулярна оси . Через точку проведем плоскость , перпендикулярную образующей . Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу, центр которого находится в точке , а плоскость — по прямой , касающейся окружности с центром . Учитывая свойство касательной к окружности, можем утверждать, что прямая перпендикулярна радиусу окружности с центром в точке . Кроме того, поскольку прямая параллельна прямой , то прямая перпендикулярна прямой . Получили, что прямая перпендикулярна как прямой , так и прямой , которые пересекаются и лежат в плоскости . Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Но плоскость, содержащая образующую и ось , проходит и через прямую . Поэтому она, по признаку перпендикулярности плоскостей, перпендикулярна плоскости .

Теорема 5 выражает свойство касательной плоскости цилиндра.

Теорема 6.

Плоскость касается цилиндра, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, содержащей эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость содержит образующую цилиндра и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось (рис. 36). Докажем, что плоскость не имеет с цилиндром других общих точек, кроме точек образующей .

Пусть — точка плоскости , не принадлежащая образующей . Через эту точку проведем плоскость , перпендикулярную оси . Она пересечет цилиндр по кругу с центром , образующую в некоторой точке и плоскость по прямой . Поскольку плоскости и обе перпендикулярны плоскости , то их линия пересечения также перпендикулярна плоскости , а потому . Учитывая, что и — соответственно гипотенуза и катет прямоугольного треугольника , получим, что . Значит, точка не принадлежит цилиндру с осью .

Теорема 6 выражает признак касательной плоскости цилиндра.

Пусть имеется цилиндр (рис. 37). Впишем в одно из оснований цилиндра многоугольник , через его вершины проведем образующие , , …, , и соединим их другие концы , , …, , . В результате получим призму . Ее называют призмой, вписанной в цилиндр, а сам цилиндр называют цилиндром, описанным около призмы.

Если цилиндр описан около призмы, то основания цилиндра описаны около оснований призмы, а боковая поверхность цилиндра содержит боковые ребра призмы.

Подобным образом вводится понятие призмы, описанной около цилиндра, и цилиндра, вписанного в призму (рис. 38). Если призма описана около цилиндра, то ее основания описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.

Теорема 7.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания и образующей:

Доказательство:

Пусть имеется цилиндр с осью (рис. 39). В него впишем правильную призму и, кроме того, около него опишем правильную призму . В соответствии с теоремой 3 объем первой призмы равен произведению площади многоугольника и высоты призмы, которая равна боковому ребру , а объем второй — произведению площади многоугольника и той же высоты. Объем самого цилиндра заключен между этими объемами.

Будем количество сторон оснований призмы делать все большим и большим. Тогда объем первой призмы увеличивается, объем второй — уменьшается, а разность между ними стремится к нулю, если количество сторон становится неограниченно большим. То число, к которому приближаются объемы обеих призм, принимается за объем цилиндра.

В описанном процессе высота призмы остается равной боковому ребру, которое равно образующей цилиндра, а площади многоугольников и стремятся к площади круга, лежащего в основании цилиндра. Значит, объем цилиндра равен произведению площади основания и образующей цилиндра:

Поверхность цилиндра

Ещё один важный класс пространственных фигур — тела вращения. Цилиндр является одним из них, мы познакомимся с ним глубже. Свойства цилиндра похожи на свойства призм, мы последовательно изучим их.

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют цилиндром (точнее, прямой круговой цилиндр) (рис. 75). При вращении прямоугольника одна его сторона остаётся неподвижной. Её называют осью цилиндра. Поверхность, образованную при вращении противоположной стороны прямоугольника называют цилиндрической поверхностью, а саму сторону образующей цилиндра. Две другие стороны прямоугольника при этом вращении образуют два равных круга, которые называют основаниями цилиндра (рис. 76).

Замечание. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют прямым круговым цилиндром. Более широкое понятие цилиндра вводят следующим образом.

Пусть в пространстве параллельный перенос переводит плоскую фигуру F₁, в фигуру F2. Тело, состоящее из этих фигур и отрезков, соединяющих их соответствующие точки, называют цилиндром (рис. 77).

Если при параллельном переносе образующая перпендикулярна плоскости фигуры F_{1 ,} цилиндр называют прямым (рис. 78.а), в противном случае наклонным цилиндром (рис. 78.b). На рисунке 78.с изображена Пизанская башня, имеющая вид наклонного цилиндра.

Если фигура F₁ является кругом, то цилиндр называют круговым цилиндром.

Только прямой круговой цилиндр является телом вращения. В дальнейшем мы будем рассматривать прямые круговые цилиндры, которые для краткости будем называть цилиндрами.

Основания цилиндра являясь равными кругами, лежат на параллельных плоскостях. Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания на другое, называют его высотой.

Расстояние между параллельными плоскостями равно высоте цилиндра. Ось цилиндра также является его высотой.

Образующие цилиндра параллельны и равны. Точно также, длины высоты, оси и образующих цилиндра будут равны между собой.

Сечением цилиндра плоскостью параллельной его оси является прямоугольник (рис.79.а). Две противоположные его стороны — это образующие цилиндра, а две другие стороны — соответствующие параллельные хорды оснований цилиндра.

В частности, осевое сечение также прямоугольник, образованный сечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 79.b).

Диагонали осевого сечения цилиндра проходят через точку являющуюся серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Следовательно, эта точка Q есть центр симметрии цилиндра (рис. 79.с).

Плоскость, проходящая через точку Q перпендикулярно оси цилиндра является его плоскостью симметрии (рис. 80). Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра также будет ось симметрии цилиндра (рис. 81).

Пример:

Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.

Решение:

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру

основания. Поэтому его площадь равна

Докажите самостоятельно эту теорему пользуясь рисунком 82.

Следствие. Полная поверхность цилиндра равна сумме его боковой поверхности и площадей двух его оснований:

или

Пусть дан произвольный цилиндр. Впишем в одно из его оснований многоугольник (рис. 83). Через вершины многогранника проведём образующие цилиндра , другие концы которых и последовательно соединим отрезками. В результате получим призму . Эту призму называют призмой, вписанной в цилиндр. А цилиндр называют цилиндром, вписанным в призму. Если призма вписана в цилиндр, то основание призмы будет вписано в основание цилиндра и боковые рёбра призмы будут лежать на боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если вокруг основания призмы можно описать окружность, то вокруг призмы можно описать цилиндр.

Аналогично вводятся понятия призмы, описанной вокруг цилиндра и цилиндра, вписанного в призму (рис. 84). Если призма описана вокруг цилиндра, то основание призмы будет описано вокруг основания цилиндра и боковые грани призмы будут касаться боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если в основание призмы можно вписать окружность, то вокруг цилиндра можно описать призму.

Объём цилиндра

Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади его основания и образующей цилиндра:

Доказательство. Пусть дан цилиндр с осью ОО₁ (рис. 85). Впишем в него призму и опишем вокруг него призму . Обозначим объём цилиндра V, а объёмы вписанной и описанной призм V₁ и V₂ , тогда имеет место двойное неравенство . Объёмы призм находят по следующим формулам: и

Будем всё больше и больше увеличивать число n сторон оснований призм. Тогда объём вписанной призмы будет увеличиваться, а объём описанной призмы уменьшаться. Если число n сторон увеличивать неограниченно, то разность между объёмами будет стремится к нулю. Число, к которому приближаются объёмы вписанной и описанной призм, принимают за объём данной призмы. При этом площади многогранников и будут стремиться к площади S круга, лежащего в основании цилиндра. Следовательно,

Исторические сведения:

В произведении Абу Райхна Беруни «Книга о началах искусства астрономии» («Астрономия») как введение в стереометрию в разделе о геометрии приводятся следующие определения фигур:

Куб — физическая фигура, похожая на кубик для игры в нарды, ограниченная с шести сторон квадратами.

Призма — представляет собой фигуру, ограниченную по бокам плоскостями в форме квадрата или прямоугольника, а сверху и снизу -двумя треугольниками. В этом определении Беруни приведено описание частного вида призмы, а именно треугольной призмы.

Книга Беруни «Канон Масьуда» написана в 1037 году. В ней приведены правила нахождения объёмов параллелепипеда и призмы: «Если тело не четырёхугольное или другого вида, то его расчёт таков: найди площадь, умножь его на глубину, в итоге получишь объём». В произведении Абу Али ибн Сино «Книга знания» в разделе «Основы изучения геометрических тел» дано описание тела и треугольной призмы. А также описаны условия взаимного равенства двух призм. Ибн Сино даёт следующее определение призмы: «Призма — тело, ограниченное двумя плоскими треугольными сторонами.»

В произведении Аль Каши «Книга счёта» приведёт много примеров расчета площадей поверхностей и объёмов тел. Благодаря своим глубоким знаниям в математике, геометрии, тригонометрии, механике и астрономии он пользовался вниманием и уважением Улугбека. Аль Каши наряду с многоугольниками изучачл призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, усечённые конусы.

Таблица приближенных значений тригонометрических функций:

Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.

На рисунке 2 изображён наклонный цилиндр. Круги с центрами О и О₁ являются его основаниями.

Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через  эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, умножив длину образующей на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

S_b = Ph.

В частности, для прямого кругового цилиндра:

P = 2πR, и S_b = 2πRh.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:

S_p = 2πRh + 2πR² = 2πR(h + R)

Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы.

Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):

V = Sh = S l sin α,

где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.

Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом:

V = π R² h = π (d² / 4)h,

где d – диаметр основания.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.

Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:

S = 2 π R h

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:

S = π R²

Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

S = π (d/2)²

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R² или S = 2 π R (h + R)

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см².

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см)  = 326,56 см².

План изучения темы

1. Понятие цилиндра.
2. Площадь поверхности цилиндра.
3. Объём цилиндра.
4. Решение задач на тему «Цилиндр».

Понятие цилиндра

Основание цилиндра — это круглая плоскость, на которую опирается геометрическая фигура. Таких оснований у цилиндра 2, они абсолютно одинаковы.

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью цилиндра. Плоскость, проходящая через ось будет осевым сечением. Очень часто данное понятие возникает при решении задач ЕГЭ. На рисунке ниже выделено красным пунктиром.

Вся боковая поверхность цилиндра состоит из бесконечного количества прямых, параллельных оси цилиндра. Эти прямые носят название образующих цилиндра. На рисунке выше это AB или KD.

Высотой цилиндра является длина его образующей, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Площадь поверхности цилиндра

На рисунке видно, что цилиндр разрезали по образующей AB и развернули, получив при этом прямоугольник (боковую поверхность цилиндра) и два основания (окружности). Не трудно догадаться, что длина любой окружности будет равна длине стороны получившегося прямоугольника. Поэтому площадь боковой поверхности цилиндра можно найти с помощью площади прямоугольника. Просто одна из сторон найдётся как длина окружности, а вторая будет высотой цилиндра.

Формула обычно используется с радиусом, но можно и с диаметром. Кому как удобно.

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра необходимо добавить 2 площади основания. А раз в основании окружность, то это будет две площади окружности.

Объём цилиндра

Объём цилиндра, как большинства фигур такого плана, вычисляется исходя из площади основания и высоты.

Решение задач на тему «Цилиндр»

Пример 1 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 10)

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2,5 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в см.

Решение: Раз переливают жидкость, значит это задача на объём.

Но при этом наши объёмы равны, жидкость то одна. 

Раз по условию диаметр второго сосуда в 2,5 раза больше, значит и радиус изменяется так же. Но тут нужно учесть «подвох» — радиус в формуле у нас возведён в квадрат. Вспоминая правило пропорции, считаем:

Ответ: 4

Пример 2 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 26)

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые рёбра призмы равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение: для нахождения объёма цилиндра, нам нужен радиус основания и высота. Но боковые рёбра призмы будут равны высоте цилиндра, раз по условию цилиндр описан около этой призмы. Значит, нужно посчитать только радиус основания.

В основании призмы прямоугольный треугольник. А мы знаем, что в таком случае, гипотенуза будет лежать на диаметре окружности. Значит, для нахождения радиуса нужно найти гипотенузу и поделить её на 2. 

Воспользуемся теоремой Пифагора. Наши катеты 5 и 6:

Значит, радиус будет равен:

Ну и находим объём цилиндра:

Ответ: 61

Пример 3

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен R, его высота — Н, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно D. Найдите Н, если R=10, D=8, АВ=13.

Решение:

Содержание

Введение

1 Теоретическая часть

1.1. Определение
цилиндра

1.2. Элементы  и
свойства цилиндра

1. 3. Сечения 
цилиндра

1.4. Площадь
цилиндра

1.5. Объем цилиндра

2 Практическая часть (задачи)

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7.

Задача 8.

Задача 9.

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Заключение

Список литературы

Введение

Стереометрия −
это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными
фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии
появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это
одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во
многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных
плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

В окружающей нас
природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями
указанной фигуры. Например, многие детали машин имеют форму цилиндра или
представляют собой некоторое их сочетание, а величественные колонны храмов и
соборов, выполненные в форме цилиндров, подчеркивают их гармонию и красоту.

Греч. − кюлиндрос.
Античный термин. В обиходе − свиток папируса, валик, каток (глагол − крутить,
катать).

У Евклида цилиндр
получается вращением прямоугольника. У Кавальери − движением образующей (при
произвольной направляющей − «цилиндрика»).

Цель данного
реферата рассмотреть геометрическое тело – цилиндр.

Для достижения
данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:

− дать
определения цилиндра;

− рассмотреть
элементы цилиндра;

− изучить
свойства цилиндра;

− рассмотреть
виды сечения цилиндра;

− вывести формулу
площади цилиндра;

− вывести формулу
объема цилиндра;

− решить задачи с
использованием цилиндра.

1 Теоретическая часть

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим
какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плоскости
α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной
линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми
поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется
направляющей этой поверхности, прямые s₁, s₂, s₃,…
− ее образующими.

Если направляющая
является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских
полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется
призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей
ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между
ними − ее гранями.

Если рассечь
любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее
образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую
данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от
сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое
сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая −
нормальной направляющей.

Если направляющая
− замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность
называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью.
Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей
окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя
плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

В сечениях
получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности,
заключенная между плоскостями α и α’, и две образовавшиеся при этом
многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое
призматическим телом − призмой.

Цилиндрическое
тело − цилиндр определяется аналогично призме:
Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой)
цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными
основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все
образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между
плоскостями оснований.

Цилиндром
(точнее, круговым цилиндром) называется  геометрическое тело, которое состоит
из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным
переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис.
1).

Рис. 1 − Цилиндр

1.2. Элементы и свойства цилиндра

Круги называются
основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей
кругов, − образующими цилиндра.

Так как
параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном
переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у
цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при
параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым
на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность
цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность
составлена из образующих.

Цилиндр
называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямой цилиндр
наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает
прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой
цилиндр

В дальнейшем мы
будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто
цилиндром. 

Радиусом цилиндра
называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между
плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через
центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр
называется равносторонним, если
его высота равна диаметру основания.

Если основания
цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то
цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости
цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если
основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом
(круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

1. 3. Сечения цилиндра

Сечение цилиндра
плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его
стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

В частности,
прямоугольником является осевое сечение. Это − сечение  цилиндра плоскостью,
проходящей через его ось.

 Сечение цилиндра
плоскостью, параллельной основанию − круг .

Теорема 1.
Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую
поверхность по окружности, равной окружности основания.

Доказательство.
Пусть β − плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный
перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость β с плоскостью
основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью β с
окружностью основания. Теорема доказана.  

1.4. Площадь цилиндра

Площадь
боковой поверхности цилиндра.

За площадь
боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь
боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон
основания этой призмы неограниченно возрастет.

Теорема 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его
основания на высоту (S_бок.ц = 2πRH, где R − радиус основания
цилиндра, Н − высота цилиндра).

а)          б)   
Рис. 4 − Площадь
боковой поверхности цилиндра

 Доказательство.

Пусть P_n и Н соответственно периметр основания
и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда
площадь боковой поверхности этой призмы S_бок.ц − P_nH. Предположим, что число сторон
многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда
периметр P_n  стремится к длине окружности С =
2πR, где R— радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом,
площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2πRH,   т.
е.   площадь   боковой   поверхности  
цилиндра   равна S_бок.ц = 2πRH. Теорема доказана.

Площадь полной
поверхности цилиндра.

Площадью полной
поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух
оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна πR²,
следовательно, площадь полной    поверхности   
цилиндра   S_полн вычисляется   
по    формуле S_бок.ц = 2πRH+ 2πR².

Рис. 5 − Площадь
полной поверхности цилиндра

Если боковую
поверхность цилиндра разрезать по образующей АT,  и развернуть так, чтобы все
образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим
прямоугольник АTT1А1, который называется разверткой боковой поверхности
цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания
цилиндра, следовательно, АА1=2πR, а его сторона АT равна образующей цилиндра,
т. е. АT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь АT∙АА1=2πRH развертки цилиндра
равна пло­щади его боковой поверхности.

1.5. Объем цилиндра

Если
геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число
треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для
произвольного тела объем определяется следующим образом.

Данное тело имеет
объем V, если существует содержащие его простые тела и содержащиеся в нем
простые тела с объемами, сколько угодно мало отличающимися от V.

Применим это
определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.

При выводе
формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один −
содержащий круг, другой − содержащийся в круге), что их площади при
неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площади круга.
Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р −
многоугольник, содержащий круг, а Р’ − многоугольник, содержащийся в круге
(рис. 6).

Рис. 7 − Цилиндр
с описанной и вписанной в него призмой

Построим две
прямые призмы с основаниями Р и Р’ и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая
призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при
неограниченном увеличении n площади оснований призм неограниченно приближаются
к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН.
Согласно определению объем цилиндра

V = SH = πR²H.

Итак, объем
цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2 Практическая часть (задачи)

Задача 1.

Осевое сечение
цилиндра − квадрат, площадь которого Q.

Найдите площадь
основания цилиндра.

Дано: цилиндр,
квадрат − осевое сечение цилиндра, S_{квадрата} = Q.

Найти: S_{осн.цил.}

Решение:

Сторона квадрата
равна . Она равна диаметру
основания. Поэтому площадь основания равна .

Ответ: S_{осн.цил.} =

Задача 2.

В цилиндр вписана
правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани
и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Дано: цилиндр,
правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте
цилиндра.

Найти: угол между
диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.

Решение: Боковые
грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного
в окружность, равна радиусу.

Ребра призмы
параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра
равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани
− квадраты.

Ответ: угол между
диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.

Задача 3.

Высота цилиндра
6см, радиус основания 5см.

Найдите площадь
сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

Дано: Н = 6см, R
= 5см, ОЕ = 4см.

Найти: S_сеч.

Решение:

S_сеч.= КМ×КС,

ОЕ = 4
см,  КС = 6 см.

Треугольник ОКМ −
равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),

треугольник ОЕК −
прямоугольный.

Из треугольника
ОЕК, по теореме Пифагора:

ЕК = ,

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S_сеч.= 6×6 = 36 см².

Ответ: S_сеч.= 36 см².

Задача 4.

Высота цилиндра
12см, радиус основания 10см.

Цилиндр пересечен
плоскостью так, что в сечении получился квадрат.

Найдите
расстояние от этого сечения до оси.

Дано: СК = h =
12см, R = ОК = ОМ = 10см.

Найти: ОЕ.

Решение:

СК равна высоте,
то есть СК = 12 см. Так как в сечении получился квадрат, то КМ = СК = 12см.

ОК − радиус
основания, ОК = 10см.

Треугольник ОКЕ –
прямоугольный, где ОК = 10см, КЕ = 6см.

По теореме
Пифагора:

ОЕ =

Ответ: ОЕ = 8см.

Задача 5.

В цилиндр наклонно
вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите
сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2см, а радиус основания равен 7см.

Дано: цилиндр, h = 2см, R – 7см, АВСD − наклонно вписанный
квадрат.

Найти: АВ.

Решение:

Достроим квадрат
АВСD до прямого прямоугольного параллелограмма АВС₁D₁А₁В₁СD
с диагональным сечением АВСD.

Угол АВС₁
= 90°. Так как вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две
данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проходившими в
эти точки, или дополняет половину этого угла до 180°, то АС₁  есть
диаметр окружности верхнего основания цилиндра.

Рассмотрим
прямоугольный треугольник СС₁А₁ − катет СС₁,
есть образующая цилиндра и СС₁ = 2АС, катет АС₁ есть
диаметр цилиндра и АС₁ = 14. По теореме Пифагора АС = (см).

Из прямоугольного
равнобедренного треугольника АВС по теореме Пифагора сторона квадрата АВ = см.

Ответ: АВ = 10
см.

Задача 6.

Объем цилиндра
120 см², его высота 3,6 см.

Найти радиус
цилиндра.

Дано: V = 120 см²,
h = 3,6 см.

Найти: r

Решение:

Ответ: r = 3,3.

Задача 7.

Осевым сечением
цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см.

 Найдите площадь
поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, АВСD − осевое сечение, АВ =
АD, ВD = см.

Найти: S_{пов.цил.}

Решение:

Из прямоугольного
∆ АВD по теореме Пифагора: ВD² − 2AB², откуда сторона квадрата АВ (см). Поэтому высота цилиндра АВ = 3
см, радиус цилиндра ОА − 1,5 см.

Площадь боковой
поверхности S_бок.ц
= 2πRH = 2π×1,5×3 = 9π (см²).

Площадь основания
S_осн. = 2πR² = 2π×1,5² = 4,5π (см²).

Площадь полной
поверхности S_{пов.цил.}
= S_бок.ц
+ S_осн. =  9π + 4,5π = 13,5 π (см²).

Ответ: 13,5 π (см²).

 

Задача 8.

В цилиндр вписана
правильная шестиугольная призма.

Найдите отношения
объема призмы к объему цилиндра.

Дано: цилиндр,
правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, а − сторона призмы.

Найти: .

Решение:

=

а₆ = R

Ответ: = .

 

Задача 9.

Диаметр основания
цилиндра 1м.

Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, d
= АВ = 1м.

Найти: S_бок.ц.

Решение:

S_бок. = 2πRh,

R = = 0,5 м,

S_бок. = 2πR × 2πR = (2πR)² = 4π² ×0,25
= π²

Ответ: S_бок. = π² (м²).

Задача 10.

Найдите радиус
основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания
которого равен 3.

Дано:  конус,
цилиндр – вписан в конус, ОВ – радиус конуса, ОВ = 3.

Найти: r − радиус основания цилиндра.

Решение:

Обозначим через h
и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в конус с вершиной A.
Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник ABC с высотой AO
= H и основанием BC = 2· 3 = 6 (рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр,
вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику KLMN, где точки K и
L лежат соответственно на отрезках AB и AC, а точки M и N – на отрезке BC ,
причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P – точка пересечения AO и KL . Треугольник
APL подобен треугольнику AOC , поэтому

, или

откуда   . Пусть V(r) – объем цилиндра, где 0 < r < 3 . Тогда

.

Найдем наибольшее значение функции V(r) на
промежутке (0;3) .

V’(r) =  H(2r — r²) =  Hr(2 — r).

 Промежутку (0;3) принадлежит единственный
корень ( r = 2 ) полученного уравнения. Если 0 < r < 2 , то V'(r) > 0 .
Поэтому на промежутке (0;2) функция V(r) возрастает. Если 2 < r < 3 , то V'(r)
< 0 . Поэтому на промежутке (2;3) функция V(r) убывает. Значит, в точке r = 2
функция V(r) имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра
наибольшего объема, вписанного в данный конус, равен 2.

Ответ: r = 2.

Задача 11.

Развертка боковой
поверхности цилиндра есть квадрат со  стороной . Найдите объем цилиндра.

Дано: Цилиндр,
квадрат – развертка боковой поверхности цилиндра, сторона квадрата = .

Найти: V_цил.

Решение:

Пусть образующая
цилиндра АD = h , а радиус основания равен r, объем цилиндра равен V .
Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной  длина
окружности основания и образующая цилиндра также равны , т.е.

.

Следовательно, .

Ответ: V = 2.

Задача 12.

Радиус основания
цилиндра равен r . Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, не
пересекает его оснований и образует угол α с плоскостью основания. Найдите
площадь сечения цилиндра этой плоскостью.

Дано: цилиндр, r
– радиус основания цилиндра, угол α.

Найти: S_сеч.ц.

Основание
цилиндра есть ортогональная проекция данного сечения на плоскость основания.
Следовательно, площадь сечения равна площади основания, делённой на косинус
угла между плоскостями сечения и основания, т.е. .

Ответ:

Заключение

Цель данного
реферата выполнена, рассмотрено такое  геометрическое тело, как цилиндр.

Рассмотрены
следующие задачи:

− дано
определение цилиндра;

− рассмотрены
элементы цилиндра;

− изучены
свойства цилиндра;

− рассмотрены
виды сечения цилиндра;

− выведена
формула площади цилиндра;

− выведена
формула объема цилиндра;

− решены задачи с
использованием цилиндра.

Список литературы

1.      Погорелов А. В. Геометрия:
Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995.

2.      Бескин Л.Н. Стереометрия.
Пособие для учителей средней школы, 1999.

3.      Атанасян Л. С., Бутузов В.
Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Учебник для 10 – 11
классов общеобразовательных учреждений, 2000.

4.      Александров А.Д., Вернер
А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных
учреждений, 1998.

5.      Киселев А. П., Рыбкин Н. А.
Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник, 2000.